第十一章能量原理a

1、第十一章能量原理能量原理(Principle of Energy)授課人：尹久仁Department of architectural engineering, Xiangtan Universiy 11.1 概概 述述 固體力學中，把與功和能有關的一些定理統(tǒng)稱為能量能量原理原理。對構(gòu)件的變形計算及靜不定結(jié)構(gòu)的求解，能量原理都有重要作用。近年來計算力學的興起，使能量原理更受重視。變形能固體在變形過程中，固體在外力作用下變形，引起力作用點沿力作用方向位移，外力因此而作功；同時，彈性固體因變形而具備了作功的能力，表明儲存了變形能。 在下列條件下v加載緩慢均勻（保證是靜態(tài)）v沒有其它能量的損失（如動

2、能、熱能等）則有WU 即認為外力對系統(tǒng)所作的功全部轉(zhuǎn)化為能量儲存起來。在彈性范圍內(nèi)此過程是可逆的，即WU釋放能量對外界作功外力對系統(tǒng)作功11.2 桿件變形能的計算桿件變形能的計算 軸向拉伸或壓縮 Pll外力功靜載lPW21EAlNEANlNWU2212只要載荷不卸去，則外力功以能量的形式儲存，其變形能為對變化的內(nèi)力或抗拉剛度情況，則有 lxEAdxxNUxEAdxxNdU2222，2221212EEdVdUu變形比能（單位體積的變形能） 純剪切 考慮右圖示單元體（厚度為1），單元體左邊不動，右邊在剪應力作用下的功為dVdxdyWU21121dxdy其變形比能為Gu2122 扭 轉(zhuǎn) mml右圖示

3、受扭圓軸，其變形為PGIml根據(jù)理論力學，外力偶所作的功為UGIlmmWP2221對于參數(shù)變化的情況有 lxGIdxxTUP22 純彎曲 mmmmmmml橫力彎曲時變形能 EIdxxMdU22 lEIdxxMU22PWU21xdxl1P2P軸向拉伸、扭轉(zhuǎn)和彎曲時的外力功（或變形能）可統(tǒng)一寫成廣義力和廣義位移的形式dxd xM xM例題 軸線為半圓形的平面曲桿如圖所示，作用于A端的集中力P垂直于軸線所在的平面。試求力P作用點的垂直位移。 PAdmnRnmd解：選擇圖示坐標系，在mn截面上的內(nèi)力為 sinPRM cos1 PRT曲桿的變形能為P32320P23202324342cos12sinEI

4、RPEIRPGIdRPEIdRPUPAdmnRnmdAPW21假設沿力P方向的位移為 ，則P所作的功為AP323243421EIRPEIRPPA，得由WU P33232EIPREIPRA從而有重要結(jié)論橫力彎曲的彎曲變形能和剪切變形能 llGAdxxkQUEIdxxMU2,22221 AzdAbSIAk222其中 5644114422225222hhAzbdyyhbhdAbSIAk以矩形截面為例256kk，薄壁圓管圓形另外例題 以圖示簡支梁為例，比較彎曲和剪切兩種變形能。設梁的截面為矩形。 xPxM2 2PxQ解：由梁的內(nèi)力方程及內(nèi)力圖的對稱性，得EIlPdxxPEIUl962212322202

5、GAlkPdxPGAkUl82222220122112:GAlEIkUU其比值為2l2lxP56k122hAI12EG對矩形截面梁 2211512:lhUU3 . 0取0312. 0:101125. 0:512121UUlhUUlh時，當時，當可見，只有對短梁才應考慮剪切變形能，對長梁可忽略不計。 11.3 變形能的普遍表達式變形能的普遍表達式 推導變形能普遍式的假設與前提v無剛性位移v局限于小變形，即廣義位移與廣義力成正比v彈性體在變形過程中儲存的變形能，只決定于外力和位移的最終值，與加力次序無關 iiP3P1232P1P，即假定各載荷按比例加載變形能，我們又由于加載次序不影響，緩慢增大到終

6、值都是從每個力有個廣義力設系統(tǒng)中iiiPPniPn0, 1iPiiPP緩慢緩慢是，也就其中0:10:。對應的位移為相應地，與iiP從理論力學中知，這屬于變力作功的問題。3P1232P1PiiiiiidPdPdW當載荷Pi為任一中間值 時，與此對應的位移增量為 ，這時 為常力作功，其功為iPddiiiP從而在整個加載過程中，外力對系統(tǒng)所作的功為 iiiiiiiiiPdPdPW211010克拉貝依?。–lapeyron）原理 線彈性體的變形能等于每一外力與其相應位移乘積的二分之一的總和。對于廣義變形問題（如右圖）廣義力廣義位移N(x)lT(x)M(x)Q(x)其變形能為 llllGAdxxkQGI

