第三章二維隨機變量及其分布

1、第三章第三章 多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布第一節(jié) 二維隨機變量及其分布第二節(jié) 隨機變量的條件分布第三節(jié) 隨機變量的獨立性第四節(jié) 兩個隨機變量的函數的分布第一節(jié) 二維隨機變量及其分布定義維隨機變量。稱為二維隨機向量或二則上的兩個隨機變量是定義在樣本空間設),(,YXYX函數對于任意實數, yx( , ),F x yP Xx Yy或稱為隨機的分布函數稱為二維隨機變量,),(YX的聯(lián)合分布函數。和變量YX( , ),()()( , ) ()|() ()|().F x yP Xx YyPXxYyF x yP Xx P YyXxP Yy PXxYy乘乘積積事事件件注注：表表示示的的是是的的概

2、概率率，于于是是一、二維隨機變量及其分布函數的看成是平面上隨機點若將二維隨機變量),(),(YXYX落在以點就表示隨機點則分布函數的坐標),(),(,YXyxF矩形域內的概率。為頂點的左下方的無限),(yx(x,y)yxo落入任一矩形點這時),(,YX1212( , ),Gx y xxxyyy,()的概率 即可由概率的加法性質求得 如下圖1212,P xXxyYy22122111(,)( ,)(,)( ,).F xyF x yF xyF x y分布函數具有以下的基本性質： ）（ 10( , )1F x y且, y對任意固定的(, )0Fy，對任意固定的x( ,)0F x (,)0F (,)1F

3、 的不減函數或是）（yxyxF),(2(0, )( , ),( ,0)( , )F xyF x yF x yF x y）（3）對任意的（411221212( ,),(,),x yxyxxyy22122111(,)( ,)(,)( ,)0F xyF x yF xyF x y有注：這四條性注：這四條性質是判斷一個質是判斷一個二元函數成為二元函數成為聯(lián)合分布函數聯(lián)合分布函數的充要條件。的充要條件。 邊緣分布函數(, ),X YXY對于二維隨機變量隨機變量 和 各自的(, )X YXY分布函數稱為關于 和 的邊緣分布函數( ),( ,)XFxP XxP Xx YF x ( ,)lim( , )yF x

4、F x y 其中同理( )(, )YFyFy(, )lim( , )xFyF x y其中( ),( )(, )XYFx FyX Y故邊緣分布函數可由的分布函數所確定( ),( )XYFx Fy記為(, )( , )X YF x y若二維隨機變量的分布函數已知，則(, )(1)(1),0,0( , )0,( ),( )lim (1)(1)1,0( )( ,)0,lim (1)(1)1,0( )(, )0,xyXYxyxyXxyyyYX YeexyF x yXYFx FyeeexFxF xeeeyFyFy 設二維隨機變量的聯(lián)合分布函數為其他求 ， 的邊緣分布函數。解：由定義，其他其他補例1只有有限

5、對可能取的值如果二維隨機變量),(),(iiyxYX。是二維離散型隨機變量則稱或可列無限對),(,YX記, ,1 , 2,ijijP Xx Yypi j滿足下列條件：其中ijp0ijp ）（ 1）（2111ijijp(, )X Y并稱為二維離散型隨機變量的分布律聯(lián)合分布律XY或稱為隨機變量 和 的二、二維離散隨機變量及其分布律二、二維離散隨機變量及其分布律聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律下表表示：它們的聯(lián)合分布律可用和離散型隨機變量,YX它們的聯(lián)合分布函數則由下面式子求出： ( , )iji jxx yyF x yp，(,)(,)ijijxyDPX YDp進一步，例2 一箱子裝有5件產品，其中2件正品，3

6、件次品。每次從中取1件產品檢驗質量，不放回抽樣，連續(xù)兩次。如下：和定義隨機變量YX10X，第一次取到次品，第一次取到正品10Y，第二次取到次品，第二次取到正品(, )X Y試求的分布律。解：得：按概率的乘法公式計算及對：可能取的值只有),1 , 1 ()0 , 1 (),1 , 0(),0 , 0(4),(YX0,00 00P XYP XP YX210.1540,1P XY230.3541,0P XY320.3541,1P XY320.354：的分布律用表格表示為),(YXYZ聯(lián)合分布表011114411022,61,31,4,0,31,4XUXXYZXXYZ 設隨機變量，令求 ， 的聯(lián)合分布

