基于向量誤差修正模型的兩區(qū)制門限協(xié)整檢驗

1、基于向量誤差修正模型的兩區(qū)制門限協(xié)整檢驗摘要這篇論文檢驗了一個具有單協(xié)整向量的兩區(qū)制向量誤差修正模型以及誤差修正中的門限效應(yīng)。我們采用了一個相關(guān)的單一算法，能夠給出二元情況下完全門限協(xié)整模型的最大似然估計。我們對門限采用SupLM方法進行檢驗。我們派生出一個空漸近分布，演示模擬臨界值的方式，以及給出一個bootstrap近似。我們研究了使用蒙特卡洛模擬的檢驗的有效性，發(fā)現(xiàn)這種檢驗方式十分有效。通過使用這樣的方法對利率期限結(jié)構(gòu)模型的研究，我們發(fā)現(xiàn)，存在著非常強的門限效應(yīng)。I引言門限協(xié)整是由Balke和Fomby（1997）提出的用于研究非線性協(xié)整關(guān)系的可行的工具。特別值得注意的是，這個模型允許長

2、期均衡的非線性調(diào)整。這個模型被廣泛應(yīng)用：BalkeandWohar（1998）、LoandZivot（2001）、Martensetal（1998）、Michaeletal（1997）、O'Connell（1998）、O'ConnellandWei（1997）、ObstfeldandTaylor（1997）以及Taylor（2001）、LoandZivot（2001）對這些方法展開了廣泛的回顧。這一系列模型最重要的統(tǒng)計問題在于檢驗門限效應(yīng)的存在性（空的線性？）。Balke和Fomby（1997）建議采用Hansen（1996）和Tsay（1989）用來檢驗誤差修正（協(xié)整殘差）的

3、單因素檢驗方法。眾所周知，在協(xié)整向量已知的情況下這種檢驗方法是有效的，但是Balke-Fomby并沒有對將此方法用于估計的協(xié)整向量的情況的檢驗做出理論上的說明。Lo和Zivot（2001）將Balke和Fomby的方法擴展到了具有已知協(xié)整向量的多元門限協(xié)整模型，采用了Tsay（1998）以及Hansen（1996）對多元擴展模型的檢驗方法。在本文中，我們將把這些方法擴展到檢驗未知協(xié)整向量的情況中。正如Balk-Fomby所研究的，我們的模型是一個具有單協(xié)整向量以及誤差修正中存在門限效應(yīng)的向量誤差修正模型（VECM）。然而，與Balke-Fomby只關(guān)注于單變量估計以及檢驗方法不同，我們的估計與

4、檢驗將關(guān)注于完全多變量門限模型。事實上，將誤差修正作為門限變量并不是本文分析的必要條件，我們這里所討論的方法能夠非常簡單的合并到其他模型中，只要這些模型中的門限變量是前定變量的固定的變形形式。本文有兩點貢獻。第一，我們提出了一個采用最大似然估計方法估計門限模型的方法。這種算法包含了一個搜索門限以及協(xié)整向量的聯(lián)合網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。這個算法在二元情況下非常容易實現(xiàn)，但是在更高緯度的情況下卻可能非常困難。此外，正因為如此，我們無法提供對于一致性以及最大似然估計分布理論上的證明。第二，我們發(fā)展出一個檢驗門限效應(yīng)的方法。原假設(shè)不存在門限效應(yīng)，所以模型簡化為一個常規(guī)的線性VECM。在此原假設(shè)下的估計非常容易，簡化

5、為一個常規(guī)的降秩回歸。這就表明其檢驗可以基于拉格朗日乘子（LM）準(zhǔn)側(cè)，只要求在原假設(shè)下進行估計。由于門限參數(shù)并非在原假設(shè)下決定，我們在SupLM檢驗的基礎(chǔ)上進行擴展推論（參照Davies（1987）、Andrews（1993）以及AndrewsandPloberger（1994）對這種檢驗思路的動機以及理由）。我們的檢驗采用了與Seo（1998）為了檢驗誤差修正模型中結(jié)構(gòu)變異所派生出來的方法所具有的相似的代數(shù)形式。我們派生出SupLM檢驗的漸近原分布，發(fā)現(xiàn)它與Hansen（1996）用來平穩(wěn)數(shù)據(jù)進行門限檢驗的形式一致。一般來說，漸近分布基于數(shù)據(jù)的協(xié)方差結(jié)構(gòu)，預(yù)先排除制表。我們建議采用Hanse

