第六章薄板的失穩(wěn)

1、第六章第六章 薄板的失穩(wěn)薄板的失穩(wěn) 大型梁、柱等結(jié)構(gòu)構(gòu)件，通常都由板件組合而成，大型梁、柱等結(jié)構(gòu)構(gòu)件，通常都由板件組合而成，為了節(jié)省材料，板件通常寬而薄，薄板在面內(nèi)壓力作為了節(jié)省材料，板件通常寬而薄，薄板在面內(nèi)壓力作用下就可能失穩(wěn)，并由此導致整個構(gòu)件的承載力下降用下就可能失穩(wěn)，并由此導致整個構(gòu)件的承載力下降因此，對板件失穩(wěn)和失穩(wěn)后性態(tài)的研究也是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定因此，對板件失穩(wěn)和失穩(wěn)后性態(tài)的研究也是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的重要問題。的重要問題。 6.1 板的穩(wěn)定微分方程板的穩(wěn)定微分方程 板按照其厚度可分為厚板、薄板和薄膜三種。將板的板按照其厚度可分為厚板、薄板和薄膜三種。將板的厚度厚度 t 與板幅面的最小寬度與板幅面

2、的最小寬度b相比：相比： 如果如果 t / b1/51/8時，板被稱為厚板；時，板被稱為厚板； 當當1801100 t / b1/51/8，這個范圍內(nèi)的板，這個范圍內(nèi)的板稱為薄板；稱為薄板； 而當而當t / b1/801/100時，板被稱為薄膜。時，板被稱為薄膜。 薄膜沒有抗彎剛度，完全靠薄膜張力來支承橫向荷載薄膜沒有抗彎剛度，完全靠薄膜張力來支承橫向荷載作用。薄板不僅具有抗彎剛度，還可能存在薄膜張力。作用。薄板不僅具有抗彎剛度，還可能存在薄膜張力。 薄板在橫向荷載作用下，如果產(chǎn)生的撓度薄板在橫向荷載作用下，如果產(chǎn)生的撓度 w t /5，則，則屬于薄板的小撓度彎曲問題。屬于薄板的小撓度彎曲問題

3、。 薄板中的物理方程和薄板中的物理方程和內(nèi)力表達式與彈性力學中內(nèi)力表達式與彈性力學中平面應(yīng)力問題的物理方程平面應(yīng)力問題的物理方程和內(nèi)力表達式相同。薄板和內(nèi)力表達式相同。薄板中于薄板上下表面等距離中于薄板上下表面等距離的面稱為中面。的面稱為中面。 當薄板在中面內(nèi)承受當薄板在中面內(nèi)承受平行于中面的荷載而失穩(wěn)平行于中面的荷載而失穩(wěn)時，也可以根據(jù)靜力平衡時，也可以根據(jù)靜力平衡準則來確定板的臨界荷載。準則來確定板的臨界荷載。 下面根據(jù)小撓度理論給出薄板的彈性穩(wěn)定微分方程下面根據(jù)小撓度理論給出薄板的彈性穩(wěn)定微分方程 。根據(jù)小撓度理論給出薄板的彈性穩(wěn)定微分方程根據(jù)小撓度理論給出薄板的彈性穩(wěn)定微分方程 222

4、2244224442)2(ywNyxwNxwNywyxwxwDyxyx式中：式中： ，為單位寬度板的抗彎剛度。上式是，為單位寬度板的抗彎剛度。上式是一個以撓度一個以撓度 w為未知量的常系數(shù)線性四階偏微分方程。為未知量的常系數(shù)線性四階偏微分方程。板的邊界條件表達式：板的邊界條件表達式： 1）簡支邊：）簡支邊：w0，2）固定邊：）固定邊：w0， 3）自由邊：）自由邊： 022yw022xw00ywxw，022xw022yw0)2(2333yxwxw,)1 (1223EtD6.2 受壓簡支板的彈性失穩(wěn)受壓簡支板的彈性失穩(wěn) 如圖所示四邊簡支矩形板，板的中面上作用有荷載如圖所示四邊簡支矩形板，板的中面上

