北京郵電大學(xué)復(fù)變函數(shù)第六章

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換一、解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義一、解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、共形映射的概念二、共形映射的概念小結(jié)與思考小結(jié)與思考一、一、解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 1.1.伸縮率與旋轉(zhuǎn)角伸縮率與旋轉(zhuǎn)角 , 0的的光光滑滑曲曲線線平平面面內(nèi)內(nèi)過過為為設(shè)設(shè)zzC)( )( 00zfwwCzfw 平平面面內(nèi)內(nèi)過過映映射射成成將將映映射射. 的的光光滑滑曲曲線線yx0)(zC0z.yx0)(w 0w.)(zfw 如圖如圖 Cyx0)(w0ww.yx0)(z0zz.zzzzzz 000limlim0存在，則稱此極限值為曲線存在，則稱此極限值為曲線C經(jīng)函數(shù)經(jīng)函數(shù)=f (z

2、)映映射后在射后在z0處的處的伸縮率伸縮率)(zfw 定義定義1 1 當(dāng)當(dāng)z沿曲線沿曲線C趨向于趨向于z0點(diǎn)時，如果點(diǎn)時，如果 Cyx0)(w0w.yx0)(z0z.曲線曲線C經(jīng)函數(shù)經(jīng)函數(shù)=f (z)映射后在映射后在z0處的處的旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角)(zfw 定義定義 設(shè)曲線設(shè)曲線C在在z0處的切線傾角為，處的切線傾角為，0 0 稱稱為為，則則處處的的切切線線傾傾角角為為在在曲曲線線0000 w0 000)()(lim)(0zzzfzfzfzz 因因?yàn)闉? iezz 令令 Cyx0)(ww 0ww.)(zfw yx0)(zz 0zz.,lim0zwz . ieww ,)(內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)設(shè)D

3、zfw . 0)(,00 zfDz且且 2 2伸縮率不變性伸縮率不變性 )(0zf所以所以0000limlimzzwwzwzzz 的的伸伸縮縮率率在在為為曲曲線線 0zC結(jié)論結(jié)論: 的的后后通通過過點(diǎn)點(diǎn)是是經(jīng)經(jīng)過過映映射射 )( )(00zzfwzf 的的形形狀狀及及它它與與曲曲線線的的伸伸縮縮率率在在的的任任何何曲曲線線CzC , 0方向無關(guān)方向無關(guān). 所以這種映射具有所以這種映射具有伸縮率的不變性伸縮率的不變性.,)(00 iiiezzwwezewzw 3 3旋轉(zhuǎn)角不變性與保角性旋轉(zhuǎn)角不變性與保角性 )(lim)(arg0000 zzf的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角映映射射后后在在經(jīng)經(jīng)為為曲曲線線0)(

4、zzfwC 說明說明: 旋轉(zhuǎn)角的大小與方向跟曲線旋轉(zhuǎn)角的大小與方向跟曲線C的形狀無關(guān)的形狀無關(guān).映射映射 w=f(z) 具有旋轉(zhuǎn)角的不變性具有旋轉(zhuǎn)角的不變性. 1 1C .0w 映映射射經(jīng)經(jīng))(zfw 1C1 000)(arg zfC C0z.如如圖圖處處切切線線傾傾角角為為在在映映射射后后的的曲曲線線為為經(jīng)經(jīng)函函數(shù)數(shù)處處切切線線傾傾角角為為，在在點(diǎn)點(diǎn)的的曲曲線線設(shè)設(shè)區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)另另有有一一條條過過1011010 , )( . wzfwzCz 110)(arg zf則有則有0101 的的夾夾角角在在與與 01w 的的夾夾角角在在與與 01zCC結(jié)論結(jié)論:)(zfw 的夾角在其大小和方向上都等同

5、于經(jīng)過的夾角在其大小和方向上都等同于經(jīng)過. 11之之間間的的夾夾角角與與對對應(yīng)應(yīng)的的曲曲線線與與映映射射后后跟跟 CC方向不變的性質(zhì)方向不變的性質(zhì), 此性質(zhì)稱為此性質(zhì)稱為保角性保角性. 的的大大小小和和具具有有保保持持兩兩曲曲線線間間夾夾角角映映射射 )( zfw 之間之間與與的任意兩條曲線的任意兩條曲線相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)10 CCz 注意注意 是必要的是必要的, ,否則保角性將不成否則保角性將不成立立0)(0 zf綜上所述綜上所述, 有有具具有有兩兩個個性性在在那那末末映映射射且且0)(,0)(zzfwzf 質(zhì)質(zhì): (1): (1)伸縮率不變性；伸縮率不變性； (2)(2)保角性保角性定理一定