7、律。補例310,123,40,1340,11,134,411,146.2P YZPXP YZPXXP YZPXP YZPX 解：則有的分布率為設離散型隨機變量,),(ijpYX1( )( ,)iXi jxx jFxF xp ), 2 , 1, 2 , 1(ji的分布律為X1,ii jiijP XxpP Xxp記為1,2,i 的分布律為Y1ji jjjiP YypP Yyp，記為1,2,j 分別稱ip(1,2,)i jp(1,2,)j 為(, )X YX關于 和關于Y的的邊邊緣緣分分布布律律。邊緣分布律邊緣分布律4例把兩封信隨機地投入已經編好號的3個郵筒內,設 ,1,2,(, )X YX Y分別

8、表示投入第個郵筒內信的數目求的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。解：)2 , 2(),1 , 2(),2 , 1 (),(2 , 1 , 0,取由題設，各自的取值為YXYX均不可能，因而相應的概率均為02110,039P XY2220,139P XY2110,239P XY2221,139P XY1,0, 2,0P XYP XY可由對稱性求得再由古典概率計算得 ：所有計算結果列表如下 ：(, )XYX Y和 的邊緣分布律可由的分布律確定( X,Y )關于Y的邊緣分布律( X,Y )關于X的邊緣分布律1212112121iiiii jjjjjji jiiXXxxxppppP XxppijYYyyypppp

9、P Yyppj （1 1）先先求求聯(lián)聯(lián)合合分分布布表表，然然后后對對聯(lián)聯(lián)合合分分布布表表中中第第 列列概概率率的的和和，得得的的邊邊緣緣分分布布表表，即即（聯(lián)聯(lián)合合分分布布表表中中第第 列列概概率率的的和和）（2 2）先先求求聯(lián)聯(lián)合合分分布布表表，然然后后對對聯(lián)聯(lián)合合分分布布表表中中第第行行概概率率的的和和，得得的的邊邊緣緣分分布布表表，即即（聯(lián)聯(lián)合合分分布布表表中中第第求求離離行行散散邊邊緣緣分分布布方方法法：概概率率的的和和）注注：XY有有時時也也可可不不求求聯(lián)聯(lián)合合分分布布，直直接接求求或或的的分分布布表表（即即邊邊緣緣分分布布）. .5例將只紅球和只白球隨機地投入已經編好號的3個盒子內

10、紅球的數目，表示落入第設個盒子中去1,X及邊緣分布律。的分布律求個盒子內白球的數目表示落入第),(,2YXY解：不妨分別把2只紅球和2只白球看作是有差別的（例如編號），由古典概型計算得 1122422161,1381CCP XY 123類似地計算出下表內的其它結果 ：比較一下例4的表和例5的表，發(fā)現兩者有完全相同的邊緣分布律，而聯(lián)合分布律卻是不相同的。注：由邊緣分布注：由邊緣分布并不能唯一地確定并不能唯一地確定聯(lián)合分布聯(lián)合分布 。如果存在的分布函數是設二維隨機變量),(),(YXFYX有使得對于任意的非負的函數yxyxf,),( , )( , )yxF x yf u v dudv (, )X

11、Y二維連續(xù)則稱是型隨機變量XY或稱為隨機變量 和 的聯(lián)合概率密度( , )(, )f x yX Y函數稱為二維隨機變量的概率密度三、二維連續(xù)隨機變量及其密度函數三、二維連續(xù)隨機變量及其密度函數( , )f x y概率密度具有以下性質：( , )0f x y ）（ 1( , )1f x y dxdy ）（2）（3內的概率為）落在（上的區(qū)域是平面設GYXxoyG,(, )( , )GPX YGf x y dxdy）（4連續(xù)，則有在點若),(),(yxyxf2( , )F x yx y ( , )f x y例6（二維均勻分布）,GGS設 是平面上的一個有屆區(qū)域 其面積為二維隨機( , ),X YGG

