2016博士《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》考試復(fù)習(xí)題及參考答案(1)

1、2016級(jí)博士生數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題1.設(shè)f(x)x11是實(shí)Hilbert空間H上的泛函，證明，當(dāng)x豐0,f(x)在點(diǎn)x處沿著h方向的Gateaux微分。P81證明：limf(x+仇)-f(x)=lim卜+州T址=iim(卜+則TlxMx+州+11xlI)tTOttTOttTOt(|X+th|+|X|)卜+州-卜if=己+訊,x+x壬=兀thm加“t(|x+th|+|x|)“t(|x+th|+|x|)-一0t(|x+th|+|x|)于是，當(dāng)x豐0時(shí)，f在x處沿著h方向的G0teaux微分為：Df(x,h)=獸2.設(shè)泛函x3yx+y+f(x,y)=<x4+y20,(x,y)主(0,0)(x,y)=(

2、0,0)，證明f(x，y)在點(diǎn)(0，°)處不是Frechet微分。P84證明：由于|爲(wèi)-2川Vx,yeR所以f在點(diǎn)(o,o)處連續(xù)，令h=(g,n)，則有l(wèi)imf(0+th)-f(0)tT0t=limtg+tq+(tg)3糾(tg)4+(糾)2tT0t=g+n因此，f在點(diǎn)(0,0)處沿方向h的"teaux微分為Df(0,0),(g,q)=g+q，但是,如果令g=q2，則有IHII=(g2+n2)1/2=(g2+54)1/2于是IF(h)-/(0)-Df(0,h)|ZHlimlhUo-(g")(g2+g4)1/2g3g2limg4+(g2)2lhLo(g2+g4)1

3、/2所以，f在點(diǎn)（0,0）處不是Frlchet可微的。3.設(shè)k（t，s）為0，1x0，1上的二元連續(xù)函數(shù)，定義以k（t，s）為積分核的積分算子K:力(0,1)LL2(0,1)為(Kf)(t)二11k(t,s)f(s)Ds,VfeL2(0,1)0P42證明：對(duì)于任意的f,geL2(0,1)，有Kf,g=,s)f(s)ds,g(t)=f1f1k(t,s)f(s)DsgT)Dtdsf(s)f1k(t,s)g(t)DtDs=f1f(s)f1k(tS)g(t)Dt=f1f(t)0f1k(t,s)g(s)Ds0Dt=f,f1k(t,s)g則有(Kf)(t)二f1k(t,s)f(s)Ds,Vfe力(0,10

4、4.求證：(K*f)(t)=f1k(s,t)f(s)Ds,VfeL2(0,1).n-1X,)nn0T(X1,X2,)=(2X2,|X3,求I.P41證明：對(duì)于任意的x=(xi,x2,A)G12，有網(wǎng)=T(X1,x2,Ax,A)n=(2x2)2+(3x3)2+A+(nx)2+A)n+1n< ¥x)2+(x)2+A+(x)2+A)/223n< (x)2+(x)2+(x)2+A+(x)2+A)1/2123n=M1/2于是|T|<1，另外，對(duì)于e二(0,A,0,1,0,A)，則有n叫=l0,A,0,n+1,0,A卜n+1_1(n_8)所以|T|=15.判斷下面方程的類型并把

5、它化成標(biāo)準(zhǔn)型：4u+5u+u+u+u+2=0.xxxyyyxy證明：因?yàn)榕袆e式A二b2-4ac二90,故方程為雙曲型。其特征方程為dx=1,dy=4，則dy=dx,dy=4dx,求得特征線是yx=c,yx=c,142其中C，c2為任意常數(shù)，作變化E=yx,<1n=y了x,I4可將方程化成雙曲型第一標(biāo)準(zhǔn)型：若再作變換，/幾It二E,方程就可化成雙曲型第二標(biāo)準(zhǔn)型ussutt6.求初值問題y,、8udu(y-u)=+(u-x)亍=x-vdxdy的解.u=0,當(dāng)xy=1時(shí)證明：由特征方程dx=dy=duy-uu-xx-y求得兩個(gè)相互獨(dú)立的初積分是x+y+u=c,x2+y2+u2=c12因此,全特

6、征線都是一些圓的曲線。我們必須選擇通過已給曲線：xy=l,u=0的全特征線族，當(dāng)xy=l時(shí)，u=0表明有x+y=c,x2+y2=c，且xy=l,即12c=x2+y2+2xy=c+212故所求積分曲面的隱式解為(x+y+u=x2+y2+u2+2寫成顯式形式為1-xyu=x+y7.“平面上給定兩個(gè)固定點(diǎn)，求連接這兩個(gè)固定點(diǎn)的曲線中最短的曲線方程”。試建立這一問題的變分模型，并求解。P93證明：轉(zhuǎn)化為在邊界條件y(x)=y,y(x)=y，在此條件下求解泛函0011Jy(x)=!x.'1+(yJ2dx的極小值。因?yàn)镕=*1y'2，所以dFdF=0,y，G+y，2E-L方程:則有OF1這

7、里C為積分常數(shù)，即丄=C宀+y，21解得y，_m-av'1-C12所以y-ax+b由y(Xo)二yo,y(Xi)二yi，可得yyy二y+to(xx)oxxo1o8.“已知周長(zhǎng)的一切封閉曲線中包圍最大面積的圖形必定是圓”。試建立這一問題的變分模型，并求解。解：i.假設(shè)所考慮的曲線用參數(shù)形式表示：x=x(s),y=y(s)s為參數(shù)。取s1為曲線上的某一定點(diǎn)，則坐標(biāo)表示x1=x(s1),y1=y(s1),因曲線是封閉的，必存在一個(gè)s2點(diǎn)使x2=x(s2),y2=y(s2)與點(diǎn)s1(x1y1)重合。ii.該封閉曲線的周長(zhǎng)：L-(字)2+(dy)2dssYdsds該曲線所圍成的面積：R=Hdxd

