數(shù)值分析課件_(第4章))

1、內(nèi)容提要4.1 引言4.2 牛頓-柯特斯公式4.3 復(fù)化求積公式4.4 龍貝格求積公式4.5 高斯求積公式4.6 數(shù)值微分4.1 引言引言一、數(shù)值求積的基本思想一、數(shù)值求積的基本思想 對(duì)定義在區(qū)間對(duì)定義在區(qū)間a,b上的定積分上的定積分)()()(aFbFxxfIbad 但有時(shí)原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，有時(shí)原函數(shù)又十分但有時(shí)原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，有時(shí)原函數(shù)又十分復(fù)雜，難于求出或計(jì)算；另外如被積函數(shù)是由測(cè)量或數(shù)值計(jì)復(fù)雜，難于求出或計(jì)算；另外如被積函數(shù)是由測(cè)量或數(shù)值計(jì)算給出的一張數(shù)據(jù)表示時(shí)，上述方法也不能直接運(yùn)用。因此算給出的一張數(shù)據(jù)表示時(shí)，上述方法也不能直接運(yùn)用。因此有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算問(wèn)

2、題。有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。).)()(abfxxfIbad 積分中值定理告訴我們：積分中值定理告訴我們：平均高度平均高度f(wàn)() a b yxy=f(x)0 a f(a+b)/2) b yxy=f(x)0 a b yxy=f(x)0梯形公式梯形公式 d)(2)()()(abbfafxxfTba d)2()()(bafabxxfRba平均高度平均高度中矩形公式中矩形公式平均高度平均高度)()(0knkkbaxfAxxfd。則稱該求積公式具有則稱該求積公式具有立立成成次的多項(xiàng)式等式不準(zhǔn)確次的多項(xiàng)式等式不準(zhǔn)確一個(gè)一個(gè)都準(zhǔn)確成立，而對(duì)于某都準(zhǔn)確成立，而對(duì)于某的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式對(duì)于所有次數(shù)不超過(guò)對(duì)于

3、所有次數(shù)不超過(guò)若某個(gè)求積公式若某個(gè)求積公式次代數(shù)精度次代數(shù)精度定義1定義1mmm , 1更一般地，我們構(gòu)造具有下列形式的求積公式更一般地，我們構(gòu)造具有下列形式的求積公式求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)求積系數(shù) 這類(lèi)數(shù)值方法通常稱為機(jī)械求積，其特點(diǎn)是將積分求值這類(lèi)數(shù)值方法通常稱為機(jī)械求積，其特點(diǎn)是將積分求值問(wèn)題歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算，這就避開(kāi)了牛頓問(wèn)題歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算，這就避開(kāi)了牛頓-萊布尼茲公式需萊布尼茲公式需要尋求原函數(shù)的困難。要尋求原函數(shù)的困難。二、代數(shù)精度的概念二、代數(shù)精度的概念代數(shù)精確度。代數(shù)精確度。因此梯形公式具有一次因此梯形公式具有一次右邊右邊左邊左邊右邊右邊左邊左邊當(dāng)當(dāng)右邊右邊左邊左邊右邊

4、右邊左邊左邊當(dāng)當(dāng)右邊右邊左邊左邊右邊右邊左邊左邊當(dāng)當(dāng)令令代數(shù)精度代數(shù)精度梯形公式梯形公式)(2)(3)(333,)(22)(2222,)()(2, 1)(,., 1)()(2)()()(223332222222ababaabbabxxxxxfabababxxxxxfabababxxfxxfabbfafxxfTbabababababa22abdabd11d1d212231: ( )1, ,2023f xx xABhhABxh ABxh解 令代入公式并令其相等，得1,( )()( )1hhf x dxAfhBf x確定下面公式中的待定參數(shù) 使其代數(shù)精度盡量高 并指明所構(gòu)造的求積公式所具有的代數(shù)精度

5、例4-利用代數(shù)精度的概念構(gòu)造求積公式利用代數(shù)精度的概念構(gòu)造求積公式133334112,.3231 ( ) ()3 ()23( ),14 0()3()239hhhhxh Ah Bhhf x dxfhfhf xxhx dxhhh ，解得于是再令得故求積公式具有2次代數(shù)精度。 )( knkknknfxlxLnkfxfbxxxa010)()(, 2 , 1 , 0)(值多項(xiàng)式值多項(xiàng)式作拉格朗日插作拉格朗日插在這些節(jié)點(diǎn)上的值在這些節(jié)點(diǎn)上的值且已知且已知設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)三、插值型的求積公式三、插值型的求積公式0(1), ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )(1)! banbbnnk

