【學(xué)海導(dǎo)航】2012屆高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 3.2 等差數(shù)列課件（1）

1、第 三 章第 三 章數(shù)列數(shù)列3.1 等差數(shù)列等差數(shù)列考點(diǎn)考點(diǎn)搜索搜索等差數(shù)列的概念等差數(shù)列的概念等差數(shù)列的判定方法等差數(shù)列的判定方法等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的綜合問(wèn)題等差數(shù)列的綜合問(wèn)題高考高考猜想猜想考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及其性質(zhì)；同時(shí)考查等差數(shù)列的函數(shù)性其性質(zhì)；同時(shí)考查等差數(shù)列的函數(shù)性.一、等差數(shù)列的判定與證明方法一、等差數(shù)列的判定與證明方法1.定義法：定義法：_.2.等差中項(xiàng)法：等差中項(xiàng)法：_.3.通項(xiàng)公式法：通項(xiàng)公式法：_.4.前前n項(xiàng)和公式法：項(xiàng)和公式法：_.二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式1.原形結(jié)構(gòu)式：原形結(jié)構(gòu)式：

2、an=_.2.變形結(jié)構(gòu)式：變形結(jié)構(gòu)式：an=am+_(nm). an-an-1=d (n2)an-1+an+1=2an (n2)an=kn+bSn=an2+bna1+(n-1)d(n-m)d 三、等差數(shù)列的前三、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 1.原形結(jié)構(gòu)式：原形結(jié)構(gòu)式：Sn=_=_. 2.二次函數(shù)型結(jié)構(gòu)式：二次函數(shù)型結(jié)構(gòu)式：Sn=_. 四、等差數(shù)列的常用性質(zhì)四、等差數(shù)列的常用性質(zhì) 1.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，若中，若m+n=p+q，m、n、p、qN*，則，則_. 2.若等差數(shù)列若等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，則，則an與與S2n-1的關(guān)系式為的關(guān)系式為11 _；Sn，S2n-S

3、n，S3n-S2n成成12 _.an2+bn1()2naa n1( -1)2n nnadam+an=ap+aq等差數(shù)列等差數(shù)列2 -12 -1nnSan 五、五、a，b的等差中項(xiàng)為的等差中項(xiàng)為13 _. 盤(pán)點(diǎn)指南：盤(pán)點(diǎn)指南：an-an-1=d (n2);an-1+an+1=2an (n2);an=kn+b;Sn=an2+bn;a1+(n-1)d;(n-m)d; ; ;an2+bn;am+an=ap+aq; 11 an= ; 12 等差數(shù)列；等差數(shù)列；132a b2a b1()2naa n1( -1)2n nnad2 -12-1nSn 1.等差數(shù)列等差數(shù)列an中，已知中，已知a1= ,a2+a5

4、=4,an=33，則，則n=( ) A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 解：解：由已知解得公差由已知解得公差d= ，再由通項(xiàng)公式，再由通項(xiàng)公式得得 解得解得n=50.故選故選C.C13231 2( -1) 333 3n， 2. 已知已知an是等差數(shù)列是等差數(shù)列,a1+a2=4，a7+a8=28,則該數(shù)列的前則該數(shù)列的前10項(xiàng)和項(xiàng)和S10等于等于( ) A. 64 B. 100 C. 110 D. 120 解：解：設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的公差為的公差為d,則則 解得解得故故 故選故選B.B112421328adad，11.2ad10110 9101002Sad， 3.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的

5、前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn(nN*),關(guān)于數(shù)關(guān)于數(shù)列列an有下列四個(gè)命題：有下列四個(gè)命題： 若若an=an+1(nN*)，則，則an既是等差數(shù)列又既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；是等比數(shù)列； 若若Sn=an2+bn(a,bR),則則an是等差數(shù)列；是等差數(shù)列； a,b,c成等差數(shù)列的充要條件是成等差數(shù)列的充要條件是b=a+c2； 若若an是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(mN*)也成等差數(shù)列也成等差數(shù)列. 其中正確的命題是其中正確的命題是 _(填上正確命題的序號(hào)填上正確命題的序號(hào)). 解：解：中若數(shù)列各項(xiàng)為零時(shí)不滿足；中若數(shù)列各項(xiàng)為零時(shí)不滿足；都是等差數(shù)列的性質(zhì)都是等差數(shù)列的

6、性質(zhì). 1. 等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和記為項(xiàng)和記為Sn，已知，已知a10=30，a20=50. (1)求通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式an; (2)若若Sn=242，求，求n. 解：解：(1)由由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50，題型題型1 a1，d，an，n，Sn中中“知三求二知三求二”第一課時(shí)第一課時(shí) 得方程組得方程組 解得解得所以所以an=2n+10. (2)由由 Sn=242，得方程得方程解得解得n=11，或，或n=-22(舍去舍去).119301950adad，112.2ad1( -1)2nn nSnad，( -1)1222422n nn， 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：一個(gè)等差數(shù)列

