狀態(tài)空間分析方法

1、1第九章狀態(tài)空間分析方法狀態(tài)空間分析方法2第第9 9章章 狀態(tài)空間分 析方法基本要求9-1 狀態(tài)空間方法基礎(chǔ)9-2 線性系統(tǒng)的可控性和可觀性9-3 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器9-4 有界輸入、有界輸出的穩(wěn)定性9-5 李雅普諾夫第二方法返回主目錄3：前面幾章所學(xué)的內(nèi)容稱為經(jīng)典控制理論；下面要學(xué)的內(nèi)容稱為現(xiàn)代控制理論。兩者作一簡單比較。經(jīng)典控制理論經(jīng)典控制理論(50年代前年代前)現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論(50年代后年代后)研究對象研究對象單輸入單輸出的線單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)性定常系統(tǒng)可以比較復(fù)雜可以比較復(fù)雜數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)(輸入、輸出描述輸入、輸出描述)狀態(tài)方程狀態(tài)方程(可描述內(nèi)部

2、行為可描述內(nèi)部行為)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)運算微積、復(fù)變函運算微積、復(fù)變函數(shù)數(shù)線性代數(shù)、矩陣?yán)碚摼€性代數(shù)、矩陣?yán)碚撛O(shè)計方法的設(shè)計方法的特點特點非唯一性、試湊成非唯一性、試湊成份多份多, 經(jīng)驗起很大經(jīng)驗起很大作用。主要在復(fù)數(shù)作用。主要在復(fù)數(shù)域進行。域進行。設(shè)計的解析性，與計設(shè)計的解析性，與計算機結(jié)合，主要在時算機結(jié)合，主要在時間域進行。間域進行。4掌握由系統(tǒng)輸入掌握由系統(tǒng)輸入輸出的微分方程式、系統(tǒng)動態(tài)輸出的微分方程式、系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖、及簡單物理模型圖建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模結(jié)構(gòu)圖、及簡單物理模型圖建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型型的方法。的方法。熟練掌握矩陣指數(shù)的計算方法，熟練掌握由時域熟練掌握矩陣指數(shù)的計算方法，熟練

3、掌握由時域和復(fù)數(shù)域求解狀態(tài)方程的方法。熟練掌握由動態(tài)和復(fù)數(shù)域求解狀態(tài)方程的方法。熟練掌握由動態(tài)方程計算傳遞函數(shù)的公式。方程計算傳遞函數(shù)的公式。正確理解可逆線性變換正確理解可逆線性變換, 熟練掌握可逆線性變換熟練掌握可逆線性變換前、后動態(tài)方程各矩陣的關(guān)系。前、后動態(tài)方程各矩陣的關(guān)系。正確理解可控性和可觀測性的概念，熟練掌握和正確理解可控性和可觀測性的概念，熟練掌握和運用可控性判據(jù)和可觀性判據(jù)。運用可控性判據(jù)和可觀性判據(jù)。 返回子目錄返回子目錄5熟練掌握可逆線性變換矩陣的構(gòu)成方法熟練掌握可逆線性變換矩陣的構(gòu)成方法, 能將可控系統(tǒng)能將可控系統(tǒng) 化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。能將不可控系統(tǒng)進行可控性分解?；癁榭煽貥?biāo)

4、準(zhǔn)形。能將不可控系統(tǒng)進行可控性分解。正確理解對偶原理正確理解對偶原理, 會將原系統(tǒng)的有關(guān)可觀測性的問題會將原系統(tǒng)的有關(guān)可觀測性的問題轉(zhuǎn)化為對偶系統(tǒng)的可控性問題來研究。轉(zhuǎn)化為對偶系統(tǒng)的可控性問題來研究。正確理解單變量系統(tǒng)零、極點對消與動態(tài)方程可控、正確理解單變量系統(tǒng)零、極點對消與動態(tài)方程可控、可觀測的關(guān)系。熟練掌握傳遞函數(shù)的可控性標(biāo)準(zhǔn)形實可觀測的關(guān)系。熟練掌握傳遞函數(shù)的可控性標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)、可觀性標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)的構(gòu)成方法。現(xiàn)、可觀性標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)的構(gòu)成方法。正確理解狀態(tài)反饋對可控性，可觀性的影響正確理解狀態(tài)反饋對可控性，可觀性的影響, 正確理解正確理解狀態(tài)反饋可任意配置閉環(huán)極點的充要條件。狀態(tài)反饋可任意配置

5、閉環(huán)極點的充要條件。6熟練掌握全維狀態(tài)觀測器的公式和設(shè)計方法熟練掌握全維狀態(tài)觀測器的公式和設(shè)計方法, 熟練掌熟練掌握由觀測器得到的狀態(tài)估計值代替狀態(tài)值構(gòu)成的狀握由觀測器得到的狀態(tài)估計值代替狀態(tài)值構(gòu)成的狀態(tài)反饋系統(tǒng)態(tài)反饋系統(tǒng), 可進行閉環(huán)極點配置和觀測器極點配置?？蛇M行閉環(huán)極點配置和觀測器極點配置。正確理解系統(tǒng)齊次方程漸近穩(wěn)定和系統(tǒng)正確理解系統(tǒng)齊次方程漸近穩(wěn)定和系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的穩(wěn)定的概念概念, 熟練掌握判別漸近穩(wěn)定的方法和判別系統(tǒng)熟練掌握判別漸近穩(wěn)定的方法和判別系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的方法。穩(wěn)定的方法。正確理解李雅普諾夫方程正定對稱解存在的條件和正確理解李雅普諾夫方程正定對稱解存在的條件和解法解法,

6、 能通過解李雅普諾夫方程進行穩(wěn)定性分析。能通過解李雅普諾夫方程進行穩(wěn)定性分析。79-1 狀態(tài)空間方法基礎(chǔ) 在經(jīng)典控制理論中，用傳遞函數(shù)來設(shè)計和分析單在經(jīng)典控制理論中，用傳遞函數(shù)來設(shè)計和分析單輸入、單輸出系統(tǒng)。輸入、單輸出系統(tǒng)。 在現(xiàn)代控制理論中，用狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)。采在現(xiàn)代控制理論中，用狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)。采用矩陣表示法可以使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達式簡潔明了，用矩陣表示法可以使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達式簡潔明了，為系統(tǒng)的分析研究提供了有力的工具。為系統(tǒng)的分析研究提供了有力的工具。返回子目錄返回子目錄8狀態(tài)：狀態(tài)：動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)可以定義為信息的集合。動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)可以定義為信息的集合。一、狀態(tài)空間的基本概念

