無窮小與無窮大及四則運算學習教案

1、無窮小與無窮大及四則運算無窮小與無窮大及四則運算(s z yn sun)第一頁，共36頁。&知識目標知識目標(mbio)(mbio)& 1 1、理解無窮大與無窮小的概念、理解無窮大與無窮小的概念& 2 2、掌握無窮小的性質(zhì)、掌握無窮小的性質(zhì)&能力目標能力目標& 1 1、會用無窮小計算函數(shù)的極限、會用無窮小計算函數(shù)的極限(jxin)(jxin)& 2 2、會將無窮小的數(shù)學概念與專業(yè)問、會將無窮小的數(shù)學概念與專業(yè)問題互譯題互譯第1頁/共36頁第二頁，共36頁。實例實例(shl)1在日常生活中，經(jīng)常用樟腦丸來保護收藏(shucng)的衣物，但我們發(fā)現(xiàn)隨

2、著時間推移，樟腦丸會變得越來越小，最后樟腦丸的質(zhì)量將會如何變化？第2頁/共36頁第三頁，共36頁。第3頁/共36頁第四頁，共36頁。一、一、 無窮小概念無窮小概念(ginin)1.無窮小的定義無窮小的定義(dngy), 027lim 33xx , 01limxx例例時為無窮小是當函數(shù)xx1.327 3時為無窮小是當 xx如果當 （或 ）時，函數(shù)f(x)的極限是零，那么稱函數(shù)f(x)當 （或 ）時為無窮小。0 xx x0 xx x表示常用,第4頁/共36頁第五頁，共36頁。例1 判斷下列(xili)函數(shù)哪些是無窮小，哪些不是無窮小。0是當3x 時為無窮小是當1x 時不是無窮小1x)3(0)()

3、1 (xxf00lim3x) 1(1)2(xx11lim1xx第5頁/共36頁第六頁，共36頁。簡言之，極限簡言之，極限(jxin)為為 0 的量叫做無窮小量。的量叫做無窮小量。.,無無窮窮小小是是變變量量等等同同無無窮窮小小與與很很小小的的數(shù)數(shù)不不能能 (1) . (2)的變化趨向無窮小必須指明自變量，即若即若 0)(lim 0)(lim 0 xfxfxxx )( 0時的無窮小。時的無窮小。是當是當則則 xxxxf.一一的的常常數(shù)數(shù)一一的的常常數(shù)數(shù)零零是是可可作作為為無無窮窮小小的的惟惟 第6頁/共36頁第七頁，共36頁。2.無窮小性質(zhì)無窮小性質(zhì)(xngzh)（1）有限）有限(yuxin)個

4、無窮小的代數(shù)和與乘積仍為無窮小。個無窮小的代數(shù)和與乘積仍為無窮小。)sin(lim. 10 xxx求例得有性質(zhì)時無窮小都是及函數(shù)解1,0sin:xxyxy0)sin(lim0 xxx)21(lim. 2222nnnnn求例但均為無窮小時當解,2,1,:222nnnnn21)2121(lim2) 1(lim)21(lim2222nnnnnnnnnnn第7頁/共36頁第八頁，共36頁。. (2)仍為無窮小有界函數(shù)與無窮小的積例例3 求極限求極限.1sinlim0 xxx 解解, 0lim 0 xx因為由性質(zhì)由性質(zhì)(xngzh)（2）. 01sinlim0 xxx , 11sinx而例例4 求極限求

5、極限.sin1lim xxx解解, 01lim xx因為, 1sinx而由性質(zhì)由性質(zhì)(xngzh)（2）. 0sin1lim xxx第8頁/共36頁第九頁，共36頁。當0 x時，xxx3 ,2都是無窮小，他們的積xxx3 ,2趨向于零的速度。 仍為無窮小，那么它們的商是否也是無窮小呢？并通過列表觀察20 lim0,3xxx,3lim20 xxx3232lim0 xxxx10.50.10.013x31.50.30.03x210.250.010.0001例5：第9頁/共36頁第十頁，共36頁。3、無窮小的比較、無窮小的比較(bjio)定義設(shè)和是同一變化過程(guchng)中的兩個無窮小， 即lim

