選修4-1第二節(jié) 直線與圓的位置關(guān)系

1、第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系n 一、圓周角定理n 1圓周角定理n 圓 上 一 條 弧 所 對(duì) 的 圓 周 角 等 于 它 所 對(duì) 的 圓 心 角的 n 2圓心角定理n 圓心角的度數(shù)等于 n 推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角 ；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也 n 推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是 ；90的圓周角所對(duì)的弦是 一半一半它所對(duì)弧的度數(shù)它所對(duì)弧的度數(shù)相等相等相等相等直角直角直徑直徑n 二、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理n 1性質(zhì)n 定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角 n 定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的 n 2判定n 判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這

2、個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn) n 推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn) 互補(bǔ)互補(bǔ)對(duì)角對(duì)角共圓共圓共圓共圓n 三、圓的切線的性質(zhì)及判定定理n 1性質(zhì)n 性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的 n 推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過 n 推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過 n 2判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的 n 四、弦切角的性質(zhì)n 弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的 半徑半徑切點(diǎn)切點(diǎn)圓心圓心切線切線圓周角圓周角n 五、與圓有關(guān)的比例線段n 1相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的 相等n 2割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條

3、割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的 相等n 3切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的 n 4切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的 積積積積比例中項(xiàng)比例中項(xiàng)夾角夾角n 六、平行射影n 1正射影的定義n 給定一個(gè)平面，從一點(diǎn)A作平面的垂線，垂足為點(diǎn)A，稱點(diǎn)A為點(diǎn)A在平面上的正射影n 2平行射影的定義n 設(shè)直線l與平面相交，稱直線l的方向?yàn)橥队胺较蜻^點(diǎn)A作平行于l的直線(稱為投影線)，必交于一點(diǎn)A，稱點(diǎn)A為A沿l的方向在平面上的平行射影n 七、平面與圓柱面的截線n 1用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱，當(dāng)平

4、面與圓柱的兩底面平行時(shí)，截面是一個(gè)圓；當(dāng)平面與圓柱的兩底面不平行時(shí)，截面是一個(gè) n 2定理1：圓柱形物體的斜截口是橢圓橢圓橢圓n 八、平面與圓錐面的截線n 在空間中，取直線l為軸，直線l與l相交于O點(diǎn)，夾角為，l圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l為母線的圓錐面，任取平面，若它與軸l的交角為(當(dāng)與l平行時(shí)，記0)，則n (1)，平面與圓錐的交線為 ；n (2)，平面與圓錐的交線為 ；n (3)0)，n PA1，AB2，n PBPAAB3.n 延長PO交O于點(diǎn)C，則PCPOr3r.n 設(shè)PO交O于點(diǎn)D，則PD3r.n 由圓的割線定理知，PAPBPDPC，n 13(3r)(3r)，9r23，r .n 答案

5、：n 考向一圓周角、弦切角和圓的切線問題n 例1(2013年銀川模擬)如圖，已知AB是 O的直徑，銳角DAB的平分線AC交 O于點(diǎn)C，作CDAD，垂足為D，直線CD與AB的延長線交于點(diǎn)E.n (1)求證：直線CD為 O的切線；n (2)當(dāng)AB2BE，且CE 時(shí)，求AD的長n 解析(1)證明：連接OC，n AC平分DAB，DACCAB.n OAOC，OCACAB，n OCADAC，ADCO.n CDAD，OCDE，CD為O的切線n (2)AB2BO，AB2BE，n BOBECO.n 設(shè)BOBECOx，n 則OE2x.n 在RtOCE中，n OC2CE2OE2，則n x2( )2(2x)2，n x

6、1，AE3，E30，n AD .n 1(2013年安徽六校聯(lián)考)已知C點(diǎn)在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點(diǎn)，DC是ACB的平分線交AE于點(diǎn)F，交AB于D點(diǎn)n (1)求ADF的度數(shù)；n (2)若ABAC，求AC BC.n 解析：(1)AC為圓O的切線，n BEAC.n 又知DC是ACB的平分線，n ACDDCB.BDCBEACACD，即ADFAFD，又因?yàn)锽E為圓O的直徑，n DAE90，n 考向二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及判定定理n 例2(2011年高考課標(biāo)全國卷)如圖，D，E分別為ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與ABC的頂點(diǎn)重合已知AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關(guān)于x的

