第l六節(jié)差分與差分方程的概念

1、機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第六節(jié)差分與差分方程的概念機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)變量被認(rèn)為是離散或間斷地變化而不是連續(xù)或瞬時地變化時，差分方程就適合表示這些變化之間的關(guān)系，而微分方程就不適合。 在企業(yè)管理和經(jīng)濟(jì)分析中，差分方程常常是有用的。 下面介紹差分與差分方程的一些概念并介紹簡單的差分方程的解法。這對我們研究和解決一些實際問題是頗有益處的。 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一差分的概念一差分的概念設(shè)函數(shù) ,式中y只對x在非負(fù)整數(shù)值上有定義，在自變量x依次取遍非負(fù)整數(shù)時，即 ( )yf x0,1,2,3,.x 相應(yīng)的函數(shù)值為(0) ,(1) ,( ) ,(1) ,ff

2、f xf x或簡記為011,xxyyyy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義在自變量從x變到x+1時，函數(shù) 的改變量 ( )yy x(1)( )(0,1,2,)xyy xy xx稱為函數(shù) 在x點步長為1的一階差分，簡稱為函數(shù) 的一階差分。通常記作( )y x( )y x1(0,1,2,)xxxyyyx (7-1) 其中表示差分算子或差分符號。（ 讀作“德爾塔” ）。 xyxy注意： 也是x的函數(shù)， 是算子，為從序列 中得到 提供運算法則。 xy012,yy y xy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似地，通過算子也可定義二階差分及以上的高階差分。當(dāng)自變量由x變到x+1時，一階差分的

3、改變量121121()()()2xxxxxxxxxxyyyyyyyyyy 稱為函數(shù) 的二階差分，記作 ，即 ( )yy x2xy2212xxxxyyyy(7-2) 實際上二階差分是一階差分的差分。機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 同樣，二階差分 的改變量3xy222132121321()(2)(2)33xxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyy 稱為函數(shù) 的三階差分 ，記作，即 ( )yy x3xy332133xxxxxyyyyy(7-3) 依次類推，可得函數(shù)的n 階差分為1111()nnnnxxxxyyyy 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1211121( 1)( 1)nnn

4、x nnx nnx nnxxyC yC yCyy 0( 1)nkknx n kkC y (7-4) 其中 !knnCknk這里規(guī)定 ，當(dāng)n取0，1，2，時，上式給出了 的各階差分。 0( )xxyyy x( )yy x(7-4)還告訴我們： 的n階差分就是函數(shù) ， ， 的線性組合，其系數(shù)依次取二項式 展開式對應(yīng)項的系數(shù)，其中 的系數(shù)為 ( )yy x()y xn(1)y x( )y xnaby xnk1,0,1,kknCkn機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由定義可知，函數(shù) 的差分仍是x的函數(shù)，因此函數(shù) 的各函數(shù)值也可表示為 及其各階差分的線性組合。( )yy xxy( )yy x事實上(7

5、-1), (7-2) ,(7-3), (7-4)可改寫為 1xxxyyy (7-5) 211222xxxxxxxxxxyyyyyyyyyy (7-6) 3222333xxxxxxxyyyyyyy (7-7) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 122110nnnx nxnxnxnxxnkknxkyyCyCyCyyCy(7-8) 根據(jù)差分的定義，容易得到下述差分運算法則：（1） ( )0C（C為常數(shù)） （2） ()xxCyC y（C為常數(shù)） （3） ()xxxxaybza yb z (a, b為常數(shù)） （4） 1()xxxxxxyzyzzy1xxxxyzzy（5） 1()(其 中 z0)xxxx

6、xxxxxyzyyzzzz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 111zxxxxxxyyzzz這里我們試證運算法則（5）：111111111111111()()()()xxxxxxxxxxzzxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyzy zzzzzzyzy zy zy zzzyzy zy zy zzzyyzyzzzzzyyzzz 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1 設(shè) 2xyx， 求xy解解 221(1)21xxxyyyxxx例例2 設(shè) xyx（ 為常數(shù)）， 0,x求.xy解解 11(1)(1)1xxxyyyxxxx在例2中，若 n（n為正整數(shù)）， 當(dāng)