7、已知已知 時狀態(tài)，時狀態(tài)， 時的輸入，可確定時的輸入，可確定 時任一變量的運動狀況。時任一變量的運動狀況。0t0tt 0tt 狀態(tài)變量狀態(tài)變量：確定動力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變確定動力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量量 。)(,),(1txtxn9 12nx txtX txt 狀態(tài)空間：由 張成的n維向量空間。)(tX狀態(tài)向量狀態(tài)向量： 如果完全描述一個給定系統(tǒng)的動如果完全描述一個給定系統(tǒng)的動態(tài)行為需要態(tài)行為需要n n個狀態(tài)變量，那么狀態(tài)個狀態(tài)變量，那么狀態(tài)向量定義為向量定義為X(t)X(t)對于確定的某個時刻，狀態(tài)表示為狀態(tài)空間中一個點，狀態(tài)隨時間的變化過程，構(gòu)成了狀態(tài)空間中的一條軌跡。10例9-2

8、設(shè)一設(shè)一RLCRLC網(wǎng)絡(luò)如圖所示。網(wǎng)絡(luò)如圖所示。回路方程為回路方程為( )1( )( )( )di te tRi tLi t dtdtC圖9-2 RLC網(wǎng)絡(luò)112( )( )x ti t dt)()(1titx選擇狀態(tài)變量11211RxxxeLLCL 則有21xx11010RuLCLLxx寫成21)()(xCtcty10Cx輸出1211100RLLuLCxx寫成)()(1titx21( )( )x ti t dtC若選另一組狀態(tài)變量11211( )Rxxxe tLLL 121xcx 則有13 uyayayaynnnnn 02211 若給出 (t=0) 時的初值 、 、 、 和 時就可確定系統(tǒng)的

9、行為。 0,ttu)0(y)0(y )0()1( ny121, nnyxyxyx單輸入單輸入- -單輸出線性定常系統(tǒng)單輸出線性定常系統(tǒng)選取狀態(tài)變量二、系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式1412231nnxxxxxx（9-17）0 11 21nnnxa xa xaxu15或?qū)懗蓌AxBx12012101000001000,00010nnxxxaaaa xAB（9-19）16系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示圖圖9-317例9-3222yyyu輸入為輸入為 u u ，輸出為，輸出為y y 。試求系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。試求系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。考慮用下列常微分方程描述的系統(tǒng)考慮用下列常微分方程描述的系統(tǒng)18解：12222

10、122xxxxxu 1122220102xxuxx狀態(tài)方程為寫成取狀態(tài)變量12,xy xy 19輸出1210 xyx圖9-4 例9-3系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖20多輸入-多輸出系統(tǒng)圖圖9-6 多變量系統(tǒng)多變量系統(tǒng)21ppnnububxaxaxax111112121111 ppnnububxaxaxax212122221212 pnpnnnnnnnububxaxaxax 112211nxxx,21 為狀態(tài)變量；puuu,21 為輸入量；qyyy,21 為輸出變量。22矩陣形式：xAxu111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA111212122212ppnnnpbbbbbbbbbB式中23pp

11、nnududxcxcxcy111112121111 ppnnududxcxcxcy212122221212 .pqpqnqnqqqududxcxcxcy 112211輸出變量方程24111212122212nnqqqncccccccccC111212122212ppqqqpdddddddddDyC xD u25圖9-7 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖26三、線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解式中式中 均為列向量。均為列向量。)2 , 1 , 0(ibixAx（9-28）齊次向量微分方程齊次向量微分方程kktbtbtbbtx2210)(（9-29）方程的解為方程的解為1、齊次狀態(tài)方程的解27)(210121kkkktbtbb

12、Atkbtbb可得( ) txxAx代入方程 將方程兩邊系數(shù)必相等方程兩邊系數(shù)必相等, , 即即1022103320011221133 21kkbAbbAbA bbAbA bbA bk ！280)0(bx我們定義022)121()(xtAktAAtItxkk?。?-31）kKAttAktAAtIe！12122（9-32）因此，齊次狀態(tài)方程的解為將 t=0 代入（9-29）中得290)(xetxAt（9-33）( )( )x tAx t（9-34）)()(0sAxxssx（9-35）Ate為nn矩陣，稱矩陣指數(shù)。于是齊次狀態(tài)方程的解為于是齊次狀態(tài)方程的解為用拉氏變換法求解用拉氏變換法求解3001

13、)()(xAsIsx011)()(xAsILtx)(11AsILeAt122311()AtkkkksIAL eL IAtA tkIAAAssss！拉氏反變換后得到（9-37）（9-38）31最終得到 與前一種解法所得結(jié)果一致。與前一種解法所得結(jié)果一致。 AtetAtexp式中( )(0)( ) (0)Atx te xt x （9-41）32狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有以下性質(zhì)：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有以下性質(zhì)：I)0(, 1)()(, 21tt)()()(, 3020112tttttt)()(, 4kttk33圖9-8 狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性34例9-511220100 xxxx設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求狀態(tài)

14、轉(zhuǎn)移矩陣。試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。35解：2 211( )2!Atk kteIAtA tA tk230100,00001001( )010001nAAAAttt11221( )(0)01( )(0)txtxxtx求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為其中可以寫出方程解為36例9-6x3210 x設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試求狀態(tài)方程的解。試求狀態(tài)方程的解。37解：2s21s12s21s22s11s12s11s2)2s)(1s (s)2s)(1s (2)2s)(1s (1)2s)(1s (3ss213s)2s)(1s (1AsI)AsI(adj)AsI(3s21s)AsI(1用拉氏變換求解。先求出矩陣指數(shù)用拉氏變換求

