高一數(shù)學(xué)必修四 2.4.2數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

1、一復(fù)習(xí)引入一復(fù)習(xí)引入1.ab非零向量與 的數(shù)量積的定義是什么？ 幾何意義是什么？|cosb1BoBAba 2. 2.平面平面向量的數(shù)量積滿足的運算律？向量的數(shù)量積滿足的運算律？ （1）abba；（2）(a)b(ab)a(b)；（3）(ab)cacbc；3.3.設(shè)向量設(shè)向量a與與b都是非零向量，則都是非零向量，則 平面向量的表示方法有平面向量的表示方法有幾何法和坐標(biāo)幾何法和坐標(biāo)法，向量的坐標(biāo)表示法，向量的坐標(biāo)表示，對向量的加、減、，對向量的加、減、數(shù)乘運算帶來了很大的方便數(shù)乘運算帶來了很大的方便. .若已知向量若已知向量a與與b的坐標(biāo)，則其數(shù)量積是唯一確定的，的坐標(biāo)，則其數(shù)量積是唯一確定的，因此

2、，如何因此，如何用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積就就成為我們需要研究的課題成為我們需要研究的課題. . 探究（一）：探究（一）：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 oxyabijii1 1jjij1 10 01122,a xi y jb x i y j則 : 已知兩個非零向量已知兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 怎樣用怎樣用a與與b的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)表示ab?1122() ()a bx iy jx iy j 2212122112x x ix y i jx y i jy y j 221,0,1iijj 因 為1212a bx xy y 所以兩個向量的數(shù)

3、量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和乘積的和.練習(xí)練習(xí)1：已知向量：已知向量(3, 1),a求:(1) (2)13- -b=(1,-2)探究（二）：探究（二）：向量的模和夾角的坐標(biāo)表示向量的模和夾角的坐標(biāo)表示 (1)向量的模向量的模設(shè)( , ),ax y則22222,axyaxy或2a aaaa a 或；(2)設(shè)設(shè)1122,)(,),A x yB xy（、222121)xxyy（則AB （3）平行）平行（4）垂直）垂直0babaab12120 x xy y11221221,),(,), / /0,(0)axybxyabx yx yb （ 設(shè)則設(shè)設(shè)1122( ,),(

4、,),(0,0)ax ybxyab 則11221221,),(,), / /0,(0)axybxyabx yx yb （ 設(shè)則(5)設(shè)設(shè) 是兩個非零向量，其夾角為是兩個非零向量，其夾角為，若，若 那么那么cos如何用坐如何用坐 標(biāo)表示？標(biāo)表示？ , a b 1122( ,),(,)ax ybxy1 21222221122x xy yxyxy例題講解例題講解例例1：設(shè)：設(shè)a=(5,-7),b=(-6,-4),求求ab及及a、b間的間的夾角夾角(精確到精確到1)解解ab = 5(-6)+(-7) (-4) = -30+28 = -2,747522a5246 22b03. 052742cos926

5、. 1rad例2：已知向量(1,2),( ,1).abx22abab與平行（1） 當(dāng)時,求x?22abab與垂直（2） 當(dāng)時,求x?2(12 ,4),2(2,3)abxabx解：(1)22abab若與平行，則13(1 2 )4(2)0,2xxx得(2)22abab若與垂直，則7(12 )(2)4 30,2xx 得x=-2或 (1) ( 1, 3),(1,1),cosabab 例3已知與 的夾角求62cos.4a ba b 變式：已知向量變式：已知向量 a(，2)2)，b( (3 3，5)5)，若向量，若向量a 與與b的夾角為鈍的夾角為鈍角，求角，求的取值范圍的取值范圍. . 例例4 4 已知已

6、知A(1A(1，2)2)，B(2B(2，3)3)，C(-2C(-2，5)5)， 試判斷試判斷 ABCABC的形狀，并給出證明的形狀，并給出證明. .A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y.ABC是直角三角形) 1 , 1 () 23 , 12(AB:證明) 3 , 3() 25 , 12(AC031) 3(1ACABACAB思考：還有思考：還有其他證明方其他證明方法嗎？法嗎？向量的數(shù)量向量的數(shù)量積是否為零積是否為零, ,是判斷相應(yīng)是判斷相應(yīng)的兩條線段的兩條線段或直線是否或直線是否垂直的重要垂直的重要方法之一方法之一90,C 變式:已知 ABC為直角三角形，AB=(1,3), AC=(2,

7、k),求k值？90(C 解：若，則CACB, CA CB=0,-21)+(-k)(3-k)=0, k=1或2.練習(xí)已知i=(1,0),j=(0,1),與2i+j垂直的向量是 A. 2i-j B . i-2jC. 2i+j D . i+2j已知a=(,2),b=(-3,5),且a和b的夾角是鈍角,則的范圍是 310 . 310 .310 . 310 .DCBABA練習(xí) ,10,2 , 12范圍為的取值則若已知mmmaaB 1,-1- . 2,2 .1 , 1 . 1 , 1 .DCBA的夾角是多少？與則已知baba,13, 13,3, 1練習(xí)分析：為求a與b夾角，需先求ab及|a|b|，再結(jié)合夾

8、角的范圍確定其值. 013, 13,3, 1ba解413313ba22, 2ba記a與b的夾角為22cosbaba又04知三角形函數(shù)值求角時,應(yīng)注重角的范圍的確定 已知a(,),b(,),求求x，y的值使(xa+yb)a,且且xa+yb=1. 753524753524yxyx和練習(xí)小結(jié)小結(jié))()(2211jyixjyixba2121yyxx.,22222121yxbyxaA、B兩點間的距離公式:已知),(11yxA),(22yxB,)()(212212yyxxAB小結(jié)小結(jié)2.2.向量的坐標(biāo)運算溝通了向量與解析幾向量的坐標(biāo)運算溝通了向量與解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系，解析何的內(nèi)在聯(lián)系，解析幾何中與角度、距幾何中與