6、 =0和lim=0() 如果，那么稱是的高階無窮小0lim() 如果，那么稱是的低階無窮小lim() 如果，那么稱是的同階無窮小)0(limcc特別是當c=1時，即當時，則稱與是等價無窮小,記作： 1lim第10頁/共36頁第十一頁，共36頁。1sinlim,3232lim,3lim, 03lim 002020 xxxxxxxxxxxx高階的無窮小是比 xx32低階的無窮小是比23xx同階的無窮小是比 xx32是等價無窮小與xxsin第11頁/共36頁第十二頁，共36頁。,0時當 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1常用(chn yn)等價無窮小 :第

7、八節(jié) 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共36頁第十三頁，共36頁。實例實例(shl)3小王有本金A元，銀行存款的年利率為 r，不考慮個人所得稅，按復利計算，小王第一年末(nin m)的本利和為A(1+r), 第二年末(nin m)的本利和為A(1+r) 2 ，第n年末(nin m)的本利和為A(1+r) n ，那么隨著存款時間推移，本利和會如何變化？第13頁/共36頁第十四頁，共36頁。 二、無窮大的概念二、無窮大的概念(ginin),1)(xxf觀察時，當 0 x無限增大無限增大| )(|xf記作記作 )(lim)(0 xfxxx如如 ,1lim 0 xx稱稱x1是當是當.0

8、時的無窮大時的無窮大 x ,3lim nn稱稱n3是當是當.時的無窮大時的無窮大 n ,) 1(limxx稱稱1 x是當是當.時的無窮大時的無窮大 x如果當 （或 ）時，函數(shù)f(x)的絕對值無限增大，那么稱函數(shù)f(x)當 （或 ）時為無窮大。0 xx x0 xx x定義(dngy): 第14頁/共36頁第十五頁，共36頁。 注意注意(zh y)！ 時時極極限限或或而而是是當當無無窮窮大大不不是是數(shù)數(shù) xxx0,1 .2量量的的變變化化趨趨向向無無窮窮大大必必須須指指明明自自變變 ，但但極極限限仍仍然然不不存存在在。為為極極限限 3 簡言之簡言之 ，極限，極限(jxin)為為 無窮無窮 的量叫做

9、無窮大量的量叫做無窮大量. , 的數(shù)分開因此要把無窮大與很大的函數(shù)為第15頁/共36頁第十六頁，共36頁。 , 0)( ,)( xfxf且且為無窮小為無窮小如果如果, )(為為無無窮窮大大如如果果xf; )(1 為無窮小為無窮小則則xf, 程程中中在在自自變變量量的的同同一一變變化化過過三、無窮小與無窮大的關(guān)系三、無窮小與無窮大的關(guān)系(gun x)(gun x). )(1 為無窮大為無窮大則則xf無窮小與無窮大互為無窮小與無窮大互為“倒數(shù)倒數(shù)(do sh)”.例例, 0)1(lim1 xx.11lim1 xx第16頁/共36頁第十七頁，共36頁。訓練訓練(xnlin)(xnlin)： 當推出一

10、種新的電子游戲程序時，其銷售量與時間的函數(shù)關(guān)系為 ， 為月份，100200)(2tttst（1）請計算(j sun)游戲推出后第6個月、第12個月和第三年的 銷售量。（2）請對該產(chǎn)品的長期銷售(xioshu)做出預測。解：8235. 8136120010066200)6() 1 (2s8361. 924424001001212200)12(2s第17頁/共36頁第十八頁，共36頁。1576. 51003636200)36(2s（2）隨著時間的推移，該產(chǎn)品的長期銷售應為時間 時的銷售量，即t0100200lim100200lim2tttttt上式說明當時間 時，銷售量的極限為0，即購買此游戲的人

11、會越來越少，人們轉(zhuǎn)向購買新的游戲。t第18頁/共36頁第十九頁，共36頁。引例(yn l)10000coslim20 xxx求10000cos2xx ？0.000000005 0.009900.24919 0 0.01 0.1 0.5 x第19頁/共36頁第二十頁，共36頁。則設(shè) ,)(lim ,)(lim BxgAxf.)(lim)(lim )()(lim . 1BAxgxfxgxf.)(lim )(lim )()(lim . 2ABxgxfxgxf ),( 為常數(shù)為常數(shù)ccAxfcxcf )(lim)(lim)1( .)(lim)(limnnxfxf (2)BAxgxfxgxf )(lim