6、理一 , ,)(0內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)為為內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)DzDzfw 二、共形映射的概念二、共形映射的概念 定義定義是第一類保角映射是第一類保角映射稱稱變性，那末變性，那末具有保角性和伸縮率不具有保角性和伸縮率不內(nèi)任意一點(diǎn)內(nèi)任意一點(diǎn)在區(qū)域在區(qū)域映射映射設(shè)設(shè))()(zfwDzfw 說明說明: , )( 具具有有伸伸縮縮率率不不變變性性如如果果映映射射zfw 但僅保持夾角的絕對值不變而方向相反但僅保持夾角的絕對值不變而方向相反, 則稱之為則稱之為第二類保角映射第二類保角映射.由定義，定理一又可以敘述為由定義，定理一又可以敘述為是是第第一一類類保保角角映映射射那那末末映映射射且且)(,

7、0)(zfwzf 定理二定理二 , ,)(內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)為為內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)DzDzfw 定義定義 設(shè)設(shè)=f (z)是區(qū)域是區(qū)域D內(nèi)的第一類保角映射，內(nèi)的第一類保角映射，如果當(dāng)如果當(dāng) z1z2 時，有時，有 f (z1)f (z2)（即雙方單值），則（即雙方單值），則稱稱 f (z)為為共形映射共形映射問題問題: :關(guān)于實(shí)軸對稱的映射關(guān)于實(shí)軸對稱的映射zw 是第一類保角映射嗎是第一類保角映射嗎?答案答案: : 將將 z 平面與平面與 w 平面重合觀察，平面重合觀察，y(v)x(u)01 2 .z1C2C.z 夾角的絕對值相同夾角的絕對值相同而方向相反而方向相反. 否否.)()

8、(wz 部部分分縮縮小??？哪哪一一平平面面的的哪哪一一部部分分放放大大？旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角，并并說說明明它它將將處處的的在在試試求求映映射射 212)(2zizzzzfw 例例解解, 22)( zzf因因izzf21)(arg 旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角,2 ,21處處故故在在iz izz21)22arg( )4arg( i )(zf 伸伸縮縮率率, 1)( zf當(dāng)當(dāng),)1(222yx )(iyxz ,21,1的的圓圓內(nèi)內(nèi)縮縮小小半半徑徑為為為為中中心心故故在在以以 z,41)1(22時時即即 yx反之放大反之放大.21,1的的圓圓外外放放大大半半徑徑為為為為中中心心以以 z,縮縮小小小結(jié)與思考小結(jié)與思考 熟悉解

9、析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義熟悉解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 了解共形了解共形映射的概念及其重要性質(zhì)映射的概念及其重要性質(zhì). .21202處的旋轉(zhuǎn)角處的旋轉(zhuǎn)角在點(diǎn)在點(diǎn)求映射求映射izzzw 思考題思考題思考題答案思考題答案.2,4arg)21(arg iif一、共形映射的基本問題一、共形映射的基本問題二、解析函數(shù)的保域性與二、解析函數(shù)的保域性與 邊界對應(yīng)原理邊界對應(yīng)原理三、保形映射的存在唯一性三、保形映射的存在唯一性一、共形映射的基本問題一、共形映射的基本問題問題一：問題一：對于給定的區(qū)域?qū)τ诮o定的區(qū)域D和定義在和定義在D上的上的解析函數(shù)解析函數(shù)w= f(z) ，求象集，求象集G=f(D)，并討論，并討論

10、f(z)是否將是否將D保形地映射為保形地映射為G；問題二：問題二：給定兩個區(qū)域給定兩個區(qū)域D和和G，求一個解析，求一個解析函數(shù)函數(shù)w= f(z) ，使得，使得f(z)將將D保形地映射為保形地映射為G；問題二一般稱為問題二一般稱為基本問題基本問題，我們一般用單，我們一般用單位圓作為一個中間區(qū)域位圓作為一個中間區(qū)域如下圖：如下圖：)(zf)(wg)(1 gwD平面z1|平面G平面w)(1zfgw二、二、解析函數(shù)的保域性與邊界對應(yīng)原理解析函數(shù)的保域性與邊界對應(yīng)原理 定理定理1 1 ( (保域性定理保域性定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)解析，且不恒為常數(shù)，則象集合解析，且不恒為常數(shù)

