ch有理函數(shù)的不定積分及其應(yīng)用學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1ch有理函數(shù)的不定積分及其應(yīng)用有理函數(shù)的不定積分及其應(yīng)用有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義：兩個(gè)兩個(gè)多項(xiàng)式的商多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱(chēng)為表示的函數(shù)稱(chēng)為有理函數(shù)有理函數(shù). .nnnnmmmmbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)；maaa,10及及nbbb,10都都是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，并并且且00 a，00 b. 第1頁(yè)/共33頁(yè)假定分子與分母之間沒(méi)有公因式假定分子與分母之間沒(méi)有公因式,)1(nm 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是真分式真分式；,)2(nm 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是假分式假分式； 利用多項(xiàng)式除法利用多項(xiàng)式除法, , 假分式可以化成

2、一個(gè)多假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和. .例例1123 xxx.112 xx要點(diǎn)要點(diǎn)將有理函數(shù)化為將有理函數(shù)化為部分分式部分分式之和之和.第2頁(yè)/共33頁(yè)真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 1第3頁(yè)/共33頁(yè)2)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值來(lái)確定系數(shù)代入特殊值來(lái)確定系數(shù)CBA,取取, 0

3、 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并將并將 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2第4頁(yè)/共33頁(yè)例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得第5頁(yè)/共33頁(yè)例例4 4 求積分求積分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.|1|ln11|lnCxxx 解解第6頁(yè)/

4、共33頁(yè))()()(210nnsxsxsxbxQ 1、實(shí)、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的分解問(wèn)題系數(shù)多項(xiàng)式的分解問(wèn)題(理論上理論上)（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)可分解為一次的乘積）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)可分解為一次的乘積 ( 代數(shù)基本定理代數(shù)基本定理: n 次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有n個(gè)根個(gè)根 )ntttsxsxsxbxQktkttnk 21210)()()()(21（2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可分解為一次和）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可分解為一次和(或或)二次的乘積二次的乘積. 04, 04,22)()( )()()(22220 srqpnsrxxqpxxbxaxbxQn 第7頁(yè)/共33頁(yè)（1）分母中若有因式分母中若有因式 ，則分解

5、后為，則分解后為kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 2、有理函數(shù)、有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律化為部分分式之和的一般規(guī)律其中其中kAAA,21都是常數(shù)都是常數(shù).特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;axA 真分式的分子可以是常數(shù)到比分母低一次的多項(xiàng)式真分式的分子可以是常數(shù)到比分母低一次的多項(xiàng)式第8頁(yè)/共33頁(yè)（2）分母中若有因式分母中若有因式 ，其，其中中kqpxx)(2 則分解后為則分解后為042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iiNM ,都是常數(shù)都是常數(shù)), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1

6、k分解后為分解后為;2qpxxNMx 第9頁(yè)/共33頁(yè)說(shuō)明說(shuō)明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只有三將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只有三類(lèi)情況出現(xiàn)：類(lèi)情況出現(xiàn)：)1(多項(xiàng)式；多項(xiàng)式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 討論積分討論積分,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx 令令tpx 23 3、利用、利用待定系數(shù)法將待定系數(shù)法將真分式化為部分分式之和真分式化為部分分式之和第10頁(yè)/共33頁(yè),422pqa ,2MpNb 則則 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx , bMtNMx 記記第11頁(yè)/共33頁(yè),

7、 1)2( n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn這三類(lèi)積分均可積出這三類(lèi)積分均可積出, , 且且原函數(shù)都是初等函數(shù)原函數(shù)都是初等函數(shù). .結(jié)論結(jié)論 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). ., 1)1( n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 第12頁(yè)/共33頁(yè)例例5 5 求積分求積分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251|21|ln52.arctan51)1ln(51|21|ln522Cx

8、xx 第13頁(yè)/共33頁(yè)例例6 6 求積分求積分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 2133136第14頁(yè)/共33頁(yè)Ctttt arctan3)1ln(23|1|ln3|ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23|1|ln3|ln6 ttdttttd 2221131)1(第15頁(yè)/共33頁(yè)課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： 求積分求積分 dxx11. 14 dxx11. 24) 12)(12(2) 1(2