15、解。先求出矩陣指數(shù) 38狀態(tài)方程之解為狀態(tài)方程之解為 t2tt2tt2tt2t11Ate2ee2e2eeee2)AsI(Le)0(x)0(xe2ee2e2eeee2)0(xe) t (x21t2tt2tt2tt2tAt將上式進行拉氏反變換將上式進行拉氏反變換39圖圖9-9 系統(tǒng)的瞬態(tài)解（系統(tǒng)的瞬態(tài)解（a）與相軌跡（）與相軌跡（b）40改寫為 )()()(tButAxtx用 左乘等式兩邊 Ate2 2 非齊次狀態(tài)方程的解非齊次狀態(tài)方程的解非齊次方程)()()(tButAxtx（9-53）)()()()(tBuetxedtdtAxtxeAtAtAt（9-54）41dBuextxetAAt)()0(

16、)(0dBuexetxttAAt)()0()(0)(用 左乘上式兩邊Ate（9-54）0( )( ) (0)()( )tx tt xtBud 則式（9-54）可以寫成（9-55）積分上式得42討論非齊次狀態(tài)方程的拉氏變換解法討論非齊次狀態(tài)方程的拉氏變換解法 sBusAxxssx)()(0 sBuAsIxAsIsx101)()()()()()0()()(1111sBuAsILxAsILtx拉氏反變換得拉氏反變換得)(11AsILeAt由于由于 ttAdBuesBuAsIL0)(11)()(由卷積定理有由卷積定理有43 ttAdBuesBuAsIL0)(11)()(tAAtdtBuexetx0)(

17、)0()(ttAAtdBuexetx0)()()0()(因此由于由于最后得到44例9-7uxx103210求下述系統(tǒng)狀態(tài)的時間響應(yīng)求下述系統(tǒng)狀態(tài)的時間響應(yīng)控制量控制量u u為單位階躍函數(shù)。為單位階躍函數(shù)。45解：112222( )2222tttttttttLsIAeeeeeeee)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(31ssssssssssAsI由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣46tttttAeeeedtBue0225.05.0)(tttteeeexttx225 . 05 . 0)0()()(220.50.5( )tttteex tee若初始狀態(tài)為零狀態(tài)，則若初始狀態(tài)為零狀態(tài)，則47)()()(s

18、BUsAXssX)()()(sDUsCXsY四、傳遞函數(shù)矩陣BuAxx（9-58）系統(tǒng)狀態(tài)方程系統(tǒng)狀態(tài)方程DuCxy（9-59）輸出方程輸出方程拉氏變換為拉氏變換為48解出解出定義傳遞函數(shù)矩陣為定義傳遞函數(shù)矩陣為)()()(1sBUAsIsX)()()(1sUDBAsICsYAsIAsIadjAsI)()(1DBAsICsG1)()(（9-63）49所以所以特征方程為特征方程為AsIDAsIBAsICadjDBAsIAsIadjCsG)()()(0| AsI50例9-8 設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為 試求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。試求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。11122211220110020

19、11001xxuxxuyxyx51解：011010,0020101ABCD已知已知11111(2)()2102sss ssIAoss故故521( )()111010(2)010110211(2)102G sC sIABss ssss ss53例9-90100001061161Ab 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求系統(tǒng)的特征方程和特征值。試求系統(tǒng)的特征方程和特征值。54解：3210| det 01611606116| (1)(2)(3)0ssIAssssssIAsss系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根為-1、-2和-3。矩陣A的特征值也為-1、-2和-3。兩者是一樣的。55五、

20、動態(tài)方程的可逆線性變換五、動態(tài)方程的可逆線性變換DuCxyBuAxxuDxCyuBxAxxPx1Pxx 其中 P 是nn 矩陣1 PAPA1 CPCBPB56特征多項式AsIAsIPPAsIPPPAsIPPAsIPPAPsPPPAPsIAsI1111111)(特征多項式?jīng)]有改變。57DBAsICDPBPAsIPCPDPBPAsIPCPDPBPAPsPPCPDPBPAPsICPDBAsIC111111111111111)()()()()()(傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣沒有改變傳遞函數(shù)陣沒有改變58例9-10 對例對例9-99-9之系統(tǒng)進行坐標(biāo)變換，其變之系統(tǒng)進行坐標(biāo)變換，其變換關(guān)系為換關(guān)系為

21、 試求變換后系統(tǒng)的特征方程和特征值。試求變換后系統(tǒng)的特征方程和特征值。112233111123149xxxxxx59解： 根據(jù)題意求變換矩陣11111132.50.5123 ,34114911.50.5PPxPAPxPbu代入6011223332.50.501011134100112311.50.5611614932.50.50341011.50.51xxxxxxu 132| (1)(2)(3)61160sIP APssssss 特征方程為特征值為-1，-2，-3，與例9-9結(jié)果相同?？傻?19-2 9-2 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性 在狀態(tài)空間法中，對系統(tǒng)的描述可由

22、狀態(tài)方程和輸出在狀態(tài)空間法中，對系統(tǒng)的描述可由狀態(tài)方程和輸出方程來表示。方程來表示。 狀態(tài)方程是描述由輸入和初始狀態(tài)所引起的狀態(tài)的變狀態(tài)方程是描述由輸入和初始狀態(tài)所引起的狀態(tài)的變化；輸出方程則是描述由于狀態(tài)變化而引起輸出的變化；輸出方程則是描述由于狀態(tài)變化而引起輸出的變化化 可控性和可觀測性的概念，就是回答可控性和可觀測性的概念，就是回答“系統(tǒng)的輸入是系統(tǒng)的輸入是否能控制狀態(tài)的變化否能控制狀態(tài)的變化和和“狀態(tài)的變化能否由輸出狀態(tài)的變化能否由輸出反映出來反映出來這樣兩個問題。這樣兩個問題。返回子目錄返回子目錄62一、準(zhǔn)備知識一、準(zhǔn)備知識設(shè)設(shè)A A 是 nn 矩陣, x x 是 n1 向量,齊次方