7、 1,n xyx，則 1xy；當(dāng) 2,n 2xyx則 21.xyx一般地，若 nyx，則 1(1)nnnkn kxnkyxxC x機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3 已知 22342 ,求和.xxyxyy解解 24 ()(2)4(21)084xyxxx 2212xxxxyyyy2224(2)22 412428xxx或者 2848xxyyx 32()(8)0 xxyy 由例3可知，對于k次多項式的k階差分為常數(shù)，而(k+1)階以上的差分均為零。機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4 設(shè) xxya(0a1),求.xy解解 11(1)xxxxxxyyyaaaa由例4可以看出，指數(shù)函數(shù)的差

8、分還是指數(shù)函數(shù)這一性質(zhì)。 如 37 ,xxxy 2 36 7 ,xxxy 24 336 7 .xxxy例例5 求函數(shù) 的一階差分。 23( )223xf xxx解解 設(shè) ，由差分的運算法則，有 ( )xyf x2323212221222(223)(2 )2 ()(3)(2 )2()2(331)0(2 1)22(21)662(42)2662xxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxxxxx 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6求函數(shù) 的一階差分。 51xxyx解解 由運算法則（5） 5(1)5(1)(1)(2)xxxxxyxx則 24 5(1)5 1435(1)(2)32xxxxxxyxx

9、xx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二差分方程的概念二差分方程的概念1差分方程的定義定義定義 表示自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)差分之間關(guān)系的方程，稱為差分方程，其一般形式為2( ,)0nxxxxx yyyy (7-9) 或12( ,)0 xxxx nx yyyy(7-10) 或 12( ,)0 xxxx nx yyyy(7-11) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由差分的定義及性質(zhì)可知，差分方程的不同形式之間可以互相轉(zhuǎn)換，故上述(7-9) ,(7-10), (7-11)三種不同的表達(dá)形式是等價的。例如，差分方程 2473xxxxyyy21243xxxxyyy1212439xxxxyyy為

10、同一方程的三種不同表達(dá)式.2差分方程的階定義定義 差分方程中所含未知函數(shù)的差分的實際最高階數(shù)，稱為該差分方程的階。 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 應(yīng)該注意：由于差分方程的不同形式可互相轉(zhuǎn)化，因此差分方程的階數(shù)就不能簡單地從形式上出現(xiàn)的最高階差分的階數(shù)來確定，這與確定微分方程的階數(shù)是不同的。通常對于用未知函數(shù)下標(biāo)表示的差分方程，其階數(shù)等于方程中含未知函數(shù)下標(biāo)的最大值和最小值之差。例如，差分方程 5324320 xxxyyy就是 階的，而不是5階。事實上，作 變換，便可得未知函數(shù) 的差分方程 (5)(2)3xx2xxxy314320 xxxyyy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 又如，差分

11、方程 ，雖然形式上顯含三階差分 ，但實際上它只是二階差分方程。這是因為 310 xxyy 3xy33213211(33)1331xxxxxxxxxxyyyyyyyyyy 作變換 ，原方程可等價與下面的二階差分方程1xx213310 xxxyyy 3線性差分方程定義定義 如果差分方程的因變量出現(xiàn)在一次式中，則稱該方程為線性差分方程。機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一個n階線性差分方程可寫成01111( )( )( )( )( )x nx nnxnxa x ya x yax yax yf x (7-12) 其中 為已知函數(shù)。011( ),( ),( ),( ),( )nna x a xax a