9、121222222244 xxxxxxxxxx.121222 dxxxDCxxxBAx.1112 dxxDCxxBxA第16頁(yè)/共33頁(yè)三角有理式的定義：三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱(chēng)之一般記為構(gòu)成的函數(shù)稱(chēng)之一般記為)cos,(sinxxR2cos2sin2xx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx xcos令令2tanxu xsin,2sin2cos22xx 1 1、三角函數(shù)有理式、三角函數(shù)有理式第17頁(yè)/共33頁(yè)2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12

10、sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （萬(wàn)能代換公式）（萬(wàn)能代換公式）第18頁(yè)/共33頁(yè)例例7 7 求積分求積分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由萬(wàn)能代換公式由萬(wàn)能代換公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222第19頁(yè)/共33頁(yè)duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2ta

11、nxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 第20頁(yè)/共33頁(yè)例例8 8 求積分求積分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 第21頁(yè)/共33頁(yè)解（二）解（二）修改萬(wàn)能代換公式修改萬(wàn)能代換公式,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 第22頁(yè)/共33頁(yè)解（三）解（三

12、） 可以不用可以不用萬(wàn)能公式萬(wàn)能公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd .cot31cot3Cxx 結(jié)論結(jié)論比較以上三種解法比較以上三種解法, 便知萬(wàn)能置換不一定便知萬(wàn)能置換不一定是最佳方法是最佳方法, 故三角有理式的計(jì)算中先考故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段慮其它手段, 不得已才用萬(wàn)能置換不得已才用萬(wàn)能置換.思考：能否用其他方法求例思考：能否用其他方法求例7？第23頁(yè)/共33頁(yè)討論類(lèi)型討論類(lèi)型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法解決方法作代換去掉根號(hào)作代換去掉根號(hào). .例例9 9 求積分求積分 dx

13、xxx11解解 令令txx 1,12txx 第24頁(yè)/共33頁(yè),112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 第25頁(yè)/共33頁(yè)例例1111 求積分求積分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 說(shuō)明說(shuō)明無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí)無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí), 取根指數(shù)的取根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù).第26頁(yè)/共33頁(yè)u簡(jiǎn)單無(wú)理式的積分簡(jiǎn)單無(wú)理式

14、的積分 ( (換元換元) )u有理函數(shù)的有理函數(shù)的積分積分 ( (分解成部分分式之和分解成部分分式之和) )（注意：必須化成真分式）（注意：必須化成真分式）u三角有理式的積分（三角有理式的積分（萬(wàn)能置換公式萬(wàn)能置換公式）（注意：萬(wàn)能公式并不萬(wàn)能）（注意：萬(wàn)能公式并不萬(wàn)能）第27頁(yè)/共33頁(yè)補(bǔ)充補(bǔ)充1: 1: 有理函數(shù)的積分的實(shí)際問(wèn)題有理函數(shù)的積分的實(shí)際問(wèn)題障礙障礙: : 五次和五次以上的方程沒(méi)有根式解五次和五次以上的方程沒(méi)有根式解. .Gauss, 高斯高斯, 德國(guó)德國(guó), 17771855;Cauchy, 柯西柯西, 法國(guó)法國(guó), 17891857;Liouville, 劉維爾劉維爾, 法國(guó)法國(guó)

15、, 18091882;Abel, 阿貝爾阿貝爾, 挪威挪威, 18021829;Galois, 伽羅瓦伽羅瓦, 法國(guó)法國(guó), 18111832.第28頁(yè)/共33頁(yè))1|0(sin1. 4ln1. 3sin. 2. 1222 kdxxkdxxdxxxdxex補(bǔ)充補(bǔ)充2: 2: 原函數(shù)不是初等函數(shù)的積分原函數(shù)不是初等函數(shù)的積分概率積分概率積分正弦積分正弦積分對(duì)數(shù)積分對(duì)數(shù)積分橢圓積分橢圓積分橢圓函數(shù)橢圓函數(shù)反函數(shù)反函數(shù)18341834年劉維爾年劉維爾第29頁(yè)/共33頁(yè) 作作 業(yè)業(yè)P269: 1(1,5,9,10,12,14), 2, 4(1,4,6,9), 6(2,6,7,10,11,12),7.第30頁(yè)/共33頁(yè)擴(kuò)展擴(kuò)展 求積分求積分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2s