12、變量只在 中取值 并且取 中的每一個點,(, )X Y都是“等可能的” 即的概率密度為由( , )1f x y dxdy 1GCS可得故有( , )f x y1, ( , )0 ,Gx yGS其它(, )(, )X YX Y如果有如上概率密度，則稱服從).(,( )X YU GG記為均勻分布區(qū)域 上的，( , )f x y, ( , )0 ,Cx yG其它7例(, )X Y設二維隨機變量具有概率密度( , )f x y(2)2,0 ,00,x yexy其它1( , )2F x yP XY試求:( )分布函數( )解：）（ 1( , )( , )yxF x yf u v dudv (2)002,

13、0,00,yxu vedudv xy 其它.2(1)(1),0,0( , )0,xyeexyF x y其它.即有）（2GyxXOY上方的區(qū)域記為平面的直線把位于1于是( , )( , )GP XYPx yGf x y dxdy(2)0223x yxedydx定義個隨機變量上的是定義在樣本空間設nXXXn,21則12(,)nXXXnn稱為 維隨機向量或 維隨機變量個實數對于任意n12,nx xx函數12( ,)nF x xx1122,nnP Xx XxXxn稱為 維隨機變量12(,)nXXX的分布函數或12,nXXX隨機變量的聯(lián)合分布函數。(, )( , ),X Yf x y對于連續(xù)型隨機變量設

14、的概率密度為于是( )( ,)( , )xXFxF xf u v dvdu 其概率密度是一個連續(xù)型隨機變量則,X( )( , )Xfxf x y dy其概率密度量也是一個連續(xù)型隨機變,Y( )( , )Yfyf x y dx( )(, )XfxX YX稱為關于 的邊緣概率密度( )(, )YfxX YY稱為關于 的邊緣概率密度邊緣密度函數邊緣密度函數1212( , )( , )|,( )( )( )( , )( , )( , )|,( )( )Xf x yGx yaxbxyxyXfxf x y dyxf x yGx yaybyxyxYYX （1 1）畫畫出出聯(lián)聯(lián)合合密密度度取取對對應應的的區(qū)區(qū)

15、域域，將將區(qū)區(qū)域域寫寫成成，即即，利利用用下下面面的的公公式式，對對積積分分得得的的邊邊緣緣密密度度：（關關于于的的函函數數）（2 2）畫畫出出聯(lián)聯(lián)合合密密求求連連續(xù)續(xù)邊邊緣緣密密度度方方法法：非非零零值值型型非非零零值值型型度度取取對對應應的的區(qū)區(qū)域域，將將區(qū)區(qū)域域寫寫成成，即即，利利用用下下面面的的公公式式，對對積積分分得得 的的( )( , )Yfyf x y dxy 邊邊緣緣密密度度：（關關于于的的函函數數）. .四、常用四、常用二維分布二維分布110DDGDX YDX YDGX Yx yDSf x yDSDXGYU DSPX YGX YD(,),( , )(,)(.(,)(,)(,)

16、( , ),(,)二維均勻分布二維均勻分布，記作服從區(qū)域 上均勻分布的二維隨機變量在 上任意一點取值具定義：設二維隨機變量的聯(lián)合密度函數為其他其中 為有“等可能性”，故在 的任意子區(qū)域 上取值的概率僅與 的面積有關，于平面上的有界區(qū)域，為區(qū)域 的面積，則是稱服從區(qū)域 上的11GDDDGGSdxdydxdySSS.2.二維正態(tài)分布 定義的聯(lián)合概率密度為設二維隨機變量),(YX),(yxf)()(2)()1 ( 21exp1212222212121212221yyxx,221221其中且都是常數,11, 0, 02121為服從參數為則稱),(YX,221221的二維正態(tài)分布記為221212(,)

17、(,;,;)X YN 8例(, )X Y設二維隨機變量在區(qū)域, 10| ),(2xyxxyxG( )( )XYfxfy上服從均勻分布，求邊緣概率密度，。解：(, )X Y 的概率密度., 0, 10, 6),(2其它xyxxyxf則2266(),01,( )( , )0,.xxXdyxxxfxf x y dy其它66(),01( )( , )0,.yyYdxyyyfyf x y dx其它(, ),X YG注：雖然的聯(lián)合分布是在 上服從均勻分布但是它們的邊緣分布卻不是均勻分布。,01,01( , )0,( ),( )XYX Ycxyxyf x ycX Yfxfy 設隨機變量的聯(lián)合密度函數為其他求