23、程組若 |A|=0, （9-70）式存在非零解；若|A|0, （9-70）式只有零解。Ax=0（9-70）1 1、齊次方程組的非零解、齊次方程組的非零解632、Cayley-Hamilton定理 Cayley Cayley-Hamilton-Hamilton定理指出，定理指出， 矩陣矩陣A A滿足自己的特征多項式。滿足自己的特征多項式。則A滿足1110( )nnnfIAaaa（9-71）0)(0111IaAaAaAAfnnn（9-72）A的特征多項式64應(yīng)用Cayley-Hamilton 定理)(0111IaAaAaAnnn10)(nkkkAtAte（9-78）120,nnAAA AI,Ate

24、)( ,nkAk對于矩陣指數(shù) 可以用來表示。65例9-11解：矩陣A的特征多項式22| (1)21IA1201A100?A要求計算矩陣 的66矩陣A滿足自己的特征多項式，有2324323243(1)nAAIAAAAIAA AAIAnAnI10012001009901AAI本題中n=100，故有673 引理nbAbAAbbrankn12的充分必要條件是：的充分必要條件是：存在存在 使使01t101),0(ttATAtdtebbetWT（9-80）非奇異。這里非奇異。這里A :nA :nn, b: nn, b: n1.1.68若對任意狀態(tài)若對任意狀態(tài) ，存在一個有限時刻，存在一個有限時刻 和控制和

25、控制量量 ，能在，能在 時刻將狀態(tài)時刻將狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到0 0，則稱此系統(tǒng)，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。的狀態(tài)完全可控。)(0tx0ttf)(tuft)(0tx二、線性系統(tǒng)的可控性二、線性系統(tǒng)的可控性1 定義對于任意時刻對于任意時刻 和和 ，若存在控制向量，若存在控制向量 ，能將，能將 的的每個初始狀態(tài)每個初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到 時刻的另一任意狀態(tài)時刻的另一任意狀態(tài) , ,則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控。 )(tu0tft0tt ftt )(0tx()fx t等價的定義69例如圖9-10 二維系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程如圖所示二維系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程如圖所示系統(tǒng)可控。系統(tǒng)可控。702 可

26、控性判據(jù)其中 A (nn),b (n1), c (1n),d (11) 系統(tǒng)可控的充分必要條件是ducxybuAxx（9-84）（9-85）nbAAbbrankn 1（9-86）單變量線性定常系統(tǒng)71證明：將u(t) 代入式(9-54)，可得xex)t , 0(Web) t (u1At0f1tATfT（9-87）若式若式(9-86)(9-86)成立，由前面準(zhǔn)備知識的引理，存在成立，由前面準(zhǔn)備知識的引理，存在t t1 100，使，使得得(1-30)(1-30)式定義的式定義的W(0, tW(0, t1 1) )矩陣非奇異，取矩陣非奇異，取t t1 1為可控性定為可控性定義中的義中的t tf f

27、，且在，且在0, t0, tf f 上定義上定義72由定義可知式(9-86)成立時，系統(tǒng)可控。 ffTfft01At0f1AT)t (A0Atfdxex)t , 0(Webbexe)t (x11AtAt0At0At1Att0f1ATAAt0t0f1ATAAt0Atxxeexexedxe)t ,0(Webbeedx)t ,0(WebbeexeffffffTffTff73再證明若系統(tǒng)可控，則式(9-86)成立 根據(jù)凱萊哈密爾頓定理 d)(bue)0(xft0A（9-88）1n0mmmAA)(e（9-89）假定系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)被控制到零狀態(tài)，即 x(tf)=0 。根據(jù)(9-54)式，則有74把(9

28、-89) 式代入(9-88) 式，得記d)(u )(bA)0(xft0m1n0mm0( ) ( )(0,1,2,1)ftmmudumnm1n0mmubA)0(x這時0111(0)nnuuxbAbAbu（9-90）75由于x(0)是任意的n維向量，(9-90)式要有解，一定有(9-86)式成立，即n)bAbAAbb(rank1n2由上述可控性判據(jù)可知，系統(tǒng)的可控性只取決于由上述可控性判據(jù)可知，系統(tǒng)的可控性只取決于(9-84) (9-84) 式中的式中的A A陣和陣和b b陣。今后為了方便起見，將可控性矩陣記陣。今后為了方便起見，將可控性矩陣記為為S S，這樣，可控的充要條件就寫成：，這樣，可控的

29、充要條件就寫成：rankSrankS=n =n 或或 detS0detS0。76圖9-11 不可控系統(tǒng)77例子系統(tǒng)可控uxx1100410201229414212102bAAbbPc01detcP系統(tǒng)783 約當(dāng)型方程的可控性判據(jù) 約當(dāng)塊的一般形式為111111001由前面討論可知，等價變換不改變可控性。79可控的充分必要條件為同一特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊只有一塊，即各約當(dāng)塊的特同一特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊只有一塊，即各約當(dāng)塊的特征值不同。征值不同。每一約當(dāng)塊最后一行，所對應(yīng)的每一約當(dāng)塊最后一行，所對應(yīng)的b b中的元素不為零。中的元素不為零。這一充分必要條件又稱為單輸入系統(tǒng)約當(dāng)形方程的可控這一充分必要條件

30、又稱為單輸入系統(tǒng)約當(dāng)形方程的可控性判據(jù)。性判據(jù)。80例9-12ubbbbx11x43212211系統(tǒng)狀態(tài)方程為系統(tǒng)狀態(tài)方程為i21b,試確定系統(tǒng)可控時，試確定系統(tǒng)可控時， 應(yīng)滿足的條件。應(yīng)滿足的條件。81解：0bb)(4221 如果用直接計算可控性矩陣的方法也可得到同樣結(jié)果 .因為因為A A陣有兩個若當(dāng)塊，根據(jù)判據(jù)的陣有兩個若當(dāng)塊，根據(jù)判據(jù)的(1)(1)應(yīng)應(yīng)有有 ，由判據(jù)的，由判據(jù)的(2)(2)，A A的第二行所對的第二行所對應(yīng)的應(yīng)的b b中的元素中的元素b2 2, ,b4 4均不為零，因此系統(tǒng)可控均不為零，因此系統(tǒng)可控的充要條件為的充要條件為21824、可控標(biāo)準(zhǔn)形uxxn1000100000