11、，則象集合G=f (D)是區(qū)域是區(qū)域 定理定理( (邊界對應(yīng)原理邊界對應(yīng)原理) ) 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域D的邊界為的邊界為簡單閉曲線簡單閉曲線C，函數(shù)，函數(shù)=f (z)在在 上解析，上解析，且將且將C雙方單值地映射成簡單閉曲線雙方單值地映射成簡單閉曲線 ，當(dāng)，當(dāng)z沿沿C的正向繞行時，相應(yīng)的的正向繞行時，相應(yīng)的的繞行方向定為的繞行方向定為 的正的正向，并令向，并令G是以是以 為邊界的區(qū)域，則為邊界的區(qū)域，則=f (z)將將D共形映射成共形映射成G DUCD D1z2z3zC1w3w2wD1w3w2w三、保形映射的存在唯一性三、保形映射的存在唯一性.)(,GDzfwGD映射為映射為保形地保形地把把數(shù)數(shù)點(diǎn)，

12、則一定存在解析函點(diǎn)，則一定存在解析函它們的邊界至少包含兩它們的邊界至少包含兩給定的兩個連通區(qū)域給定的兩個連通區(qū)域是任意是任意與與定理）設(shè)定理）設(shè)定理（黎曼存在唯一性定理（黎曼存在唯一性 .)()( arg)()()( 00000000是唯一的是唯一的，則映射，則映射，且，且滿足滿足，要求函數(shù)，要求函數(shù)并且任給一實(shí)數(shù)并且任給一實(shí)數(shù)，和和內(nèi)再分別任意指定一點(diǎn)內(nèi)再分別任意指定一點(diǎn)和和如果在如果在zfwzfwzfzfwwzGD 存在性；存在性；的的射函數(shù)射函數(shù)黎曼定理給出了共形映黎曼定理給出了共形映)()1(zfw 外情況：外情況：邊界點(diǎn)不多于一個的例邊界點(diǎn)不多于一個的例)2(擴(kuò)充復(fù)平面；擴(kuò)充復(fù)平面；

13、)(a復(fù)復(fù)平平面面；窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)點(diǎn)點(diǎn)）的的擴(kuò)擴(kuò)充充除除去去一一點(diǎn)點(diǎn)（例例如如除除去去無無)(b,)()3(的的條條件件唯唯一一函函數(shù)數(shù)該該定定理理給給出出了了共共形形映映射射zfw .)(arg,)(0000 zfwzf即即：說明說明該條件的幾何解析：該條件的幾何解析：，中的像中的像指出其在域指出其在域?qū)τ蛑心骋稽c(diǎn)對域中某一點(diǎn)000wBz.0過的角度過的角度的無窮小鄰域所轉(zhuǎn)的無窮小鄰域所轉(zhuǎn)并給出在此映射下點(diǎn)并給出在此映射下點(diǎn) z一、分式線性映射的概念一、分式線性映射的概念二、幾種簡單的分式線性映射二、幾種簡單的分式線性映射三、分式線性映射的性質(zhì)三、分式線性映射的性質(zhì)四、唯一決定分式線性映射的條件四

14、、唯一決定分式線性映射的條件一、分式線性映射的概念一、分式線性映射的概念.), 0 (均均為為常常數(shù)數(shù)dcbabcaddcbadczbazw 稱為稱為分式線性映射分式線性映射.說明說明: 否則否則, 由于由于., 0)(dd2常常數(shù)數(shù)有有 wdczbcadzw那么整個那么整個z平面映射成平面映射成 w平面上的一點(diǎn)平面上的一點(diǎn).0 )1保保角角性性的的限限制制，保保證證了了映映射射的的 bcad小知識小知識.0射射時稱為（整式）線性映時稱為（整式）線性映 c分式線性映射的分式線性映射的逆映射逆映射, 也是分式線性映射也是分式線性映射.2) 由由)0( bcaddczbazw)0( bcadacw

15、bdwz3) 分式線性映射分式線性映射cadczcadbdczbazw 1,1 ,121zzdczz 令令),(2為常數(shù)為常數(shù)則則BABAzw 分式線性映射可分解為整式線性映射與分式線性映射可分解為整式線性映射與 的復(fù)合的復(fù)合.zw1 一個一般形式的分式線性映射是由下列四種一個一般形式的分式線性映射是由下列四種特殊的簡單映射復(fù)合而成特殊的簡單映射復(fù)合而成:,)1(bzw . 射射的的研研究究的的研研究究可可化化為為對對以以上上映映對對dczbzw , )( )2(00Rzewi .1)4(zw ),0( )3( rrzw試試將將其其分分解解為為簡簡單單已已知知映映射射,143 izzw.映射的

16、復(fù)合映射的復(fù)合.3,5,1,43423121izwzzzezzzizzi 例例1 1 izeiiziiizzwi153433143 解解其其中中 34arctan二、幾種簡單的分式線性映射二、幾種簡單的分式線性映射bzw . 1平移映射平移映射(為方便起見為方便起見, 令令w平面與平面與z平面重合平面重合) ( ,所表示的向量所表示的向量即復(fù)數(shù)即復(fù)數(shù)沿向量沿向量在此映射下在此映射下bbz. , wb就就得得到到后后的的方方向向平平移移一一段段距距離離o)()(wz zbwo)()(wz zbw二、幾種簡單的分式線性映射二、幾種簡單的分式線性映射bzw . 1平移映射平移映射(為方便起見為方便起

