二重積分在直角坐標(biāo)系下的計算

1、如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：, bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,ba1、直角坐標(biāo)系下二重積分的計算、直角坐標(biāo)系下二重積分的計算X-型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于y軸軸的直線與區(qū)域邊界的交點不多于兩個的直線與區(qū)域邊界的交點不多于兩個.積分區(qū)域表示為：積分區(qū)域表示為：,dyc ).()(21yxy )(2yx )(1yx cdDcd)(2yx )(1yx DY型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點：2） Y型區(qū)域型區(qū)域的區(qū)域，稱為的區(qū)域

2、，稱為Y型型區(qū)域。區(qū)域。與區(qū)域邊界曲線的交點不多于二個與區(qū)域邊界曲線的交點不多于二個.穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于x軸的直線軸的直線對于一般的平面區(qū)域，總可以通過適當(dāng)?shù)姆指顚τ谝话愕钠矫鎱^(qū)域，總可以通過適當(dāng)?shù)姆指顚⑵浞指畛扇舾蓚€基本區(qū)域之和。其分割成若干個基本區(qū)域之和。直角坐標(biāo)下計算二重積分（直角坐標(biāo)下計算二重積分（X-型域）：型域）：:),()(),( , :0020100的曲邊梯形，其面積為的曲邊梯形，其面積為為曲邊為曲邊為底，曲線為底，曲線截面是以區(qū)間截面是以區(qū)間此此截曲頂柱體得到截面，截曲頂柱體得到截面，作平面，作平面設(shè)設(shè)求圖中截面積方法求圖中截面積方法yxfzxxxxb

3、ax )()(000201d),()(xxyyxfxA 為底，以曲面為底，以曲面的值等于以的值等于以 DdyxfD ),(?),( Ddyxf 為為曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積 Vyxfz ),( 應(yīng)用計算應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積平行截面面積為已知的立體求體積”的方法的方法,截面積截面積)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf )()(000201d),()(xxyyxfxA )(0 xx xyyxfxxAVbaxxbad)d,(d)()()(21 )()(21d),(dxxbayyxfxV 通通常常記記為為體積體積zyx)(0 xA),

4、(yxfz ba0 xo.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：,dyc ).()(21yxy 二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y-型型X-型型 , 22; 11:.dd122 yxDyxyxID為矩形為矩形例：計算例：計算xy11 2 2 113222221122d2-231ddd1xyyyxdyyxxyxyxID解：解：36435

5、6381132834d32843112 xxxx解解兩兩曲曲線線的的交交點點),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx .2,d)2(2圍成圍成和和由由其中其中例：計算例：計算 xyxyDxyD xyo2xy 2 xyD21 4AB解：解： , 2, 21:2xyxxDXD等式組等式組型區(qū)域，并可表示成不型區(qū)域，并可表示成不可看成可看成區(qū)域區(qū)域).4 , 2(),1 , 1(BA 從而得圖中交點從而得圖中交點 , 4, 2, 1, 12211yxyx得，得

6、，由方程組由方程組 , 22xyxy DDyxxyxydd)2(d)2( 則則 21342d)2()2(xxxxxx.20243 xyo2xy 2 xyD21 4AB 2122d2xxyyxx 22-12d)2(dxxyxyx.1, 2,.dd22圍成圍成和和由直線由直線其中其中例：求例：求 xyyxyDyxyxID 2152123d131d13yyyyyyyx, 21;1 yyxyDY：型區(qū)域，型區(qū)域，解：看作解：看作xyo1 xyxy 2 yD112 yyDxyxyyxyxI1222122dddd19281124121641231124123142 yy, 21; 2 , 121; 212

7、121 xyxDxyxDDDDX：型區(qū)域，型區(qū)域，解：看作解：看作xyo1 xyxy 2 y1D1122D 222212122121ddddxxyyxxyyxxIxyxxxyxx2d12d2212121 212312123.19281d2d2xx-xxx-x例例及及是是由由直直線線其其中中計計算算xyDyyID ,dsin .,型型區(qū)區(qū)域域又又可可看看成成型型既既可可看看成成解解：區(qū)區(qū)域域 YXD ., 10:2yxyyDDY表示為表示為型區(qū)域，將型區(qū)域，將看成看成 dsin DyyI則則.2所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域拋物線拋物線yx xy 2yx Do11xy 102ddsinyyxyyy y

8、yxyyy2dsind10 102d)(sinyyyyy 1010dsindsinyyyyy1010sincoscosyyyy xy 2yx Do11xy. 1sin1 dyey2無法用初等函數(shù)表示無法用初等函數(shù)表示解解 積積分分時時必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e .ded求例1102xyyxI.e2分分值值出出積積的的二二次次積積分分計計算算，可可求求分分，再再利利用用另另一一種種次次序序重重積積這這個個二二次次積積分分還還原原為為二二不不同同的的積積分分次次序序，若若把把兩兩種種注注意

