復(fù)變函數(shù)第19講

1、11 1、留數(shù)、留數(shù)2 2、用留數(shù)定理計算實積分、用留數(shù)定理計算實積分3 3、輻角原理及其應(yīng)用、輻角原理及其應(yīng)用21 1、 留數(shù)的定義留數(shù)的定義.0,)()()(000rzzzzczfzfznnn 則則的的一一個個有有限限孤孤立立奇奇點點，是是設(shè)設(shè)若若在在 及及 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析，則則；( )( )0Cf zCCf z dz 1.1 1.1 引入引入( )( )0.若若在在內(nèi)內(nèi)有有奇奇點點，則則未未必必為為Cf zCf z dz 11| | 122zze dzici 1| |32sin4zdziz ？( )Cf z dz 3,兩兩邊邊沿沿曲曲線線逐逐項項積積分分 得得C0(

2、 )()nnCCnf z dzczzdz zzzczzzczcnCnCCd)(d )(d0010 CCnnzzzczzzcd)(d)(10100(高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式)0 (柯西柯西-古薩基本定理古薩基本定理)i 20()nnCnczzdz 000 | -|Cz zrz 取取 為為內(nèi)內(nèi)，且且包包含含 的的一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線，則則12 ic10()zz 洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)中中負(fù)負(fù)冪冪項項的的系系數(shù)數(shù)4故故1.2 1.2 定義定義1 1000( )0zf zzzzr 設(shè)設(shè)是是的的有有限限孤孤立立奇奇點點，則則存存在在的的某某一一鄰鄰域域，使使得得0101000()( ),( ), Re

3、 ()( ).zzzzcf zzRes f zzs zRes f z 稱稱上上述述展展開開式式中中的的系系數(shù)數(shù)是是在在處處的的留留數(shù)數(shù)( (殘殘數(shù)數(shù)) ) 記記作作，或或者者000|.Czzrz其其中中 為為內(nèi)內(nèi)，且且包包含含 的的一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線011Re ( ),( ) (*)2Cs f z zcf z dzi 00( )() ,(0)nnnf zczzzzr Residue51133| | 12Re ,0zzzz e dzis z e 例例 如如 ，注：注：一一個個求求積積分分的的新新方方法法；的的重重要要意意義義在在于于提提供供了了(*)1(.)3(的的留留數(shù)數(shù)以以后后再再

4、討討論論至至于于無無窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)孤孤立立奇奇點點處處孤孤立立奇奇點點來來說說的的，此此處處的的定定義義只只是是對對有有限限001(2)( )R e( ),0zfzs fzzc 若若為為的的 有有 限限 可可 去去 奇奇 點點 ， 則則；. 00 ,sinRe1 czzs例例如如，62 2、 留數(shù)定理留數(shù)定理12,( ),( ),ncf zcz zzf zcc設(shè)設(shè) 是是一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線 函函數(shù)數(shù)在在 內(nèi)內(nèi)有有有有限限個個孤孤立立奇奇點點除除此此以以外外在在 內(nèi)內(nèi)及及 上上解解析析 則則定理定理1,(1,2,)(1,2,).kkkcnCknzCkn 在在 內(nèi)內(nèi)作作 條條互互不不包包含含 互

5、互不不相相交交的的正正向向簡簡單單閉閉曲曲線線，使使得得奇奇點點 在在內(nèi)內(nèi)，證明證明1( )2Re ( ),(1)nkckf z dzis f z z 由復(fù)合閉路定理得由復(fù)合閉路定理得7Dcznz1z3z21111( )( )22Re ( ),knCCknkkf z dzf z dziis f z z 12( )( )( )( )nCCCCf z dzf z dzf z dzf z dz 于是，得于是，得. ),(Re2)(1 nkkczzfsidzzf故故留數(shù)定理非常重要，也為求積分提供了新方法！留數(shù)定理非常重要，也為求積分提供了新方法！80(3)( )zzf z 若若為為的的極極點點時時，

6、有有如如下下計計算算規(guī)規(guī)則則：則則級極點級極點的的是是若若,)(0mzfz00101R1lie ( ),m()( ) .1)!(mmmzzdzzf zdzf zmsz 001(2)( )Re ( ),().zzf zs f zzc 若若為為的的本本性性奇奇點點，往往往往采采用用展展開開的的方方法法求求；的的有有限限可可去去奇奇點點，則則為為若若0),(Re)()1(00 zzfszfzz3 3、 留數(shù)的計算留數(shù)的計算9證明證明: 由條件由條件,得得)0(,)()()()()(0101012020 mmmczzcczzczzczzczf得得于于是是,.)()()()()(00101010 mmm