17、見, 令令w平面與平面與z平面重合平面重合) ( ,所表示的向量所表示的向量即復(fù)數(shù)即復(fù)數(shù)沿向量沿向量在此映射下在此映射下bbz. , wb就就得得到到后后的的方方向向平平移移一一段段距距離離旋轉(zhuǎn)映射旋轉(zhuǎn)映射事實(shí)上事實(shí)上, 設(shè)設(shè) irez 那么那么,)(0 irew因此因此, 把把z繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)角度繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)角度 ，. w就得到就得到wz o)()(wz )( . 200Rzewi 0 時時，逆逆時時針針旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)；00 時時，順順時時針針旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)00 )0( . 3 rrzw相似映射相似映射設(shè)設(shè), iez 那么那么, ierw 倍后，倍后，到到縮短縮短伸長伸長因此將因此將rz)( . w就就得得到到w

18、zo)()(wz 相似映射特點(diǎn)：對于復(fù)平面上相似映射特點(diǎn)：對于復(fù)平面上任一點(diǎn)，保持輻角不變，而將任一點(diǎn)，保持輻角不變，而將模放大或縮小模放大或縮小關(guān)于橫軸對稱關(guān)于橫軸對稱zw1. 4 反演映射反演映射此映射可進(jìn)一步分解為此映射可進(jìn)一步分解為,11zw 1ww 欲由點(diǎn)欲由點(diǎn)z作出點(diǎn)作出點(diǎn)w, 可考慮如下作圖次序可考慮如下作圖次序:wwz1關(guān)鍵關(guān)鍵: ? 1wz 在幾何上如何由在幾何上如何由對稱點(diǎn)的定義對稱點(diǎn)的定義: 設(shè)設(shè)C為以原點(diǎn)為中心為以原點(diǎn)為中心, r為半徑的圓周為半徑的圓周. 在以在以PP ,與與如果有兩點(diǎn)如果有兩點(diǎn)線上線上圓心為起點(diǎn)的一條半直圓心為起點(diǎn)的一條半直滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式,2r

19、POOP 那么就稱這兩點(diǎn)為關(guān)于這圓周的那么就稱這兩點(diǎn)為關(guān)于這圓周的對稱點(diǎn)對稱點(diǎn).規(guī)定規(guī)定: 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對稱點(diǎn)是圓心無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對稱點(diǎn)是圓心O O.rCo.P.P .設(shè)設(shè)P在在C外外, 從從P作作C的切線的切線PT, 由由T作作OP的垂的垂. , 即即互互為為對對稱稱點(diǎn)點(diǎn)與與那那么么交交于于與與線線PPPOPPT OTPTPO OPOTOTPO: 22rOTPOOP 作圖作圖:T., irez 設(shè)設(shè),11 1 ierzw 則有則有. 1 1 zw從從而而故可知故可知:的的對對稱稱點(diǎn)點(diǎn)是是關(guān)關(guān)于于單單位位圓圓周周與與1 1 zwzozw1wz.關(guān)于單位圓對稱關(guān)于單位圓對稱關(guān)于實(shí)軸對稱關(guān)于實(shí)軸對稱,1

20、1 ierww w.1w.yx1wzw/1z三、分式線性映射的性質(zhì)三、分式線性映射的性質(zhì)1.1.一一對應(yīng)性一一對應(yīng)性例如例如:, 01 wzzw映映射射成成將將映映射射,時時即當(dāng)即當(dāng) z,11 wzzw 改寫成改寫成如果把如果把,時時可可知知當(dāng)當(dāng) w結(jié)論結(jié)論:分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上一一對應(yīng)分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上一一對應(yīng). 0 w. 0 z2.2.共形性（保形性）共形性（保形性）zw1 )1( 考察考察，因因21zw .,0映映射射是是共共形形的的與與所所以以除除去去 zz若若規(guī)定規(guī)定: 兩條伸向無窮遠(yuǎn)的曲線在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處兩條伸向無窮遠(yuǎn)的曲線在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的交角的交角, 等于它們在映射等于它