5、作用有荷載Nx= P x 、Nx 0、Nxy 0；因此，板的彈性穩(wěn)定微分；因此，板的彈性穩(wěn)定微分方程式為方程式為板的彈性穩(wěn)定微分方程式為板的彈性穩(wěn)定微分方程式為 :根據(jù)板的邊界條件：根據(jù)板的邊界條件： 當當x =0 和和 x =a 時，時，w0、 、 ； 當當y =0 和和 y =b 時，時，w0、 、 。 符合這些邊界條件的板的撓曲面可用二重三角級數(shù)符合這些邊界條件的板的撓曲面可用二重三角級數(shù)表示為表示為式中：式中：m和和 n分別是板失穩(wěn)時，在分別是板失穩(wěn)時，在 x 和和 y方向的半波數(shù)，方向的半波數(shù)， 為各項的待定常數(shù)。為各項的待定常數(shù)。0)2(224422444xwPywyxwxwDx0

6、22xw022yw022xw022yw11sinsinmnmnbynaxmAwmnAnm;, 3 , 2 , 1, 3 , 2 , 1對對w微分兩次和四次后代入偏微分方程，得微分兩次和四次后代入偏微分方程，得 由于由于 和和 均不為零，均不為零， Amn也不為零，否則也不為零，否則板仍然為平面平衡狀態(tài)，所以板仍然為平面平衡狀態(tài)，所以解得解得 式中：式中： 。 只有當只有當n=1時，上式有最小值，所以時，上式有最小值，所以 有意義的臨界荷載為：有意義的臨界荷載為：11222444224224440sinsin2mnxmnbynaxmamDPbnbanmamAwaxmsinbymsin022224

7、4422422444amDPbnbanmamx2222mbanambbDPx)1 (1223EtD222mbaambbDPcrx或或 ； 式中：式中：K 為穩(wěn)定系數(shù)，為穩(wěn)定系數(shù)，由由 ，可得，可得 ，K = 4，則，則 。 要使上式成立要使上式成立， m = a/b 必須是整數(shù)，如果必須是整數(shù)，如果 m = a/b不是整數(shù)，則不是整數(shù)，則 或或 計算臨界荷載時，計算臨界荷載時，m的取值應(yīng)使的取值應(yīng)使K值最小。當值最小。當n =1時，時，即在即在 y方向成一個半波的條件下，方向成一個半波的條件下，K 隨隨 m和和 a / b成曲線關(guān)成曲線關(guān)系，如前面圖所示。系，如前面圖所示。22bDKPcrx2

8、)(mbaambK0dmdKbam 224bDPcrx222)(mbaambbDPcrx22bDKPcrx 板的長寬比在板的長寬比在 時，時，m =1，板以一個半波的，板以一個半波的形式失穩(wěn)；長寬比在形式失穩(wěn)；長寬比在 與與 之間時，之間時，m =2，板以兩個半，板以兩個半波的形式失穩(wěn)；長寬比在波的形式失穩(wěn)；長寬比在 與與 之間時，之間時，m=3，余類，余類推。而當長寬比推。而當長寬比 時，時，K值已非常接近于最小值值已非常接近于最小值 。 板的臨界應(yīng)力：板的臨界應(yīng)力： 由上式可知：由上式可知：單向均勻受壓板的臨界應(yīng)力與板的寬厚單向均勻受壓板的臨界應(yīng)力與板的寬厚比的平方成反比，而與板的長度無關(guān)

9、比的平方成反比，而與板的長度無關(guān)。 對于單向均勻受壓的矩形板，當加載邊為簡支，而非對于單向均勻受壓的矩形板，當加載邊為簡支，而非加載邊為各種不同的支承條件時，穩(wěn)定系數(shù)加載邊為各種不同的支承條件時，穩(wěn)定系數(shù) K的最小值如的最小值如下表所示。下表所示。2/ba266120 . 4/ba222)/()1 (12tbEKtPcrxcrx穩(wěn)定系數(shù)穩(wěn)定系數(shù) K 的最小值的最小值序號序號12345非加載邊的非加載邊的支承條件支承條件一邊簡支一邊簡支一邊自由一邊自由一邊固定一邊固定一邊自由一邊自由兩邊簡支兩邊簡支一邊簡支一邊簡支一邊固定一邊固定兩邊固定兩邊固定穩(wěn)定系數(shù)穩(wěn)定系數(shù)K0.4251.2804.0005