6、kaaknbbnnaaIf x dxIL x dxlx dx ffR fIIf xL x dxx dxnn于是 得到積分的近似值這樣構(gòu)造的求積公式稱為插值型的求積公式。它的余項(xiàng)為這時(shí)的求積公式至少具有次代數(shù)精度梯形公式余項(xiàng)344( )() =()()=( ) ,( , ) 212 =()( ) ,( , ) 1802bafbaR fxa xb dxfa bba baR ffa b（ ）： 同理，辛普森公式余項(xiàng)： 4.2 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式一、牛頓一、牛頓-柯特斯公式的導(dǎo)出柯特斯公式的導(dǎo)出.C- C 系數(shù)系數(shù)Cotes公式Cotes公式- -NewtonNewton柯特斯柯特斯稱為稱

7、為），），柯特斯公式（柯特斯公式（牛頓牛頓稱為稱為式式構(gòu)造出的插值型求積公構(gòu)造出的插值型求積公在等距節(jié)點(diǎn)在等距節(jié)點(diǎn)等分，步長(zhǎng)等分，步長(zhǎng)做做設(shè)將求積區(qū)間設(shè)將求積區(qū)間)(0)(, )()(,nknkknknkxfabIkhaxnabhnba0 ( )( ) ( ),0,1, nbbnnkkaakbkkaIL x dxlx dx fAlx dx knxath由插值型求積公式：知求積系數(shù) 引入變換 柯特斯系數(shù)柯特斯系數(shù)公式不穩(wěn)定公式不穩(wěn)定出現(xiàn)負(fù)值出現(xiàn)負(fù)值時(shí)時(shí)柯特斯系數(shù)表柯特斯系數(shù)表其中其中得到得到時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)也稱為也稱為得到拋物線公式得到拋物線公式時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)玫教菪喂降玫教菪喂綍r(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)CNnabhkha

8、xxfxfxfxfxfabCnbfbafafabSxxfbfafabTxxfnkkbaba,84,),(7)(32)(12)(32)(7904)()2(4)(6)(,2)()(2)()(43210C ,d ,n d ,1n . .公式公式柯特斯(cotes)柯特斯(cotes)n)公式n)公式辛普森(Simpso辛普森(Simpso( )0000( 1) Cd()d . !()!n knnnnnkjjj kj khtjttjtbakjnk nk則有.1,次次代代數(shù)數(shù)精精度度公公式式至至少少有有階階則則為為偶偶數(shù)數(shù)若若nCNnn 定定理理3 3101010311012011.859140921(

9、 )(1 0)0.2265235, (0,1)1212 14e + 1.7188612611 0( )(180242xxxe dxe dxeeeR fee dxeeR fe 運(yùn)用梯形公式、辛普森公式分別計(jì)算積分，并估計(jì)誤差。解： 運(yùn)用梯形公式 其誤差為 運(yùn)用辛普森公式 其誤差為例 41) =0.00094385, (0,1)28802880ee牛頓牛頓-柯特斯公式的代數(shù)精度柯特斯公式的代數(shù)精度4.3 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式 一、問(wèn)題與基本思想 在使用牛頓-柯特斯公式時(shí)將導(dǎo)致求積系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù)(當(dāng)n8時(shí),牛頓.柯特斯求積系數(shù)會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù))，因而不可能通過(guò)提高階的方法來(lái)提高求積精度。為了提高精度通常

10、采用將積分區(qū)間劃分成若干個(gè)小區(qū)間，在各小區(qū)間上采用低次的求積公式(梯形公式或辛普森公式)，然后再利用積分的可加性，把各區(qū)間上的積分加起來(lái)，便得到新的求積公式，這就是復(fù)化求積公式的基本思想。本節(jié)只討論復(fù)化的梯形公式和復(fù)化的辛普森公式。11111001 , , , (,0,1,1), , ( )d( )d ()()( )2 T ()()2kkkkknnbxkknaxkknkkka bnxxbaxakhhknnhIf x xf x xf xf xRfhf xf x將區(qū)間等分為個(gè)小區(qū)間其中并在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用梯形公式 則得復(fù)合梯形公式記11013-1102 ( )2()( )2 ( )(), (,)1