21、們在映射 zw1 下所映成的通過下所映成的通過原點(diǎn)的兩條象曲線的交角原點(diǎn)的兩條象曲線的交角. 1 處是共形的處是共形的在在那么映射那么映射 zzw綜上所述知綜上所述知:)0( )( )2( abazzfw考考察察, 0)( azf因因?yàn)闉?1 ,1wz 若若令令. 1 :處處是是共共形形的的在在映映射射同同理理 wwz.0 1 處處是是共共形形的的在在所所以以映映射射 zzw.1 是是共共形形的的在在擴(kuò)擴(kuò)充充復(fù)復(fù)平平面面上上是是處處處處映映射射zw .,映射是共形的映射是共形的時時所以當(dāng)所以當(dāng) z babazw 成成為為則則01)(,00 a 且且處處解解析析在在,0處處共共形形在在因因而而

22、ba.:處共形處共形在在即即 zbazw. 共形的共形的在擴(kuò)充復(fù)平面上是處處在擴(kuò)充復(fù)平面上是處處映射映射bazw 綜上所述綜上所述:定理一定理一 分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是共形映射分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是共形映射3. 保圓性保圓性 所謂保圓性指在擴(kuò)充復(fù)平面上將圓周映射為所謂保圓性指在擴(kuò)充復(fù)平面上將圓周映射為圓周的性質(zhì)圓周的性質(zhì). .特殊地特殊地，直線可看作是半徑為無窮大的圓周直線可看作是半徑為無窮大的圓周.1) 映射映射)0( abazw特點(diǎn)特點(diǎn): 經(jīng)經(jīng)平平移移、伸伸縮縮、旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而平平面面內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)將將0 zz. 0w得到象點(diǎn)得到象點(diǎn)所以此映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性所以此映射在擴(kuò)

23、充復(fù)平面上具有保圓性.2) 映射映射zw1 若若z平面上圓方程為平面上圓方程為:0)(22 dcybxyxa,1,ivuzwiyxz 令令iyx 1ivu 2222,vuvyvuux 有有. 0)(22 acvbuvud代入代入z平面圓方程得其象曲線方程平面圓方程得其象曲線方程:即即所以此映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性所以此映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性. . )0( ,1 復(fù)合而成復(fù)合而成因?yàn)橛成溆梢驗(yàn)橛成溆?abazwzw)0( )( bcaddczbazzfw3) 分式線性映射分式線性映射定理定理二二 分式線性映射將擴(kuò)充分式線性映射將擴(kuò)充z平面上的圓周映射平面上的圓周映射成成擴(kuò)充擴(kuò)充w平面上

24、的圓周平面上的圓周, 即具有保圓性即具有保圓性.說明說明: : 如果給定的圓周或直線上沒有點(diǎn)映射成無如果給定的圓周或直線上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)窮遠(yuǎn)點(diǎn), 那末它就映射成半徑為有限的圓周那末它就映射成半徑為有限的圓周;有一個點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)有一個點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn), 那末它就映射成直線那末它就映射成直線.如果如果4. 保對稱性保對稱性對稱點(diǎn)的特性對稱點(diǎn)的特性 C0z.1z.2z. , :210的的圓圓與與為為過過的的一一對對對對稱稱點(diǎn)點(diǎn)zzRzzC , 21是是關(guān)關(guān)于于圓圓周周設(shè)設(shè)zz.,0zz 切切點(diǎn)點(diǎn)為為的的切切線線作作從從.20的的割割線線是是顯顯然然 zz010220zzzzzz 因?yàn)橐驗(yàn)?

25、0Rzz 所所以以. , :的的半半徑徑的的切切線線就就是是且且上上在在即即CCz z . 2（切割線定理）（切割線定理）R .正交正交與與因此因此C ,反反之之 ,21正正且與且與是經(jīng)過是經(jīng)過設(shè)設(shè)Czz ,交交的的任任一一圓圓周周,處處正正交交在在交交點(diǎn)點(diǎn)與與又又因因zC ( 21半半徑徑為為無無的的特特殊殊情情形形的的直直線線是是與與顯顯然然過過 zz.,0zC因而必過因而必過正交正交其其必必與與窮窮大大), . 0的的切切線線就就是是的的半半徑徑因因此此 zzC C0z.1z.2z.z .結(jié)論結(jié)論 : ,021的的一一對對對對稱稱點(diǎn)點(diǎn)的的是是關(guān)關(guān)于于圓圓周周RzzCzz . , 21正正

26、交交與與的的任任何何圓圓周周經(jīng)經(jīng)過過Czz 充要條件是充要條件是:,20102Rzzzz 則則.21的的一一對對對對稱稱點(diǎn)點(diǎn)是是關(guān)關(guān)于于圓圓周周與與即即Czz即即分式線性映射具有保對稱性分式線性映射具有保對稱性.定理定理三三 . 的的一一對對對對稱稱點(diǎn)點(diǎn)的的象象曲曲線線 C , ,21也也是是關(guān)關(guān)于于它它們們的的象象點(diǎn)點(diǎn)在在分分式式線線性性映映射射下下ww , , 21那那么么的的一一對對對對稱稱點(diǎn)點(diǎn)是是關(guān)關(guān)于于圓圓周周設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)Czz證證 ,:21的的圓圓周周與與經(jīng)經(jīng)過過設(shè)設(shè)zz ,:21的的任任一一圓圓周周與與經(jīng)經(jīng)過過ww 分式線性映射分式線性映射 ,角角性性而而分分式式線線性性映映射射具具

