西安交大計(jì)算方法第一章

1、數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 馬軍馬軍理科樓理科樓 338QQ 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 馬軍馬軍理科樓理科樓 338QQ 604751413112134131216113121321321321xxxxxxxxx1, 1, 1:321xxx其其解解為為求解方程組求解方程組78. 020. 025. 033. 008. 125. 033. 050. 083. 133. 050. 000. 1321321321xxxxxxxxx演示計(jì)算方法計(jì)算方法鄧建中鄧建中, ,西安交通大學(xué)出版社西安交通大學(xué)出版社數(shù)值分析數(shù)值分析李乃成李乃成, ,梅立泉梅立泉 科學(xué)出版社科學(xué)出版社參考書參考書課程成績(jī)課程

2、成績(jī) 考試成績(jī)考試成績(jī) 80%80%上機(jī)成績(jī)上機(jī)成績(jī) 20%20%課程基礎(chǔ)課程基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)基礎(chǔ) 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 線性代數(shù)線性代數(shù) 計(jì)算機(jī)語(yǔ)言計(jì)算機(jī)語(yǔ)言 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 第第1 1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 什么是數(shù)值計(jì)算方法什么是數(shù)值計(jì)算方法第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 算法算法數(shù)值型問題數(shù)值型問題 解決工程計(jì)算問題解決工程計(jì)算問題非數(shù)值型問題非數(shù)值型問題 解決一般的計(jì)算機(jī)應(yīng)用解決一般的計(jì)算機(jī)應(yīng)用理論基礎(chǔ)理論基礎(chǔ):高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué),線性代線性代數(shù)數(shù),數(shù)學(xué)模型

3、數(shù)學(xué)模型,計(jì)算方法等計(jì)算方法等理論基礎(chǔ)理論基礎(chǔ):數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),離散離散數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)等計(jì)算機(jī)處理的問題計(jì)算機(jī)處理的問題第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 問題的類型問題的類型第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 n定義定義 誤差誤差是指近似值與真正值之差是指近似值與真正值之差 誤差分類誤差分類模型誤差模型誤差在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，忽略次要因素而造成的在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，忽略次要因素而造成的數(shù)據(jù)誤差數(shù)據(jù)誤差由于問題中的值通過觀察得到的，從而產(chǎn)生誤差由于問題中的值通過觀察得到的，從而產(chǎn)生誤差截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差通過近似替代，簡(jiǎn)化為較易求解的問題通過近似替代，簡(jiǎn)化為較

4、易求解的問題舍入誤差舍入誤差由于計(jì)算機(jī)中的性能限制而造成的由于計(jì)算機(jī)中的性能限制而造成的第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 的近似值是真值設(shè)xxxxxx或 的絕對(duì)誤差稱為近似值x誤差限稱為絕對(duì)誤差界或絕對(duì)則令,x)( xxx或者記為有絕對(duì)誤差或絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差或絕對(duì)誤差限常常簡(jiǎn)稱為誤差常常簡(jiǎn)稱為誤差相對(duì)誤差相對(duì)誤差第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 的近似值是真值設(shè)xxxxxxxxx 或的相對(duì)誤差稱為近似值x誤差限稱為相對(duì)誤差界或相對(duì)則令rrx, )1 (rxx有相對(duì)誤差界相

5、對(duì)誤差界常用百分?jǐn)?shù)表示常用百分?jǐn)?shù)表示, ,簡(jiǎn)稱為相對(duì)誤差簡(jiǎn)稱為相對(duì)誤差準(zhǔn)確數(shù)字準(zhǔn)確數(shù)字第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 0,12121xxxxxxxxnmmmm并設(shè)設(shè)nxx1021 50000. 0n個(gè)若位小數(shù)準(zhǔn)確到稱為nx準(zhǔn)確數(shù)字及其以前的非零數(shù)字為并稱nmx.897931415926535. 3:例1416. 3141105 . 000005. 00000073. 0位準(zhǔn)確數(shù)字共位小數(shù)準(zhǔn)確到則541，有效數(shù)字有效數(shù)字第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 nmmmmxxxxxxx2121設(shè)nmmmmmxxxxxx2121. 010mnmxxxx21

6、000 . 0個(gè)mnmxxx21. 010位準(zhǔn)確數(shù)字具有位小數(shù)準(zhǔn)確到則如果mnnxxxn,1021數(shù)稱為有效數(shù)各位數(shù)字都準(zhǔn)確的近似字各準(zhǔn)確數(shù)字稱為有效數(shù)問題的性態(tài)問題的性態(tài)第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 可表示為有關(guān)與某些參量設(shè)數(shù)學(xué)問題的解,.,21nxxxy),.,(21nxxxy),.,( ,21nxxxy，得到近似解解也會(huì)有誤差時(shí)則當(dāng)各輸入?yún)?shù)有誤差),.,(),.,( 2121nnxxxxxxyy-y則解的絕對(duì)誤差為),.,(y 21nxxxyyy相對(duì)誤差為問題的性態(tài)問題的性態(tài)第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 于函數(shù)的微分函數(shù)的增量可以

