大學(xué)物理之角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律

1、4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律 力力的時(shí)間累積效應(yīng)：的時(shí)間累積效應(yīng)： 沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理 力矩力矩的時(shí)間累積效應(yīng)：的時(shí)間累積效應(yīng)： 沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律ipjp0, 0p一一 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 22kvvmEmp，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)描述運(yùn)動(dòng)描述22kJEJL，剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)描述0, 0p4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律v1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量vmrprLvrLLrxyzom 質(zhì)量為質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)

2、以的質(zhì)點(diǎn)以速度速度 在空間運(yùn)動(dòng)，某在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)對(duì)時(shí)對(duì) O 的位矢為的位矢為 ，質(zhì)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)對(duì)O的角動(dòng)量的角動(dòng)量mrvsinvrmL 大小大小 的方向符合右手法則的方向符合右手法則L角動(dòng)量單位：角動(dòng)量單位：kgm2s-14- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律Lrpmo 質(zhì)點(diǎn)以質(zhì)點(diǎn)以 作半徑為作半徑為 的圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心rJmrL2tLMdd 作用于質(zhì)點(diǎn)的合外力對(duì)作用于質(zhì)點(diǎn)的合外力對(duì)參考點(diǎn)參考點(diǎn) O 的力的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn) O 的的角動(dòng)量角動(dòng)量隨時(shí)間的隨時(shí)間的變化率變化率.2 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律

3、角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律？，tLFtpddddptrtprprttLdddd)(ddddtLMddFrtprtLdddd0,ddptrvv質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理的推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理的推導(dǎo)prL4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：對(duì)同一參考點(diǎn)對(duì)同一參考點(diǎn)O，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量.tLMddLM,0 恒矢量恒矢量 3 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律12d21LLtMtt沖量矩沖量矩tMttd214- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律 例例1 一半徑為一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平的

4、光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)面內(nèi). 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的小的小球穿在圓環(huán)上球穿在圓環(huán)上, 并可在并可在圓環(huán)上滑動(dòng)圓環(huán)上滑動(dòng). 小球開始小球開始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn)時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn) A (該點(diǎn)在通過環(huán)心該點(diǎn)在通過環(huán)心 O 的的水平面上水平面上)，然后從，然后從 A點(diǎn)開始下滑設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略點(diǎn)開始下滑設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略去不計(jì)求小球滑到點(diǎn)去不計(jì)求小球滑到點(diǎn) B 時(shí)對(duì)環(huán)心時(shí)對(duì)環(huán)心 O 的角的角動(dòng)量和角速度動(dòng)量和角速度4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律 解解 小球受力小球受力 、 作用作用, 的力矩為的力矩為零，重力矩垂直紙面向里零，重力矩垂直紙面向里由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理由質(zhì)點(diǎn)

5、的角動(dòng)量定理cosmgRM tLmgRddcostmgRLdcosdNFPNF4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律考慮到考慮到2,ddmRmRLtvgRmLLdcosd32得得由題設(shè)條件積分上式由題設(shè)條件積分上式0320dcosdgRmLLL2123)sin2(gmRL 21)sin2(Rg2mRL 4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律 例例2一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的登月飛船，在離月的登月飛船，在離月球表面高度球表面高度 h 處繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)飛船采處繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)飛船采用如下登月方式：當(dāng)飛船位于點(diǎn)用如下登月方式：當(dāng)飛船位于點(diǎn) A 時(shí)，它向時(shí)，它向外側(cè)短時(shí)間噴射出

6、粒子流，使飛船與月球相外側(cè)短時(shí)間噴射出粒子流，使飛船與月球相切地到達(dá)點(diǎn)切地到達(dá)點(diǎn) B , 且且OA 與與 OB 垂直飛船所垂直飛船所噴氣體相對(duì)飛船的速度為噴氣體相對(duì)飛船的速度為 試問：登月飛船在登月過程中所需消耗燃料試問：登月飛船在登月過程中所需消耗燃料的質(zhì)量的質(zhì)量 是多少是多少? ?14sm1000. 1um4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律kg1020. 14mkm100h14sm1000. 1ukm7001R2sm62. 1g0vAvBBvuvhORA已知已知4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律 解解 設(shè)飛船在點(diǎn)設(shè)飛船在點(diǎn) A 的速度的速度 , 月球質(zhì)月球質(zhì)