27、有有保保正正交交與與因因?yàn)闉镃 . )(必必正正交交的的象象與與所所以以CC .,21的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)是一對關(guān)于是一對關(guān)于與與因此因此Cww 證畢證畢四、唯一決定分式線性映射的條件四、唯一決定分式線性映射的條件含有三個獨(dú)立的常數(shù)含有三個獨(dú)立的常數(shù) )0( bcaddczbazw分分式式線線性性映映射射定理定理 ).3 , 2 , 1( kwk依依次次映映射射成成 ,321zzzz異異的的點(diǎn)點(diǎn)平平面面上上任任意意給給定定三三個個相相在在 ,321wwww相相異異的的點(diǎn)點(diǎn)平平面面上上也也任任意意給給定定三三個個在在)3 , 2 , 1( kzk將將 ,線性映射線性映射那末就存在唯一的分式那末就存在

28、唯一的分式 只需給定三個條件就能決定一個分式線性映射只需給定三個條件就能決定一個分式線性映射.kww 所以所以kww 3證證依次映射成依次映射成)3 , 2 , 1( kdczbazwkkk)3 , 2 , 1( kzk)0( bcaddczbazw設(shè)設(shè)將相異點(diǎn)將相異點(diǎn)由此得由此得231321:wwwwwwww )2 , 1(,)()( kdczdczbcadzzkk)2 , 1(,)()(33 kdczdczbcadzzkk.:231321zzzzzzzz 所以三對對應(yīng)點(diǎn)可唯一確定一個分式線性映射所以三對對應(yīng)點(diǎn)可唯一確定一個分式線性映射.將上式整理即可得到形為的分式線性將上式整理即可得到形為

29、的分式線性映射，從而證明了存在性映射，從而證明了存在性 )0( 也也將將如如果果另另一一映映射射 bcaddczbazw )3 , 2 , 1( )3 , 2 , 1( kdczbazwkzkkkk依依次次映映射射成成重復(fù)上述步驟重復(fù)上述步驟, 仍得到相同形式的結(jié)果仍得到相同形式的結(jié)果. dczbazw 唯一性：唯一性：代替代替的因子用數(shù)字的因子用數(shù)字應(yīng)將含有應(yīng)將含有現(xiàn)現(xiàn)如果在三對點(diǎn)中出如果在三對點(diǎn)中出時時注：在求分式線性映射注：在求分式線性映射1, ，則則它它可可表表示示為為以以及及有有是是一一分分式式線線性性映映射射，且且推推論論：設(shè)設(shè)2211)()()(wzfwzfzfw .( 2121

30、為為復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)）kzzzzkwwww 時時，有有特特別別地地，當(dāng)當(dāng) 21 , 0 ww.( 21為為復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)）kzzzzkw 兩個典型區(qū)域間的映射兩個典型區(qū)域間的映射)(zoxy)(wouv .10)Im(分式線性映射分式線性映射的的映射成單位圓映射成單位圓求將上半平面求將上半平面 wz1 .1.i解解 1 , 0 , 1 321使使之之軸軸上上任任取取三三點(diǎn)點(diǎn)在在 zzzx 1, 1 1 321 wiwww上上的的三三點(diǎn)點(diǎn)依依次次對對應(yīng)應(yīng)于于.1 .1.例例1 1所求分式線性映射為所求分式線性映射為iiww 111:1.1 izizw化簡得化簡得:注意注意: 本題中如果選取其他三對不同

31、點(diǎn)本題中如果選取其他三對不同點(diǎn), 也能得也能得出滿足要求但不同于本題結(jié)果的分式線性映射出滿足要求但不同于本題結(jié)果的分式線性映射.可見可見, 把上半平面映射成單位圓的分式線性映射把上半平面映射成單位圓的分式線性映射不唯一不唯一, 有無窮多個有無窮多個. , 321321繞繞向向相相同同與與由由于于wwwzzz,0111:01 zz另解另解: 設(shè)實(shí)軸映射成單位圓周設(shè)實(shí)軸映射成單位圓周, 0 0 wzz映映射射成成圓圓心心上上半半平平面面某某點(diǎn)點(diǎn) 0 wzz必必映映射射成成那那么么則所求映射具有下列形式則所求映射具有下列形式: ).( 00為常數(shù)為常數(shù)kzzzzkw )(zoxy)(wouv0z.0