10、.4206.970 只有當只有當 時，同時邊界條件由簡支變?yōu)楣潭?，穩(wěn)時，同時邊界條件由簡支變?yōu)楣潭?，穩(wěn)定系數(shù)定系數(shù)K才會有較大提高。通過上述討論可知，對于單向才會有較大提高。通過上述討論可知，對于單向均勻受壓的狹長板，用增加橫向加勁肋來改變均勻受壓的狹長板，用增加橫向加勁肋來改變 a/b，從而提，從而提高穩(wěn)定系數(shù)的做法并無明顯的效果；如果把加勁肋的間距高穩(wěn)定系數(shù)的做法并無明顯的效果；如果把加勁肋的間距取得小于取得小于2b又很不經(jīng)濟。而對于很寬的薄板，如果采用縱又很不經(jīng)濟。而對于很寬的薄板，如果采用縱向加勁肋以減少板的寬度向加勁肋以減少板的寬度 b倒是有效的。例如在板的縱向倒是有效的。例如在板的

11、縱向中心加一條加勁肋時中心加一條加勁肋時 。2/ba2216bDPcrx屈曲系數(shù)與板件長寬比的關(guān)系失失穩(wěn)穩(wěn)系系數(shù)數(shù)與與板板件件長長寬寬比比的的關(guān)關(guān)系系 6.3 能量法計算板的彈性失穩(wěn)能量法計算板的彈性失穩(wěn) 對于四邊簡支的均勻受壓板，計算公式中每一項都有對于四邊簡支的均勻受壓板，計算公式中每一項都有 ， 因此，可以從各項中將其分離出來，這樣用因此，可以從各項中將其分離出來，這樣用平衡法求解很方便；而當板的支承條件不是簡支時，三角平衡法求解很方便；而當板的支承條件不是簡支時，三角函數(shù)則無法分離，這時就需要用能量法來求解。函數(shù)則無法分離，這時就需要用能量法來求解。1）板的總勢能）板的總勢能 已知已知

12、 = U + V ，則彈性應(yīng)變能，則彈性應(yīng)變能外力勢能外力勢能 bynaxmsinsindxdyyxwywxwywxwDUab 00222222222212 abxyyxdxdyywxwPywPxwPV0022221 2）瑞利）瑞利李茲法李茲法 假設(shè)符合板的幾何邊界條件的撓曲面函數(shù)為假設(shè)符合板的幾何邊界條件的撓曲面函數(shù)為 將此式代入總勢能公式中，經(jīng)積分后，根據(jù)勢能駐值將此式代入總勢能公式中，經(jīng)積分后，根據(jù)勢能駐值原理建立一組原理建立一組 的線性代數(shù)方程的線性代數(shù)方程組。其非零解的條件是方程組的系數(shù)行列式為零，即可得組。其非零解的條件是方程組的系數(shù)行列式為零，即可得板的穩(wěn)定方程。板的穩(wěn)定方程。3

13、）伽遼金法）伽遼金法 已知板的平衡偏微分方程為已知板的平衡偏微分方程為 ，需假定符合板，需假定符合板的幾何與自然邊界條件的撓曲面函數(shù)，現(xiàn)假定撓曲面函數(shù)的幾何與自然邊界條件的撓曲面函數(shù)，現(xiàn)假定撓曲面函數(shù)11),(mnmnyxfAw0, 0, 01211mnAAA0)(wL為為可組成伽遼金方程組可組成伽遼金方程組 上面方程組經(jīng)積分后可得到上面方程組經(jīng)積分后可得到 A1, A2, An 的線性方的線性方程組，為得到它們的非零解，其系數(shù)行列式程組，為得到它們的非零解，其系數(shù)行列式D=0 應(yīng)應(yīng)為零，則可得穩(wěn)定方程，由穩(wěn)定方程可解的臨界荷載。為零，則可得穩(wěn)定方程，由穩(wěn)定方程可解的臨界荷載。niiiyxAw

14、1),( abnababdxdyyxwLdxdyyxwLdxdyyxwL000020010),()(0),()(0),()(6.4 均勻受剪簡支板的彈性失穩(wěn)均勻受剪簡支板的彈性失穩(wěn) 均勻受剪的四邊簡支板如圖所示，在其對角線方向因均勻受剪的四邊簡支板如圖所示，在其對角線方向因受壓而失穩(wěn)，失穩(wěn)時板的波長與另一對角線方向的拉力有受壓而失穩(wěn)，失穩(wěn)時板的波長與另一對角線方向的拉力有關(guān)。對于長板，失穩(wěn)時的半波長度約為板寬的關(guān)。對于長板，失穩(wěn)時的半波長度約為板寬的1.25倍。當倍。當采用能量法求解剪切臨界荷載時，板的撓曲面函數(shù)可用二采用能量法求解剪切臨界荷載時，板的撓曲面函數(shù)可用二重三角函數(shù)表示。重三角函數(shù)

