MonteCarlo(蒙特卡洛法)簡介

1、Monte Carlo Simulation 簡介簡介概述概述n蒙特卡羅(Monte Carlo)方法，或稱計算機(jī)隨機(jī)模擬方法或隨機(jī)抽樣方法或統(tǒng)計試驗方法 ，屬于計算數(shù)學(xué)的一個分支。是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計算方法。起源起源nMonte Carlo方法的基本思想很早以前就被人們所發(fā)現(xiàn)和利用。早在17世紀(jì)，人們就知道用事件發(fā)生的“頻率”來決定事件的“概率”。19世紀(jì)人們用投針試驗的方法來決定圓周率。 成型成型n這一方法成型于美國在第一次世界大戰(zhàn)進(jìn)研制原子彈的“曼哈頓計劃”。 n該計劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮諾伊曼用馳名世界的賭城摩納哥的Monte Carlo來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。

2、發(fā)展發(fā)展n本世紀(jì)40年代電子計算機(jī)的出現(xiàn)，特別是近年來高速電子計算機(jī)的出現(xiàn)，使得用數(shù)學(xué)方法在計算機(jī)上大量、快速地模擬這樣的試驗成為可能。 實質(zhì)實質(zhì)nMonte Carlo 方法也稱為統(tǒng)計模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計算機(jī)的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計算方法。是指使用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來解決很多計算問題的方法。與它對應(yīng)的是確定性算法。n把一些復(fù)雜的東西用大量的模擬實驗來做，最后得到一些結(jié)論?；舅枷牒驮砘舅枷牒驮韓基本思想：當(dāng)所要求解的問題是某種事件出現(xiàn)的概率，或者是某個隨機(jī)變量的期望值時，它們可以通過某種“試驗”的方

3、法，得到這種事件出現(xiàn)的頻率，或者這個隨機(jī)變數(shù)的平均值，并用它們作為問題的解。n 原理：抓住事物運動的幾何數(shù)量和幾何特征，利用數(shù)學(xué)方法來加以模擬，即進(jìn)行一種數(shù)字模擬實驗。n它是以一個概率模型為基礎(chǔ)，按照這個模型所描繪的過程，通過模擬實驗的結(jié)果，作為問題的近似解。步驟步驟n可以把蒙特卡羅解題歸結(jié)為三個主要步驟：n構(gòu)造或描述概率過程；n實現(xiàn)從已知概率分布抽樣；n建立各種估計量構(gòu)造或描述概率過程構(gòu)造或描述概率過程n對于本身就具有隨機(jī)性質(zhì)的問題，主要是正確描述和模擬這個概率過程，對于本來不是隨機(jī)性質(zhì)的確定性問題，比如計算定積分，就必須事先構(gòu)造一個人為的概率過程，它的某些參量正好是所要求問題的解。即要將不

4、具有隨機(jī)性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問題。實現(xiàn)從已知概率分布抽樣實現(xiàn)從已知概率分布抽樣n構(gòu)造了概率模型以后， 按照這個概率分布抽取隨機(jī)變量 （或隨機(jī)向量），這一般可以直接由軟件包調(diào)用，或抽取均勻分布的隨機(jī)數(shù)構(gòu)造。這樣，就成為實現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實驗的基本手段，這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機(jī)抽樣的原因。 建立各種估計量建立各種估計量 n一般說來，構(gòu)造了概率模型并能從中抽樣后，即實現(xiàn)模擬實驗后，我們就要確定一個隨機(jī)變量，作為所要求的問題的解，我們稱它為無偏估計。建立各種估計量，相當(dāng)于對模擬實驗的結(jié)果進(jìn)行考察和登記，從中得到問題的解。 例子例子n考慮平面上的一個邊長為1的正方形及其內(nèi)部的一個形狀不規(guī)則的