8、yQiii.轉(zhuǎn)換R的表達(dá)式由Green公式：QPdx+Qdy-竺)dxdyJS2Qys1取P=-2Q=2，則：黑-等二11 fs1fsR=丄2xdy一ydx=丄2(xy'(s)一yx'(s)ds2 s2s11在滿足端點(diǎn)條件X（S）=x（s2）,尹（S）=尹（s2）及周長(zhǎng)一定f"2（d）2+（d）2=L條dsdss1件下，尋找曲線函數(shù)；X（s）使泛函R取駐值的為圓。Iy（s）匹9.求泛函Jy(x),z(x)=J2yS+£2+2yzdx滿足邊界條件0y(0)=0,y(兀/2)=1,z(0)=0,z(兀/2)=-1的逗留曲線。P93證明：由于Fx,y,z,y；z4

9、=(y必+Q+2yz故Euler方程為d2z-(2y')=0；Idx2y-d(2z')=0,Idx即z-y''=0;y-z''=0,于是y=y，上述方程的通解為y=cex+ce一x+ccosx+csinx;1234ffz=y=cex+ce一x-ccosx-csmx,1234由邊界條件可得c=c=c=0,c=1，故所求的極值曲線為1234y=sinx;z=-sinx,10.查閱文獻(xiàn)資料，說明變分法的應(yīng)用和意義等(如有可能結(jié)合具體的使用學(xué)科或?qū)嵗右哉f明)。答：變分法是研究泛函卡及值的數(shù)學(xué)分支，其基本問題是求泛函(函數(shù)的雨數(shù))的極值及相應(yīng)的極值函數(shù)。

10、變分法是重要的數(shù)學(xué)分支，與諸如微分方程、數(shù)學(xué)物理、極小曲面用論、微分幾何、黎曼幾何、積分力程、拓?fù)鋵W(xué)等許多數(shù)學(xué)分支或部門均有密切聯(lián)系。變分法有著廣泛的應(yīng)用：變分法構(gòu)成了物理學(xué)中的種種變分原理，成為物理學(xué)理論不可缺少的組成部分，是研究力學(xué)、彈性理論、電磁學(xué)、相對(duì)論、量子力學(xué)等許多物理學(xué)分支的重要工具；變分法通過“直接方法”而成為近似計(jì)算的有效于段，為微分方程邊值問題的數(shù)值解法開辟了一條途徑，形成了有限元方法的基礎(chǔ)之一。近年來，變分法又在經(jīng)濟(jì)、電子工程和圖像處理等領(lǐng)域得以廣泛應(yīng)用。因此研究變分法的思想演化過程，無論從數(shù)學(xué)史還足從科學(xué)史的角度來說，都具有十分重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。12.證明卷積定

11、理：若紈f(t)二F(®),3(g(t)二G(®)1證明：3(f(t)*g(t)=Fg)gG(e),紈/(t)gg(t)=議F)*G)證明(1)：根據(jù)卷積的定義：f(t)Xg(t)J"/(T)g(t-T)dTg代入傅里葉變換公式Ff(t)二F®)二卜gf(t)e-iddt可得Ff(t)Xg(t)=J+gJ+gf(T)g(t-t)dTe-ietdt-g-g=J+gf(t)j+gg(t-T)e-ietdtdT-g-g=J+gf(t)G(e)e-ietdT=G(e)J+gf(t)e-ietdT=F(e)G(e)-gf(t)*g(t)=fg)G(e)證明(2)：

12、丄F(®)*G(e)呂(丄)2卜丿叫JwF(u)G(®-u)dudw2兀2兀_8_8所以F()*G()呂(丄)2卜®ej(x+u)tJ+sF(u)G(x)dudx2兀2兀卡卡=()2J+sejxtejutJ+sF(u)G(x)dudx2冗ss=(丄)2J+sG(x)ejxtdxJ+sF(u)ejutdu2兀ss=f(t)g(t)f(t)*g=命gg)13.敘述MRA的定義。并解釋由MRA所確定的數(shù)字濾波器的特征。P171答：MRA是理解和構(gòu)造小波的基本框架，也是信號(hào)在小波基下進(jìn)行分解與恢復(fù)的基本理論保證，無論是理論分析還是在構(gòu)造、理解和應(yīng)用小波方面都起著非常重要的

13、作用。利用MRA,可以將一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)分別進(jìn)行討論，這時(shí)函數(shù)由一個(gè)粗糙部分和一系列細(xì)節(jié)部分構(gòu)成，粗糙部分對(duì)應(yīng)于信號(hào)的低頻分量,細(xì)節(jié)部分對(duì)應(yīng)于信號(hào)的高頻分量。高頻分量時(shí)分層的,是在不同分辨率下逐級(jí)產(chǎn)生的，由多分辨子空間的Riesz基推導(dǎo)出尺度基，再由尺度基產(chǎn)生小波基,這就形成了構(gòu)造小波的框架。在多分辨分析的意義下,尺度函數(shù)和小波函數(shù)與信號(hào)處理中的低通濾波器和高通濾波器形成對(duì)應(yīng)關(guān)系，這就導(dǎo)致了信號(hào)分解與恢復(fù)的快速算法的實(shí)現(xiàn)。14.構(gòu)造HAAR小波。并說明與一個(gè)尺度函數(shù)對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)是否唯一。P191解：haar尺度函數(shù)為©(t)=%r1(t)，計(jì)算可得Lo,iJh=h=