圖像處理(第5章)

1、第五章第五章 濾波和濾波器設(shè)計(jì)濾波和濾波器設(shè)計(jì) 本章要點(diǎn)： 線性系統(tǒng)理論 經(jīng)典數(shù)字濾波方法 魏納濾波器及其設(shè)計(jì)方法 MATLAB線性濾波器設(shè)計(jì)5.1 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 5.1.1 線性系統(tǒng)理論 系統(tǒng)是指任何一個(gè)接收輸入并產(chǎn)生相應(yīng)輸出的實(shí)體。輸入和輸出可以是一維、二維和更高維數(shù)的。 可以證明，線性函數(shù)表達(dá)式：dxtfty)(),()( 就足夠說明任何線性系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān)系。5.1.2 一維卷積一維卷積 參見線性系統(tǒng)相關(guān)內(nèi)容 P82 卷積定義：dxtgty)()()( 上式表明，線性移不變系統(tǒng)的輸出可以通過輸入信號(hào)與一個(gè)表征系統(tǒng)特性的函數(shù)卷積得到，這個(gè)表征函數(shù)叫做系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。

2、卷積離散形式為jjigjfigifih)()()(*)()( 其中，I=0，1，m；j=0，1，n。 矩陣形式如下：)(.)2()1()1(.)1()(.)3(.)1()2()2(.)()1(NfffgNgNgggggNggfGh5.1.3 二維卷積二維卷積 二維卷積的表達(dá)式如下： dudvvyuxgvufgfyxh),(),(),( 二維卷積的離散形式如下：1010),(),(),(MmNnnjmiGnmFjiH 卷積常用來實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)或圖像進(jìn)行線性運(yùn)算（具體見第七章），在圖像濾波、去卷積、去噪音和增強(qiáng)等方面用處較大。5.1.4 卷積定理和相關(guān)性定理卷積定理和相關(guān)性定理 卷積定理是線性系統(tǒng)分析

3、中最常用、最重要的定理之一，該定理指出了傅立葉變換的一個(gè)重要性質(zhì)：時(shí)域中的卷積相當(dāng)于頻域中的相乘，即：)()()()(sgsFtgtfF)()()()(1tgtfsGsFF 相關(guān)性定理也是線性系統(tǒng)理論中比較重要的一個(gè)定理，該定理描述了函數(shù)自變量尺度變換對(duì)其傅立葉變換的影響： 減小自變量的尺度將會(huì)展寬函數(shù)的傅立葉變換頻譜，而增大自變量的尺度則會(huì)壓縮函數(shù)的傅立葉變換頻譜。即：)(1)(asFaatfF5.1.5 濾波與濾波器設(shè)計(jì)濾波與濾波器設(shè)計(jì) 濾波是信號(hào)處理的一種最基本而又極為重要的技術(shù)，利用濾波技術(shù)可以從復(fù)雜的信號(hào)中提取出所需要的信號(hào)，抑制不需要的信號(hào)。 濾波器就是一種選頻器件或結(jié)構(gòu)，它對(duì)某一

4、頻率的信號(hào)給予很小的衰減，使這部分信號(hào)能順利通過，而對(duì)其他不需要的頻率信號(hào)則進(jìn)行大幅度衰減，盡可能阻止這些信號(hào)通過。 在圖像處理中，濾波常常用來修改或增強(qiáng)圖像，以提高圖像的信息量。數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 若濾波器的輸入、輸出都是離散時(shí)間信號(hào)，那么該濾波器的沖激響應(yīng)也必然是離散的，這樣的濾波器稱為數(shù)字濾波器。 按照濾波器的時(shí)域特性可以將數(shù)字濾波器分為無限沖激響應(yīng)濾波器（IIR濾波器）和有限沖激響應(yīng)濾波器（FIR濾波器）兩種。 MATLAB所有濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)都將返回一個(gè)FIR濾波器。 FIR濾波器是一個(gè)對(duì)單點(diǎn)或脈沖具有有限響應(yīng)范圍的濾波器，由于它具有描述方便（可以用系數(shù)矩陣表示）、可以有效防止圖像失

5、真（相位呈線性）、設(shè)計(jì)可靠、容易實(shí)現(xiàn)、效果穩(wěn)定等特征，所以成為MATLAB環(huán)境下最理想的濾波工具。數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 數(shù)字濾波器可分為兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。 經(jīng)典濾波器是假定輸入信號(hào)中的有用頻率成分和希望去除的頻率成分各占有不同的頻帶。 經(jīng)典濾波器又可以分為四種，即低通（LP）濾波器、高通（HP）濾波器、帶通（BP）濾波器和帶阻（BS）濾波器。 LP使截止頻率以下的所以信號(hào)通過，截止頻率以上的信號(hào)則給予很大的衰減，阻止其通過； HP使截止頻率以上的信號(hào)通過，阻止截止頻率以下的信號(hào)通過； BP使某一頻帶內(nèi)的信號(hào)通過，而對(duì)于這個(gè)頻帶范圍以外的信號(hào)則給予很大的衰減； BS抑制某一頻帶內(nèi)的