6、n（1996,2000b）的平穩(wěn)回歸元bootstrap方法，或者參數(shù)殘差bootstrap算法，來近似樣本的分布。Section2將介紹門限模型以及從Gaussianquasi-MLE方法中派生出來的用于檢驗該模型的方法。Section3將采用LM檢驗方法檢驗門限協(xié)整以及它的漸近分布,并給出兩種計算P值的方法。Section4將給出一個關(guān)于該檢驗的大小以及有效性的模擬結(jié)果。Section5給出一個在利率期限結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用。漸近分布理論的證明將在附錄中給出。本文估計、檢驗的Gauss程序以及本文中主要工作的副本發(fā)布在/bhansen.2估計2.1. 線性協(xié)整設(shè)叫為

7、一個p維一階單整時間序列，具有一個px1維的協(xié)整向量仔。用叫仔=“叫表示0階單整的誤差修正序列。那么一個滯后2+1階的線性VECM模型可以簡潔的寫成：x=Z'X_tt1仔+ut(1)其中，1xab=t_1尸W4Bt1Kxt_1Xt_2X,t_i回歸元1仔為一個kx1階列向量，A為一個kx卩階矩陣，其中k=pl+2。誤差項®為一個具有有限協(xié)方差矩陣Y=Euu't鞅差序列（MDS）向量。符號w一1仔和存_仔代表對仔的一般估計值。當(dāng)估計仔真實值時，我們將分別將其表示為w一1和X一1。我們需要對川故一些標(biāo)準(zhǔn)化處理以使其能夠唄識別。由于僅僅存在一個協(xié)整向量，那么就可以比較簡單的

8、將仔中的一個元素設(shè)為1,在系統(tǒng)是雙變量（p=2）的情況下不會造成任何優(yōu)度損失，而在多變量（p>2）的情況下，也只是施加了在協(xié)整關(guān)系中增加了一個相關(guān)系數(shù)元素叫的一個約束。參數(shù)（仔，A，Y的估計采用最大似然估計的方法，并假設(shè)誤差項ut服從高斯分布（對仔做一些標(biāo)準(zhǔn)化處理）。估計結(jié)果記為（仔，A，Y，回歸殘差向量為ut=xtA，Xt-i（B。2.2. 門限協(xié)整對模型（1）進行擴展為一個兩區(qū)制門限協(xié)整模型：叫=X“B+uifw“1 t-itt-i"B+uifw“2 t1tt_1其中，y為門限參數(shù)?？梢院喕癁槿缦滦问?基=Alxt-i仔dit傷卩+碼x-1仔d2t傷卩+叫（2）其中，吒B，

9、y=iw1Bsyd2tB，Y=11仔>y1為一個條件狀態(tài)函數(shù)。門限模型（2）存在兩區(qū)制，有誤差修正的值決定。系數(shù)矩陣4和碼決定了區(qū)制機制。模型（2）允許所有系數(shù)才兩區(qū)制之間轉(zhuǎn)換（除了協(xié)整向量仔）。在許多的例子中，通過僅允許個別系數(shù)在不同區(qū)制間能夠變換，可以大大的簡化模型。這些是模型（2）的特殊形式，對（Z,2施加了約束。例如，僅允許常數(shù)項以及誤差修正參數(shù)w一1可以變動，施加約束使滯后的Xt-j在區(qū)制轉(zhuǎn)移時保持不變。門限效應(yīng)只有當(dāng)0<Pwt-1<y<1是才存在，否則模型就是簡單的一個線性協(xié)整模型。我們通過如下假設(shè)假設(shè)這一約束兀0<PW1<y<1一兀0（3