7、dxxTEIdxxMEAdxxNU22222P222剪力引起的變形能很小往往忽略不計。)(xM)(xT)(xT)(xN)(xNdx11.4 互等定理互等定理 為推導互等定理，我們選取兩組載荷4321PPPP、第二組：、第一組：同時我們?nèi)藶榈匾?guī)定如下加載次序v先加第一組載荷，后加第二組載荷于彈性體上加第一組載荷時，其變形能為22112121PP1P2P211P2P33P224P411然后加第二組載荷，這時由于第二組載荷的影響，會在第一組載荷的相應方向產(chǎn)生附加位移21和第二組載荷自身所作的功為44332121PP而第一組載荷在由于第二組載荷引起的附加位移上所作的功，是常力作功，即2211PP從而，

8、本加載次序所作的總功為221144332211121212121PPPPPPUv先加第二組載荷，后加一第組載荷于彈性體上44332121PP加第二組時再加第一組時443322112121PPPP1P2P3P24P13434443322114433221212121PPPPPPU本加載次序所作總功為33P4P4由于變形能只決定于力和位移的最終值，而與加力次序無關，故 21UU 44332211PPPP即（功）互等定理 第一組力在第二組力引起的位移上所作的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所作的功。位移互等定理若第一組力只有P1，第二組力只有P3，則功互等定理化為3311PP進一步，若有P1=

9、P3，則上式化為31位移互等定理P1作用點沿P1方向因P3而引起的位移，等于P3作用點沿P3方向因P1而引起的位移。 ，系統(tǒng)變形能為的廣義位移為，各力沿其作用線方向有個廣義力設系統(tǒng)中niniPnii, 1, 111.5 卡氏卡氏(Castigliano )定理定理 iiiPW211P2PnP12n設想載荷Pi有一微小增量Pi，而其它力不變。則niiiiniiiPPPPPPPPPPP,111111nniiiiiiniiiP,1111111111P2P33P224P411iiiPU21iiiiiiiiiPPPPPPU21212211初始時系統(tǒng)變形能為由于Pi有一微小增量后系統(tǒng)變形能的增量為忽略高階

10、微量后得iiiPU把原有諸力看作是第一組力，而把Pi看作是第二組力，根據(jù)互等定理， iiiiPPPP2211iiPU即iiPU或極限情況下，Pi趨近于零，上式左端是變形能U對Pi的偏導數(shù)，即 iiPU卡氏（Castigliano）定理變形能U對任一載荷Pi的偏導數(shù)，等于Pi作用點沿Pi作用方向的位移i 。BPAxmn附加力法附加力法例題 軸線為四分之一圓周的平面曲桿，EI=常數(shù)。曲桿A端固定，自由端B上作用垂直集中力P。求B點的垂直和水平位移。 按照卡氏定理，iiPUi是與Pi對應的廣義位移，從本題而言，求B點的垂直位移是可以直接利用卡氏定理的，但要求水平位移時卻不能直接進行。BPAxmnco

11、s,cosRPMPRMEIPRRdRPREIdsPMEIMPUsy4coscos1320y的值為正，說明 y的方向與力P的方向一致。為了求得B點的水平位移，假定在B點沿水平方向作用一力Pa。sin1,sin1cosRPMRPPRMaaEIPRRdRPREIdsPMEIMaPsax2sin1cos13002對Pa使用卡氏定理，然后Pa令等于零就可以得到B點的水平位移。aPBPAxmn11.6 虛功原理虛功原理(virtual work principle)若因其他原因，例如另外的外力或溫度變化等，又引起桿件邊形，則用虛線表示桿件位移到的位置?？砂堰@種位移稱為虛位移?！疤摗蔽灰浦槐硎臼瞧渌蛟斐?/p>

12、的位移，以區(qū)別于桿件原因有外力引起的位移。 約束所允許的位移稱為虛位移。 在虛位移中，桿件的原有外力和內(nèi)力保持不變，且始終是平衡的。虛位移應滿足邊界條件和連續(xù)性條件，并符合小變形要求。 變形體虛功原理 外力所作的虛功等于內(nèi)力在相應虛位移上所作虛功。 質(zhì)點系的虛位移原理 平衡力系在剛性虛位移上作功的總和等于零。x)(xv圖示梁在外力作用下處于平衡(實線)，假定給梁一個由某種原因引起的虛位移(虛線)。則其虛功有梁種計算方法。v 整個構(gòu)件得全部力的虛功得到外力虛功設想把桿件分成無窮多微段 ，微段上除外力外，兩端橫截面上還有軸力、彎矩、剪力等內(nèi)力。當它由平衡位置經(jīng)虛位移移到達由虛線表示的位置時，微段上

13、的內(nèi)、外力都作了虛功。把所有微段的內(nèi)、外虛功逐段相加（積分），便可求出整個桿件的外力和內(nèi)力的總虛功。因為虛位移是連續(xù)的，兩個相鄰微段的公共截面的位移和轉(zhuǎn)角是相同的，但相鄰的微段公共截面上的內(nèi)力卻是大小相等、方向相反的，故它們所作的虛功相互抵消。逐段相加之后，就只剩下外力在虛位移中所作的虛功。 微段上的內(nèi)力與虛位移qQNM)(*xv*)( ld*d*d ldxvxqvPvPvPW332211 ，xqPPP321 ，xvvvv321設微段上廣義外力和廣義虛位移分別為則廣義外力的虛功（這里是常力作功）為v 各微段的外力虛功和得到內(nèi)力虛功在上述桿件中，微段以外的其余部分的變形，使所研究的微段得到剛性虛

