2020年中考數(shù)學必考34個考點專題24：相似三角形判定與性質(zhì)

1、專題24相似三角形判定與性質(zhì)專題知識回顧1 .相似三角形：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似多邊形對應邊的比叫做相似比。2 .三角形相似的判定方法：(1)定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。(2)平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊延長線)相交，構成的三角形與原三角形相似。(3)判定定理1:如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩角對應相等，兩三角形相似。(4)判定定理2:如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角

2、形相似。(5)判定定理3:如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似,可簡述為三邊對應成比例，兩三角形相似。3 .直角三角形相似判定定理：以上各種判定方法均適用定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。4 .相似三角形的性質(zhì)：(1)相似三角形的對應角相等，對應邊成比例(2)相似三角形對應高的比、對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比(3)相似三角形周長的比等于相似比(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方。專題典型題考

3、法及解析【例題1】（2019%南?。┤鐖D，在RtAABC中，C=90,AB=5,BC=4.點P是邊AC上一動點，過點P作PQAAB交BC于點Q,D為線段PQ的中點，當BD平分3BC時，AP的長度為（）【答案】B.A.【解析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵.根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得到QBD=BDQ,得到QB=QD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.C=90,AB=5,BC=4,AC=jAB2_BC：2=3,PQAAB,AABD=ABDQ,又ABD=QBD,QBD=ABDQ,QB=QD,QP=2QB,PQA

4、AB,CPQACAB,CP=CQ=PQ即運=嬰%一C收即m45解得，CPAP=CACP=【例題2】（2019泗川省涼山州）在“BCD中，E是AD上一點，且點E將AD分為2:3的兩部分，連接BE、AC相交于F,則SAAEF：SACBF是.【答案】4:25或9:25.【解析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵.分AE:ED=2:3、AE:ED=3:2兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可.當AE:ED=2:3時，四邊形ABCD是平行四邊形，ADABC,AE:BC=2:5,EFACBF,Saaef：,2、2,CLSacbf=(g)

5、2=4:25;5當AE：ED=3:2時,同理可得,oc3Szaef：Szcbf=()52=9:25。【例題3】（2019砌北省荊門市）如圖，為了測量一棟樓的高度OE,小明同學先在操場上A處放一面鏡子,向后退到B處，恰好在鏡子中看到樓的頂部E;再將鏡子放到C處，然后后退到D處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂部E（O,A,B,C,D在同一條直線上），測得AC=2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面高度BF,DG為1.6m,試確定樓的高度OE.【答案】樓的高度OE為32米.【解析】設E關于O的對稱點為M,由光的反射定律知，延長GC、FA相交于點M,連接GF并延長交OE于點H,GFAAC,MACAMFG

6、,AACMAMOFGMFMH即：二，-久BD-MHTtO+OH-OE+BFJ0E+L62-1OE=32DE冬Dfa【例題4】(2019年廣西梧州市)如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,AF平分/DAC,分別交DC,BC的延長線于點E,F;連接DF,過點A作AH/DF,分別交BD,BF于點G,H.(1)求DE的長；【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查了矩形的相關證明與計算，熟練掌握矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵.(1)由AD/CF,AF平分/DAC,可得/FAC=ZAFC,得出AC=CF=5,可證出ADEAFCE,可求出DE長;.矩形ABCD中，AD/

7、CF,/DAF=/ACF,.AF平分/DAC,/DAF=/CAF, ./FAC=ZAFC,AC=CF, AB=4,BC=3,AC=VaE2-HBC2=+=5CF=5, AD/CF, .ADEsFCE,-AD-DE、CFCE設DE=x,則豈J5,54rDRDC(2)由ADGAHBG,可求出DG,則上生可得EG/BC,則/1=/AHC,根據(jù)DF/AH,可得DCDB/AHC=/DFC,結論得證.AD/FH,AF/DH,四邊形ADFH是平行四邊形，,-.AD=FH=3,.CH=2,BH=5,AD/BH,ADGAHBG,DE=2de.dc=1DGDB5EG/BC, ./1=/AHC,又DF/AH, ./

8、AHC=ZDFC,Z1=ZDFC.【例題5】(2019年湖南省張家界市)如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線AC,延長AB至點E,使BE=AB,連接DE,分別交BC,AC交于點F,G.(1)求證：BF=CF;(2)若BC=6,DG=4,求FG的長.【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD/CD,AD=BC,得到EBFAEAD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明即可；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算即可.(1)證明：.四邊形ABCD是平行四邊形，AD/CD,AD=BC,.EBFAEAD,也期皿EABF=AD=BC,22BF=CF;(2)二四邊形ABCD是平行四邊形，AD/CD,.FGCADGA