10、）其中，兀。>0為顯著性參數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗性應(yīng)用，我們設(shè)定兀0=0.05。我們通過最大似然估計方法估計模型（2），其前提假設(shè)是誤差項色服從高斯分布。高斯似然函數(shù)為：1 nLn坷，碼，丫，傷卩其中，一kuA,A,B,y'1.-1uA,A,B,v2 t12尸/t12尸/t=1叫坷,碼，傷v=xtA1xt-1Bd1t仔,Y-A2X-1BB，Y最大似然估計量（坷，碼，1，仔，Y為使似然函數(shù)幾坷，碼，1，B，Y達到最大值的參數(shù)值。為了計算上的方便，我們首先集中計算出£,碼，1。將傷Y固定，只計算坷,碼，1的最大似然估計量。這就只是一個特殊的OLS回歸：n一1n仔,y=X_1仔X_1仔

11、，d1tB，Yx1Bt_1尸xatn仔,y（4）t=1t=1n一1n仔,y=X-仔X-1仔，d2tB，rx1Bt_1尸X'drt2t仔,y（5）t=1t=1仔,y=ut（A1b，y，A2傷y,B，y以及：1n1,Y=色仔,Yu,y'（6）ntt值得注意的是，式與（5）式分別是當(dāng)叫一仔<Y以及叫一1仔>y時叫對£一1B的OLS回歸結(jié)果。這就將似然函數(shù)簡化為：npTn札伙y=£九（坷伙y，碼傷r,丫伙,仔,y=一2log（丫伙y然后，最大似然估計量（仔,Y就是使log（Y傷y最小化的參數(shù)值。根據(jù)前面對仔的規(guī)范化處理的討論以及施加于式（3）的約束條件1

12、n冗0兀1x；B5Y<1-兀°t=1坷與碼的最大似然估計量為坷=州（仔，Y和碼=碼（B，y。關(guān)鍵的（7）式并非平滑的，所以簡便的梯度爬坡算法（FOB？）并不適合計算（7）式的最大化問題。在前面的7=2的例子中，我們建議采用一種網(wǎng)格搜索的方法在二維空間傷y中求解最大化的解。在更高緯度的情況下，網(wǎng)格搜索方法并不合適，其他的所搜方法（例如DorseyandMayer，1995，提出的遺傳算法）可能更為有效。但在本文中，由于仔是一個一直的前定變量，網(wǎng)格搜索可以極大的簡化計算過程。使用網(wǎng)格搜索，需要選取一個搜索的值域。我們采用線性模型中仔的一致估計（2.1中所討論的MLE）校準(zhǔn)得出的值域

13、。設(shè)竹=叫（仔，令yL,乙表示叫的經(jīng)驗性結(jié)果，在yL,滄上構(gòu)建一個平均分布的空間網(wǎng)格。令仔厶,陶表示一個基于線性估計仔（漸近近似正態(tài)分布）的置信間隔，再在仔厶,兒上建立平均分布的空間網(wǎng)格。然后，網(wǎng)格搜索算法將在,滄以及處,陶上檢驗所有符合兀°<1二11x；B<Y<1一兀°的（y，仔。在圖1和2中，我們給出了在Section5中的經(jīng)驗性例子的不可微標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)（基于一年期和十年期債券利率的應(yīng)用性研究，設(shè)定2=1）。圖1將式（7）作為y的函數(shù)繪制，圖2則將其作為仔的函數(shù)繪制。綜上所述，我們關(guān)于p=2情形的算法為：1、基于線性估計量仔在yL,乙與處,兀上構(gòu)建網(wǎng)格；2

14、、對于網(wǎng)格上的每一組（y，仔的值帶入（4）（5）（6）式分別計算坷仔,y、碼仔,y、丫傷y；3、找到網(wǎng)格中使log（Y傷y取最小值的（y，仔作為估計值（仔,y；4、計算得出坷=坷（仔,y、A2=A2（仔,y、E=E（仔,y以及氣=（仔,y。值得注意的是，在第3步中，并不能保證最小化估計值（仔,y是唯一的，因為似然函數(shù)不是一個凹函數(shù)。我們介紹了一個用于MLE的算法，但需要強調(diào)的是這并不是一個理論上的推斷。我們并沒有給出估計結(jié)果的一致性的證明或者是分布理論。在線性模型中，仔以速率n靠近仔，在一個平穩(wěn)模型中，y以速率n靠近*那么似乎在門限協(xié)整模型中做這樣的猜測是合理的：爭,Y以速率n靠近爭，y。在這