6、信號(hào)，同時(shí)讓這一頻帶以外的其他信號(hào)通過。 BP與BS中有兩個(gè)截止頻率，分別稱為上截止頻率和下截止頻率。 如果信號(hào)和噪聲的頻譜相互重疊，那么就需要使用現(xiàn)代濾波器。 現(xiàn)代濾波器主要研究如何從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄（又稱時(shí)間序列）中估計(jì)出信號(hào)的某些特征或信號(hào)本身。 通常估計(jì)信號(hào)的信噪比將會(huì)高于原始信號(hào)。 現(xiàn)代濾波器把信號(hào)和噪聲都視為隨機(jī)信號(hào)，利用它們的統(tǒng)計(jì)特征（如，自相關(guān)函數(shù)、功率譜等）導(dǎo)出一套最佳的估算法，然后予以實(shí)現(xiàn)。 魏納（Wiener）濾波是一種最基本而常用的現(xiàn)代濾波方法，這種濾波器以最小均方誤差作為最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)，通過分析輸入隨機(jī)信號(hào)和噪聲的自相關(guān)性，利用傅立葉變換得到原始信號(hào)的最優(yōu)估計(jì)。5.2 經(jīng)

7、典數(shù)字濾波方法經(jīng)典數(shù)字濾波方法 5.2.1 LP濾波器 通常信號(hào)或圖像的大部分能量都集中在其頻譜的中、低頻段，而在高頻部分，圖像中有用的信息常被噪聲淹沒，因此，可以用一個(gè)降低高頻成分的濾波器來達(dá)到一種圖像平滑效果。 最簡(jiǎn)單的LP濾波器有三種：矩形濾波器、三角形濾波器、高頻截止濾波器。5.2.2 帶通和帶阻濾波器帶通和帶阻濾波器 理想帶通濾波器： 一對(duì)矩形脈沖的沖激響應(yīng)曲線 （參見MATLAB與科學(xué)計(jì)算） 1.矩形函數(shù)的傅立葉變換曲線 2.三角形函數(shù)的傅立葉變換曲線 3.一對(duì)矩形的傅立葉變換曲線 4.高斯函數(shù)的傅立葉變換曲線 5.各種函數(shù)的傅立葉變換曲線5.2.3 高通濾波器高通濾波器 高通濾波

8、器也稱為高頻增強(qiáng)濾波器，其傳遞函數(shù)在0頻率處取值為單位1，隨著頻率的增長(zhǎng)，傳遞函數(shù)的數(shù)值逐漸增加，當(dāng)頻率增加到一定數(shù)值后傳遞函數(shù)又取0值或降低某個(gè)大于1的增益。如果傳遞函數(shù)通過原點(diǎn)，那么稱該濾波器為拉普拉斯濾波器。5.3 魏納濾波器及其設(shè)計(jì)方法魏納濾波器及其設(shè)計(jì)方法 5.3.1 隨機(jī)變量 5.3.2魏納濾波原理 5.3.3 魏納濾波器設(shè)計(jì)方法 （參見線性系統(tǒng)相關(guān)內(nèi)容）5.3.4 圖像的魏納濾波方法圖像的魏納濾波方法 對(duì)圖像進(jìn)行魏納濾波主要是為了消除圖像中存在的噪聲。 可以利用MATLAB的winener2函數(shù)對(duì)一幅圖像進(jìn)行自適應(yīng)魏納濾波。 調(diào)用格式： J=winener2（I，M N，NOIS

9、E） 其中，I表示輸入圖像，M N表示卷積使用的鄰域大小，缺省值為3 3，NOISE是噪聲強(qiáng)度，如果不指定此參數(shù)，那么wiener2函數(shù)將返回一個(gè)估計(jì)的噪聲強(qiáng)度。5.4 MATLAB線性濾波器設(shè)計(jì)線性濾波器設(shè)計(jì) 5.4.1 MATLAB線性濾波器設(shè)計(jì) 主要設(shè)計(jì)方法有三種： 頻率變換方式 頻率采樣方式（根據(jù)所需頻率響應(yīng)創(chuàng)建濾波器） 窗口方式（將理想脈沖響應(yīng)乘以窗口函數(shù)從而生成所需濾波器）5.4.2 頻率變換方式頻率變換方式 頻率變換設(shè)計(jì)方法首先設(shè)計(jì)一個(gè)性能較好的一維FIR濾波器，然后將其變換為二維FIR濾波器。 函數(shù)ftrans2可以實(shí)現(xiàn)頻率變換濾波器的設(shè)計(jì)。 調(diào)用格式： H=ftrans2（B