9、意到到二二重重積積分分可可以以有有二二次次積積分分無無法法直直接接積積出出，所所以以這這個個的的原原函函數(shù)數(shù)不不是是初初等等函函數(shù)數(shù)解解：由由于于函函數(shù)數(shù)y, 1, 0,xyxxI 作作的的二二次次積積分分表表達(dá)達(dá)式式由由 yyDyxyxyyxyxI010110dedddeded222則則 .0, 10:,1yxyDDy圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域1xyxy DO 1010ded0e22yyyyxyy1xyxy DO ).1e (2101e212 y 102de212yy yyxy010ded2例例解解. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中計算計算 1D2D3D先去掉絕對值符號，如圖先去掉絕對

10、值符號，如圖 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 111211101101122222xxxxdydxxydydxydydxdydxx.1511 dxdyxdxdyydxdyydxdyxDDDDDD 33212122 1142114114114)1(2121dxxxdxxdxxdxxxy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖解解 積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy., 10 ,10: xxyD,10 , 10:yxyD , 10 ,20:21 xxxyD, 10 ,20:2 xxyD1)1

11、( ,2222 yxxxy.d),(dd),(dd),(32120303120 xxyyyyxfxxyxfyxyxf1xyyx2 DO23yx 312330010( , )( , ).yydyf x y dxdyf x y dx例交換二次積分的積分次序2121,:DDDDD 對應(yīng)的積分區(qū)域?qū)?yīng)的積分區(qū)域次積分次積分在同一坐標(biāo)系中作出二在同一坐標(biāo)系中作出二解解 .32, 20:xyxxDaxy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2axaxyxaxD202

12、2:2 321DDDD ;1)1()( d),( 圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域及及軸、軸、是由是由。寫出兩種積分次序?qū)懗鰞煞N積分次序為二次積分為二次積分化二重積分化二重積分練習(xí)：練習(xí)：xyyyDyxfD yxDxyxfyyyxfxyxf010101d),(d d),(d d),()1( Dyxf d),()2( yyxyxfy211102d),(d圍成的區(qū)域。圍成的區(qū)域。及直線及直線在第一象限在第一象限軸、圓軸、圓是由是由2 02)2(22 yxxyxxD 21201020d),(dd),(d2xxxyyxfxyyxfxxxdyyxfdx3220,交交換換積積分分次次序序: :練練習(xí)習(xí) .30, 31

13、:,20, 10:21yxyDyxyDY型區(qū)域型區(qū)域 10203130yyfdxdyfdxdyI .32, 20:xyxxD解解xy 32xy 10112),(yydxyxfdy交交換換積積分分次次序序: :練練習(xí)習(xí) 10112111xxfdydxfdydxyx 121yx D1D2解解 dxexy不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy . .軸軸圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域及及的的一一拱拱由由擺擺線線計計算算積積分分 xttayttaxDydxdyD)20()cos1(),sin

14、(,例例3202220)(020225)cos1()cos1(21 )(21adttatadxxyydydxIaxya Oxya 2 xyy ).(0,20:xyyaxD 解解.)()(1 , 0)(111 yxdttfdyxfxf上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明在在例設(shè)例設(shè)小 結(jié)二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，并并設(shè)設(shè)Adxxf 10)(，

15、求求 110)()(xdyyfxfdx.思考題思考題 1)(xdyyf不能直接積出不能直接積出, 令令 110)()(xdyyfxfdxI,思考題解答思考題解答則原式則原式 ydxyfxfdy010)()( ,)()(010 xdyyfdxxfxyo故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 改改變變積積分分次次序序.練 習(xí) 題一、一、 填空題填空題: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其

16、中其中D是頂是頂 點分別為點分別為 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形閉區(qū)域的三角形閉區(qū)域 . . 3 3、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x軸及半圓周軸及半圓周)0(222 yryx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,化為先對化為先對y后對后對x的二次積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為_._. 4 4、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直線是由直線 2, xxy及雙曲線及雙曲線)0(1 xxy所圍成的閉區(qū)所圍成的閉區(qū) 域域, ,化為先對化為先對x后對后對y的二次積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為 _. _. 5 5、將將二二次次積積

17、分分 22221),(xxxdyyxfdx改改換換積積分分次次序序, , 應(yīng)應(yīng)為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、將將二二次次積積分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改換換積積分分次次序序, , 應(yīng)應(yīng)為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、將將二二次次積積分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改換換積積分分次次序序, , 應(yīng)應(yīng)為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

18、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、畫出積分區(qū)域二、畫出積分區(qū)域, ,并計算下列二重積分并計算下列二重積分: : 1 1、 Dyxde , ,其中其中D是由是由1 yx所確定的閉區(qū)域所確定的閉區(qū)域. . 2 2、 Ddxyx )(22其中其中D是由直線是由直線 xyxyy2, 2 及及所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. . 3 3、 xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。4 4、,2 Ddxdyxy其中其中D: : 20 , 11 yx. .三、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域三、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線由直線, 2 yxxy 和和x軸所圍成軸所圍成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求該求該薄片的質(zhì)量薄片的質(zhì)量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所圍成的所圍成的立體的體積立體的體積 . .一、一、1 1、1 1； 2 2