9、,解得，F(xiàn)G=2.專題典型訓練題、選擇題1. （2019年廣西玉林市）如圖，AB/EF/DC,AD/BC,EF與AC交于點G,則是相似三角形共有A. 3對B. 5對C.6對D.8對【解析】圖中三角形有：AEG,ADC,CFG,CBA,.AB/EF/DC,AD/BC.AEGsADCsCFGsCBA共有6個組合分別為：AEGAADC,AEGsCFG,AAEGACBA,ADCsCFG,AADCACBA,CFGACBA2. （2019年內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，D、E分別是ABC邊AB,AC上的點，/ADE=/ACB,若AD=2,AB=6,AC=4,則AE的長是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】

10、證明ADEsACB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.ZADE=ZACB,/A=/A,ADEAACB,3.（2019廣西賀州）如圖，在AABC中,AD=2,AB=3,DE=4,貝UBC等于（C.7【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì);證明三角形相似得出對應邊成比例是解題的關鍵.由平行線得出AADEAAABC,得出對應邊成比例ADABD&BC,即可得出結果.D,E分別是AB,AC邊上的點，DEBC,若DEABC,AADEAAABC,AD-一D&AB即棄BC解得：BC=64.（2019?廣西貴港）如圖，在ABC中，點D,E分別在AB,AC邊上,DE/BC,/ACD=/B,AD=2BD,

11、BC=6,則線段CD的長為（）A.21v5C,276D.5【解析】設AD=2x,BD=x,所以AB=3x,易證ADEAABC,利用相似三角形的性質(zhì)可求出DE的長度，以及膽02,再證明ADEsACD,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出得出組1比=理從而可求AC3ACADCD出CD的長度.設AD=2x,BD=x,AB=3x,DE/BC,ADEAABC,理歿=”，BCABAC-DE=2 )6CL，AB2 DE=4,AC3./ACD=ZB,/ADE=/B,./ADE=ZACD,ZA=ZA,ADEAACD,，世粵=嗎ACADCD設AE=2y,AC=3y,.四=且_5.（2019?黑龍江哈爾濱）如圖，在？ABC

12、D中,交AD于點N,則下列式子一定正確的是（奧D.強一強點E在對角線BD上，EM/AD,交AB于點M,EN/AB,)【答案】D.【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì).在？ABCD中，EM/AD，易證四邊形AMEN為平行四邊形.易證BEMABADAENDBNBEB項錯誤AEADBDMEBE=,D項正確。MENE6. （2019肛蘇蘇州）如圖，在VABC中，點D為BC邊上的一點，且ADAB2,ADAB,過點D作DEAD,DE交AC于點E,若DE1,則VABC的面積為（）B. 4C. 21/5D. 8【解析】考察相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的高，中等題型ABAD,DEADBAD

13、ADE90AB/DE易證VCDE:VCBADCDEBCBA即DCBDDC由題得BD解得DCVABC的高易得：72Svabc1BCJ214、2J24227. （2019山東棗莊）如圖，將ABC沿BC邊上的中線AD平移到ABC的位置.已知ABC的面積為16,陰影部分三角形的面積9.若AA=1,則AD等于（）【答案】BC.4D.【解析】本題主要平移的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點.由Saabc=16.Saaef=9且AD為BC邊的中線知SaADE=SaABC=8,根據(jù)DAc9cSaAEF=,SaABD2deSAAED,據(jù)此求解可得.AfiE

14、ADAB知（）AD-Saabc=16.Saaef=9,且AD為BC邊的中線，.clc91clccSaADE=SaaEF=,SaaBD=SaaBC=8,將ABC沿BC邊上的中線AD平移得到ABC,AE/AB,.DAEADAB,9_則（衰）2=S，項,即（梟1T）2=dJftJJoABT）&-LJt1o10解得AD=3或AD=-吊（舍）。8. （2019四川巴中）如圖？ABCD,F為BC中點，延長AD至E,使DE:AD=1:3,連結EF交DC于點G,則SaDEG：SCFG=（）EGLA.2:3B. 3:2C. 9:4【解析】先設出DE=x,進而得出AD=3x,再用平行四邊形的性質(zhì)得出BC=3x,進