15、種情況下，由于仔和y已知，斜率估計值A(chǔ)1和碼服從漸近正態(tài)分布。那么，這些估計參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差也可以輕松得出。3門限檢驗3.1.統(tǒng)計學(xué)檢驗令撿表示表示線性VECM模型（1）,如表示兩區(qū)制的門限模型（2）。這些模型是嵌套模型，H0模型是對如模型施加約束4=碼的特殊形式。我們想要比較檢驗撿（線性協(xié)整）與如（門限協(xié)整）。我們將致力于正規(guī)模型基礎(chǔ)上的統(tǒng)計學(xué)檢驗，以能夠直接比較這兩個模型，并指出模型之間的不同之處。此外，有人可能會建議考慮采用Tsay（1989）的非參數(shù)非線性檢驗和Tsay（1998）的單變量和多變量情況下的檢驗。但正如BalkeandFomby（1997）以及LoandZivot（2001）

16、的模擬研究，這些非參數(shù)檢驗一般不如基于可比較模型的檢驗具有說服力。在本文中我們采用LM統(tǒng)計量檢驗。我們這樣選擇基于兩點：第一，LM統(tǒng)計量的計算非常容易快捷，使得bootstrap可行；第二，一個似然比率或者wald檢驗需要無約束模型參數(shù)估計的分布理論，而本文并不具備相關(guān)理論。雖然沒有相關(guān)證據(jù)，我們猜測這些檢驗漸近等價于LM檢驗。所以我們推斷能夠使用LM統(tǒng)計量檢驗。假設(shè)爭，y已知且平穩(wěn)，則叫假設(shè)下的模型為：兔=A'Xt-1仔+叫（8）以及如假設(shè)下的模型為：叫=Aixt-1仔d1t傷y+碼x-1仔d2t傷y+叫（9）在給定爭，Y時，這些模型是線性的，那么最大似然估計就是有效地。由于（8）是

17、（9）的一個嵌套模型，那么對于異方差情況下依舊具有穩(wěn)健性質(zhì)的類似于LM的統(tǒng)計量就可以從模型（9）的線性回歸中計算得出。特別的，令£仔,Y和X2傷Y分別表示X一1仔dltp,y和X仔d2tp,y的行疊矩陣，令和傷y和§2傷y分別表示仔d仔,y和色0X仔d仔,y的行疊矩陣,其中色為Section2.1中所定義的線性模型的殘差向量，再定義外籍矩陣為：M仔,y=仔,y,X1仔,yM2仔,7=Ip$X2仔,y遲仔,y以及Q傷Y=§1B，Y£伙YQ2B，y=§2B，y飛2傷y然后我們定義叫仔,y和傷y為vecA1仔,Y以及vecA2仔,Y的Eicker-W

18、hite協(xié)方差矩陣：傷y=M仔,y-1Q仔,y仔,y-1(10)%傷y=M2仔,y-Q2仔,yM2仔,y-1（11）得出異方差的似LM穩(wěn)健統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)表達形式：LM仔,y=vecA1仔,y-碼傷Y八匕傷Y+%傷X-11仔,y-碼傷y（12）如果仔和y已知，式（12）就可以作為檢驗統(tǒng)計量。若未知，則LM統(tǒng)計量由在撿假設(shè)下點估計得出的估計量通過（12）式計算得到。對仔的原估計為仔（Section2.1）,但在撿假設(shè)下不存在對y的估計，以致并不能簡單的得出LM統(tǒng)計量。根據(jù)交并原理，Davies（1987）提出了統(tǒng)計量：supSupLM=yL<y<丫/M邙，Y（13）在本文的檢驗中，由于設(shè)