15、表示。 但是對于均勻受剪的但是對于均勻受剪的四邊簡支板，可以利用均四邊簡支板，可以利用均勻受剪四邊簡支的正方形勻受剪四邊簡支的正方形板來求解臨界荷載的近似板來求解臨界荷載的近似值。值。 如采用伽遼金法求解時，板的中面力如采用伽遼金法求解時，板的中面力 而而 。板的平衡偏微分方程為。板的平衡偏微分方程為 設(shè)滿足幾何和自然邊界條件的撓曲面函數(shù)為設(shè)滿足幾何和自然邊界條件的撓曲面函數(shù)為可得伽遼金方程組為可得伽遼金方程組為 將撓曲面函數(shù)將撓曲面函數(shù)w (x , y)的微分代入平衡偏微分方程式的微分代入平衡偏微分方程式中，經(jīng)積分后得到中，經(jīng)積分后得到y(tǒng)xxyyxxyppNN0, 0yxNN022)(244

16、22444yxwDpywyxwxwwLxyayaxAayaxAw2sin2sinsinsin210sinsin)(00 dxdyayaxwLaa02sin2sin)(00 dxdyayaxwLaa板的失穩(wěn)條件是板的失穩(wěn)條件是解得解得 這個均勻受剪簡支正方形板的剪切失穩(wěn)臨界荷載計這個均勻受剪簡支正方形板的剪切失穩(wěn)臨界荷載計算結(jié)果與精確解相比，誤差為算結(jié)果與精確解相比，誤差為19；如果采用更多項的；如果采用更多項的撓曲面函數(shù)，則可提高解的精確度。撓曲面函數(shù)，則可提高解的精確度。09322124ADpAaxy0169322241AaADpxy0169329322424aDpDpaxyxy22241

17、.1189aDaDpxy經(jīng)過對矩形板更精確的理論分析，可得經(jīng)過對矩形板更精確的理論分析，可得式中：式中： ks 為剪切失穩(wěn)系數(shù)。為剪切失穩(wěn)系數(shù)。 均勻受剪矩形板的剪切穩(wěn)定系數(shù)如下：均勻受剪矩形板的剪切穩(wěn)定系數(shù)如下：對于四邊簡支的受剪板對于四邊簡支的受剪板 當當a b 時，時， 當當a b 時，時，對于四邊固定的受剪板對于四邊固定的受剪板 當當a b 時，時， 當當a b 時，時，22bDkpsxy2)/(0 . 434. 5abks2)/(34. 50 . 4abks2)/(6 . 598. 8abks2)/(98. 86 . 5abks6.5 單向受壓簡支板的失穩(wěn)后強度單向受壓簡支板的失穩(wěn)后

18、強度 以上研究的板的失穩(wěn)都是建立在小撓度理論基礎(chǔ)上以上研究的板的失穩(wěn)都是建立在小撓度理論基礎(chǔ)上的，即認為板在失穩(wěn)時的撓度遠小于其厚度，忽略了板的，即認為板在失穩(wěn)時的撓度遠小于其厚度，忽略了板失穩(wěn)時中面上的薄膜拉力。失穩(wěn)時中面上的薄膜拉力。 如果板的支承構(gòu)件剛度較大，板的臨界應(yīng)力雖然不如果板的支承構(gòu)件剛度較大，板的臨界應(yīng)力雖然不高，但失穩(wěn)后并不破壞。板中的應(yīng)力將重新分布，并產(chǎn)高，但失穩(wěn)后并不破壞。板中的應(yīng)力將重新分布，并產(chǎn)生薄膜拉力，使板的承載能力遠遠超過其臨界荷載，這生薄膜拉力，使板的承載能力遠遠超過其臨界荷載，這種現(xiàn)象被稱為失穩(wěn)后強度。種現(xiàn)象被稱為失穩(wěn)后強度。 此時，板的撓度與板的厚度相比已