7、是由兩個(gè)基一個(gè)等差數(shù)列是由兩個(gè)基本量本量a1，d確定的，如確定的，如an，Sn都可以化都可以化為這兩個(gè)基本量的式子，所以求解為這兩個(gè)基本量的式子，所以求解an或或Sn的問(wèn)題，一般是通過(guò)條件得出的問(wèn)題，一般是通過(guò)條件得出a1，d的方程的方程(組組)，然后通過(guò)解方程，然后通過(guò)解方程(組組)求求得得a1和和d，這體現(xiàn)了方程思想在數(shù)列中，這體現(xiàn)了方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用的應(yīng)用. 設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)的首項(xiàng)a1及公差及公差d都是整數(shù)都是整數(shù),前前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn. (1)若若a11=0,S14=98,求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)若若a16，a110，S1477，求所有可能的

8、，求所有可能的數(shù)列數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. 解：解：(1)由由S14=98,得得2a1+13d=14.又又a11=a1+10d=0,故解得故解得d=-2,a1=20.因此因此,數(shù)列數(shù)列an的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是an=22-2n,n=1,2,3,. (2)由由 得得 即即 由由+得得-7d .由由+得得13d-1,即即d .于是于是 d .又又dZ，故，故d=-1. 代入得代入得10a112.又又a1Z，故，故a1=11或或a1=12. 所以，所有可能的數(shù)列所以，所有可能的數(shù)列an的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是an=12-n和和an=13-n,n=1,2,3,.14111770 ,6Saa11

9、121311100 ,6adada11121311-2- 200.-2-12adadaab11-711-311-711-3 2. 已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn=n2-9n. (1)求證：求證：an為等差數(shù)列；為等差數(shù)列； (2)求求Sn的最小值及相應(yīng)的最小值及相應(yīng)n的值；的值； (3)記數(shù)列記數(shù)列|an|的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為T(mén)n,求求Tn的表達(dá)式的表達(dá)式. 解：解：(1)證明：當(dāng)證明：當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)，a1=S1=-8. 當(dāng)當(dāng)n2時(shí)時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2-9(n-1) =2n-10. 又又n=1時(shí)，時(shí)，a1=-8也滿足此式也滿足此式. 所以所以an=2

10、n-10(nN*).題型題型2 等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用項(xiàng)和的應(yīng)用又又an+1-an=2(n+1)-10-(2n-10)=2，所以所以an為等差數(shù)列為等差數(shù)列. (2)因?yàn)橐驗(yàn)?所以，當(dāng)所以，當(dāng)n=4或或5時(shí)，時(shí)，Sn取最小值取最小值-20. (3)因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)n5時(shí)時(shí),an0;當(dāng)當(dāng)n6時(shí)時(shí),an0，故當(dāng)故當(dāng)n5時(shí)，時(shí)，Tn=-Sn=9n-n2；當(dāng)當(dāng)n6時(shí)，時(shí)，Tn=|a1|+|a2|+|a5|+|a6|+|an|=-a1-a2-a5+a6+a7+an=Sn-2S5=n2-9n-2(-20)=n2-9n+40.所以所以2981( - ) -24nSn，229 -(5).-940(6)n

11、n n nTnnn 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：公差不為零的等差數(shù)列的前公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)項(xiàng)的和是關(guān)于的和是關(guān)于n的二次函數(shù)的二次函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)為0)，反之，反之也成立也成立.因?yàn)楹褪绞嵌魏瘮?shù)，所以和式有最因?yàn)楹褪绞嵌魏瘮?shù)，所以和式有最大值大值(或最小值或最小值)，求其最值可按二次函數(shù)處，求其最值可按二次函數(shù)處理，不過(guò)需注意自變量理，不過(guò)需注意自變量n是正整數(shù)是正整數(shù). 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an是公差不為零的等差是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列，Sn是數(shù)列是數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和，且項(xiàng)和，且S32=9S2，S4=4S2，求數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. 解：解：設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的公差為

12、的公差為d. 由由Sn= 及已知條件得及已知條件得 (3a1+3d)2=9(2a1+d)， 4a1+6d=4(2a1+d). 由得由得d=2a1,代入有代入有a12= ,解得解得a1=0或或a1= .1( -1)2n nnad149a49當(dāng)當(dāng)a1=0時(shí)，時(shí)，d=0(舍去舍去).因此，因此，故數(shù)列故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為148.99ad，484( -1)(2 -1)(*).999nannnN 設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，已知，已知S5=S13，且，且a10，求當(dāng)，求當(dāng)n為何值時(shí)，為何值時(shí)，Sn最大最大. 解法解法1：由由S5=S13， 得得 所以所以 所以所以

13、因?yàn)橐驗(yàn)閍10，所以當(dāng)，所以當(dāng)n=9時(shí)，時(shí)，Sn取最大值取最大值.11115(4 )13(12 ),22aadaad12-,17da211( -1)-( -9)81.217nn ndnSnaa 解法解法2：因?yàn)橐驗(yàn)镾5=S13,所以所以5a1+10d=13a1+78d， 所以所以d 所以由所以由 解得解得8.5n9.5. 又又nN*，所以，所以n=9時(shí)，時(shí)，Sn最大最大.12-.17a111112( -1)(-)017,2(-)017nnaanaaana 解法解法3：因?yàn)橐驗(yàn)镾5=S13，所以，所以S13-S5=0，即即a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13=0.又又a6+a13=a7+a12=a8+a11=a9+a10，所以，所以a9+a10=0.又又a10，所以所以a90，a100.故當(dāng)故當(dāng)n=9時(shí)，時(shí)，Sn最大最大. 1. 由五個(gè)量由五個(gè)量a1、d、n、an、Sn中的三個(gè)量中的三個(gè)量可求出其余兩