18、：（1）常數 ；（2）的邊緣密度函數補例9。 作業(yè)作業(yè) P72 1，2，3， P76 2 （離散型）（離散型） P72 4，5 ，P76 3，4 （連續(xù)型）（連續(xù)型）第二節(jié) 隨機變量的條件分布其分布律為：是二維離散型隨機變量設,),(YX,1,2,.iji jP Xx Yypi j的邊緣分布律分別為：和關于關于YXYX),(1,1,2,iii jjP Xxppi1,1,2,.jji jiP Yyppj一、離散型隨機變量的條件分布一、離散型隨機變量的條件分布設0jp由條件概率公式可得,|,1,2,i jijijjjpP Xx YyP Xx YyiP Yyp的條件分布律條件下隨機變量上式稱為在Xy

19、Yj若同樣的,0ip|iiP YyXx,ijiP Xx YyP Xxijipp1,2,j 的條件分布律條件下隨機變量上式稱為在XxXj不難驗證以上兩式均滿足分布律的基本性質 。= ,= ,|,1,2,= ,= ,|i jijjjiji jijjji jijiiijipP Xx YypP YyP Xx YypP XxYyiP YyppP Xx YypP XxP Xx YP YyXx （1 1）先先求求出出聯(lián)聯(lián)合合概概率率分分布布，和和邊邊緣緣概概率率，然然后后按按條條件件概概率率公公式式直直接接計計算算，即即（2 2）先先求求出出聯(lián)聯(lián)合合概概率率分分布布，和和邊邊緣緣概概率率，然然后后按按條條件

20、件概概求求離離散散條條件件分分布布率率公公式式直直接接計計算算，即即方方法法：,1,2,ji jiiypiP Xxp 1例把兩封信隨機地投入已經編好號的3個郵筒內,設的條件分布律。條件下隨機變量求在個郵筒內信的數目分別表示投入第XYYX0,2 , 1,解：的條件分布律為的條件下在XY00|0P XY0,00P XYP Y1949141|0P XY2949122|0P XY1,00P XYP Y2,00P XYP Y194914的邊緣概率密度。和分別是關于和的概率密度為設YXyfxfyxfYXYX)()(),(),( )0Yfy 若則|P Xx Yy( , )( )xYf x ydxfy記為的條

21、件分布函數條件下稱為在,XyY ( | )F x y的條件概率密度為時故XyY ( | )f x y( , )( )Yf x yfy類似可定義( | )F y x( , )( )yXf x ydyfx，( | )f y x( , )( )Xf x yfx二、連續(xù)型二、連續(xù)型隨機變量的隨機變量的條件分布（了解）條件分布（了解）(|)( , )(|)=( )(|)( , )(|)=( )YXYYyXxf x yf x yf x yfyXXxYyf y xf x yf y xfx（1 1）先先利利用用求求邊邊緣緣密密度度函函數數的的方方法法，求求出出的的邊邊緣緣密密度度，然然后后套套用用下下面面的的

22、公公式式即即可可得得到到在在的的條條件件下下的的條條件件密密度度，即即（2 2）先先利利用用求求邊邊緣緣密密度度函函數數的的方方法法，求求連連續(xù)續(xù)條條件件密密度度函函數數的的方方法法：求求出出的的邊邊緣緣密密度度，然然后后套套用用下下面面的的公公式式即即可可得得到到在在的的條條件件下下的的條條件件密密度度，即即的邊緣概率密度。和分別是關于和的概率密度為設YXyfxfyxfYXYX)()(),(),(0,P XD若則,( , ),|( )X D Y GXX Df x y dxdyP YG XDP YG XDP XDfx dx 要求掌握類似條件概率的計算2例具有概率密度和設隨機變量YX2211(

23、, )0,xyf x y，其它( ),( ),00XYfxfyP YX求解：( )Yfy( , )f x y dx22 1| 10,yy，其它22 1| 1( )( , )0,Xxxfxf x y dy，其它0,010002P XYP YXP X 作業(yè)作業(yè) P79 1, 5(1) (3) 第三節(jié) 隨機變量的獨立性定義分別是二維隨機變量及設)(),(),(yFxFyxFYX有所有若對函數的分布函數及邊緣分布yxYX,),( yYPxXPyYxXP ,即)()(),(yFxFyxFYX是相互獨立的。和則稱隨機變量YX, .xyxyxyXYDDP XD YDP XD P YD定理：隨機變量 與 相互