11、2- ( ), ( , )12nnkknnnkkkkkhf af xf bhRfITfxxb ah fa b 稱為復(fù)合梯形公式，余項(xiàng)為 二、復(fù)合梯形公式二、復(fù)合梯形公式1211212110110110 , , ( )d( )d = ()4 ()()( ),6 S = ()4 ()()6 kkkkknbxaxknkknkknnkkkkxxxIf x xf x xhf xf xf xRfhf xf xf x記的中點(diǎn)為，在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用辛普森公式 則得復(fù)合辛普森公式記121101 = ( )4()2()( )6nnkkkkhf af xf xf b稱為復(fù)合辛普森公式三、復(fù)合辛普森公式三、復(fù)合辛普森

12、公式4-1(4)104(4) ( )S(), (,)180 2 ( ), ( , )1802nnnkkkkkhhRfIfxxbahfa b 余項(xiàng)為：10sin ( ),8sind xf xnxxIxx對(duì)于函數(shù)給出時(shí)的函數(shù)表，試用復(fù)合梯形公式及復(fù)合辛普森公式計(jì)算積分。例例4 -34 -3 xi0 1/8 1/4 3/8 1/2 f (xi)1 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 xi5/8 3/4 7/8 1 f (xi)0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709 20-3 sin 0,210424 1Ixdx計(jì)算積

13、分， 若用復(fù)合梯形公式，問(wèn)區(qū)間應(yīng)分多少等份才能使誤差不超過(guò)，若取同樣的求積節(jié)點(diǎn)，改用復(fù)合辛普森公式，截?cái)嗾`差例是多少？841(0)1131537(1)( )( )( )( )( )( )( )8284828482 0.9456909.11357(0)4 ( )( )( )( )4 68888113 2 ( )( )( )(1)0.9460832424ffTfffffffSfffffffff(4)22-3323-3( )cos ,( )sin ,( )sin ,2, -11 ( )()10 ,(0,)21212 22210 ,25.416,260,482261102nf xx fxx fxx b

14、ab aR fh fnnnn 解： 由于,故復(fù)合梯形公式 要求（ ）即取,即將區(qū)間分為等份時(shí)，用復(fù)合梯形公式計(jì)算，截?cái)嗾`差不超過(guò)4(4)4-9- ( )()0.7266303 101802180 2 2Sb ahRffn 。用復(fù)合辛普森公式，截?cái)嗾`差為（ ）1211110011 , , , ()() ( )2()( ).22 , 2, ,2kknnnkkkkkkkkkkbaa bnnxxhnhhTf xf xf af xf bxxa bnxxx把區(qū)間作等分得個(gè)小區(qū)間則復(fù)合梯形公式把區(qū)間作等分 記的中點(diǎn)，則復(fù)合梯形公式4.4 龍貝格求積公式龍貝格求積公式 一、梯形法的遞推化一、梯形法的遞推化 (

15、變步長(zhǎng)求積法變步長(zhǎng)求積法) 121212121011100101 ()2 ()()2 2 ()()()421 ().22nnkkkknnkkkkknnkkhTf xf xf xhhf xf xf xhTf x 于是可以逐次對(duì)分形成一個(gè)序列于是可以逐次對(duì)分形成一個(gè)序列T1,T2,T4,T8,此序列此序列收斂于積分真值收斂于積分真值 I。當(dāng)。當(dāng) |T2n-Tn|時(shí)，取時(shí)，取T2n為為 I 的近似值。的近似值。以上算法稱為以上算法稱為變步長(zhǎng)求積法變步長(zhǎng)求積法。 但由于此序列收斂太慢但由于此序列收斂太慢 。下。下節(jié)我們將其改造成為收斂快的序列。節(jié)我們將其改造成為收斂快的序列。 956909. 0)87

16、()85()83()81(81219445135. 0)43()41(41219397933. 0)21(21219207355. 0)1 ()0(214824121ffffTTffTTfTTffT解：解：10sin d xIxx利用變步長(zhǎng)的梯形法求的例如近似值。二、龍貝格算法二、龍貝格算法如何提高收斂速度以節(jié)省計(jì)算量是龍貝格算法要討論的中如何提高收斂速度以節(jié)省計(jì)算量是龍貝格算法要討論的中心問(wèn)題。心問(wèn)題。 21122221222222() ( , )12 ()( , )122()()1 4 344 144 1nnnnnnnnnnnbaITh fa bbahITfa bffITITTTITTTI