7、方程x214xmn0的兩個(gè)根n (1)證明：C，B，D，E四點(diǎn)共圓；n (2)若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圓的半徑n 解析(1)證明：如圖，連接DE，在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即 .又DAECAB，從而ADEACB.n 因此ADEACB.n 所以C，B，D，E四點(diǎn)共圓n (2)m4，n6時(shí)，方程x214xmn0的兩根為x12，x212.故AD2，AB12.n 2(2011年高考遼寧卷)如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點(diǎn)，且ECED.n (1)證明：CDAB；n (2)延長CD到F，延長DC到G，使得EFEG，證明：A，B，G，

8、F四點(diǎn)共圓n 證明：(1)因?yàn)镋CED，所以EDCECD.n 因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，n 所以EDCEBA.n 故ECDEBA.所以CDAB.n (2)由(1)知，AEBE.因?yàn)镋FEG，故EFDEGC，n 從而FEDGEC.n 連接AF，BG，則EFAEGB，n 故FAEGBE.n 又CDAB，EDCECD，所以FABGBA.n 所以AFGGBA180.n 故A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓n 考向三與圓有關(guān)的比例線段n 例3(2012年高考遼寧卷)如圖， O和 O相交于A，B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連接DB并延長交 O于點(diǎn)E.證明：n (1)ACBDADAB；n (2

9、)ACAE.n 3(2013年大連三校聯(lián)考)如圖， O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長線交 O于N，過N點(diǎn)的切線交CA的延長線于P.n (1)求證：PM2PAPC；n (2)若 O的半徑為2 ，OA OM，求MN的長n 解析：(1)證明：連結(jié)ON，則ONPN，且OBN為等腰三角形，則OBNONB，PMNOMB90OBN，PNM90ONB，n PMNPNM，n PMPN.n 由條件，根據(jù)切割線定理，有PN2PAPC，n 所以PM2PAPC.n 【答題模板】幾何證明問題n 【典例】(10分)(2012年高考課標(biāo)全國卷)如圖，D，E分別為ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交ABC

10、的外接圓于F，G兩點(diǎn)，若CFAB，證明：n (1)CDBC；n (2)BCDGBD.n 【思路導(dǎo)析】(1)連接AF，利用平行關(guān)系構(gòu)造平行四邊形可得結(jié)論；n (2)先證BCD和GBD為等腰三角形，再證明兩三角形頂角相等即可n 【規(guī)范解答】(1)因?yàn)镈，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以DEBC.又已知CFAB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CFBDAD.3分n 而CFAD，連接AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CDAF.5分n 因?yàn)镃FAB，所以BCAF，故CDBC. 6分n (2)因?yàn)镕GBC，故GBCF.n 由(1)可知BDCF，所以GBBD，所以BGDBDG.8分n 由BCCD知CB

11、DCDB，n 又 因 為 D G B E F C D B C ， 所 以BCDGBD.10分n 【名師點(diǎn)評(píng)】1.解決幾何證明問題需用各種判定定理、性質(zhì)定理、推理和現(xiàn)有的結(jié)論，要熟悉各種圖形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的關(guān)系，適當(dāng)添加輔助線和輔助圖形，這一些知識(shí)都有利于問題的解決n 2證明等積式時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為證明比例式，再證明四條線段所在的三角形相似另外也可利用平行線分線段成比例定理來證明n 3弦切角定理與圓周角定理是證明角相等的重要依據(jù)之一，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)需要添加輔助線構(gòu)造所需要的角n 4圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)也要熟練掌握，利用該性質(zhì)可得到角相等，進(jìn)而為三角形的相似創(chuàng)造了條件n 1(2012年高考陜西卷)如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EFDB，垂足為F，若AB6，AE1，則DFDB_.n 解析：利用相交弦定理及射影定理求解n 由題意知，A