復(fù)變函數(shù)與積分變換第一章習(xí)題課

1、第一章 知識點總結(jié)1.復(fù)數(shù)是指形如 的數(shù),實部記為 , 虛部記為 .2. 模: 輻角: 輻角主值:xz Rezxiyyz Im22yxzrkzArgz2arg zarg 0, 00, 0arctan0, 020arctanargyxyxxyyxxxyz 3.令有如下一些常用的不等式: zx iyxzzy 2121zzzz2121zzzz4.4.表示表示 (3)(3)三角表示三角表示: : (4)(4)指數(shù)表示指數(shù)表示: : (5) (5)代數(shù)表示代數(shù)表示: : )sin(cos)sin(cosirizzirez zxiy5.5.運算運算 1)1)相等相等; ; 2) 2)四則運算四則運算, ,

2、及運算規(guī)律及運算規(guī)律; ; 3) 3)共軛運算共軛運算, ,及運算規(guī)律及運算規(guī)律; ; 4) 4) 5) 5) )sin()cos(21212121 irrzz1211121222()12cos()sin()izrizrrer 6)方根運算: nkinknkerzw2)(12 , 1 , 0nkzn6. 實變復(fù)值函數(shù)實變復(fù)值函數(shù) : 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù): )()()(tiytxtz),(),()(yxivyxuzfw7. 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分8. C-R(Cauchy-Riemann)條件條件 0000( )()()limzzf zf zfzzzdzzfdw)(0,uvvuxyxy 9.可導(dǎo)的充要

3、條件可導(dǎo)的充要條件:函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)一點 處可導(dǎo)的充分必要條件是： 在點 處可微、且滿足C-R條件. 10. 可寫成以下四種形式： ),(),()(yxivyxuzfEiyxz),(),(yxvyxu),(yx)(zf yuiyvxvixuzf)(xviyvyuixu11.解析與奇點解析與奇點 1)定義:如果函數(shù) 在 的某一鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱 在 處解析；如果 在區(qū)域 內(nèi)每一點解析，則稱 在 內(nèi)解析，或稱 是 內(nèi)的一個解析函數(shù) 不解析的點就稱為是奇點。 )(zf0z)(zf0z)(zfE)(zfE)(zfE 2)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與它在這一區(qū)域可導(dǎo)是等價的3）解析一定可導(dǎo)，但可導(dǎo)不一定解析。1

4、) 定義: 2) 性質(zhì): 1. 在復(fù)平面內(nèi)處處解析； 2. ； 3. ； )sin(cosexpyiyeezxzexpzzezzexp)(exp0ze12. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)13. 三角函數(shù)三角函數(shù) 1）定義：2）性質(zhì)： 在復(fù)平面內(nèi)是解析的，且 ， sin,cos22izizizizeeeezzizzcos)(sinzzsin)(cos14. 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) lnwLnzziArgz15. 乘冪乘冪 定義: 注: 1.由于 是多值的，因而一般來講 也是多值的定義中的 如果取主值 ，所得結(jié)果 稱為的 主值 2 .當(dāng) 是特殊的 或 時, 就是我們所熟悉的冪函數(shù) 或 .21zz1221Lnzzze

5、z1Lnz21zz1Lnz1ln z12ln zze21zz2znn1nznz第一章 習(xí)題課;1311. 155iiizzP）模與幅角：數(shù)、的實部與虛部、共軛復(fù)求下列復(fù)數(shù)., 1, 0,235arctan,234,2523,25Im,23Re,25231kkArgzzizzziz）解：成立。等于什么實數(shù)時，等式當(dāng)iiyixyx135)3(1,. 2.111,8321,82)3(1yxyxiyix即相等的概念，有根據(jù)復(fù)數(shù)原式等價于解：;11)5; 31 )3;51. 3iiii）和指數(shù)式：將下列復(fù)數(shù)化為三角式;)2sin()2cos()5;2)3sin()3cos(2)3;5)2sin()2co

6、s(51232iiieizeizeiz）解：;27)2311. 5310；）（求下列各式的值：i. 3512512)32sin32(cos1024)320sin320(cos2)32sin32(cos2311101010iiiii）（解：).2321(3, 3),2321(3. 2 , 1 , 0,327)2210323iwwiwkeik；）的軌跡，并作圖：指出下列各題中點1)2Re()3; 5321. 9zizz; 3)3;25)3()2(122xyx為一直線：）為一圓周：解：. 411.1222yxzz）平面上怎樣的曲線？平面上的曲線映射成把下列函數(shù).41,1222222vuivuyxyi

7、yxxz解：平面上的像。在）區(qū)域求：已知映射3arg02,.133zz.arg03arg023zzz映成將區(qū)域）映射解：的極限不存在。時，試證：當(dāng)設(shè))(0),0(),(21)(.15zfzzzzzzizf的極限不存在。時的改變而改變，因此當(dāng)極限隨的時，有關(guān)，即當(dāng)極限值與，則的方向趨近于沿著令解：)(,0)(0,12)1 (2lim2lim0,2)(22220220,22zfzkzfzkkkxkkxyxxykxyzyxxyzfxxkxy;)()3;)(1.16222yixxyzfyixzf）處解析？下列函數(shù)何處可導(dǎo)？何不解析。處上可導(dǎo)，在復(fù)平面上處僅在）上處處不解析。上可導(dǎo)，在復(fù)平面僅在直線）解

8、：)0 , 0()(321)(1zfxzf;11) 3;21.1723zizz）區(qū)域，并求其導(dǎo)數(shù)。指出下列函數(shù)的解析性;) 1(2)( 1) 3;23)( 1222zzzfzizzf點外處處解析，除，）在整個復(fù)平面上解析解：; 0, 0; 0,)()0.18222zzyxyxzfDz點處是否解析？下列復(fù)函數(shù)在ikxxkxkxxzfzfkxyzzfzfzxz0)1 (lim0)0()(lim0,0)0()(022200時，有趨于沿直線當(dāng)時，極限考察解：點不解析。點不可導(dǎo)，從而在在不存在，則函數(shù)時，極限當(dāng)?shù)母淖兌淖?，從而極限隨000)0()(0,)1)(1 (2zzzfzfzkkikk;) 1(11.202zzz）求下列函數(shù)的奇點：., 01izz）函數(shù)的奇點是解：);1Resin()3);(Imexpexp1.24ii）計算：; 1cosh1sin)3);1sin(sin11cose）解：; 13.25ze）求下列方程的全部解：.,