函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計及點評

1、函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計醴陵五中 張承一、教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課內(nèi)容是普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)人教A版必修1第一章集合與函數(shù)概念1.3函數(shù)的基本性質(zhì)中第1.3.1節(jié)單調(diào)性與最大（?。┲档牡谝徽n時，本節(jié)教學(xué)內(nèi)容為函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個性質(zhì)函數(shù)單調(diào)性的概念是研究具體函數(shù)單調(diào)性的理論依據(jù)，在研究函數(shù)的值域、最大值、最小值等性質(zhì)中有重要應(yīng)用，因而函數(shù)單調(diào)性概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的概念之一在研究單調(diào)性過程中，經(jīng)歷觀察圖象，描述函數(shù)圖象特征；結(jié)合圖、表，用自然語言描述函數(shù)圖象特征；用數(shù)學(xué)符號語言定義函數(shù)性質(zhì)的過程體現(xiàn)了對函數(shù)研究的一般方法加強“數(shù)”與“形”的結(jié)合，由

2、直觀到抽象；由特殊到一般為進一步學(xué)習(xí)函數(shù)其他性質(zhì)提供了方法依據(jù)在對函數(shù)單調(diào)性的探究過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力；讓學(xué)生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程本節(jié)課的教學(xué)重點：形成增（減）函數(shù)形式化定義二、教學(xué)目標設(shè)置（一）學(xué)習(xí)目標1. 能從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握用函數(shù)單調(diào)性的定義證明簡單函數(shù)在某區(qū)間上具有某種單調(diào)性的方法（步驟）.2. 通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，感悟數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高推理論證能力 3. 通過知識的探究過

3、程培養(yǎng)細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習(xí)慣，感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程（二）目標解析1能夠以具體的例子說明某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)；能夠舉例，并通過繪制圖形說明函數(shù)在定義域的子集（區(qū)間）上具有單調(diào)性，而在整個定義域上未必具有單調(diào)性，說明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì).對于一個簡單的函數(shù)能夠用單調(diào)性的定義，證明它是增函數(shù)還是減函數(shù).2在探究函數(shù)單調(diào)性定義時，領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、變化與對應(yīng)思想，并能運用這些數(shù)學(xué)思想觀察、分析函數(shù)的圖象，探究、歸納、概括函數(shù)單調(diào)性的概念3通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，經(jīng)歷觀察、分析、探究、歸納的認知過程，將函數(shù)圖象的

4、“上升”或“下降”這一特征能用該區(qū)間上“任意的，都有”的數(shù)學(xué)語言進行刻畫.從函數(shù)入手歸納函數(shù)單調(diào)性定義推廣到一般函數(shù)的單調(diào)性定義.培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，提高思維能力三、學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)是，初中學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念，初步認識到函數(shù)是描述事物運動變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，并且學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)，能熟練的利用描點法畫出這些函數(shù)的圖象.進入高中以后又進一步學(xué)習(xí)了函數(shù)概念，認識到函數(shù)是兩個非空數(shù)集間的一種對應(yīng)知道函數(shù)有三種表示方法，充分認識到一個函數(shù)中自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可以利用圖象表示函數(shù)中函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律和性質(zhì).“圖象是上升的，函數(shù)是單調(diào)遞增的；圖象是下降的

5、，函數(shù)是單調(diào)遞減的”僅就圖象角度直觀描述函數(shù)單調(diào)性的特征，學(xué)生并不感到困難.困難在于，把具體的、直觀形象的函數(shù)單調(diào)性特征抽象出來，用數(shù)學(xué)的符號語言描述.即把某區(qū)間上“隨著的增大而增大”這一特征用該區(qū)間上“任意的，都有”進行刻畫.其中最難理解的是為什么要在區(qū)間上“任意”取兩個大小不等的教學(xué)中，通過一次函數(shù)、二次函數(shù)等具體的函數(shù)圖象及數(shù)值變化特征的研究，得到“圖象是上升的”，即“隨著的增大而增大”，初步提出單調(diào)遞增的說法，通過圖表觀察，提出猜想，經(jīng)歷討論、交流、驗證使學(xué)生克服思維障礙，經(jīng)歷從直觀到抽象、具體到一般的形成知識的過程教學(xué)難點：形成增（減）函數(shù)概念的過程中，如何從圖象升降的直觀認識過渡到

6、函數(shù)增減的數(shù)學(xué)符號語言表述，用定義證明函數(shù)單調(diào)性。四、教學(xué)策略分析為實現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標，突出重點，突破難點，教學(xué)上我主要采取了以下的策略：（1）創(chuàng)設(shè)生活情境，找準切入點函數(shù)是描述事物運動變化規(guī)律的模型，生活中很多運動變化的現(xiàn)象都值得去關(guān)注，讓學(xué)生通過觀察天津市某天氣溫變化曲線圖的變化趨勢，完成對單調(diào)性直觀上的一種認識，并為概念的引入提供了必要性讓學(xué)生帶著問題（什么是函數(shù)的單調(diào)性？怎樣判定函數(shù)的單調(diào)性？）進入新課（2）探索概念階段，緊扣主線在函數(shù)圖象上“譜好”函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的“三步曲”以學(xué)生熟悉的函數(shù)為例，讓學(xué)生從圖象上獲得“上升”“下降”的整體認識，初步認識函數(shù)單調(diào)性通過觀察函數(shù)的對應(yīng)值表格