32、z.)( 由于由于z為實(shí)數(shù)時為實(shí)數(shù)時, 1 w, 100 zzzz00 zzzzkw 所所以以).( 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)即即 iek 上半平面映為單位圓的分式線性映射的一般形式上半平面映為單位圓的分式線性映射的一般形式)0(Im,000 zzzzzewi 說明說明: , 2, 0 iz取取 .1 izizw得得, 0, 0 iz若若取取 . izizw 得得 , 1 k , 10)Im( wz映映射射成成單單位位圓圓求求將將上上半半平平面面 .0)2(arg , 0)2( 性性映映射射的的分分式式線線且且滿滿足足條條件件 iwiw解解 : 0)2( 知知由由條條件件 iw . 0 2 wiz

33、映映射射成成依上題結(jié)論得依上題結(jié)論得),22(izizewi 例例2 2,)2(4)(2iziezwi 因因?yàn)闉?.4()2(ieiwi 所所以以)4arg(arg)2(argieiwi 從而所求映射為從而所求映射為).22(iziziw , 0)2( .2 所以所以)(wouv)( oxy)(z解解 , 0 0 wzz設(shè)設(shè) .1 0 wzz則則.0z.01z. 1 1 式線性映射式線性映射的分的分映射成單位圓映射成單位圓求將單位圓求將單位圓 wz例例3 3001zzzzkw 1000 zzzzzk)(,1000zkkzzzzk , 11 wz因因?yàn)闉?100zzzzkw 00111 zzkw

34、z 得得所以，取所以，取. 1 因此可設(shè)所求分式線性映射為因此可設(shè)所求分式線性映射為:，又又因因?yàn)闉?1100zz , 1 k所所以以 . iek 即即故所求分式線性映射為故所求分式線性映射為:zzzzewi001 ) ( 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù) 將單位圓映為單位圓的常用映射將單位圓映為單位圓的常用映射例例4 .021, 021的的分分式式線線性性映映射射圓圓且且滿滿足足條條件件求求將將單單位位圓圓映映射射為為單單位位 ww解解 : 0)21( 知知由由條條件件 w . 021 wz映映射射成成依上題結(jié)論得依上題結(jié)論得.212zzewi ,3421 iew 由此得由此得.212zzw , 021

35、 w因因?yàn)闉?21為為正正實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)則則 w所以所求映射為所以所求映射為 .21arg w故故 . 0 得得且且滿滿足足條條件件映映射射成成求求將將22 0)Im( iwz .2)2(arg,2)2(的的分分式式線線性性映映射射 iwiiw分析分析 :22 0)Im( 可考慮可考慮映射成映射成為將為將 iwz)(zo.o)( .i 2o)(w上半平面上半平面0)Im( z單位圓域單位圓域1 z圓域圓域22 iz例例5 5伸長伸長平移平移解解 如圖示如圖示)(zo.i 2o)( iziz22 iw22 o)(w.izziw22)1(2 則所求映射為則所求映射為:.i 2.另解另解 如圖示如圖示:i

36、zizei22 22iw 0)2( i izizeiwi2222 所所以以. 412)2(ieiwi 由此得由此得.o)(w.i 2o)( .)(zo. 0 從從而而得得,2)2( iw由由于于已已知知于是所求的映射為于是所求的映射為,2222iziziw . 22)1(2izziw 或或,2)2(arg iw小結(jié)小結(jié) 分式線性映射是共形映射的一個重要內(nèi)容分式線性映射是共形映射的一個重要內(nèi)容 , 應(yīng)熟練掌握并會應(yīng)用分式線性映射的各種性質(zhì)尋應(yīng)熟練掌握并會應(yīng)用分式線性映射的各種性質(zhì)尋找一些簡單而典型的區(qū)域之間的共形映射；掌握找一些簡單而典型的區(qū)域之間的共形映射；掌握上半平面到上半平面上半平面到上半

37、平面, 上半平面到單位圓上半平面到單位圓, 單位圓單位圓到單位圓的分式線性映射到單位圓的分式線性映射.小知識小知識分式線性映射首先由德國數(shù)學(xué)家默比烏斯分式線性映射首先由德國數(shù)學(xué)家默比烏斯(17901868)研究研究, 所以也稱為所以也稱為默比烏斯映射默比烏斯映射.: . 2經(jīng)經(jīng)變變形形得得dczbazw 0 bazdwcwz對每一個固定的對每一個固定的w, 此式關(guān)于此式關(guān)于z是線性的是線性的;對每一對每一個固定的個固定的z, 此式關(guān)于此式關(guān)于w也是線性的也是線性的, 因此稱上式因此稱上式是雙線性的是雙線性的. 分式線性映射也稱分式線性映射也稱雙線性映射雙線性映射.默比烏斯默比烏斯默比烏斯資料默