31、10000101210（9-92）則系統(tǒng)一定可控。一個單輸入系統(tǒng)，如果具有如下形式83(9-92)式的形式被稱為單輸入系統(tǒng)的 。 對于一般的單輸入對于一般的單輸入n n維動態(tài)方程維動態(tài)方程 (9-93)(9-93) 其中其中A A，b b分別為分別為n nn,nn,n1 1的矩陣。成立以下定理：的矩陣。成立以下定理： 若若n n維單輸入系統(tǒng)可控，則存在可逆線性變換，將其維單輸入系統(tǒng)可控，則存在可逆線性變換，將其變換成可控標(biāo)準(zhǔn)形。變換成可控標(biāo)準(zhǔn)形。buAxx84下面給出變換矩陣P的構(gòu)成方法 計算可控性矩陣計算可控性矩陣S S； 計算計算 ，并記，并記 的最后一行為的最后一行為h h。 構(gòu)造矩陣構(gòu)

32、造矩陣 P P 令令 1S21nhhAPhAhAPxx 1S1 PAPAPBB 1 CPCDD 即可求出變換后的系統(tǒng)狀態(tài)方程。即可求出變換后的系統(tǒng)狀態(tài)方程。85例9-13 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 試將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。試將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。u110 x041020122x86解： 先判斷可控性，再計算變換矩陣，將狀態(tài)方先判斷可控性，再計算變換矩陣，將狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。程化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。 故系統(tǒng)可控。故系統(tǒng)可控。 一定可將它化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。一定可將它化為可控標(biāo)準(zhǔn)形。 0Sdet941421210bAAbbS287此時標(biāo)準(zhǔn)形中的系統(tǒng)矩陣的最后一行系數(shù)就是A陣特征

33、式的系數(shù)，但符號相反。則變換矩陣為112h112225012S1102121012P324223112P188可求出1211221210322020121423140201010001254APAP 100110324223112Pbb895 系統(tǒng)按可控性進行分解系統(tǒng)按可控性進行分解 系統(tǒng)可控時，可通過可逆線性變換變換為可控標(biāo)準(zhǔn)形，系統(tǒng)可控時，可通過可逆線性變換變換為可控標(biāo)準(zhǔn)形，現(xiàn)在研究不可控的情況，這時應(yīng)有現(xiàn)在研究不可控的情況，這時應(yīng)有nnbAAbbrank11n下面的結(jié)果被稱為系統(tǒng)按可控性進行分解的定理 90若單變量系統(tǒng)(9-84，85)式的可控性矩陣滿足(9-103）式，則存在可逆線性變

34、換矩陣P，使得變換后的系統(tǒng)方程具有以下形式 式中 是n1維向量, 是n2維向量，并且121114221122(9 104)00(9 105)AAxbxuAxxxyccdux111n1111nbAbAbrank1db)AsI(cdb)AsI( c111n111（9-106）（9-107）1x2x91(9-106)式表明下面的動態(tài)方程是可控的： （9-107)9-107)式表明的動態(tài)方程式式表明的動態(tài)方程式(9-108(9-108，109)109)和原來的和原來的n n維維動態(tài)方程式動態(tài)方程式(9-84(9-84，85)85)具有相同的傳遞函數(shù)?；蛘哒f具有相同的傳遞函數(shù)?；蛘哒f傳傳遞函數(shù)中未能反映

35、系統(tǒng)中不可控的部分。遞函數(shù)中未能反映系統(tǒng)中不可控的部分。duxcyubxAx111111（9-108）（9-109）92證明：證明：nnbAbAbAAbbrank11nn1n11（9-110）考察考察(9-103)(9-103)式，并將它重新寫出如下式，并將它重新寫出如下11nnbAAbbrank1進而可以證明進而可以證明1nn21q,q,q補充選取線性無關(guān)的向量補充選取線性無關(guān)的向量11,211nnnqqqbAAbb并使得向量組并使得向量組 線性無關(guān)。線性無關(guān)。93令q,q,q, bA,Ab, bP11nn211n1若將若將(9-104(9-104，105)105)式所表示的系統(tǒng)用方框圖表示

36、，可式所表示的系統(tǒng)用方框圖表示，可控性分解的意義就能更直觀地體現(xiàn)出來，控性分解的意義就能更直觀地體現(xiàn)出來，(9-104(9-104，105)105)式的系統(tǒng)方塊圖如圖式的系統(tǒng)方塊圖如圖9-129-12所示。所示。Pbb,PAPA1即可證明 具有定理所要求的(9-104)的形式。94圖9-12 系統(tǒng)按可控性分解95 從圖從圖9-12中可見，控制輸入不能直接改中可見，控制輸入不能直接改變變 也不能通過影響也不能通過影響 間接改變間接改變 ，故，故 這一部分狀態(tài)分量是不受輸入影響的，這一部分狀態(tài)分量是不受輸入影響的，它是系統(tǒng)中的不可控部分。它是系統(tǒng)中的不可控部分。 由圖上還可看出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)完全由

37、由圖上還可看出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決定，即傳遞函圖中虛線以上的部分所決定，即傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可控部分。數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可控部分。 1x2x2x96例9-14 設(shè)有系統(tǒng)方程如下設(shè)有系統(tǒng)方程如下 其傳遞函數(shù)為其傳遞函數(shù)為 試進行可控性分解試進行可控性分解 。x001yu010 x110010011x2) 1s (1) s (g97解：210111210bAAbbS2系統(tǒng)的可控性矩陣系統(tǒng)的可控性矩陣由于由于S S的第的第3 3列是第列是第1 1列與第列與第2 2列的線性組合，列的線性組合，系統(tǒng)不可控系統(tǒng)不可控 。1(001)Tq選取選取98計算出計算出 10101100

38、11PbAbq010cPc,001Pbb,100021010PAPA11構(gòu)成構(gòu)成110100101P99故有因而得10c01b2110A11121001rankbAbrank111) s (g) 1s (1012s11s10b)AsI(c211111100三、線性系統(tǒng)的可觀測性設(shè)n維單變量線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為cxy,buAxx(9-113,114) 如果在有限時間間隔0, t1 內(nèi)，根據(jù)輸出值y(t)和輸入值u(t)，能夠唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)的每一個分量，則稱此系統(tǒng)是完全可觀測的，簡稱可觀的。式中A,b,c分別為 矩陣。1 1、 可觀測性的定義,1,1nn nn101圖9-13