10、，T） 其中，B是一維FIR濾波器，T是將一維FIR濾波器變換為二維FIR濾波器H的頻率變換矩陣，缺省值為1 2 1；2 4 2；1 2 1/8 利用函數(shù)ftrans2可以使用所有信號(hào)處理和濾波器設(shè)計(jì)工具箱中設(shè)計(jì)函數(shù)進(jìn)行各種二維圖像濾波器的設(shè)計(jì)。 例如：先調(diào)用函數(shù)butter進(jìn)行一維LP、HP、BP、BS等的BUTTERWORTH濾波器的設(shè)計(jì)然后將其變換為二維的。 利用Help BUTTER在MATLAB命令窗口可得到相關(guān)信息。5.4.3 頻率采樣方法頻率采樣方法 頻率采樣方法是一種根據(jù)所需頻率響應(yīng)創(chuàng)建濾波器的方法。給出一個(gè)指定頻率響應(yīng)幅值的點(diǎn)陣，頻率采樣方法將創(chuàng)建一個(gè)相應(yīng)的濾波器，該濾波器的

11、頻率響應(yīng)將經(jīng)過所有給定點(diǎn)。頻率采樣對(duì)于給定點(diǎn)之間的頻率響應(yīng)行為不做任何限制，因而給定點(diǎn)之間的頻率響應(yīng)通常都是振動(dòng)的。 MATLAB圖像處理工具箱函數(shù)fsamp可以實(shí)現(xiàn)二維FIR濾波器的頻率采樣設(shè)計(jì)。 Fsamp2調(diào)用格式； H=fsamp2（F1，F(xiàn)2，HD，M N） 其中，返回的M*N維濾波器H的頻率響應(yīng)將與頻率響應(yīng)HD中每一個(gè)由F1和F2指定的點(diǎn)相匹配。參數(shù)F1、F2和M N都是可選參數(shù)，缺省情況下H將與HD具有相同的大小，其頻率響應(yīng)將匹配HD中的每一個(gè)點(diǎn)。 也可以使用freqspace函數(shù)創(chuàng)建一個(gè)符合要求的頻率響應(yīng)幅值矩陣，該函數(shù)對(duì)任意大小的響應(yīng)都能返回均勻間隔的頻率值。例P98 將所需

12、的頻率響應(yīng)離散化后調(diào)用函數(shù)fsamp2就可以實(shí)現(xiàn)任意所需的濾波器。 NOTE：當(dāng)所需頻率響應(yīng)中存在尖銳躍遷的時(shí)候，真實(shí)的頻率響應(yīng)就會(huì)出現(xiàn)振動(dòng)現(xiàn)象。5.4.4 窗口方法窗口方法 窗口方法是將理想的脈沖響應(yīng)與窗口函數(shù)相乘來獲得濾波器的方法。 和頻率采樣方法類似，窗口方法將產(chǎn)生一個(gè)頻率響應(yīng)近似于所需頻率響應(yīng)的濾波器，但是窗口方法得到的結(jié)果比頻率采樣方法要好。 MATLAB圖像處理工具箱提供兩個(gè)函數(shù)實(shí)現(xiàn)基于窗口的濾波設(shè)計(jì)： fwind1和fwind2。 fwind1函數(shù)根據(jù)由輸入?yún)?shù)指定的一維窗口創(chuàng)建一個(gè)二維窗口，然后進(jìn)行二維濾波器設(shè)計(jì)，fwind2函數(shù)則直接使用指定的二維窗口函數(shù)設(shè)計(jì)二維濾波器。 fwind1函數(shù)函數(shù)支持兩種不同的二維窗口創(chuàng)建方法：一種方法是對(duì)一個(gè)單獨(dú)的一維窗口進(jìn)行變換，使用類似旋轉(zhuǎn)的方法創(chuàng)建一個(gè)近似中心對(duì)稱的二維窗口，其調(diào)用格式： H=fwind1（HD，WIN） 其中，HD是所需的頻率響應(yīng)，WIN是指定的一維窗口函數(shù)，如，oxcar、hamming、hanning、kaiser等。 Fwind1函數(shù)另一種創(chuàng)建二維窗口的方法是計(jì)算兩個(gè)一維窗口的乘機(jī)，從而生成一個(gè)二維矩形可分窗口。 調(diào)用格式：H=f