14、位移；此外，所研究的微段在虛位移中還發(fā)生虛變形。作用于微段上的力系（包括外力和內(nèi)力）是一個平衡力系，根據(jù)質(zhì)點系的虛位移原理，這一平衡力系在剛性虛位移上作功的總和等于零，因而只剩下在虛變形中所作的功。 QdMdlNddW積分上式得總虛功為lllQdMdlNdW兩種方式求得的總虛功表達式應該相等，即 llllQdMdlNddxvxqvPvPvP332211在虛位移中，外力所作的虛功等于內(nèi)力在相應虛變形上所作虛功。這就是虛功原理。 lllllTdQdMdlNdmmdxvxqvPvPvP2211332211更一般地，有如下形式的虛功原理在導出虛功原理時，并未使用應力應變關系，故虛功原理與材料的性能無關

15、，它可用于線彈性材料，也可用于非線性彈性材料。1AAA11.7 莫爾積分法莫爾積分法(Mohr Integral Method)問題：設在外力作用下，求剛架A點沿某一任意方向aa的位移。a1AaAAaa設想在同一剛架的A點上，沿方向作用一單位力1，它與支座反力組成平衡力系。這時剛架橫截面上的軸力、彎矩和剪力分別為 、 和 。把剛架在原有外力作用下的位移作為虛位移，加于單位力作用下的剛架上。 xN xM xQ虛功原理的表達式為 dxQdxMldxN1原有外力引起的變形，現(xiàn)在已作為虛變形 虛加的外力虛加外力引起的內(nèi)力視為真實力a1AaAAaa dxQdxMldxNMohr積分（單位力法）具體地，如

16、果構(gòu)件存在四種基本變形，則有 dxGIxTxTdxGAxQxQkdxEIxMxMdxEAxNxNP注意：v 本式僅適用于線彈性情況v上式中帶“-”的內(nèi)力為與虛加單位力相關的內(nèi)力，而不帶“-”的內(nèi)力是真實載荷引起的內(nèi)力。例題 圖示剛架的自由端A作用集中載荷P。剛架各段的抗彎剛度已于圖中標出。若不計軸力和剪力對位移的影響，試計算A點的垂直位移及截面B的轉(zhuǎn)角。 2EIPBC1EIlaA解：顯然要求的問題都可以用卡氏定理求解，這里我們都用Mohr積分方法來求解。為此，選擇右下圖所示坐標。相應的內(nèi)力方程為 PxxM PayMaxBylAPCq求A截面的垂直位移在相應位置和方向虛加(與待求位移相應的)單位

17、力1。與之對應的彎矩為 xxM ayM使用莫爾定理 2213001020131EIlPaEIPadyaPadxxPxEIEIdyyMyMEIdxxMxMlalayaxBylAPCaxByA1Cq求B截面的轉(zhuǎn)角在相應位置和方向虛加單位集中力偶1。與之對應的彎矩為 01xM 11yM20211EIPaldyPaEIlB于是axBylAPCxByAC1單位力的選擇欲求變形單位力欲求變形單位力A處沿圖示方向的線位移A、B兩截面的相對線位移沿A、B連線加相向的單位力A處沿圖示方向的線位移A、B兩截面的相對交位移在A、B處分別加相反的單位力偶AAA1ABBA1AAB11AB11例題 圖示活塞環(huán)。試計算在力

18、作用下切口的張開量。 ABPPOR解：活塞環(huán)橫截面上的內(nèi)力，一般有軸力、剪力和彎矩。由于軸力和剪力對變形的影響很小，可以不計，所以只考慮彎矩的影響。活塞環(huán)橫截面高度遠小于環(huán)的軸線的半徑，可用直梁公式計算變形。又由于活塞環(huán)的對稱性，只要計算一半就可以了。APdOd cos1PRM彎矩方程為1OA為了計算切口的張開量，應在A、B兩截面上沿力的方向作用一對方向相反的單位力。此時 cos1RM EIPREIRdMMAB3032由Mohr定理得11.8 靜不定結(jié)構(gòu)概述靜不定結(jié)構(gòu)概述 靜不定結(jié)構(gòu)(statically indeterminate structure) 支座反力或結(jié)構(gòu)內(nèi)力不能全由平衡方程求出的結(jié)構(gòu)。 由理論力學知，未知力的數(shù)目與獨立平衡方程數(shù)目之差就是結(jié)構(gòu)的靜不定次數(shù)(degree of indeterminacy)。CDCD解除靜不定結(jié)構(gòu)的某些約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)，稱為原靜不定結(jié)構(gòu)的基本靜定系(basic statically determinate system )。基本靜定系不是唯一的。力法力法(force method)v 解除多余約束，得到基本靜定系在這一步驟中得到多余力X1以下我們用一個具體的例子來說明如何用力法求解靜不定問題。ABCPal解除多余約束，得到基本靜定系CAPB1Xv 考慮被解除多余約束截面的位