39、不可觀測系統(tǒng)102 分析(9-117)式，當(dāng)知道某一時刻的輸出時， (9-117)式是n個未知量x(0)的(一個)方程，顯然不能唯一確定初值，要解出x(0) ，必須要利用一段時間上的輸入和輸出的值。將(9-117)式左乘一個列向量，再從0到t1積分就可得到n個未知數(shù)x(0)的n個方程。就可利用線性方程組存在唯一解的條件來研究。()0( )( )(0)( )tAtA tg tcx tce xcebud(9-117)我們考慮沒有外作用的系統(tǒng)，可求出1032 可觀測性判據(jù)可觀測性判據(jù) 可觀測的充分必要條件是ncAcAcrank1n(9-118)(9-118)式中的矩陣稱為可觀性矩陣可觀性矩陣。并記為

40、V。104式（9-118）又可以寫成det0V nc)A(c)A(cAc rankT1nTT2TTTT取x(0)= ，這一非零的初始狀態(tài)引起的輸出為AtAtce)0(xce) t (y（9-120）0dtcecedet)t , 0(VdetAtt0TtA11T根據(jù)準(zhǔn)備知識中的引理，存在105將 代入上式，得 顯然不可能由y(t)=0來確定。即系統(tǒng)不可觀測。1n0kkkAtA) t (e100111( )( )(0)( )( )( )0nkkknny tct A xccAtttcA1062030111 0 xxuyx 試判斷系統(tǒng)的可觀測性。設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為例題9-15107解： 系統(tǒng)的可觀性矩陣

41、 是奇異的，故系統(tǒng)不可觀測。0201cAcV系統(tǒng)可觀性矩陣的秩，在對系統(tǒng)作可逆線性變換下系統(tǒng)可觀性矩陣的秩，在對系統(tǒng)作可逆線性變換下保持不變，因而可逆線性變換不改變系統(tǒng)的可觀測性。保持不變，因而可逆線性變換不改變系統(tǒng)的可觀測性。 108事實上 111n1n111111nVPPcAcAc)PAP(cPPAPcPcPAcAccV1P1093 對偶原理上面兩個系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣之間有確定上面兩個系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣之間有確定的關(guān)系，稱系統(tǒng)的關(guān)系，稱系統(tǒng)、是互為是互為 對偶對偶 的系統(tǒng)。的系統(tǒng)。 cxy,buAxxzbw, vczAzTTT系統(tǒng)系統(tǒng) 110對偶原理對偶原理

42、 系統(tǒng)系統(tǒng)的可控性的可控性( (可觀性可觀性) )等價于系統(tǒng)等價于系統(tǒng)的可觀性的可觀性( (可控性可控性) )。 只要寫出系統(tǒng)只要寫出系統(tǒng)的可控性矩陣的可控性矩陣( (可觀性矩陣可觀性矩陣) )和系統(tǒng)和系統(tǒng) 的可觀性矩陣的可觀性矩陣( (可控性矩陣可控性矩陣) )即可證明以上結(jié)論。即可證明以上結(jié)論。 利用對偶原理，可以將可控性的研究結(jié)果應(yīng)用到可利用對偶原理，可以將可控性的研究結(jié)果應(yīng)用到可觀測性的研究上。因為對對偶系統(tǒng)的可控性研究就觀測性的研究上。因為對對偶系統(tǒng)的可控性研究就相當(dāng)于對原系統(tǒng)的可觀性研究。相當(dāng)于對原系統(tǒng)的可觀性研究。 111應(yīng)用： 若式若式(9(9113)113)和式和式(9(91

43、14)114)的動態(tài)方程中的動態(tài)方程中A A陣具陣具有約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，則系統(tǒng)可觀測的有約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，則系統(tǒng)可觀測的充分必要條件充分必要條件為為 同一特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊只有一塊。同一特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊只有一塊。 每一約當(dāng)塊的第每一約當(dāng)塊的第1 1列所對應(yīng)的列所對應(yīng)的c c中的元中的元素素 非零。非零。n上述條件就是約當(dāng)形動態(tài)方程的可觀測性判據(jù)。它可以由對偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)得到。112例9-16 設(shè)動態(tài)方程為設(shè)動態(tài)方程為 試確定系統(tǒng)可觀測時試確定系統(tǒng)可觀測時 應(yīng)滿足的條件。應(yīng)滿足的條件。iic,xccccyu2010 x11x43212211113解：x2010yuccccx1010 x43212211

44、由對偶系統(tǒng)的可控性判據(jù)可知，其可控的充要條件為. 0c, 0c,3121這也就是原系統(tǒng)可觀測的條件。構(gòu)造原系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)如下：1144 可觀測標(biāo)準(zhǔn)形可觀測標(biāo)準(zhǔn)形 一個單輸出系統(tǒng)如果其一個單輸出系統(tǒng)如果其A,c A,c 陣有如下的標(biāo)準(zhǔn)形陣有如下的標(biāo)準(zhǔn)形式，它一定是可觀測的。式，它一定是可觀測的。（9-122）式稱為單輸出系統(tǒng)的可觀測標(biāo)準(zhǔn)形。 0121000010001000001000001nAc（9-122）115xcy,ubxAx通過對偶原理證明： 給定系統(tǒng)方程如下給定系統(tǒng)方程如下cxy,buAxx)xMx(xMx1（9-123）若有等價變換若有等價變換將其化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形將其化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)

45、形式中式中 具有具有(9-122)(9-122)的形式。的形式。Ac和116構(gòu)造原系統(tǒng)的對偶系統(tǒng) 根據(jù)對偶原理，因原系統(tǒng)為可觀測，所以其對根據(jù)對偶原理，因原系統(tǒng)為可觀測，所以其對偶系統(tǒng)一定可控。偶系統(tǒng)一定可控。zbw,uczAzTTTPzz 化為下列的可控標(biāo)準(zhǔn)形，其變換矩陣為P.zcw,ubzAz11111111PbcPcbPPAATTT，117因此有TT11TT1T1TT1cPbb)P(cAP)P(AcMcbMbAMMA11TPM （9-134）比較上面兩組式子，可知欲求之線性變換矩陣比較上面兩組式子，可知欲求之線性變換矩陣它可將系統(tǒng)方程化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形。它可將系統(tǒng)方程化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形。11