7、量量 mM ,由萬有引力和由萬有引力和牛頓定律牛頓定律0v12120sm6121)(hRgRv0vAvBBvuvhORAhRmhRmmG202M)(v2MRmGg 4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律21)(220vvvAu0vAvBBvuvhORA 飛船在飛船在A點(diǎn)以相對(duì)點(diǎn)以相對(duì)速度速度 向外噴氣的短向外噴氣的短時(shí)間里時(shí)間里 , 飛船的質(zhì)量飛船的質(zhì)量減少了減少了 而為而為 , 并并獲得速度的增量獲得速度的增量 , 使飛船的速度變?yōu)槭癸w船的速度變?yōu)?, 其值為其值為vAvmm4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律RmhRmBvv)(01sm7091)(RhR0Bvv

8、質(zhì)量質(zhì)量 在在 A 點(diǎn)和點(diǎn)和 B 點(diǎn)只受有心力作用點(diǎn)只受有心力作用 , 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒m 飛船在飛船在 A點(diǎn)噴出氣體后，在到達(dá)月球的點(diǎn)噴出氣體后，在到達(dá)月球的過程中，機(jī)械能守恒過程中，機(jī)械能守恒RmmGhRmmGMM21212B2Avmvm4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律RmmGhRmmGMM21212B2AvmvmRmGhRmGMM222B2Avv即即1sm6151Av于是于是121sm100)(202Avvv而而vmum)(kg120ummv4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律二二 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 和角動(dòng)量守恒定律和角

9、動(dòng)量守恒定律 1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量的角動(dòng)量2iiirmLOirimivJL ziiirm)(24- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律對(duì)定軸轉(zhuǎn)的剛體對(duì)定軸轉(zhuǎn)的剛體 ，exiMM2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)mi受合力矩受合力矩Mi( (包括包括Miex、 Miin ) )(ddd)(ddd2iiiirmttJtLM 0iniMtLtJMddd)(dtJrmtiid)(d)(dd2合外力矩合外力矩4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律非剛體非剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理112221dJJtMtt1221dJJtMt

10、t3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律0MJL ，則，則若若=常量常量 對(duì)定軸轉(zhuǎn)的剛體，受合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)的剛體，受合外力矩M，從，從 到到 內(nèi)，角速度從內(nèi)，角速度從 變?yōu)樽優(yōu)?，積分可得：，積分可得：212t1t4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律 角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律. 內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量?jī)?nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量. 守恒條件守恒條件0M若若 不變，不變， 不變；不變；若若 變，變， 也變，但也變，但 不變不變.JJLJ討論討論exinMM 在在沖擊沖擊等問題中等問題中 L常量常量4- -3角動(dòng)量

11、角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律 許多現(xiàn)象都可許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來以用角動(dòng)量守恒來說明說明.花樣滑冰花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水跳水運(yùn)動(dòng)員跳水點(diǎn)擊圖片播放4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律自然界中存在多種守恒定律自然界中存在多種守恒定律2 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律2電荷守恒定律電荷守恒定律2質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律2宇稱守恒定律等宇稱守恒定律等4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律 例例3 質(zhì)量很小長(zhǎng)度為質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l 的均勻細(xì)桿，可的均勻細(xì)桿，可繞過其中心繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面并與紙面

12、垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)，有一只當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)，有一只小蟲以速率小蟲以速率 垂直落在距點(diǎn)垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處，并背處，并背離點(diǎn)離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行設(shè)小蟲與細(xì)桿爬行設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m問：欲使細(xì)桿以恒定的角速問：欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行度轉(zhuǎn)動(dòng)，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?0vl/4O4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律220)4(1214lmmllmvl0712 v解解蟲與桿的蟲與桿的碰撞前后，系統(tǒng)角碰撞前后，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量

13、角動(dòng)量守恒定律l0712 v由角動(dòng)量定理由角動(dòng)量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考慮到考慮到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律 例例4一雜技演員一雜技演員M由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為h 處自由下落到蹺板的一端處自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一，并把蹺板另一端的演員端的演員N彈了起來問演員彈了起來問演員N可彈起多高可彈起多高? ?ll/2CABMNh4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長(zhǎng)度為設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為質(zhì)量為 ，蹺板可繞中部支撐點(diǎn)蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，演員的質(zhì)量均為演員的質(zhì)量均為m假定演員假定演員M落在蹺板上，落在蹺板上，與蹺板的碰撞是與蹺板的碰撞是完全非彈性完全非彈性碰撞碰撞m解解碰撞前碰撞前M落在落在 A點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度21M)2( ghv碰撞后的瞬間，碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度具有相同的線速度2lu