(完整word版)數(shù)學(xué)分析曲面積分

1、數(shù)學(xué)分析教案9 -第二十二章曲面積分教學(xué)目的：1.理解第一、二型曲面積分的有關(guān)概念，并掌握其計(jì)算方法，同時(shí)明 確它們的聯(lián)系；2.掌握高斯公式與斯托克斯公式；3.理解有關(guān)場的概念，掌握梯 度場、散度場、旋度場、管理場與有勢場的性質(zhì)及應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是曲面積分的概念、計(jì)算；難點(diǎn)是第二型曲面積分。教學(xué)時(shí)數(shù)：18學(xué)時(shí)§ 1 第一型曲面積分1. 第一型面積分的定義：1. 幾何體的質(zhì)量：已知密度函數(shù)，分析平面區(qū)域、空間幾何體的質(zhì)量定義及計(jì)算2. 曲面的質(zhì)量：3. 第一型面積分的定義：定義及記法.,面積分尸一 .4. 第一型面積分的性質(zhì)：2. 第一型面積分的計(jì)算：1. 第一型曲面積分

2、的計(jì)算：Th22.2 設(shè)有光滑曲面兇也工（雞？），（見了）曰0 .，（三1yz為g上的連 續(xù)函數(shù),則 口。,力* = /（再乂4瑞?。┬?玄"三小力.例4 計(jì)算積分f其中百是球面 產(chǎn)+合=口，被平面z=h 為公所截的頂部P281§ 2第二型曲面積分1. 曲面的側(cè)：1. 單側(cè)曲面與雙側(cè)曲面：2. 雙側(cè)曲面的定向：曲面的上、下側(cè)，左、右側(cè)，前、后側(cè).設(shè)法向量為 4 I： : f , -： /. i '：- i ,則上側(cè)法線方向?qū)?yīng)第三個(gè)分量>0,即選“+”號時(shí)，應(yīng)有,亦即法線方向與N軸正向成銳角.類似確定其余各側(cè)的法線方向閉合曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè).2. 第二型曲面積分

3、：1. 穩(wěn)流場的流量： 以磁場為例.P2842. 第二型曲面積分的定義：P284 .閉合曲面上的積分及記法.3. 第二型曲面積分的性質(zhì)：線性，關(guān)于積分曲面塊的可加性.4. 第二型曲面積分與第一型曲面積分的關(guān)系：設(shè)W為曲面£的指定法向，則n"2)4也 十QO, 乂 z)dzdx +翅兀乂為必分，方辦匚制5,力 +衣業(yè),y*) c咽z) 邢.3. 第二型曲面積分的計(jì)算Th22.2 設(shè) 義三以力是定義在光滑曲面-/.匚,.匚 D .上的連續(xù)函數(shù),以S的上側(cè)為正側(cè)(即0), 則有。陽丸”為心學(xué)u JRH J證 P類似地，對光滑曲面£人戒y,T),(t,n)eD蘆，在其前側(cè)

4、上的積分(羽乂編方忠 JpkCyw),y,z)dydz對光滑曲面S - y y(z,x) f (z,.r)£D泣，在其右側(cè)上的積分分公” JQ(x 2(即 禽，加dx計(jì)算積分 J(尸砂府+ Q庭庭4及仇*時(shí)，通常分開來計(jì)算三個(gè)積分JJ,卜上;，|Jm.為此，分別把曲面£投影到Y(jié)Z平面，ZX平面和XY平面上化為二重積分進(jìn)行 計(jì)算.投影域的側(cè)由曲面S的定向決定.例1計(jì)算積分 口秘?zé)A方 ,其中£是球面在芥2D,尸2。部分取外側(cè).P287例2計(jì)算積分 曰("y)的詆* (y - w沖dx * O * 3工)心川,工 為球面爐+ /+之，=度3取外側(cè).對積分 1二

5、二二,分別用：Z曲和Z法記前半球面和后半球面的 WJU外側(cè)，則有因此,/ V- ,.口湃:y1一=IL +1 =一.："片分別用和Z直記右半球面和左半球面的 CJE.外側(cè)，則有因此,":'',H：1二”|上+二一一工;對積分 出（工+ 3冷原力,分別用£上和工下記上半球面和下半球面的外側(cè) 則有一_ ：- 1 . ,；I： 一一 丁'.-'.因此，h二二 L_-= ,IL + JI =,口口二.廠 二一.二二墨二一二一二二二 -" 二.§ 3 Gauss公式和Stokes公式一.Gauss 公式：Th22.6 設(shè)空