19、不是一個小量，此時，板的撓度與板的厚度相比已不是一個小量，所以需按大撓度理論來求解。所以需按大撓度理論來求解。 6.5.1 平衡偏微分方程平衡偏微分方程 薄板失穩(wěn)后，板的中面薄板失穩(wěn)后，板的中面產(chǎn)生了數(shù)值遠大于其厚度的產(chǎn)生了數(shù)值遠大于其厚度的撓度，外荷載作用下中面力撓度，外荷載作用下中面力已不再是常量，在非荷載作已不再是常量，在非荷載作用的方向也同時產(chǎn)生了中面用的方向也同時產(chǎn)生了中面力，因此需按大撓度理論研力，因此需按大撓度理論研究薄板的失穩(wěn)后強度。究薄板的失穩(wěn)后強度。 如圖所示，從板中取出的微元體如圖所示，從板中取出的微元體 dxdyt上作用著中面上作用著中面力力 Nx、 Ny和和 Nxy,

20、 由這些中面力在由這些中面力在x方向的平衡條件方向的平衡條件, 忽略忽略其中的高階微量后可得其中的高階微量后可得同理，由這些中面力在同理，由這些中面力在 y方向的平衡條件可得方向的平衡條件可得由這些中面力在由這些中面力在 z方向的平衡條件可得方向的平衡條件可得 由上式可見大撓度理論的平衡方程與小撓度理論平衡由上式可見大撓度理論的平衡方程與小撓度理論平衡方程式的形式相同，但它是變系數(shù)的。已知中面力方程式的形式相同，但它是變系數(shù)的。已知中面力 Nx、 Ny和和 Nxy 都包括了作用于中面的外荷載和因為板撓曲而產(chǎn)都包括了作用于中面的外荷載和因為板撓曲而產(chǎn)生的薄膜力，所以都是變量。生的薄膜力，所以都是

21、變量。 這三個方程中有了四個因變量，屬于變系數(shù)偏微分方這三個方程中有了四個因變量，屬于變系數(shù)偏微分方程，并需要根據(jù)板的變形條件補充一個變形協(xié)調(diào)方程。程，并需要根據(jù)板的變形條件補充一個變形協(xié)調(diào)方程。0 xNyNxyy0yNxNxyx2222244224442)2(ywNyxwNxwNywyxwxwDyxyx6.5.2 變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程 薄板微元體中面的應(yīng)變與撓度的變形協(xié)調(diào)方程為薄板微元體中面的應(yīng)變與撓度的變形協(xié)調(diào)方程為6.5.3 薄板的大撓度方程組薄板的大撓度方程組 為了簡化計算過程，應(yīng)設(shè)法減少未知量，可引入滿足為了簡化計算過程，應(yīng)設(shè)法減少未知量，可引入滿足中面力平衡方程的應(yīng)力函數(shù)中面力

22、平衡方程的應(yīng)力函數(shù) F(x, y)。則。則 將上面表達式代入平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程中，則可將上面表達式代入平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程中，則可得到以撓度得到以撓度 w和應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力函數(shù) F(x, y)為變量的力平衡方程和變?yōu)樽兞康牧ζ胶夥匠毯妥冃螀f(xié)調(diào)方程形協(xié)調(diào)方程2222220202202ywxwyxwyxxyxyyx22yFtNx22yFtNyyxFtNxy2-薄板的大撓度方程組為薄板的大撓度方程組為6.5.4 單向受壓簡支板的失穩(wěn)后強度單向受壓簡支板的失穩(wěn)后強度 單向均勻受壓四邊簡支矩形板如下圖所示，現(xiàn)研究其單向均勻受壓四邊簡支矩形板如下圖所示，現(xiàn)研究其失穩(wěn)后的強度。失穩(wěn)后的強度。yxwyxF

23、ywxFxwyFDtywyxwxw222222222244224442)2(22222244224442ywxwyxwEyFyxFxF 矩形板在平面外的邊界條件為：當矩形板在平面外的邊界條件為：當 x = 0和和 x = a時，時， w = 0和和 ；當；當 y = 0和和y = b 時，時，w = 0 和和 。 板在發(fā)生失穩(wěn)后會產(chǎn)生應(yīng)力重新分布，故在研究板的板在發(fā)生失穩(wěn)后會產(chǎn)生應(yīng)力重新分布，故在研究板的失穩(wěn)后強度時，還要考慮在板自身平面內(nèi)的邊界條件。失穩(wěn)后強度時，還要考慮在板自身平面內(nèi)的邊界條件。 為此假設(shè)：板失穩(wěn)后其外形不變，及板的邊緣仍保持為此假設(shè)：板失穩(wěn)后其外形不變，及板的邊緣仍保持直