7、提出猜想，通過幾何畫板軟件加以驗證，用數(shù)學(xué)語言“隨著的增大而增大” 來描述 “函數(shù)的圖象在軸右側(cè)是上升的”，進一步認識函數(shù)單調(diào)性通過觀察、猜想、分析、驗證、證明的過程，從而用數(shù)學(xué)符號語言定描述函數(shù)在的單調(diào)性.最后通過類比，用數(shù)學(xué)符號語言定義一般函數(shù)的單調(diào)性（3）注重思想方法的培養(yǎng)從函數(shù)圖象的觀察出發(fā)，經(jīng)歷從直觀到抽象，從圖形語言到數(shù)學(xué)符號語言，進而理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間概念的過程中，感悟數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般思想掌握通過觀察圖象，先對函數(shù)是否具有某種性質(zhì)做出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，這一研究函數(shù)性質(zhì)的常用方法（4）注重數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)在整個教學(xué)過程中，通過溫度曲線

8、創(chuàng)設(shè)情境，找準切入點，進入新課在練習(xí)1（1）中，利用溫度曲線構(gòu)造反例，幫助學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性中的“任意性”在歸納反思中，利用溫度曲線說明學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性知識具有實際意義五、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新知我們知道，函數(shù)是研究事物運動變化規(guī)律的模型，生活中就有許多運動變化的現(xiàn)象是我們經(jīng)常關(guān)注的，如某日天津24小時的溫度曲線問題1：觀察圖形，你能得到什么信息？師生活動：教師提問，學(xué)生思考、回答，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況加以補充 【設(shè)計意圖】通過學(xué)生熟悉的實際問題引入課題為概念學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)情境，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的距離，激發(fā)學(xué)生求知欲，調(diào)動學(xué)生主體參與的積極性學(xué)生通過觀察天津市某天氣溫變化曲線圖的變化趨勢，完成

9、對單調(diào)性直觀上的一種認識（二）觀察探究，形成新知問題2：觀察函數(shù)，的圖象隨自變量的增大，是如何變化的？學(xué)生獲取函數(shù)的圖象升降特點后，教師以函數(shù)為例，初步認識函數(shù)單調(diào)性：函數(shù)的圖象在軸左側(cè)隨著自變量增大而下降，我們說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；在軸右側(cè)隨著自變量增大上而升，就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)師生活動：教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察圖象從左至右的變化情況，并回答問題【設(shè)計意圖】體會函數(shù)的圖象是上升的，函數(shù)的圖象在軸左側(cè)是下降的，在軸右側(cè)是上升的以函數(shù)的圖象為例，通過函數(shù)的圖象直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，初步認識函數(shù)單調(diào)性定義探究一：用數(shù)學(xué)符號語言定義增函數(shù)問題3：函數(shù)的圖象在軸右側(cè)是上升的，如何用數(shù)學(xué)語言來描述這種

10、“上升”？觀察表格，軸右側(cè)自變量值與對應(yīng)的函數(shù)值的變化規(guī)律是怎樣的？教師提出問題后，組織學(xué)生填寫表格，觀察圖表-4-3-2-101234 師生活動：學(xué)生觀察函數(shù)圖象在軸右側(cè)是上升的，提出函數(shù)在區(qū)間上隨的增大而增大，在教師的幫助下，借助幾何畫板軟件加以驗證【設(shè)計意圖】觀察函數(shù)的圖象，用“在 隨的增大而增大”描述“圖象在軸右側(cè)是上升的”，進一步認識函數(shù)的單調(diào)性，從圖形的刻畫過渡到數(shù)量關(guān)系，即從圖形語言的表述過渡到數(shù)學(xué)語言的表述 問題4：如何用數(shù)學(xué)符號語言描述函數(shù)在 隨的增大而增大？師生活動：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，總結(jié)：函數(shù)，在區(qū)間上任取值，當時，都有就能說明函數(shù)在區(qū)間上隨的增大而增大；函數(shù)是增函數(shù).