5、“圖形”，如何求出這個“圖形”的面積呢？Monte Carlo方法是這樣一種“隨機(jī)化”的方法：向該正方形“隨機(jī)地”投擲N個點落于“圖形”內(nèi)，則該“圖形”的面積近似為M/N。 比喻比喻n可用民意測驗來作一個不嚴(yán)格的比喻。民意測驗的人不是征詢每一個登記選民的意見，而是通過對選民進(jìn)行小規(guī)模的抽樣調(diào)查來確定可能的民意。其基本思想是一樣的。 應(yīng)用應(yīng)用n科技計算中的問題比這要復(fù)雜得多。但Monte Carlo 方法廣泛地應(yīng)用于許多應(yīng)用領(lǐng)域，如計算物理學(xué) 、粒子輸運計算、量子熱力學(xué)計算、量子化學(xué)、分子動力學(xué)與 。特別在金融計算中，各方法有不可取代的優(yōu)勢。金融中的應(yīng)用金融中的應(yīng)用n金融衍生產(chǎn)品（期權(quán)、期貨、掉

6、期等）的定價及交易風(fēng)險估算，問題的維數(shù)（即變量的個數(shù)）可能高達(dá)數(shù)百甚至數(shù)千。對這類問題，難度隨維數(shù)的增加呈指數(shù)增長，這就是所謂的“維數(shù)的災(zāi)難”(Course Dimensionality)，傳統(tǒng)的數(shù)值方法難以對付（即使使用速度最快的計算機(jī)）。 Monte Carlo方法的優(yōu)勢方法的優(yōu)勢nMonte Carlo方法能很好地用來對付維數(shù)的災(zāi)難，因為該方法的計算復(fù)雜性不再依賴于維數(shù)。以前那些本來是無法計算的問題現(xiàn)在也能夠計算。為提高方法的效率，科學(xué)家們提出了許多所謂的“方差縮減”技巧。nMonte Carlo模擬適用于研究復(fù)雜體系。研究具有多得數(shù)不清的結(jié)構(gòu)、狀態(tài)的體系，對此我們可以采用蒙特卡洛模擬，

7、以統(tǒng)計的方法尋找出現(xiàn)幾率最高的結(jié)構(gòu)、狀態(tài)，或相應(yīng)的有關(guān)數(shù)據(jù)。 Monte Carlo 方法處理的問題方法處理的問題nMonte Carlo 方法處理的問題可以分兩類n確定性的數(shù)學(xué)問題確定性的數(shù)學(xué)問題 多重積分、求逆矩陣、解線性代數(shù)方程組、解積分方程、解某些偏微分方程邊值問題和計算代數(shù)方程組、計算微分算子的特征值等等n 隨機(jī)性問題隨機(jī)性問題方法方法n在解決實際問題的時候應(yīng)用Monte Carlo方法主要有兩部分工作：1、用此方法模擬某一過程時，需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量。 2、用統(tǒng)計方法把模型的數(shù)字特征估計出來，從而得到實際問題的數(shù)值解。用用Monte Carlo 計算定積分計算定積分n考慮

8、積分n假定隨機(jī)變量具有密度函數(shù)n則 10,0.xIxe dx( ),xXfxe1().IE X用用Monte Carlo 計算定積分計算定積分-n抽取密度為e-x的隨機(jī)數(shù)X_1,X_nn構(gòu)造統(tǒng)計數(shù)n則111.niiIXn111111111()1.nniiiiniE IEXE XnnnE XE XInn用用Monte Carlo 計算定積分計算定積分-n且n即1121111211()1.nniiiiVar IVarXVar XnnnVar XVar Xnn11.IXn用用Monte Carlo 計算定積分計算定積分-n例如 =1.9n取n(1.9)=0.96176 模擬結(jié)果不好！n如果要達(dá)到0.