17、TT 假定，則有整理，移項(xiàng)得（）于是記這樣我們從收斂較慢的Tn序列推出了收斂較快的Sn序列。 可以證明Sn序列實(shí)際上就是逐次分半的復(fù)化辛普森公式序列。14463163641441511516.1513232222222nnnnnnnnnnnnnCCCCRSSSSCSSSI 龍貝格求積公式復(fù)化柯特斯公式復(fù)化柯特斯公式）（同理，同理， 這樣我們從Cn序列又推出了收斂更快的Rn序列. Rn序列也稱為龍貝格序列。我們從收斂較慢的Tn序列只用了一些四則運(yùn)算，便推出了收斂更快的Sn序列, Cn序列和Rn序列。T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2運(yùn)算順序表運(yùn)算順序表10sin d xI

18、xx利用龍貝格求積算法求的近似值例例4 -54 -5kT2kS2k-1C2k-2R2k-300.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.946083030.94569090.94608330.94608310.9460831這里利用二分3次的數(shù)據(jù)（它們的精度都很差，只有兩三位有效數(shù)字）通過(guò)三次加速求得R1=0.9460831,這個(gè)結(jié)果的每一位數(shù)字都是有效數(shù)字，可見(jiàn)加速效果是十分顯著的。0 ( )() 22,(0,1, ) (0,1, )21 ( )nbkkakkkkf x dxA f xnxA knnx knnGaussIx機(jī)械求積公式含有

19、個(gè)待定參數(shù)。插值型求積公式的代數(shù)精度至少次。如果適當(dāng)選取有可能使求積公式具有次代數(shù)精度，這類(lèi)求積公式稱為高斯（）求積公式。一般地，我們研究帶權(quán)積分0( )d() , nbkkakf xxA f x4.5 高斯求積公式高斯求積公式 一、一般理論一、一般理論 100111 ( )d( 6)() .x f xxA f xA f x試構(gòu)造高斯求積例4-公式010 , 21, , ( )d , 0,1,21. nnbmmiiaiaxxxbnxxxAxmn構(gòu)造高斯若一組節(jié)點(diǎn)使插值型求積公式具有次代數(shù)精度則稱此組節(jié)點(diǎn)為并稱此求積公求積公式方法（式為。利用代數(shù)精度的定義，只要求解方一程組）定定義義4 4高高斯

20、斯點(diǎn)點(diǎn)高高斯斯求求積積公公式式 準(zhǔn)確成立，得準(zhǔn)確成立，得解：令公式對(duì)于解：令公式對(duì)于32, 1)(xxxxf111100131030121020110010 )0.289949(0.277556)0.821162(0.389111d)( ,0.2775560.289949 0.3891110.821162 92725232ffxxfxAxAxAxAxAxAxAxAxAA高斯公式為于是，解得 kkxA先確定了節(jié)點(diǎn) ，后利用方程組求構(gòu)造高斯求積公式方法（二）解系數(shù) 。 0.d 5bannnnxxPxxxxPnxxxxxxxbxxxa)()()(,)()()()()(110110即即正交正交帶權(quán)帶權(quán)

21、的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式與任何次數(shù)不超過(guò)與任何次數(shù)不超過(guò)是高斯點(diǎn)是高斯點(diǎn)插值型求積公式的節(jié)點(diǎn)插值型求積公式的節(jié)點(diǎn) 定理定理k01 , 1xn Ana bnAAA定理表明在上帶權(quán)的次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式的高斯點(diǎn)，有了求積節(jié)點(diǎn) （0,1， ， ） ，再利用代數(shù)精度概念得到一組關(guān)于求積系數(shù) ， ， ， 的線性方程組。解此方程組得系數(shù) 。也可直接由插值多項(xiàng)式求出求積系數(shù)。 （中點(diǎn)公式）（中點(diǎn)公式）.2)()()(,)()()(,)()()(hhafhafafhhafafafhafhafaf4.6 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分一、中點(diǎn)方法與誤差分析一、中點(diǎn)方法與誤差分析 數(shù)值微分就是要用函數(shù)值的線性組合近似函數(shù)在數(shù)值微分就是要用函數(shù)值的線性組合近似函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。由導(dǎo)數(shù)定義差商近似導(dǎo)數(shù)得到數(shù)值微某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。由導(dǎo)數(shù)定義差商近似導(dǎo)數(shù)得到數(shù)值微分公式。分公式。 234(4)5(5)24(5)2()( )( )( )( )( )2!3!4! ( ), 5!()()( )( )( )( ). 23!5! ( )( ), 6hhhf ahf ahfafafafahfaf ahf ahhhG hfafafahhG hfaM誤差估計(jì)max( ) . ( ),x222 ( ), 42x ahMfxhhf xxhhG hh 其中表面上看越小越好，但從舍入誤差角度考慮， 不能太小。例如 在處的一階導(dǎo)數(shù)設(shè)取 位