7、mmzzczzczzcczfzz10100111(),()( )()!(),mmmmdzzf zmcm czzdz 兩兩邊邊求求階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 得得 .)2(,)!1()()(lim10110式式成成立立 cmzfzzdzdmmmzz)|0(0rzz 10.)( )(),(Re,)(,0)( ,0)(,0)(,)(),()()()(00000000zQzPzzfszfzzQzQzPzzQzPzQzPzf 且且的單極點的單極點是是則則處解析處解析在在設(shè)設(shè)特別特別注注可直接展開洛朗級數(shù)求可直接展開洛朗級數(shù)求1 c來計算留數(shù)來計算留數(shù) .2. 在應(yīng)用公式在應(yīng)用公式 時時, 取得比實際的級數(shù)高取得比實際

8、的級數(shù)高.級數(shù)高反而使計算方便級數(shù)高反而使計算方便. 1. 在實際計算中應(yīng)靈活運用計算規(guī)則在實際計算中應(yīng)靈活運用計算規(guī)則. 為了計算方便一般不要將為了計算方便一般不要將m但有時把但有時把m取得比實際的取得比實際的0z如如 為為 m 級極點，當(dāng)級極點，當(dāng) m 較大而導(dǎo)數(shù)又難以計算時較大而導(dǎo)數(shù)又難以計算時, 11000Re ( ),lim() ( )zzs f zzzzf z 0( ),zf z則則 為為的的單單極極點點 由由規(guī)規(guī)則則1 1知知道道證畢證畢. . 000000()( )lim()0 .( )()()zzP zP zQ zQ zQ zQ zzz 證明證明:,)(1,)(0)( 0)(

9、0000的的單單極極點點為為從從而而的的單單零零點點為為，及及zQzzQzzQzQ .0)()()(1)(1,000 zzzzzzzQ處處解解析析且且在在因因此此0001( )( )( ( )( ) ( ),()0),f zg zg zz P zzg zzz 故故在在 解解析析 且且12.,12izzeResz 求求例例1解解:單單極極點點，是是容容易易知知道道izezzfizz 2)(.2lim)()(lim),(Reizizizeizezzfizizfs .2)1(),(Re2iizzezezizfs 另另解解：.0,1為自然數(shù)為自然數(shù)，其中，其中練習(xí)題：求練習(xí)題：求nzeResnz 級級

10、極極點點，的的是是提提示示：容容易易知知道道)1()(01 nzezfznz101Re ( ),0lim( )!nnnzds f zzf zndz 1.!n 13.)1(:32 zzdzzzeI計算計算例例2解解:2 ( )3(1)021.zef zzz zzz 在在的的內(nèi)內(nèi)部部有有一一個個單單極極點點和和一一個個 級級極極點點; 1)1(lim)(lim0),(Re200 zezfzzfszzz)1()1()!12(1lim 1),(Re221 zzezzfszz;0)(lim1 zezz.21),(Re0),(Re2)(2izfszfsidzzfz .)1(25:22 zdzzzzI求求練

11、習(xí)練習(xí). 01),(Re0),(Re2 zfszfsiI提示：提示：14.cos13 zdzzzI計算計算例例3解解:級級極極點點，為為只只以以30cos)(3 zzzzf.0),(Re2izfsiI 故故301Re ( ),0( )2!zs f zz f z 011(cos ),22zz . )(tan為為正正整整數(shù)數(shù)計計算算nzdzInz 例例4解解:為為極極點點，只只以以),2,1,0(21cossintan kkzzzz,tan21的的單單極極點點為為并并且且zkz 121sin1Retan,.(0, 1,)2(cos)z kzsz kkz 15.0sin)(6處的留數(shù)處的留數(shù)在在計算

12、計算 zzzzzf例例5解解: zzzzzzzzf1!511!31)!51!31(1)(3536 .!510),(Re zfs另解另解:,3)(0級級極極點點的的是是容容易易看看出出：zfz 301sinRe( ),0lim.(31)!zzzsf zz 12122Retan,knIisz k 224.nini 16 66550sinlim)!16(10),(Rezzzzdzdzfsz例如取例如取 m=6,.! 51)cos(lim! 51)sin(lim! 510550 zzzdzdzz?)1(sin:13 zzdzezzI思考思考3sin( )| 1(-1)zzzf zze積積分分函函數(shù)數(shù)在