9、001的精確度，要4X5302=1123600計算！0.91.90.xIx e dx1234ln,(0,1):0.0587,0.0961,0.9019,0.3095,1.497iiiXRRURRRRI用用Monte Carlo 計算定積分計算定積分-n例子說明分析和設(shè)計是重要的。n重寫積分n取兩個隨機(jī)數(shù)1.90.101.( )xyYIxedxfyyex密度函數(shù)為12121.90.11,(0,1),ln,R RUYRRIEY令算用用Monte Carlo 計算定積分計算定積分-n取8個隨機(jī)數(shù)n大大改善了結(jié)果！123456781.90.0078,0.93250.10800.00630.5490,0

10、.85560.97710.27830.9187RRRRRRRRI，隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生n隨機(jī)數(shù)是我們實現(xiàn)蒙特卡羅模擬的基本工具。n隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生就是抽樣問題?？梢杂梦锢矸椒óa(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，但價格昂貴，不能重復(fù)，使用不便。另一種方法是用數(shù)學(xué)遞推公式產(chǎn)生。這樣產(chǎn)生的序列，與真正的隨機(jī)數(shù)序列不同，所以稱為偽隨機(jī)數(shù)，或偽隨機(jī)數(shù)序列。不過，經(jīng)過多種統(tǒng)計檢驗表明，它與真正的隨機(jī)數(shù)，或隨機(jī)數(shù)序列具有相近的性質(zhì)，因此可把它作為真正的隨機(jī)數(shù)來使用。隨機(jī)數(shù)的取得隨機(jī)數(shù)的取得n如果你對隨機(jī)數(shù)有更高的要求，需要自己編輯“隨機(jī)數(shù)生成器”n最簡單、最基本、最重要的一個概率分布是(0,1)上的均勻分布（或稱矩形分布）n 例如

11、在Matlab中，命令“rand()”將產(chǎn)生一個(0,1)中均勻分布的隨機(jī)數(shù)n你可以根據(jù)需要給隨機(jī)數(shù)一個“種子”，以求不同的數(shù)Matlab 的隨機(jī)數(shù)函數(shù)的隨機(jī)數(shù)函數(shù)n均勻分布nR=unidrnd(N)，-產(chǎn)生1到N間的均勻分布隨機(jī)數(shù)nR=unidrnd(N,n,m),產(chǎn)生1到N間的均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣n連續(xù)均勻分布nR=unifrnd(A,B) -產(chǎn)生(A,B)間的均勻分布隨機(jī)數(shù)nR=unifrnd(A,B,m,n)產(chǎn)生(A,B)間的均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣Matlab 的隨機(jī)數(shù)函數(shù)的隨機(jī)數(shù)函數(shù)-n正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)nR=normrnd(mu,sigma)nR=normrnd(mu,sigma,m)nR=

12、normrnd(mu,sigma,m,n)n特定分布隨機(jī)數(shù)發(fā)生器nR=random(name,A1,A2,A3,m,n)例例na=random(Normal,0,1,3,2)a= .-0.4326 0.2877 -1.6656 -1.1465 0.1253 1.1909精確性精確性n由于Monte Carlo 方法的隨機(jī)性，精確性建立在大量的重復(fù)模擬上，最后去平均值。n 對確定值的計算，要估計出樣本的個數(shù)與精確度之間的關(guān)系。n對隨機(jī)過程的模擬，有置信區(qū)域的估算等方差削減技術(shù)方差削減技術(shù)n對偶變量技術(shù)(適用正態(tài)分布函數(shù)）n 取一組隨機(jī)數(shù)Z_i，可得模擬值C_i ,i=1,2,.nn估計值為期平均

13、Cn再取Z_i 的對偶Z_i=-Z_i,再生成估計值Cn然后去新的平均值C*=（C+C)/2n則nvarC*=1/2varC+1/2cov(C,C) 1/2varC+n該技術(shù)使計算更穩(wěn)定一個例子一個例子n問題問題 下圖是一個中子穿過用于中子屏蔽的鉛墻示意圖。鉛墻的高度遠(yuǎn)大于左右厚度。設(shè)中子是垂直由左端進(jìn)入鉛墻，在鉛墻中運行一個單位距離然后與一個鉛原子碰撞。碰撞后，任意改變方向，并繼續(xù)運行一個單位后與另一個鉛原子碰撞。這樣下去，如果中子在鉛墻里消耗掉所有的能量或者從左端逸出就被視為中子被鉛墻擋住，如果中子穿過鉛墻由右端逸出就視為中子逸出。如果鉛墻厚度為5個單位，中子運行7個單位后能量耗盡，求中子