11、引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，進行驗證，并通過作差比較，對函數(shù)在區(qū)間上當時，都有，給予證明經(jīng)歷上述觀察、猜想、分析、驗證、證明的過程，得到結(jié)論： 函數(shù)定義域為R，在上任意的的值，當時，都有我們就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【設(shè)計意圖】結(jié)合圖、表，學(xué)生在教師的引導(dǎo)，結(jié)合其初中的認知基礎(chǔ)，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，用數(shù)學(xué)符號語言“函數(shù)，在區(qū)間上任取兩個，當時，有”來描述“隨著的增大而增大”，學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象，從圖形語言到數(shù)學(xué)符號語言，進而理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間概念的過程問題5：對于一般的函數(shù)定義域為I，在區(qū)間D上，我們應(yīng)當如何給增函數(shù)下定義？引導(dǎo)學(xué)生給增函數(shù)下定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為：如果對于定義域內(nèi)的

12、某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)師生活動：學(xué)生思考、發(fā)言，教師補充、板書 【設(shè)計意圖】體現(xiàn)了對函數(shù)研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法問題6：類比增函數(shù)的定義，對于一般的函數(shù)，我們應(yīng)當如何給減函數(shù)下定義？教師引導(dǎo)學(xué)生通過類比、觀察、驗證、交流后，得出減函數(shù)定義師生活動：小組討論，代表發(fā)言交流 【設(shè)計意圖】得出減函數(shù)定義，培養(yǎng)學(xué)生的類比能力練習(xí)1：判斷下列說法是否正確，說明理由：（1）某地0點溫度高于1點半的溫度，1點半的溫度高于5點的溫度，則該地0點至5點溫度一直在下降.（2）對于函數(shù)在其定義域內(nèi)有無窮多個值，滿足，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù).（3）對

13、于區(qū)間上的任意有，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增若不正確，請畫圖說明理由.師生活動：學(xué)生回答練習(xí)（1）后教師通過本節(jié)課開始的“某日天津24小時的溫度曲線”作為反例進行說明，練習(xí)（2）（3）學(xué)生通過作圖展示說明【設(shè)計意圖】通過辨析，學(xué)生進一步體驗到定義中的兩個自變量應(yīng)該“任意”選取（三）鞏固提高，應(yīng)用新知例1 下圖是定義在區(qū)間上的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？師生活動：學(xué)生觀察圖象，獨立完成，教師解答學(xué)生在解決問題過程中出現(xiàn)的問題如：單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；本題中，如果用并集符號，不符合單調(diào)性定義；本題中，區(qū)端點處有意義，那么區(qū)間開閉都可以【設(shè)計意圖】

14、學(xué)生能夠通過函數(shù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，加深對函數(shù)單調(diào)性概念的理解例2：物理學(xué)中的玻意耳定律(為正常數(shù))告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積減小時，壓強將增大試用函數(shù)的單調(diào)性證明之師生活動：幫助學(xué)生分析例2，引導(dǎo)學(xué)生將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，解題過程由學(xué)生思考陳述，教師板書證明過程，師生共同總結(jié)用定義證明函數(shù)為增（減）函數(shù)的基本步驟【設(shè)計意圖】利用單調(diào)性證明物理學(xué)中的玻意耳定律，學(xué)生感受到函數(shù)單調(diào)性的初步應(yīng)用；教師引導(dǎo)下，學(xué)生熟悉用定義證明函數(shù)為增（減）函數(shù)的基本步驟探究二：反比例函數(shù)的單調(diào)性問題7：畫出反比例函數(shù)的圖象，并說出函數(shù)的定義域是什么？它在定義域上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結(jié)論師生

15、活動：學(xué)生討論，代表發(fā)言，提出猜想，證明猜想【設(shè)計意圖】學(xué)生體會：通過數(shù)形結(jié)合思想的運用，觀察圖象，先對函數(shù)是否具有某種性質(zhì)進行猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數(shù)性質(zhì)的一種常用方法（四）歸納反思，深化新知問題8：通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？師生活動：學(xué)生談本節(jié)課的學(xué)習(xí)感受，教師梳理、概括本節(jié)課主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并揭示蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法【設(shè)計意圖】使學(xué)生深切體會到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法（五）目標檢測1根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)2證明函數(shù)在上是減函數(shù)（六）布置作業(yè)：（1）基礎(chǔ)達標：教材中練習(xí)的第1、2題；求證：函數(shù)在區(qū)間上是減

16、函數(shù)（2）能力提升：研究函數(shù)的單調(diào)性（3）思考探究：函數(shù)定義域內(nèi)的某個區(qū)間D上任意兩個自變量的值，當時，都有，則函數(shù)在區(qū)間D上是 （填“增函數(shù)”或“減函數(shù)”）教學(xué)點評點評人：劉家征（天津市第四中學(xué)）本節(jié)課的教學(xué)，較好的完成了三個教學(xué)目標。課堂教學(xué)始終以學(xué)生為中心，結(jié)合學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中的“最近生長點”一次函數(shù)和二次函數(shù)，尋找學(xué)生易于接受的思維模式，由感性感知“圖象由左向右是上升的，函數(shù)是單調(diào)遞增的”到理性思考 “隨著的增大而增大”，再到邏輯推理“任意的，都有”，很自然的突破引入“任意取兩個大小不等的”的教學(xué)難點，而單調(diào)性定義后面給出的三個辨析訓(xùn)練，讓學(xué)生更加深刻的體會定義中“任意”的含義教學(xué)中增加且板書引導(dǎo)學(xué)生證