38、比烏斯資料August MbiusBorn: 17 Nov 1790 in Schulpforta, Saxony (now Germany)Died: 26 Sept 1868 in Leipzig, Germany一、冪函數(shù)一、冪函數(shù)二、指數(shù)函數(shù)二、指數(shù)函數(shù)小結(jié)與思考小結(jié)與思考一、冪函數(shù)一、冪函數(shù))2(為為自自然然數(shù)數(shù) nzwn1dd nnzzw :0 )1(時時當(dāng)當(dāng) z ,0dd平面內(nèi)除原點(diǎn)外平面內(nèi)除原點(diǎn)外則在則在zzw .保保角角映映射射所所構(gòu)構(gòu)成成的的映映射射是是第第一一類類由由nzw 平面內(nèi)處處可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)該函數(shù)在該函數(shù)在z )2(, , iiewrez 令令 .

39、, nrn 有有則則: 1) rz 圓圓周周nrw 圓圓周周(特殊地特殊地: 單位圓周映射為單位圓周單位圓周映射為單位圓周)0 射射線線0 n 射射線線 )0 0 ( 映映射射成成正正實(shí)實(shí)軸軸正正實(shí)實(shí)軸軸2) 20 )30 n 角形域角形域 0 0 n 角角形形域域. 0 倍倍來來的的射射變變?yōu)闉樵幪幗墙切涡斡蛴虻牡膹垙埥墙墙?jīng)經(jīng)過過映映即即在在nz )0 )0 n0)(w0)(z .0 ,2 ,處沒有保角性處沒有保角性在在映射映射時時當(dāng)當(dāng)因此因此 zzwnn0)(z特殊地特殊地: 20 n 角角形形域域 20 角角形形域域)n 2 00 映映射射成成正正實(shí)實(shí)軸軸的的上上岸岸 22 映映射射

40、成成正正實(shí)實(shí)軸軸的的下下岸岸n上岸上岸)(w0沿正實(shí)軸剪開的沿正實(shí)軸剪開的w平面平面下岸下岸映射特點(diǎn)映射特點(diǎn): 把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成以原把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域, 但張角變成為原來的但張角變成為原來的 n 倍倍. 0 n0)(w0 0)(znnwzzw 因此將角形域的張角拉大（或縮小）時，就可利因此將角形域的張角拉大（或縮?。r，就可利用冪函數(shù)用冪函數(shù) 所構(gòu)成的共所構(gòu)成的共形映射形映射.)(nnzwzw 或根式函數(shù)或根式函數(shù) 4arg0 映射成單位圓映射成單位圓求把角形域求把角形域 z . 1的一個映射的一個映射 w0)(z)4 ?0)(w?如果

41、要把角形域映射成角形域，常利用冪函數(shù)如果要把角形域映射成角形域，常利用冪函數(shù).例例1 1解解4z iiw izizw 440)(z)4 0)(w0)( 因此所求映射為因此所求映射為:01 1?)(w.21zw C1 1.0)(z解解 )0Im(, 1:映射成映射成求把上半個單位圓求把上半個單位圓 zz.上上半半平平面面的的映映射射例例0)(1zzzz 111211 zzw2C1C 0)(z 21所所圍圍成成的的交交角角為為與與求求把把下下圖圖中中由由圓圓弧弧CC arg 00的一的一的月牙域映射成角形域的月牙域映射成角形域 z個映射個映射.0)(w 0 ? ?例例0)( 解解i 2C1C 0)

42、(z1 , 21iiCC 的的交交點(diǎn)點(diǎn)為為與與, 0 iz, izi實(shí)現(xiàn)此步的映射是分式線性函數(shù)實(shí)現(xiàn)此步的映射是分式線性函數(shù): . 為待定的復(fù)常數(shù)為待定的復(fù)常數(shù)其中其中kizizk izizk 0)( i 2C1C 0)(z1i izizk 1 z此映射將此映射將, 1 , 使使取取ik . 1平面上的正實(shí)軸平面上的正實(shí)軸則則 C.arg0 ,根根據(jù)據(jù)保保角角性性:月牙域被映射成角形域月牙域被映射成角形域0)( i 2C1C 0)(z1i izizk .11ikiik i0)( i 2C1C 0)(z1i izizi 0)( i 2C1C 0)(z1i izizi .0)(w 0 0 逆時針旋轉(zhuǎn)逆時針旋轉(zhuǎn) 0iew 因此所求映射