12、xf x4差分方程的解、通解、初始條件、特解。定義定義 滿足差分方程的函數(shù)，稱為該方程的解。 定義定義 若差分方程的解中，所含相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與該差分方程的階數(shù)相等，則這樣的解稱為差分方程的通解。 為了完全準(zhǔn)確地反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律性，可根據(jù)該事物在初始時刻所處的狀態(tài)，對差分方程附加一定的條件。機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義 這種用于確定通解中任意常數(shù)的附加條件稱為初始條件。 定義定義 通解中的任意常數(shù)被確定后所得的解，稱為差分方程滿足初始條件的特解。 一般地，n階差分方程通解中含有n個相互獨立的任意常數(shù)，要確定這些常數(shù)，就必須n有個初始條件：0000,xx

13、 xxxx xxyyyy 0022xx xxyy 0011nnxx xxyy 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1 證明 是一階差分方程 的解，并求當(dāng)時 的特解。 xyxC11xxyy01y 證明證明 設(shè) xyxC則 1(1)()1xxyyxCxC 因此 xyxC是方程的解。用 0,1xy代入得 1C 所以 1xyx是滿足 01y 的特解。 例例2 證明 12( 1)xxyCC是二階差分方程 20 xxyy的解，并求當(dāng) 012,5yy時的特解。 證明證明 設(shè) 12( 1)xxyCC，則 22121222( 1)( 1)( 1)( 1)0 xxxxxxyyCCCCC 機(jī)動 目錄 上頁 下頁

14、 返回 結(jié)束 因此 12( 1)xxyCC是解 用 0,2,1,5xyxy代入 121225CCCC解得 1273,22CC 所以73( 1)22xxy 是滿足 012,5yy的特解。 三常系數(shù)線性差分方程的解的結(jié)構(gòu)三常系數(shù)線性差分方程的解的結(jié)構(gòu) 為了求解差分方程，以后出現(xiàn)的差分方程均以未知函數(shù)含有下標(biāo)的形式出現(xiàn)。由(7-12)可知一個n階線性差分方程可寫成 01111( )( )( )( )( )x nx nnxnxa x ya x yax yax yf x 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中 011( ),( ),( ),( ),( )nna x a xax axf x為已知函數(shù)。

15、若 ( )0f x ，則此方程(7-12)稱為n階線性齊次差分方程 .若 ( )0f x ，則此方程(7-12)稱為n階線性非齊次差分方程。 非齊次方程： 01111( )x nx nnxnxa ya yaya yf x (7-13) 式中 (0,1,2, )iain為常數(shù) 0,0na a 若差分方程(7-12)中各項 ( ) (0,1,2, )ia xin 均為常數(shù)，則該方程稱為常系數(shù)線性差分方程。n階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為齊次方程： 0(,0)na a 011110 x nx nnxnxa ya yaya y (7-14) 稱為方程(7-13)所對應(yīng)的n階常系數(shù)線性齊次差分方程。

16、機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n階常系數(shù)線性差分方程的解與n階常系數(shù)線性微分方程的解類似，也有如下基本性質(zhì)： 定理定理8.5 若函數(shù) 均是線性齊次方程 (7-14)的解，則這k個函數(shù)的線性組合 (1)(2)( ),kxxxyyy(1)(2)( )12kxxxkxyC yC yC y也是該方程(7-14)的解，其中 為任意常數(shù)。 12,kC CC定理定理8.6 若函數(shù) 是齊次方程(7-14)的n個線性無關(guān)的特解，則 (1)(2)( ),nxxxyyy(1)(2)( )12nxxxnxYC yC yC y就是齊次方程(7-14)的通解，其中 為任意常數(shù)。12,nC CC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理8.7 若 是非齊次方程(7-13)的一個特解， 是方程(7-13)所對應(yīng)的齊次方程(7-14)的通解，則非齊次方程(7-13) 的通解為 *xyxY*xxxyYy(7-15) 定理定理8.8 若函數(shù) 和 分別是線性非齊次差分方程 (1)*xy(2)*xy011111( )x nx nnxnxa ya yaya yf x 011112( )x nx nnxnxa ya yaya yfx 的特解，則函數(shù) (1)*(2)*xxx