19、定了搜索域人,Yu，那么5就是wt-1的百分之叫，%就是其百分之1-兀0。為了進行檢驗,餐宿兀0不能接近于0,Andrews（1993）的研究表明這樣做將降低檢驗的說服力。Andrews（1993）指出將兀0設(shè)定在0.05和0.15之間是檢驗效果非常不錯的選擇。對于選擇（13）式的檢驗統(tǒng)計量的進一步的理由Andrew（s1993）和AndrewsandPloberger（1994）中做了詳細討論。AndrewsandPloberger（1994）認為，通過對,Y的指數(shù)加權(quán)平均能夠增加檢驗的可靠性。然而，由于對加權(quán)函數(shù)的選擇問題，加權(quán)方法天生具有隨意性，所以我們的分析依舊基于式（13）。由于函數(shù)

20、LM邙,y對于y不可微，對于（13）式所定義的最大化問題的求解就需要在yL,yu上進行網(wǎng)格估計。當(dāng)協(xié)整向量仔0為一個已知的前定變量時，可以認為仔固定為一個已知值仔0，則檢驗采取式（13）的形式。我們將這個檢驗統(tǒng)計量表示為：sup/、SupLM0=yL<y<y/M仔0,Y（14）尤其需要指出的是，使（13）與（14）式達到最大值的y的值可能與Section2中的MLE估計值y不同。事實上，基于如下兩點原因確實如此：第一，（13）與（14）式為LM檢驗，是基于原假設(shè)下的參數(shù)估計結(jié)果而不是備選假設(shè)；第二，這些LM統(tǒng)計量是基于異方差-自相關(guān)的協(xié)方差矩陣估計結(jié)果計算得出的，在這種情況下，就算

21、是SupWald統(tǒng)計量的最大化解也與MLE的結(jié)果不一致（僅當(dāng)估計的是同方差協(xié)方差矩陣時二者才等價）。這種差異普遍存在與門限檢驗以及對回歸模型的估計當(dāng)中，并非只存在于門限協(xié)整模型中。3.2.漸近分布首先考慮協(xié)整向量真實值仔0已知的情況。回歸元是平穩(wěn)的，檢驗問題是一個對Hansen（1996）的多元概括。檢驗中所用的漸近分布服從于那篇文章中的形式。我們將遵循標(biāo)準(zhǔn)弱依賴性條件。假設(shè)：“兔,莓為4r階矩有界的，具有嚴(yán)格的平穩(wěn)性與規(guī)律性，具有一個混合斜率耳機=°m-A，其中，川>vv1且r>v>1。此外，誤差項為一個MDS（多維標(biāo)度法？）誤差修正“兔具有一個有限密度函數(shù)。匕在

22、原假設(shè)（8）的情況下，當(dāng)ut獨立同分布且具有有限密度函數(shù)以及為一個4r階矩有界時，這些前提條件就全部滿足；在備選假設(shè)（9）的情況下，必須對參數(shù)進行進一步的約束才能滿足這些假設(shè)。令F表示叫1的邊緣分布函數(shù)，令符號“n”表示關(guān)于兀。,1-兀0弱收斂性的同一指標(biāo)（？）。定義0t=Fwtl以及=嚴(yán)J；J比i才以及X=E1比i“叫"徑兀一£；i定理一：在原假設(shè)叫下supSupLM0nT=兀冬廠冬1nTr其中，Tv=S*丫ZQ*r1S*rQ*r=QrMrM11QrQrM11Mr+MrM11Q1M11Mr以及S*丫=SyMyM11S1其中，Sr為一個具有協(xié)方差內(nèi)核ESr1S、'=

23、Qr1卜丫2的零均值高斯過程矩陣。定理一中的漸近分布與Hansen（1996）所介紹的一樣。一般的，漸近分布不能再進一步的簡化。然而，在本節(jié)最后我們將討論一種特殊的簡化形式。接下來我們考慮仔需要估計的情況。由于"仔-仔°=0卩1,那么，在仔0的比率為n-1的置信鄰域內(nèi)研究厶M仔,y的變化特征就足夠了。定理二：在原假設(shè)撿下，LMaa,y=LMB+n,y具有與厶M仔y相同的有限維度漸近分布（fidi's）。另外，如果我們能夠說明LMaa,y過程是一個緊湊的集合（？），那么SupLM和SupLM0就具有相同的漸近分布，也就是T。這就表明使用估計值仔而不是真實值仔°