14、逸出的幾率。n xn這個問題并不復(fù)雜，但不容易找到一個解析表達(dá)式。而用模擬的方法求解卻可以有滿意的結(jié)果。一個例子一個例子 - 這個問題并不復(fù)雜，但不容易找到一個解析表達(dá)式。這個問題并不復(fù)雜，但不容易找到一個解析表達(dá)式。而用模擬的方法求解卻可以有滿意的結(jié)果。而用模擬的方法求解卻可以有滿意的結(jié)果。 一個例子一個例子 -n建模建模 下面我們給出這個問題的模擬程序。我們關(guān)心的是一次碰撞后，中子在x軸方向行進(jìn)了多少，所以行進(jìn)方向是正負(fù)的結(jié)果是一樣的，我們就只考慮是正的情形。由于中子運行的方向是隨機(jī)的，我們用計算機(jī)抽取在0到間均衡分布的隨機(jī)數(shù)，模擬1000000個中子在鉛墻里行進(jìn)的情形，看看這些中子與鉛原

15、子碰撞7次后，有多少超過了鉛墻的右端。一個例子一個例子 -nn=1000000;nm=0;nt=1;nfor i=1:nn x=1;n for k=1:7n ang=pi*rand;n x=x+cos(ang);n if x5 & t=1n l=1;n else l=0;n endn m=m+l;n t=1;nendnm/nn一個例子一個例子 -n解模解模 我們運行程序得出逸出鉛墻的中子的可能性約為1.5%。n應(yīng)用應(yīng)用 有了這個數(shù)字，我們可以報告安全部門，如果數(shù)字不能達(dá)到安全要求，我們則要加厚鉛墻。Monte Carlo 模擬二叉樹期權(quán)定價模擬二叉樹期權(quán)定價n 二叉樹定價模型是從構(gòu)造好

16、的二叉樹中隨機(jī)選擇一條路徑樣本，從二叉樹的末端開始倒推計算出衍生證券的價格，但是采用了Monte Carlo后，是順著二叉樹往后計算的。 基本方法：基本方法： 在第一個節(jié)點（根節(jié)點），隨機(jī)產(chǎn)生一個0到1間的隨機(jī)數(shù)，如果這個數(shù)小于p，就選擇當(dāng)前的上升分支，反之選擇下降分支。這樣就產(chǎn)生了一個新節(jié)點，繼續(xù)上面的過程，直到二叉樹的末端。一條路徑產(chǎn)生了，衍生證券的最終價值就可以計算出來了（可以看作是全部可能終值集合中的一個隨機(jī)樣本），這樣完成了第一次模擬。n更多的樣本路徑得到更多的樣本終值。進(jìn)行多次模擬，用平均值來估計衍生證券的價格Monte Carlo 模擬連續(xù)過程的歐式模擬連續(xù)過程的歐式期權(quán)定價期權(quán)

17、定價n歐式期權(quán)定價的期望公式為n如果標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運動n則風(fēng)險中性測度下，標(biāo)的資產(chǎn)的過程為()rTTVeE VdSSdtSdW20exp2TSSrTTMonte Carlo 模擬連續(xù)過程的歐式模擬連續(xù)過程的歐式期權(quán)定價期權(quán)定價-n所以Call Option 到期日的現(xiàn)金流為n抽一個正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，算得上式再貼現(xiàn)，就可以得到一個結(jié)果n重復(fù)上面的過程（如計算10000次）n 將所有的結(jié)果取平均2max 0, (0)exp2SrTTK附表附表:Matlab隨機(jī)數(shù)生成器隨機(jī)數(shù)生成器betarnd 貝塔分布貝塔分布 binornd 二項分布二項分布chi2rnd 卡方分布卡方分布 exprnd 指數(shù)分布指數(shù)分布 frnd f分布分布 gamrnd 伽瑪分布伽瑪分布 g