【數(shù)學(xué)】2013年高考真題北京卷（文）解析版

1、 2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）本試卷滿分150分，考試時(shí)120分鐘，考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效，第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1已知集合，則（ ）A B C D2設(shè)，且，則（ ）A B C D3下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）A B C D4在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5在中，則（ ）A B C D6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（ ）A B C D7雙曲線的離心率大于的充分必要條件是

2、A BC D8如圖，在正方體中，為對角線的三等分點(diǎn)，則到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有（ ）A個(gè) B個(gè) C個(gè) D個(gè)第二部分（選擇題 共110分）二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）9若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則 ，準(zhǔn)線方程為 。10某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為 。 11若等比數(shù)列滿足，則公比 ；前項(xiàng)和 。12設(shè)為不等式組所表示的平面區(qū)域，區(qū)域上的點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的最小值為 。13函數(shù)的值域?yàn)?。14向量，若平面區(qū)域由所有滿足（，）的點(diǎn)組成，則的面積為 。三、解答題（共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明，演算步驟）15（本小題共13分） 已知函數(shù)（1）求的最小正周期及最大值

3、。（2）若，且，求的值。16（本小題共13分） 下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染。某人隨機(jī)選擇3月1日至14日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天。（1）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率。（2）求此在在該市停留期間只有一天空氣重度污染的概率。（3）由圖判斷，從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）17（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，平面底面，和分別是和的中點(diǎn)，求證：（1）底面（2）平面（3）平面平面18（本小題共13分）已知函數(shù)（1）若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求與的值。（2）若曲線與直

4、線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍。19（本小題共14分）直線（）：相交于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)（1）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且四邊形為菱形時(shí)，求的長。（2）當(dāng)點(diǎn)在上且不是的頂點(diǎn)時(shí)，證明四邊形不可能為菱形。20（本小題共13分）給定數(shù)列，。對，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，后項(xiàng)，的最小值記為，。（1）設(shè)數(shù)列為，寫出，的值。（2）設(shè)，（）是公比大于的等比數(shù)列，且，證明，是等比數(shù)列。（3）設(shè)，是公差大于的等差數(shù)列，且，證明，是等差數(shù)列。2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1B 2D 3C 4A 5B 6C 7C 8B 二、填空題（共6小題，每小題

5、5分，共30分）9， 10 11，12 13 14三、解答題（共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明，演算步驟）15（本小題共13分） 解：（1） 所以，最小正周期當(dāng)（），即（）時(shí) （2）因?yàn)?所以 因?yàn)?，所?所以，即16（本小題共13分）解：（1）因?yàn)橐Ａ?天，所以應(yīng)該在3月1日至13日中的某天到達(dá)，共有13種選擇，其間重度污染的有兩天， 所以概率為（2）此人停留的兩天共有13種選擇，分別是：，其中只有一天重度污染的為，共4種，所以概率為（3）因?yàn)榈?，6，7三天的空氣質(zhì)量指數(shù)波動(dòng)最大，所以方差最大。17（本小題共14分）證明：（1）因?yàn)?，平面底面且平面底?所以底面（2）因?yàn)楹头?/p>

6、別是和的中點(diǎn)，所以，而平面，平面，所以平面（3）因?yàn)榈酌妫?平面 所以，即因?yàn)?，所以而平面，平面，且所以平面因?yàn)?，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，而平面，平面所以平面，同理平面，而平面，平面?所以平面平面， 所以平面 又因?yàn)槠矫嫠云矫嫫矫?8（本小題共13分）解：（1）因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線為所以，即，解得（2）因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減 所以當(dāng)時(shí)，取得最小值， 所以的取值范圍是19（本小題共14分）解：（1）線段的垂直平分線為， 因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以直線與橢圓的交點(diǎn)即為，兩點(diǎn)對橢圓，令得所以（2）方法一：當(dāng)點(diǎn)不是的頂點(diǎn)時(shí)， 聯(lián)立方程得設(shè)，則， 若四邊形為菱形，則，即所以即因?yàn)辄c(diǎn)不是的頂點(diǎn)，所以，所以即，即所以此時(shí)，直線與軸垂直，所以為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，與已知矛盾，所以四邊形不可能為菱形方法二：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，設(shè)（）則，兩點(diǎn)為圓與橢圓的交點(diǎn)聯(lián)立方程得所以，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)。因?yàn)辄c(diǎn)在上若，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)應(yīng)為橢圓的左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)。不合題意。若，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，點(diǎn)應(yīng)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)。不合題意。所以四邊形不可能為菱形。20（本小題共13分）解：（1），（2）因?yàn)?，（）是公比大于的等比?shù)列，且 所以所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，所以，是等比數(shù)列。（3）若，是公差大于的等差數(shù)列