24、獨立的充要條件是：對任意實數集合和，有分別是連續(xù)型隨機變量設)(),(),(,),(yfxfyxfYXYX獨立條件等價于的相互和則密度的概率密度和邊緣概率為YXYX,),()()(),(yfxfyxfYX( , ),( ),( )XYf x yfxfy在的一切公共連續(xù)點上成立相互獨立的條件等價于和是離散型隨機變量設YXYX,),(),(),(iiyxYX的所有可能取的值對于 iiiiyyPxxPyyxxP,即, 2 , 1, 2 , 1,.jipppjiij1例的分布律如下表所示設二維離散型隨機變量),(YX?,相互獨立和取何值時，當YX解：的邊緣分布律分別為YX,則有相互獨立和若,YX 11

25、11,212()939P XYP XP Y91,92解得均成立對所有此時iijiijyxppp,.相互獨立和即YX 1111,313()18318P XYP XP Y2例一負責人到達辦公室的時間均勻分布在812時，他的秘書到達辦公室的時間均勻分布在79時。設他們兩人到達的時間是相互獨立的，求他們到達辦公室的時間相差不超過5分鐘（1/12小時）的概率 。解：則達辦公室的時間分別是負責人和秘書到和設,YX其它，, 0,128,41)(xxfX其它，, 097,21)(yyfY的概率密度為由獨立性得),(YX1,812, 79,( , )( )( )80,.XYxyf x yfx fy其它依題意求概

26、率121YXP畫出區(qū)域：121 yx以及長方形97;128yx它們的公共部分是BCC BG 四邊形記為：小時。故所求的概率為超過不兩人到達的時間相差才內取值于僅當12/1,),(GYX121YXPGGdxdyyxf的面積）(81),(GABCABC 的面積的面積的面積6112112112132122）（）（481121YXP于是即負責人和他的秘書到達辦公室的時間相差不超過5分鐘的概率為 1/48 22112( ,0,3)cx yxyf x ycX YX Y其 設二維隨機變量的聯(lián)合密度函數為，求： 常數 的大?。坏倪吘壝苎a度例3函數；討論他獨立性。121212121.( )( )(,)()( )

27、2.(,)(,)(1,2,)(1,2,)( )( )(,)(,)mnijmnXYh xg yh Xg YXXXY YYX imYjnh xg yh XXXg Y YY 定定理理設設 和和 是是相相互互獨獨立立的的隨隨機機變變量量，和和是是上上的的連連續(xù)續(xù)函函數數，則則和和也也是是相相互互獨獨立立的的隨隨機機變變量量。定定理理設設和和相相互互獨獨立立，則則和和相相互互獨獨立立，又又若若和和是是連連續(xù)續(xù)函函數數，則則和和也也補補充充：相相互互獨獨立立。n獨立性推廣到 維隨機變量的可以隨機變量的情況:設), 2 , 1()(),(21nixFxxxFiXni維隨機變量分別是n),(21nXXX的分布

28、函數和邊緣分布函數)()()(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFN是相互獨立的。則稱nXXX,21相互獨立的充要條件是故連續(xù)型隨機變量nXXX,21)()()(),(212121nXXXnxfxfxfxxxfn相互獨立的充要條件是離散型隨機變量nXXX,21 nnnnxXPxXPxXPxXxXxXP22112211,12,nx xx若對任意實數有 作業(yè)作業(yè) P84 2，4第四節(jié) 二維隨機變量函數的分布(,)( , )(,)(,), ()(,)(,)( ) (,)( , ),( , )方方法法總總結結：（1 1）若若為為離離散散型型，則則的的分分布布律律為為， 像像的的概概率率等等

29、于于原原像像的的概概率率和和（2 2）若若為為連連續(xù)續(xù)型型，則則求求的的密密度度函函數數方方法法為為：先先求求分分布布函函數數，再再求求導導第第一一步步，第第二二步步，根根據據密密度度函函數數方方取取法法1 1：非非零零值值的的區(qū)區(qū)域域ijkkijg xyzZg x yzX YZg X YP ZzP Xx YyX YZg X YFzP ZzP g X YZf x y dxdyf x y ( , )| ( , )( )( )(2).0，討討論論 的的范范圍圍，從從而而確確定定積積分分區(qū)區(qū)域域的的形形式式，化化為為累累次次積積分分進進行行計計算算。，在在的的可可導導點點處處第第三三步步，對對 求求

