微分方程的基本概念一階微分方程學習教案

1、微分方程微分方程(wi fn fn chn)的基本概的基本概念一階微分方程念一階微分方程(wi fn fn chn)第一頁，共19頁。解由題意(t y)得：一、問題(wnt)的提出兩端(lin dun)同時積分：第1頁/共19頁第二頁，共19頁。1、微分方程:凡含有(hn yu)未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程.例常微分方程(wi fn fn chn)偏常微分方程(wi fn fn chn)二、微分方程的定義未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程未知函數(shù)是多元函數(shù)時，出現(xiàn)偏導數(shù)，即含有偏導數(shù)的微分方程，實質: 聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導數(shù)(或微分)之間的關系式.第2頁/共19頁第三頁，

2、共19頁。2、微分方程的階: 微分方程中所含的未知函數(shù)的導數(shù)(do sh)的最高階階數(shù)稱為微分方程的階.如前例(qinl)分別(fnbi)為一階、二階、一階思考：,32xeyyy , 0)(2 xdxdtxt3、微分方程的解:將某個函數(shù)代入微分方程，能使方程恒等。則稱此函數(shù)為微分方程的解。 第3頁/共19頁第四頁，共19頁。均為解，有何區(qū)別(qbi)？例2 驗證下列函數(shù)(hnsh)都是微分方程y-2y+y=0的解. y=Cex; y=xex ; y=C1ex+C2xex .解:y=Cex,y=Cex ,y=Cex ,代入原方程(fngchng)左邊=Cex-2Cex+Cex=0=右邊 y=Ce

3、x是原方程的解.同理. y=C1ex+C2xex解解的線性組合也是解C，C1，C2均為常數(shù)第4頁/共19頁第五頁，共19頁。4、微分方程(wi fn fn chn)的解的分類：(1)通解: 微分方程的解中含有任意常數(shù)(chngsh),且獨立的(即不能合并了)任意常數(shù)(chngsh)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.(2)特解: 確定了通解中任意(rny)常數(shù)數(shù)值的解.通解：通用的解，含有任意常數(shù)；特解：特殊的解，不含有任意常數(shù)第5頁/共19頁第六頁，共19頁。既不為通解(tngji)，也不為特解，稱為個解例2 驗證下列(xili)函數(shù)都是微分方程y-2y+y=0的解. y=Cex; y=xex ;

4、y=C1ex+C2xex .為特解為通解(tngji)特解可以從通解中通過某個條件求出常數(shù)得到特解稱為定解條件，也稱為初始條件一般地，n階微分方程就有n個定解條件第6頁/共19頁第七頁，共19頁。求特解步驟：先求通解，然后代入定解條件，確定(qudng)通解中任意常數(shù)的值，可得特解。xdxdy2 2,1 yx時時由由, 1 C求得求得.12 xy所求曲線方程為所求曲線方程為微分方程(wi fn fn chn)微分方程(wi fn fn chn)的通解定解條件如例1求解得：微分方程的特解第7頁/共19頁第八頁，共19頁。解第8頁/共19頁第九頁，共19頁。所求特解為練習(linx)：滿足(mnz

5、)微分方程，故是其解。xey23 中不含任意常數(shù),故為微分方程(wi fn fn chn)的特解.第9頁/共19頁第十頁，共19頁。Basic concept of differential equations三、齊次方程(fngchng)一、一階微分方程(wi fn fn chn)的形式四、一階線性微分方程微積分電子教案二、可分離變量的微分方程第10頁/共19頁第十一頁，共19頁。即f（x，y）是可分離(fnl)變量的一階微分方程(wi fn fn chn)的形式一般(ybn)形式：常見形式： 正規(guī)型 微分型 一、可分離變量的微分方程學習微分方程重點就是了解這個方程是什么類型？這種類型怎么解

6、？ 一般形式解法分離變量，直接積分。第11頁/共19頁第十二頁，共19頁。解法：1、分離(fnl)變量。將變量x的函數(shù)和微分與變量y的函數(shù)和微分分離(fnl)在等式兩邊例1 求解(qi ji)微分方程解分離(fnl)變量兩端積分得：例2 求微分方程的的通通解解0 ydyxdx解分離變量兩端積分2、然后積分。第12頁/共19頁第十三頁，共19頁。解分離變量兩端(lin dun)積分得：結論1: 通解(tngji)既可用顯函數(shù)表示,也可用隱函數(shù)表示.與例1的區(qū)別(qbi)：一個顯函數(shù)解，一個隱函數(shù)解第13頁/共19頁第十四頁，共19頁。結論2：解微分方程中形如 ，可以直接(zhji)寫為而不必再加

7、絕對值。 結論3：解微分方程(wi fn fn chn)時若積分后，出現(xiàn)對數(shù),積分常數(shù)常寫成lnc形式，以便于合并化簡可簡寫(jinxi)為：解分離變量兩端積分第14頁/共19頁第十五頁，共19頁。若求在 y(0)=1 條件(tiojin)下的特解，怎樣求？例5:已知某商品需求量Q,對價格p的彈性 ，且該商品的最大需求量為200，求需求函數(shù)Q。p02. 0 解：由題意得： )2(200)0()1(02.0QpQQp方程(fngchng)（1）可化為：兩端(lin dun)積分得：第15頁/共19頁第十六頁，共19頁。將 Q (0)=200代入，可得 C =200故所求需求函數(shù)pepQ02.02

8、00)( 例6：設 在 連續(xù)，且滿足 ，求)()(2)(),()(0 xfdttfxxfxfx 解：原方程對x求導：)(2)(xfxf 即：yy 2分離(fnl)變量得：兩端(lin dun)積分得：由原方程(fngchng)可知：f (0)=0 代入通解 c =2故)1(2)( xexf第16頁/共19頁第十七頁，共19頁。作業(yè)(zuy)：P384 1(1，3) 6 7注意: 積分方程(fngchng)求導后化為微分方程(fngchng); 注意隱條件.練習：求下列微分方程(wi fn fn chn)的通解1、(1+x2)dy-dx=0、xydxdy第17頁/共19頁第十八頁，共19頁。練習：求下列(xili)微分方程的通解解: 1、分離(fnl)變量, 得：、1、(1+x2)dy-dx=0 xydx