15、而求出CF,最后用相似三角形的性質(zhì)即可得出結論.設DE=x,.DE:AD=1:3,AD=3x,四邊形ABCD是平行四邊形,.AD/BC,BC=AD=3x,點F是BC的中點,.CF=BC=-x,22.AD/BC,.DEGACFG,.2adegDE而)2A.B.C.9. （2019年四川省遂寧市）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，BPC是等邊三角形，連接DP并延長交CB的延長線于點H,連接BD交PC于點Q,下列結論:_._-1/BpD=135;BDpsHDB；DQ:BQ=1:2;SaBDp=-D.【答案】D.【解析】由等邊三角形及正方形的性質(zhì)求出/CPD=/CDP=75、ZPCB=ZCPB=

16、60,從而判斷；證/DBP=ZDPB=135可判斷；作QEXCD,設QE=DE=x,則QD=/2x,CQ=2QE=2x,CEx,由CE+DE=CD求出x,從而求得DQ、BQ的長，據(jù)此可判斷，證DP=DQ=*七返，根據(jù)Sabdp2|=_BD?PDsin/BDP求解可判斷.PBC是等邊三角形，四邊形ABCD是正方形， ./PCB=/CPB=60,/PCD=30,BC=PC=CD, ./CPD=ZCDP=75,則/BPD=ZBPC+/CPD=135,故正確； ./CBD=ZCDB=45, ./DBP=ZDPB=135,又./PDB=ZBDH,BDPAHDB,故正確;如圖，過點Q作QEXCD于E,設Q

17、E=DE=x,貝UQD=2x,CQ=2QE=2x,CE=.lx,由CE+DE=CD知x+V3x=1,解得*=嶺工，.,QD=x=fe, BD=V2,BQ=BDDQ=_P&,2,故錯誤;貝UDQ:BQ=./CDP=75,/CDQ=45又./CPD=75./DPQ=/DQP=75,DP=DQ=2SaBDP=BD?PDsin/BDP=故正確。二、填空題10.（2019硒江寧波）如圖所示，RtAABC中，AC=90,AC=12,點D在邊BC上，CD=5,BD=13.點P是線段AD上一動點，當半徑為6的注與那BC的一邊相切時,AP的長為【解析】AB=6.5或3/13.在RtABC中，C=90,AC=12

18、,BD+CD=18,后再T=6后，在RtAADC中，C=90,AC=12,CD=5,AD=c2+cM=13,當AP于BC相切時，點P到BC的距離=6,過P作PHABC于H,則PH=6,C=90,ACABC,PHAAC,DPHAADAC,1TH一PD=6.5,AP=6.5;當AP于AB相切時，點P到AB的距離=6,過P作PGAAB于G,則PG=6, AD=BD=13, PAG=AB, AAGP=AC=90, AAGPABCA,aAPpg ，ABAC 好一-際-12， AP=3/13, CD=5/10,這樣由tan/DEC=DCEC1第四步過點P作PHL2BD于點H,在BD上依次取點M、N,使MH

19、=NH=2PH,于是因此PMN是所求符合條件的圖形；第五PH步由DPHsDBA,得匚二BA也，即理BD103102，得PH=3,于102是MN=4PH=6,本題答案為6.14. （2019?山東省濱州市）如圖，？ABCD的對角線AC,BD交于點O,CE平分/BCD交AB于點E,交BD于點F,且/ABC=60,AB=2BC,連接OE.下列結論：EOLAC;4AOD=4&OCF；AC:（填寫所有正確結論的序號）BD=V21：7;FB2=OF?DF.其中正確的結論有【答案】【解析】本題考查，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，解直角三角形等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數(shù)解決問

20、題，屬于填空題中的壓軸題.正確.只要證明EC=EA=BC,推出/ACB=90,再利用三角形中位線定理即可判斷.錯誤.想辦法證明BF=2OF,推出Saboc=3SaOOF判斷. 正確.設BC=BE=EC=a,求出AC,BD即可判斷. 正確.求出BF,OF,DF（用a表示），通過計算證明即可. 四邊形ABCD是平行四邊形， .CD/AB,OD=OB,OA=OC, ./DCB+ZABC=180, ./ABC=60, ./DCB=120,.EC平分/DCB, ./ECB=L/DCB=60,2 ./EBC=/BCE=/CEB=60, .ECB是等邊三角形，EB=BC, AB=2BC,EA=EB=EC,1