30、導導，其其它它特特殊殊函函數數，用用公公式式（如如卷卷積積公公式式，極極大大極極小小分分布布公公式式）. .方方法法 ：ZZZzGx yg x yzFzFzzfz 第四節(jié) 兩個隨機變量的函數的分布的分布（一）YXZ的分布律為設二維隨機變量),(YXijiipyYxXP, 2 , 1i, 2 , 1jYXZ若jikyxz則由上式及概率的加法公式，有 ijjikyYxXPzZP,iikixzYxXP,jjjkkyYyzXPzZP,或者1例的分布律為設二維隨機變量),(YX的分布律試求YXZ解：,1 0 1 2,X YZ由可能取的值知 的可能值為:、 、 、且有1 . 01, 01YXPZP5 .

31、03 . 02 . 01, 10, 00YXPYXPZP2 . 01 . 01 . 00, 11, 01YXPYXPZP2 . 01, 12YXPZP的分布律為Z),(),(,yxfYX的概率密度為若對于連續(xù)型隨機變量的分布函數為則YXZzyxZdxdyyxfzZPzF),()(左下方的半平面積分區(qū)域是位于直線zyx yzZdydxyxfzF),()(令yuxzyzduyyufdxyxf),(),(于是 zZdudyyyufzF),()( zdudyyyuf),(求導上式兩邊對zdyyyzfzfZ),()(的對稱性由YX,( )( ,)Zfzf x zx dx,XY當 和 相互獨立時 有卷積公

32、式( )()( )ZXYfzfzy fy dy( )( )()ZXYfzfx fzx dx或者2例其概率密度為正態(tài)分布都服從變量是兩個相互獨立的隨機和設),1 , 0(,NYX2221)(xXexfx2221)(yYeyfy的概率密度求YXZ 解：由卷積公式dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx2)(22221dxeezxz22)2(4212zxt令442222121)(ztzZedteezf則分布服從即)2 , 0(NZ3例其概率密度分別為相互獨立設隨機變量,YX其它, 010, 1)(xxfX其它, 00,)(yeyfyY的概率密度求隨機變量YXZ：解法1利用公式dxxzfxf

33、zfYXZ)()()(僅當的定義知由,yxffzxxxzx10010即0,不為上述積分的被積函數才時由上圖知)(zfZ1,)()(100)(zdxedxxzfxfzxzYZ0其它即)(zfZ,)()(00)(zzxzYZdxedxxzfxf10 z,1ze10 z,) 1(zee1z0其它：解法2的概率密度為),(YX其它, 00, 10,)()(),(yxeyfxfyxfyYX的分布函數為則ZzyxZdxdyyxfzYXPzZPzF),()( 00zFzZ時，當時當10 z1)(00 zedxdyezFzzxzyz時當1zzxzyzeedxdyezF )1 (1)(100ZXY（二）的分布（

34、了解（略）4例在矩形域設二維隨機變量),(YX10 , 20|,yxyxG,上服從均勻分布)(sfSYX的概率密度的矩形面積和試求邊長為解：的概率密度為由已知),(YX., 0,21,其它Gyxyxf則的分布函數為令,)(SsF sxydxdyyxfsSPsF,；時當0)(,0sFs；時當1)(,2sFs如下圖所示時當,20 s )ln2ln1 (2211,21ssdxdydxdyyxfsFsxssxy 于是 . 2, 1, 20),ln2ln1 (2, 0, 0ssssssF的概率密度為故s ., 0, 20),ln2(ln21其它sssFsf的分布及（三）),min(),max(YXNYXM它們的分布函數變量是兩個相互獨立的隨機設,YX的分布函數及。現求和分別為NMyFxFYX)()(zYzXPzMP,由于的分布函數為得到相互獨立和而MYX, zYPzXPzYzXPzMPzF,max maxXYFzFz Fz即的分布函數類似可得N zYPzXPzYzXP