46、8例9-17 系統(tǒng)動態(tài)方程為系統(tǒng)動態(tài)方程為 將系統(tǒng)動態(tài)方程化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形，將系統(tǒng)動態(tài)方程化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形，并求出變換矩陣。并求出變換矩陣。x11y,u11x1111x119解： 顯然該系統(tǒng)可觀測，可以化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形。寫顯然該系統(tǒng)可觀測，可以化為可觀標(biāo)準(zhǔn)形。寫出它的對偶系統(tǒng)的出它的對偶系統(tǒng)的A,bA,b陣，分別為陣，分別為11b,1111A 根據(jù)根據(jù)A,bA,b陣，按化可控標(biāo)準(zhǔn)形求變換陣的陣，按化可控標(biāo)準(zhǔn)形求變換陣的步驟求出步驟求出P P陣：陣：120 計算可控性矩陣計算可控性矩陣S S0121AbbS5 . 05 . 0h5 . 05 . 0100121S11015 . 05 . 0hAhP由由

47、(9-128)(9-128)式求出式求出P P陣陣1120M,05 . 015 . 0015 . 05 . 0PM1TT由由(1-60)(1-60)式求出式求出M M陣陣121 式中式中1005 . 015 . 011cMc02111120bMb212005 . 015 . 011111120AMMA11122 5 系統(tǒng)按可觀性進行分解 系統(tǒng)可觀測，則通過等價變換可以化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形。系統(tǒng)可觀測，則通過等價變換可以化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)形。現(xiàn)在研究系統(tǒng)不可觀的情況，它是系統(tǒng)不可控的對偶現(xiàn)在研究系統(tǒng)不可觀的情況，它是系統(tǒng)不可控的對偶結(jié)果。結(jié)果。 若(9-113，114)的系統(tǒng)不可觀測，且nncAcAcr

48、ank21n123則存在可逆矩陣P，將動態(tài)方程化為式中 是n2維向量, 是n-n2維向量，并且1x2xnnAcAccrank21n111112（9-137）211212143121xx0cyubbxxAA0Axx（9-135）（9-136）124(9-135,136)(9-135,136)的式子也可用圖的式子也可用圖9-149-14表示。表示。 這可以用前面證明可觀標(biāo)準(zhǔn)形的方法論證。這可以用前面證明可觀標(biāo)準(zhǔn)形的方法論證。 (9-137)式表明n2維的子系統(tǒng) (A1 b1 c1 )是可觀的； 這部分狀態(tài)變量是不可觀的； (9-138)式表明傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)的不可觀部分。2x11111)()(

49、1bAsIcbAsIcn 系統(tǒng)按可觀性分解的結(jié)系統(tǒng)按可觀性分解的結(jié)果果(9-138)125圖圖914 系統(tǒng)按可觀測性分解系統(tǒng)按可觀測性分解由圖上可以看出傳遞函數(shù)完全由圖中虛線以上的部分所決定，即傳遞函數(shù)未能反映系統(tǒng)中不可觀測的部分。126四、可控性、可觀測四、可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系性與傳遞函數(shù)的關(guān)系 ) s (D) s (NAsIb)AsI(cadjb)AsI( c) s (g1（9-141）對應(yīng)的傳遞函數(shù)為cxy,buAxx（9-140）考慮單變量系統(tǒng)，其動態(tài)方程為1 1、可控性、可觀測性與零、極點對消問題127式中：AsI) s (Db)AsI(cadj) s (N N(s)=0

50、的根稱為傳遞函數(shù)g(s)的零點， D(s)=0的根稱為傳遞函數(shù)g(s)的極點。下面是本段的主要結(jié)果。 動態(tài)方程式(9-140)可控、可觀測的充分必要條件是g(s) 無零、極點對消，即D(s)和N(s)無非常數(shù)的公因式。128證明：首先用反證法證明條件的必要性，若有s=s0既使N(s0)=0，又使D(s0)=0，由(9-141)式即得0b)AIs(cadj,0AIs00(9-143)利用恒等式IAsIb )AsI(cadj)AsI()AsI)(AsI(1I )s(D)AsI(adj)AsI(可得(9-144)129將s= s0代入(9-144)式，并利用(9-143)式，可得)AIs(Aadj)

51、AIs(adjs000(9-145)將上式前乘c、后乘b后即有0)s(Nsb )AIs(cadjsb )AIs(cAadj00000（9-146）將(9-145)式前乘cA、后乘b后即有0b )AIs(cAadjsb )AIs(adjcA0002（9-147）130依次類推可得0b )AIs(adjcA0b )AIs(adjcA0b )AIs(cAadj0b )AIs(cadj)s(N01n0200這組式子又可寫成0b )AIs(adjcAcAc01n131 出現(xiàn)矛盾，矛盾表明出現(xiàn)矛盾，矛盾表明N(s)N(s)和和D(s)D(s)無相同因子，即無相同因子，即g(s)g(s)出現(xiàn)零、極點相消的現(xiàn)

52、象。出現(xiàn)零、極點相消的現(xiàn)象。因為動態(tài)方程可觀測，故上式中前面的可觀性矩陣是可逆矩陣，故有0b )AIs(adj00ss1b)AIs(adj1n000又由于系統(tǒng)可控，不妨假定A、b具有可控標(biāo)準(zhǔn)形(9-92)的形式，直接計算可知（9-148）132例9-18 設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為101010146411210 xxuyx 不難驗證系統(tǒng)是可控、可觀測的。不難驗證系統(tǒng)是可控、可觀測的。133 顯然顯然N(s)N(s)和和D(s)D(s)無非常數(shù)的公因式，這時傳無非常數(shù)的公因式，這時傳遞函數(shù)沒有零、極點相消。事實上遞函數(shù)沒有零、極點相消。事實上422342)1s()1s(1s4s6s4s1s