21、.OA=OC,EA=EB,.OE/BC,./AOE=ZACB=90,EOXAC,故正確,.OE/BC,.OEFABCF,OEOF1BCFB.OF=1.SaAOD=SaBOC=3SaOCF,故錯誤,設BC=BE=EC=a,貝UAB=2a,AC=Ja,OD=OB=a.a)?=a,BD=VVa,.AC:BD=M3a：V?|a=V21：7,故正確,OF=OB=3D匚V?BF=a,3BF26a2,OF?DF=a2,BF2=OF?DF,故正確,故答案為.15.（2019四川瀘州）如圖，在等腰RtABC中，/0=90,AC=15,點E在邊CB上，CE=2EB,點D在邊AB上，0DAE,垂足為F,則AD的長為

22、.【答案】9V2【解析】過D作DH，AC于H,.在等腰RtABC中，/C=90,AC=15,.-.AC=BC=15, ./CAD=45,.AH=DH, .CH=15-DH, .CFXAE, ./DHA=ZDFA=90, ./HAF=ZHDF,ACEADHC,?=,? CE=2EB,CE=10,?15-?=15. 10DH=9,AD=9v2,故答案為：9亞.三、解答題16. (2019泗川省涼山州)如圖，AABD=ABCD=90,DB平分AADC,過點B作BM4CD交AD于M.連接CM交DB于N.(1)求證：BD2=AD?CD;(2)若CD=6,AD=8,求MN的長.【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}

23、考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，求MC的長度是本題的關鍵.證明：(1)通過證明AABDAABCD,可得黑可得結論；BCCD|DB平分AADC,ADB=ACDB,且AABD=ABCD=90,AABDABCDAAEBDA=BDCDbd2=ad?cd(2)由平行線的性質(zhì)可證MBD=BDC,即可證AM=MD=MB=4,由BD2=AD?CD和勾股定理可求BMMN2MC的長，通過證明4MNB工ND,可得&十二二=，即可求MN的長.BM4CDCDCN3MBD=ABDCAADB=AMBD,且AABD=90BM=MD,AMAB=AMBABM=MD=AM=4BD2=AD?CD,且CD=6

24、,AD=8,BD2=48,BC2=BD2-CD2=12MC2=MB2+BC2=28MC=2.7BMACDMNBACND盟型上CDCN3且MC=24YMN=17. (2019?山東泰安)在矩形ABCD中，AEBD于點E,點P是邊AD上一點.(1)若BP平分祥BD,交AE于點G,PF4BD于點F,如圖,證明四邊形AGFP是菱形;(2)若PEAEC,如圖,求證：AE?AB=DE?AP;(3)在(2)的條件下，若AB=1,BC=2,求AP的長.【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識,解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？?/p>

25、題型.PA=PF即可解決問題.(1)想辦法證明AG=PF,AGAPF,推出四邊形AGFP是平行四邊形，再證明證明：如圖中,四邊形ABCD是矩形,ABAD=90,AEABD,AAED=90,ABAE+AEAD=90,AEAD+AADE=90,ABAE=AADE,AAGP=ABAG+AABG,AAPD=AADE+APBD,AABG=PBD,AAGP=AAPG,AP=AG,PAAAB,PFABD,BP平分AABD,PA=PF,PF=AG,AEABD,PFABD,PFAAG,四邊形AGFP是平行四邊形,PA=PF,四邊形AGFP是菱形.(2)證明AAEPAADEC,可得,由此即可解決問題.證明：如圖中

26、,AEABD,PEAEC,AED=APEC=90,AEP=ADEC,AEAD+AADE=90,AADE+MDE=90,AEAP=AEDC,AEPAADEC,AAB=CD,AAESB=DESP;(3)利用(2)中結論.求出DE,AE即可.解：四邊形ABCD是矩形，BC=AD=2,ABAD=90,bd=ab2+A2=4,AEABD,SZxABD=,BD?AE=?AB?AD,*攀，DE=VaD2-AE2=,18. (2019安徽)如圖，RtAABC中，AACB：90,AC=BC,P為*BC內(nèi)部一點，且AAPB：ZBPC=135.(1)求證：FABAAPBC;(2)求證：FA=2PC;(3)若點P到三角形的邊AB,BC,CA的距離分別為hbh2,h3,求證hi2=h2?h3.【答案】見解析。PCD是解本【解析】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出4EAP題的關鍵.(1) AAACB=90,AB=BC, AABC=45=APBA+APBC又AAPB=135, PAB+APBA=45 APBC=APAB又ZAPB=ABPC=135, PABAAPBC(2) AAPABAAPBCaP