第六章不等式 - 主講教師薛雁平(大連一中

1、主講教師：薛雁平（大連一中 高級教師）一、學(xué)習(xí)內(nèi)容：第六章不等式.本章內(nèi)容分為五部分：1 、不等式的性質(zhì)2 、算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)3 、不等式的證明4 、不等式的解法5、含絕對值的不等式1、理解不等式的性質(zhì)及其證明2、掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用 3、掌握用分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式4、掌握一元二次不等式，一元二次不等式組、含絕對值不等式、簡單高次不等式和分式不等式的解法5、理解不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|三、學(xué)習(xí)指導(dǎo): 本章內(nèi)容中不等式的證明和不等式的解法是重點(diǎn)，掌握不等式的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵，不等式的證明是難點(diǎn)。不等式的性

2、質(zhì)：nnnnbaNnbabaNnbabdacdcbabcaccbabcaccbadbcadcbacbcaRcbacacbba11*,0,00,0.0,0,二、不等式的性質(zhì)：bababababababa0;0;0, 有：對于任意的實(shí)數(shù)一、不等式的基本性質(zhì)四、典型例題講評例1：已知ab0，的大小與試比較33322,baba332222222222223332263362233332222330)(2)233(0000bababababaabbababababababababaabbaba時(shí)當(dāng)，且時(shí)當(dāng)解：（一）不等式性質(zhì)的應(yīng)用例2： ab0,c0,d0 判斷 dbdacacbbaab,之間的大小順序

3、xaxbxf)(解：令xaabxa)(xaab1cacbabcffcxfoab)()0(00)(）上為增函數(shù)，在（）上為減函數(shù)，在（同理0)(xbxaxfabcacbdbdababadbda（二）算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的定理的應(yīng)用 abba222abba2a,b是實(shí)數(shù) 時(shí)a,b是正數(shù) 時(shí)a,b為實(shí)數(shù)時(shí) 22,baab222ba 例3:已知x 的最大值541x求函數(shù) y=4x-2+ 132345145XXY解：”時(shí)取“即”時(shí)取“當(dāng)且僅當(dāng)145145xxx,45 例5：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，在y軸正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上給定兩點(diǎn)A、B, 試在x 軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上求一點(diǎn)C 使 ACB取

4、得最大值。ACBOxYACOBCOBCAxxcabbBaA，解：設(shè),)0()0 ,(,0), 0(), 0(21tantan1tantantantanxabxbxaabbabaxabxbaxabxba2)0(2最小最小，即時(shí)”時(shí)取“即當(dāng)且僅當(dāng)ACBACBabxabxxabxtan（三）不等式的證明不等式的證明的常用方法有：比較法， 分析法，綜合法，換元法。還可適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用判別式，放縮，函數(shù)的單調(diào)性等進(jìn)行不等式的證明，利用已知的基本不等式進(jìn)行證明通常采用綜合法例6：已知 x0,y0求證： xyyxyxyx)(41)(212xyyxyxyx)(41)(212證明：)(212yxxyyxyx)(21y

5、xyxxy0212122yxxy原式得證cbaabcacbbcaRcba333:,7求證：例222444abccabbcacba證明：此題轉(zhuǎn)化為證明22442244224422,2cacacbcbbaba222222444cacbbacba22222222222222222,2abccacbbcacabacabcbba又222222222abccabbcacacbba原不等式成立bbaabbaababa828, 0:822求證：已知例bbabaaba44222需證證明：欲證原不等式只bbaaba41422只需證bbaaba212只需證baab121即此式顯然成立即證01babaab原不等式成立

6、ccbbaaABCcba111,:9的三條邊，求證：是三角形已知例xxxf1)(證明：令xxx111111）上為增函數(shù)，在（0)(xf)()(cfbafcbaccbaba11bbaabfaf11)()(又babbaa11ccbaba11ccbbaa111bcbcabcaaf33)3()(222證明：令例10：設(shè)a、b、cR,證明:a2+ac+c2+3b(a+b+c)0, 并指出等號何時(shí)成立 bcbcbc33432220)(3)2(3222bcbcbc0)(,00)(afaf時(shí)成立當(dāng)2222333)(bbabbabaaf此時(shí)cbabababa, 0)(2222(四）不等式 的解法或)()(32.

7、 1xgxf理不等式無理不等式：轉(zhuǎn)化為有式不等式分式不等式：轉(zhuǎn)化為整，數(shù)軸標(biāo)根法高次不等式：因式分解0)(xg2)()(xgxf0)(xg0)(xf)()(xgxf0)(xf0)(xg2)()(xgxf或數(shù)形結(jié)合結(jié)合單調(diào)性指、對數(shù)不等式：換元. 4）數(shù)形結(jié)合）分段討論（）等價(jià)轉(zhuǎn)化（）平方（定義（不含絕對值的不等式絕對值不等式：轉(zhuǎn)化為5432).1 (.5.0,72|01122的解集求不等式的解集是的不等式：若關(guān)于例abxcxxxcbxaxx2171|0021,71141,149,0141,14914, 9720, 072|022121212121222xxxabxcxcxxxxxxxxxxab

8、xcxcacbacabcbxaxaxxcbxax或的解集為不等式又則的兩個(gè)根為設(shè)方程和的兩個(gè)根為且方程的解集是不等式解： 例12：解不等式2-3x|2x-1|法1：不等式等價(jià)于2x-102-3x2x-1或2x-102-3x1-2x法2：不等式等價(jià)于 2-3x0或2-3x022) 12()32(xx法3：不等式等價(jià)于2x-12-3x53|xx不等式的解集為xxxxx222322:13 解不等式例0232222xxxxx解：移項(xiàng)0232223xxxxx通分0) 1)(3() 1() 123xxxxx（因式分解0) 1)(3()2)(1(2xxxxx即321|xxx或原不等式的解集為)0(12:142axaax解不等式例212aaxy解：數(shù)形結(jié)合：令)0,2)(2(22,1221yaxaxaaaxy則xy12令xo2a1xy1y2aoaxaaaxxa時(shí)不等式的解集為當(dāng)時(shí)不等式的解集為當(dāng)221|20（五）絕對值不等式|a|-|b|ab|a|+|b|的應(yīng)用) 1|(|2| )()(|:,