13、在積積分分曲曲線線的的內(nèi)內(nèi)部部只只有有0z 一一個個奇奇點點. .( )1.f z且且是是的的 級級極極點點3300sin ( ),0lim( )lim(1)zzzzzRes f zzf zze 提示提示：1 2 i 還有其他還有其他奇點？奇點？ 17(這個方向很這個方向很自然地可以看自然地可以看作是繞無窮遠(yuǎn)作是繞無窮遠(yuǎn)點的正向點的正向).4 4、 無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)定義定義2 2( )|f zzRz 設(shè)設(shè)在在的的去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)解解析析，稱稱.),(Re,)( zfszf記記作作的的留留數(shù)數(shù)在在點點為為(1)( )|f zRz 若若在在內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗展展開開式式為為1,Re

14、( ),.( ).nnnc zs f zcf z 則則這這也也可可以以看看作作在在 點點留留數(shù)數(shù)的的定定義義(2)( )Re ( ),.f zs f z 若若為為的的可可去去奇奇點點，則則不不一一定定為為零零注注1( )(:|)2Cf z dzCzRi 18,0)(21)(21 CCdzzfidzzfi.1,1Re zs例例如如，再由無窮遠(yuǎn)點留數(shù)定義及留數(shù)定理，立即得到再由無窮遠(yuǎn)點留數(shù)定義及留數(shù)定理，立即得到定理定理2 2 若若 在擴充復(fù)平面內(nèi)只有在擴充復(fù)平面內(nèi)只有有限有限個孤立個孤立奇點，則奇點，則 在所有奇點（在所有奇點（包括包括無窮點無窮點）處的留）處的留數(shù)之和為數(shù)之和為零零. .)(z

15、f)(zf.0),(Re),(Re,),2,1()(1 nkkkzzfszfsnkzzf則則，的的所所有有奇奇點點為為設(shè)設(shè)19. 0 ,1)1(Re),(Re2zzfszfs 命題命題( )|f zRz 設(shè)設(shè)在在內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗展展開開式式為為證明：證明：1( ),Re ( ),.nnnf zc zs f zc 則則211( )fz z此此時時，在在原原點點的的去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗展展式式為為222111( ).nnnnnnnnfc zc zz zz 1211Re ( ),0Re ( ),s fcs f zz z 2042.1zzIdzz 例例，計計算算如如42Re ,1zIisz

16、 說明說明: 定理二提供了定理二提供了計算函數(shù)沿閉計算函數(shù)沿閉 0 ,11Res2d)(2zzfizzfC曲線積分的又一種方法曲線積分的又一種方法: : 此法在很多情況下此法更為簡單此法在很多情況下此法更為簡單.解：解：24112Re ,011ziszz 函數(shù)函數(shù)14 zz在在2 z的外部的外部, 除除 點外沒有點外沒有其他奇點其他奇點. 0 21與以下解法作比較與以下解法作比較 :被積函數(shù)被積函數(shù)14 zz有四個一級極點有四個一級極點i ,1都都在圓周在圓周2 z的內(nèi)部的內(nèi)部 , 所以所以 Czzzd14 1),(Res1),(Res2 zfzfi ),(Res),(Resizfizf ,4

17、14)()(23zzzzQzP Czzzd14.0414141412 i可見可見, 利用無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)更簡單利用無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)更簡單.22例例6 計算積分計算積分 Czzizz,)3)(1()(d10C為正向圓周為正向圓周 :.2 z解解 除除 )3)(1()(1)(10 zzizzf被積函數(shù)被積函數(shù)點外點外, 其他奇點為其他奇點為.3,1, i 則則),(Resizf ),(Res zf1),(Reszf 3),(Reszf .0 由于由于i 與與 1在在C的內(nèi)部的內(nèi)部, Czzizz)3)(1()(d10所以所以1),(Res),(Res2zfizfi 23),(Res3),(Res2 zfzfi 0)3(21210ii.)3(10ii 練習(xí)練習(xí) 解解:.1213 zzdzezzI展展為為洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)，內(nèi)內(nèi)把把在在zezzzfz131)(|2 12( )11zzf zez 2232311111 11 1(1)(1)2!3!zzzzzzz .31)11!21!31(),(Re zfs所以所以.32),(Re2izfsiI 故故243