6、間區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面下圍成.若函數(shù)尸,Q,R在V上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則-gF必必+ Qdz翁十郎木衣其中6取外側(cè).稱上述公式為 Gauss公式或 OcTporpacKH百 一Gauss公式.證只證dxdydz - H “設(shè)V是砂型區(qū)域（即Z-型體），其邊界曲面S由曲面國二藝三八（冗了）下側(cè),（s）E D必，風(fēng)：”馬阮J）上側(cè), Dy）三D。.（&豈式見了）.）以及垂直于 打平面的柱面 耳（外側(cè)）組成.注意到 施&（兀工沖力二口 , 有,心-ZZ=做（"修式花-* 310 ）汕=一儼仁壯義工刃點(diǎn)力一出?瓦乂力（茂¥）或0=Vjf|匕,/

7、.'.，： _ j .：', L+ |-:二可類證川."爐川：以上三式相加，即得Gauss公式.例1 計(jì)算積分 gX"幻呼您* （y - w沖d/ 0 "刈反砂，工為球面工工* / *才工=取外側(cè). = 1 , = 1 = 力C'打由由Gauss公式任二認(rèn)慳天朔例2計(jì)算積分任丁保長為2的正方體V的表向取外側(cè)解 應(yīng)用Gauss公式,牽a aJJJb：十工心辦也=/儼例1錐面2=舊+/解設(shè)為圓2 = 4,一.* dQ 3R .Sa dy 擊電二手陽去三二Q獻(xiàn).-公力& 4尸金小+'+小力，其中X是邊.V:0 p9ar0<z

8、<a . P291d 23 1atL工？心一x + (y + k分 dK&y威-dz)十3X+1%*1(7十公石"1(©十5。 dya .計(jì)算積分|?由也+ y毋1/滋dy , Z為在平聞之-4卜方的部分，取外法線方向.卜了16取上側(cè),則Z + S構(gòu)成由其所圍錐體V的表面外側(cè), 由Gauss公式,有， 14=341PM的成T = "錐體V的體積而工士 ,、江二士:二立二,一 乎功擊 + ydzdx + sdxdy =64“- 一一 -'-'.：； 二 ;捽封U日后因. z z+33例1設(shè)V是三維空間的區(qū)域，其內(nèi)任何封閉曲面都可不通過V

9、外的點(diǎn)連續(xù)收縮為V上的一點(diǎn).又設(shè)函數(shù)和 義幾/£）在V上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).*表示V內(nèi)任一不自交的光滑封閉曲面, 正是 下的外法線.試證明：對V內(nèi)任意曲面恒有+ 0亡依（%?。? R c©s（H,N）bs = 0dP HQ dR C六-HhAkAk冷一的充要條件是4 = 0在V內(nèi)處處成乂 .證 刊忸x） 士負(fù) + &8£色幻郎=Pdydz + Qdzdx + 期K前.0 由Gauss公式直接得到.n）反設(shè)不然,即存在點(diǎn) 臉（為心巧）三V,使不妨設(shè)其0.由 明+電+”在點(diǎn) 連續(xù)，存在以點(diǎn) 為中心且在V3Kdy 改內(nèi)的小球片,使在其內(nèi)有 + + 0.以工表示小球

10、廠的表面外側(cè), 北 dy 專就有與n=。矛盾.數(shù)學(xué)分析教案Stokes 公式:空間雙側(cè)曲面的正側(cè)與其邊界閉合曲線 L正向的匹配關(guān)系：右手螺旋法則， 即當(dāng)人站在曲面的正側(cè)上，沿邊界曲線L行走時(shí)，若曲面在左側(cè)，則把人的前 進(jìn)方向定為L的正向.1. Stokes 定理：Th22.7 設(shè)光滑曲面S的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲線.若函數(shù)尸（九乂n）、和出（兀在（連同L ）上連續(xù),且有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則而六"部-而離我£FdAQ叱臉.邰dQLH-丁力心其中S的側(cè)與L的方向按右手法則確定稱該公式為Stokes公式.證 先證式J感威心一伐工：廠.具體證明參閱P292.Stokes公式也記為9班Pdydz3¥Qdzdk8也dxdy-11例5計(jì)算積分| 一 一 二二二 二：二,、二,P294其中L為平面K+y +二1與各坐標(biāo)平面的交線，方向?yàn)椋簭钠矫娴纳戏酵?下看為逆時(shí)針方向.2. 空間曲線上第二型曲線積分與路徑無關(guān)性：空間單連通、復(fù)連通域.Th 22.5 設(shè)GUR'為空間單連通區(qū)域.若函數(shù) 產(chǎn)（工戶Z、。（工,了£） 和 取工力,力在 昆上連續(xù)，且有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則以下四個(gè)條件等價(jià)：i >對于口內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線L,有力+呼=0 ;ii>對于口內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線L ,曲線積分Q