12、 )(lim)()(lim . 3)0( B四、極限四、極限(jxin)(jxin)的四則運算法則的四則運算法則第20頁/共36頁第二十一頁，共36頁。例例1 求求).23(lim21 xxx解解)23(lim21 xxx2lim3limlim1121 xxxxx2lim3)lim(121 xxxx0231 例例2 求求.41lim23 xxx解解41lim23 xxx)4(lim)1(lim323 xxxx4lim1lim323 xxxx4319 .10 第21頁/共36頁第二十二頁，共36頁。例例3 求求.23lim2 xxx解解 因為因為(yn wi)xxx32lim2 ,03lim)2

13、(lim22 xxxx所以所以(suy).23lim2 xxx例例4 求求39lim23 xxx解解 39lim23 xxx3) 3)(3(lim3 xxxx) 3(lim3 xx. 633 第22頁/共36頁第二十三頁，共36頁。000)()(lim 0ABAxgxfxx直接計算)()(lim00)()(lim00 xgxfAxfxgxxxx分解因式分解或分母有理化例例5 求求11lim220 xxx解解 11lim220 xxx) 11)(11() 11(lim22220 xxxxx) 11(lim20 xx2小結(jié)小結(jié)(xioji):第23頁/共36頁第二十四頁，共36頁。例例6 求求.1

14、332lim22 xxx解解 1332lim22 xxx221332limxxx )13(lim)32(lim22xxxx .32 第24頁/共36頁第二十五頁，共36頁。例例7 求求.32423lim32 xxxxx解解 )324(lim)213(lim3232xxxxxxx 32423lim32 xxxxx. 040 第25頁/共36頁第二十六頁，共36頁。例例8 求求.11lim2 xxxx解解 ,)11(lim)111(lim22xxxxxx 11lim2 xxxx因為因為(yn wi) , 0)11(lim2 xxx, 0)111(lim2 xxx所以所以(suy) , 011111

15、lim22 xxxxx,11111lim22 xxxxx所以所以(suy) .11lim2 xxxx第26頁/共36頁第二十七頁，共36頁。一般一般(ybn)地，有地，有結(jié)論結(jié)論mmmmkkkkmkxaxaxaxabxbxbxbxQxP 11101110)()(lim , 0,00mkmkabmk其中，其中，k、m為非負整數(shù)，為非負整數(shù)， 都不為都不為0.00,ba 第27頁/共36頁第二十八頁，共36頁。訓練訓練(xnlin)1(xnlin)1：tetP5 .02020)( 設(shè)一產(chǎn)品的價格滿足 （單位：元），請你對該產(chǎn)品的長期價格作一預測 解解 可通過求該產(chǎn)品價格在 時的極限來預測長期價格，

16、因為ttttttteetP5 . 05 . 020lim20lim)2020(lim)(lim20020lim2020lim5 . 0ttte所以該產(chǎn)品(chnpn)的長期價格為20元第28頁/共36頁第二十九頁，共36頁。訓練訓練(xnlin)2(xnlin)2： 100個細菌放在培養(yǎng)器中，其中有足夠的食物，但空間有限，對空間的競爭使得細菌總數(shù)N與時間t的關(guān)系為： 問容器中最多能容下多少細菌？teN1158. 0911000解：求容器中最多能容下多少細菌，即求當 時，N的極限，因為t1000011000911000limlim1158. 0ttteN所以(suy)培養(yǎng)器中最多能容下1000個

17、細菌第29頁/共36頁第三十頁，共36頁。RRRr10510解：電路(dinl)的總電阻為可變電阻 這條支路突然斷路時，即RR101011010lim1010limRRRRR此時電路(dinl)的總電阻為10一個10 的電阻器與一個電阻為 的可變電阻并聯(lián)，請分析當含有可變電阻 這條支路突然斷路時，電路的總電阻如何變化？RR訓練訓練(xnlin)3(xnlin)3：第30頁/共36頁第三十一頁，共36頁。例9、求)1311(lim31xxx解：原式=131lim321xxxx) 1)(1()2)(1(lim21xxxxxx1) 1()2(lim21xxxx第31頁/共36頁第三十二頁，共36頁。例10、求)3(limxxxx解：原式=xxxxxxx)3()3(lim2xxxxx)3(3lim1)31 (3limxx23第32頁/共36頁第三十三頁，共36頁。小