24、線；沿板的四周不產(chǎn)生剪應(yīng)力，即直線；沿板的四周不產(chǎn)生剪應(yīng)力，即 Nxy = 0；y = 0 和和y = b 的兩條邊在的兩條邊在 y方向可以自由移動。方向可以自由移動。 在上述假設(shè)條件下來求解板的失穩(wěn)后強度，假設(shè)符合在上述假設(shè)條件下來求解板的失穩(wěn)后強度，假設(shè)符合板邊界條件的撓曲面函數(shù)為板邊界條件的撓曲面函數(shù)為022xw022ywbyaxmfwsinsin將撓曲面函數(shù)代入變形協(xié)調(diào)方程式，即將撓曲面函數(shù)代入變形協(xié)調(diào)方程式，即 上式的全解由特解為上式的全解由特解為Fp和通解為和通解為Fc兩部分組成，其特兩部分組成，其特解為解為將上式代入變形協(xié)調(diào)方程式，可得將上式代入變形協(xié)調(diào)方程式，可得 ， 。由此可

25、得。由此可得 通解通解Fc由平衡偏微分方程式的齊次方程求得，即相當由平衡偏微分方程式的齊次方程求得，即相當于于w = 0, 處在板失穩(wěn)前的平衡狀態(tài)。處在板失穩(wěn)前的平衡狀態(tài)。byaxmbamEyFyxFxF2cos2cos21222244422444byCaxmBFp2cos2cos222232fbmEaB 222232fabEmC byabmaxmbmafEFp2cos2cos322222222 此時板的中面力此時板的中面力Nx = px ， Ny = 0和和 Nxy = 0；可得；可得 積分得積分得 。則變形協(xié)調(diào)方程式的全解。則變形協(xié)調(diào)方程式的全解為為 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)F(x, y) 與板的

26、最大撓度與板的最大撓度 f 有關(guān)，因此，可有關(guān)，因此，可以通過平衡偏微分方程式用伽遼金法求解板的撓度。建以通過平衡偏微分方程式用伽遼金法求解板的撓度。建立伽遼金方程如下立伽遼金方程如下 將撓曲面函數(shù)將撓曲面函數(shù) w和應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力函數(shù) F代入上式，經(jīng)積分后可得代入上式，經(jīng)積分后可得22yFtpcx22ytpFxc2222222222cos2cos32ytpbyabmaxmbmafEFFFxpc0sinsin2)2(2222222222442244400 dxdybyaxmyxwyxFywxFxwyFDtywyxwxwab式中的第一項式中的第一項 是單向均勻受壓四邊簡支板是單向均勻受壓四邊簡支板

27、的臨界荷載的臨界荷載 pcrx，故，故式中式中px 即為板失穩(wěn)后荷載的提高值。可以用即為板失穩(wěn)后荷載的提高值。可以用 算出算出板在失穩(wěn)后強度的提高幅度。板在失穩(wěn)后強度的提高幅度。 而板的最大撓度而板的最大撓度 f 為為:22222222222216bmaabmfbEtmbaambbDpx222mbaambbDxcrxcrxxppbmaabmfbEtpp22222222216crxxpp22222222216abmbmaEtppbfcrxx6.6 單向非均勻受壓板的彈性失穩(wěn)單向非均勻受壓板的彈性失穩(wěn)1211),1 (by當當 為壓應(yīng)力時取正值，為壓應(yīng)力時取正值， 為應(yīng)力梯度。為應(yīng)力梯度。非均勻受

28、壓簡支板非均勻受壓簡支板 1sinsiniibyiAaxwVU dxdyyxwywxwywxwDUba)(1 (2)(2)()(222002222222222 badxdyxwbyt0021)(1 (2-V1222sinsin)(iibyiAaxaxw1222sin)(siniibyiAbiaxyw設(shè)位移函數(shù)為設(shè)位移函數(shù)為由由122cos)(cosiibyiAabiaxyxw1, 122222sinsin)()(cos)(jijibyjbyiAAabiaxaxw代入代入U和和V式，進行積分，利用正交函數(shù)的特性式，進行積分，利用正交函數(shù)的特性ajidxaxjaxi0)(0sinsinadxaxjaxi00sincosaaaxi022)(sin1coscosiibyiAaxaxw得到：得到：1222224)1(8i