7、近似等當(dāng)數(shù)據(jù)誤差較小時(shí)，iniinxxxxxy121),.,(iiniinxxxxxxy121),.,(倍數(shù)縮小的放大或表示解的誤差相對(duì)量的或其中的系數(shù)iiixxx的條件數(shù)稱其為問題y否則稱為良態(tài)問題態(tài)問題條件數(shù)大的問題稱為病,問題的性態(tài)問題的性態(tài)第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 可以得到)()()(211221xxxxxx22212121)(xxxxxxx浮點(diǎn)數(shù)系浮點(diǎn)數(shù)系第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 ). 0()( 21tmxxxbxxflx按舍入原則表示為將實(shí)數(shù)進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)并稱為b:其中稱為基數(shù)基數(shù) b:的數(shù)字為尾數(shù)1.,2 , 1 , 0

8、,. 0:21bxxxxit稱為規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)時(shí)當(dāng)，x01UmL，m:范圍稱為階碼階碼稱為計(jì)算機(jī)的位數(shù)位數(shù) t :浮點(diǎn)數(shù)系浮點(diǎn)數(shù)系第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 可能有半位誤差其末位數(shù)字規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)txxfl)(tmmtbbbxflx2121)( 絕對(duì)誤差tbxfl(x)x121 相對(duì)誤差計(jì)算機(jī)的相對(duì)精度 在計(jì)算機(jī)的浮點(diǎn)數(shù)系中,四則運(yùn)算是非封閉的 為使經(jīng)過算術(shù)運(yùn)算產(chǎn)生的結(jié)果仍然以同一浮點(diǎn)數(shù)系中的數(shù)表示,必須用一個(gè)比較接近的浮點(diǎn)數(shù)代替.因此會(huì)產(chǎn)生誤差,稱此誤差為舍入誤差第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 點(diǎn)數(shù)系的浮點(diǎn)數(shù)的集合稱為浮在計(jì)算機(jī)中所有規(guī)

9、格化浮點(diǎn)數(shù)系浮點(diǎn)數(shù)系浮點(diǎn)數(shù)系浮點(diǎn)數(shù)系第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 223(2,3,-1,2)(0.100 2 ) (0.110 2 )0.110 2F上溢 在中 012(2,3,-1,2)(0.100 2 ) (0.110 2 )0.110 2F下溢 在中 浮點(diǎn)數(shù)系浮點(diǎn)數(shù)系第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 001(2,3,-1,2)(0.100 2 )(0.111 2 )0.1101 2F 在中 浮點(diǎn)數(shù)系浮點(diǎn)數(shù)系第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 (1)(1)避免

10、產(chǎn)生大結(jié)果的運(yùn)算，尤其是避免小數(shù)作為除數(shù)避免產(chǎn)生大結(jié)果的運(yùn)算，尤其是避免小數(shù)作為除數(shù) 參加運(yùn)算；參加運(yùn)算；(2)(2)避免避免“大大”“”“小小”數(shù)相加減；數(shù)相加減；(3)(3)避免相近數(shù)相減，防止大量有效數(shù)字損失；避免相近數(shù)相減，防止大量有效數(shù)字損失；(4)(4)盡可能簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)。盡可能簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)。浮點(diǎn)運(yùn)算原則浮點(diǎn)運(yùn)算原則第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 n定義定義 在執(zhí)行某一數(shù)值方法時(shí)，如果由初始誤差導(dǎo)致最終解在執(zhí)行某一數(shù)值方法時(shí)，如果由初始誤差導(dǎo)致最終解的誤差能被有效地控制，這樣的方法是的誤差能被有效地控制，這樣的方法是數(shù)值穩(wěn)定數(shù)值穩(wěn)定的的 方法的數(shù)值穩(wěn)定性是指運(yùn)算中由初始誤差通過計(jì)算方法的數(shù)值穩(wěn)定性是指運(yùn)算中由初始誤差通過計(jì)算導(dǎo)致的最終解的誤差的可控性導(dǎo)致的最終解的誤差的可控性反之，如果各個(gè)計(jì)算過程中的誤差不斷增長(zhǎng)，且不能反之，如果各個(gè)計(jì)算過程中的誤差不斷增長(zhǎng)，且不能被有效地控制，則該方法稱為被有效地控制，則該方法稱為數(shù)值不穩(wěn)定數(shù)值不穩(wěn)定的的第第1章章 數(shù)值計(jì)算方法的一般概念數(shù)值計(jì)算方法的一般概念 計(jì)算機(jī)在計(jì)算過程中，由于原始數(shù)據(jù)可能有誤差，每次運(yùn)算也計(jì)算機(jī)在計(jì)算過程中，由于原始數(shù)