24、;,并沒有改變LM檢驗的原漸近分布。不幸的是，我們無法證明這個想法的正確性。證明時存在雙重困難，由于虛擬變量的存在，導(dǎo)致LMa,y在仔上是不連續(xù)的，而且LMaa,y也是非平穩(wěn)變量莓_的函數(shù)。僅有很少一部分文獻將經(jīng)驗性過程描述成時間序列過程，幾乎沒有任何一篇文獻討論非平穩(wěn)數(shù)據(jù)。再者，非平穩(wěn)變量基一1出現(xiàn)在虛擬變量函數(shù)中，所以Taylor序列方法并不能簡化這個問題。我們認為，雖然缺乏完備的證明，定理二的fidi結(jié)果足夠說明使用漸近分布T計算SupLM統(tǒng)計量的合理性。定理一給出了漸近分布T的一個表達形式。它具有一個隨進過程Fr的上確界形式。Tr為一個卡方過程，對每一個r而言，Tr的邊緣分布為卡方分布

25、。由于T為這個隨機過程的上確界，它的分布形式就由卡方過程的聯(lián)合分布決定,那么就取決于未知函數(shù)Mr和Qr。由于這兩個函數(shù)可以選取很多種形式，T的臨界值無法制成圖表。s=sM1。不是一般性，我們標(biāo)準(zhǔn)化M1=1以及Y=/。那么,在一種特殊的情況下，我們可以給出一種重要的簡化形式。令模型（2）不具有截距項，且叫沒有滯后項，同時滿足E珀曾一=2,那么唯一的回歸元就是誤差修正項叫一1。由于Mr為純量的單調(diào)遞增函數(shù)，那么就存在函數(shù)少s使得M®=Ws就是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，S申s=WssW1為布朗橋,而且有T=sup兀0<r<1一兀01supn0<r<1一n0T邰s(Ws-sW

26、12sup=S<s<s2s1s其中，S1=1兀0以及s2=9-11一兀0。這是Andrews（1993）中用來檢驗未知時間點上結(jié)構(gòu)變異是所用的分布，也是滿足s1sS=250s1s的一個函數(shù)。（？）汩丄3.3.漸近的p值：固定回歸元的bootstrap除去Section3.2最后討論的特殊情況，定理一和二所描述的漸近分布基于矩函數(shù)Mr和Qr，那么臨界值就無法制成圖表。在本節(jié)中，我們將討論Hansen（1996，2000b）中所使用的固定回歸元bootstrap入耳用來計算漸近臨界值和p值，得出一階漸近修正推論。定理二表明，第一階段對于協(xié)整向量仔的估計并不會影響SupLM檢驗的漸近分布

27、。那么在討論門限推論時就不需要考慮仔估計方法的影響。然而，由于當(dāng)仔為需要估計的時候，定理二并不是一個關(guān)于SupLM漸近分布的完備證明，我們必須強調(diào)這個思路的一些部分只是猜測。接著，我們來描述一個固定回歸元的bootstrap。我們令一1（仔以及Xt一1=乂上一1（仔，令叫為Section2中所介紹的降秩回歸的殘差。對于接下來的討論，ut、wt1、Xt1以及仔都固定為其樣本值。設(shè)ebt獨立同分布且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布W0,1，令九=utebt。用Xt一1Mybt回歸，得到回歸殘差ubt。用X一1d昇,Y以及X一d2昇,Y對回歸，得到回歸系數(shù)矩陣41yb和碼/b，以及殘差"眈。定義yb和yb為設(shè)定仔=仔，并由屮，Y和§2仔，Y所定義的%代替色之后由式（10）和（11）所計算的值。接著再令SUp/4SUPLM*=y<y<yvecAy廠碼y巧Yb+嶺-叱41YbA2Hansen（1996）的分析表明，在對叫條件做出局部替代的情況下，SupLM匕T，SupLM*的分布具有對SupLM漸進原分布有效地一階近似。其中，“巳”表示有Gine和Zinn（1990）定義的依概率弱收斂。SupLM*的分布位置，但是可以是使用模擬的方法計算得出。根據(jù)上面所介紹的方法能夠得到一個分布形式。根據(jù)對于誤差項ebt相互獨立的模擬結(jié)果，能夠得出一個新的分布形