53、2s)s(g1s4s6s4sAsI)s(D1s2sb)AsI(cadj)s(N2342 分別計算分別計算 1342 傳遞函數(shù)的最小階動態(tài)方程實現(xiàn) 已知動態(tài)方程，可以用(9-64)式計算出傳遞函數(shù)。如果給出傳遞函數(shù)如何找出它所對應(yīng)的動態(tài)方程？這一問題稱為傳遞函數(shù)的實現(xiàn)問題。 如果又要求所找出的動態(tài)方程階數(shù)最低，就稱為傳遞函數(shù)的最小實現(xiàn)問題。135設(shè)給定有理函數(shù)設(shè)給定有理函數(shù)011n1nn011n1n011n1nn011n1nn0asasasbsbsbdasasasdsdsdds)s(g(9-149)(9-149)式中的d 就是下列動態(tài)方程中的直接傳遞部分ducxy,buAxx(9-150)所以只

54、需討論(9-149)式中的嚴(yán)格真有理分式部分。136給定嚴(yán)格真有理函數(shù)給定嚴(yán)格真有理函數(shù)011n1nn011n1nasasasbsbsb) s ( g(9-151)要求尋找 A,b,c，使得) s ( gb)AsI( c1(9-152)并且在所有滿足(9-152)式的A,b,c中，要求 A 的維數(shù)盡可能的小。下面分兩種情況討論137可控標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實現(xiàn)式(9-153) 對(9-151)式，可構(gòu)造出如下的實現(xiàn) (A ,b,c)1n101n210bbbc1000b1000001000010A(9-153)（1 1）g(sg(s) )的分子和分母的分子和分母無非常數(shù)公因式的情況無非常數(shù)公因式的情況

55、1381000cbbbb10001001000A1n101n210(9-154)可觀標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實現(xiàn) (9-153)式給出的(A, b, c)具有可控標(biāo)準(zhǔn)形，故一定是可控的?？芍苯佑嬎闼鼘?yīng)的傳遞函數(shù)就是(9-151)的傳遞函數(shù)。由于g(s)無零、極點對消，故可知(9-153)式對應(yīng)的動態(tài)方程也一定可觀。同樣可以說明(9-154)式是(9-151)的可觀標(biāo)準(zhǔn)形的最小實現(xiàn)。139 若g(s)的分母已經(jīng)分解成一次因式的乘積，通過部分分式分解，容易得到約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實現(xiàn)。現(xiàn)用例子說明,設(shè)g(s)有以下的形式)s(c)s(c)s(c)s(c)s()s(bsbsbsb)s(g)s(u)s(y441

56、3212311431012233(9-155)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實現(xiàn)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的最小階實現(xiàn) 因為g(s)無零、極點對消，故可知上式中c1c4均不為零。140令)s(us1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(us1)s(x44213113121213uxxxxxxxxuxx44421113212313分別對應(yīng)于141而44332211xcxcxcxcy綜合上面各式并令 x=x1 x2 x3 x4T可得xccccyu1100 x001001x43214111由若當(dāng)形方程的可控性判據(jù)和可觀測性判據(jù)可知上式是可控、可觀測的，因而它是g(s)一個最小階實

57、現(xiàn)。142 若g(s)的分母是n階多項式，但分子和分母有相消的公因式時,這時n 階的動態(tài)方程實現(xiàn)就不是最小階實現(xiàn)，而是非最小實現(xiàn)，(或是不可控的，或是不可觀的，或是既不可控也不可觀的)。 g(s)的最小實現(xiàn)的維數(shù)一定小于n。（2 2）g(s)的分子和分母有相消因式的情況143例9-19設(shè)g(s)的分子N(s)=s+1,而分母D(s)= ，分子與分母有公因子(s+1) 。1s2s2s23仿照(9-153)式，可寫出g(s)的一個三維的可控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)x011yu100 x221100010 x無須驗證這個實現(xiàn)是可控的144x100yu011x210201100 x因此這一實現(xiàn)是不可觀的。同理，如果

58、按(9-154)式構(gòu)造如下的可觀測標(biāo)準(zhǔn)形的三維實現(xiàn)，它一定是不可控的。2rankV121110011V計算可觀測性矩陣145 當(dāng)然也可以構(gòu)造出g(s)的既不可控又不可觀測的三維實現(xiàn)。現(xiàn)在將分子和分母中的公因式消去，可得1ss11s2s2s1s)s(g223 如果用上式中最后的式子，仿照(9-153)式或(9-154)式，構(gòu)造出二維的動態(tài)方程實現(xiàn)，它是g(s)的最小實現(xiàn)。146 9-3 9-3 狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器本節(jié)首先研究用狀態(tài)變量作反饋的控制方式。系統(tǒng)的動態(tài)方程如下cxy,buAxx(9-157)令kxvu(9-158)一、一、狀態(tài)反饋和極點配置問題式中的v 是參考輸入

59、，k稱為狀態(tài)反饋增益矩陣，這里它是1n 的向量。返回子目錄返回子目錄147圖9-15cxy,bvx)bkA(x(9-159)圖9-15所示的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為式中A-bk為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣。 將將(9-157)(9-157)式和式和(9-158)(9-158)式用方框式用方框圖表示，見圖圖表示，見圖9-159-15，它是一個閉，它是一個閉環(huán)系統(tǒng)。環(huán)系統(tǒng)。148計算(9-159)式閉環(huán)系統(tǒng)的可控性矩陣，因為)bA,bA,Ab,b(bAb)bkA()bA,Ab,b(bA)Ab,b(bA)(bkA(b)bkA()Ab,b(bA)bdAb)(bkA(b)bkA(bdAbbkbAbb )bkA

60、(2n21n1n232322的線性組合的線性組合的線性組合的線性組合1 1 狀態(tài)反饋不影響可控AAbbb)bkA(b)bkA(b1n1n上式中最后一個矩陣顯然是非奇異矩陣，因此有bAAbbrankb)bkA(b )bkA(brank1n1n(9-160)因此有150式(9-160)表明，若原來系統(tǒng)可控，加上任意的狀態(tài)反饋后，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)也可控。若原來系統(tǒng)不可控，不論用什么k 陣作狀態(tài)反饋，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)仍然不可控。這一性質(zhì)稱為 狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的可觀測性狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的可觀測性。即原來可觀的系統(tǒng)在某些狀態(tài)反饋下，閉環(huán)可以是不可觀的。同樣，原來不可觀的系