[信息與通信]第五章 離散信號與系統(tǒng)的時域分析ppt課件

1、第五章第五章 離散時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)與Z變換分析法變換分析法5-1.離散時間信號離散時間信號二二.離散信號表示法離散信號表示法1.解析式解析式, 2, 1, 0k,) 1(2)k(fk2.序列方式序列方式.2,2,2,2,2)(kfkt)k(f1 2 3一一.信號分類信號分類模擬信號模擬信號 延續(xù)延續(xù) 延續(xù)延續(xù)量化量化 延續(xù)延續(xù) 不延續(xù)不延續(xù)離散離散 不延續(xù)不延續(xù) 延續(xù)延續(xù) 數(shù)字?jǐn)?shù)字 不延續(xù)不延續(xù) 不延續(xù)不延續(xù)時間上時間上 幅度上幅度上42 f(t)t序列分類序列分類根據(jù)離散變量根據(jù)離散變量k的取值范圍的取值范圍雙邊序列：雙邊序列：都都存存在在確確定定的的非非零零值值對對所所有有的的整整數(shù)

2、數(shù))()( kkkf單邊序列：單邊序列：有始序列右邊序列：當(dāng)有始序列右邊序列：當(dāng)kk1 ,f(k)=0有終序列左邊序列：當(dāng)有終序列左邊序列：當(dāng)kk2 ,f(k)=0列列的的有有始始序序列列稱稱為為因因果果序序01 k序列序列的有終序列稱為反因果的有終序列稱為反因果02 k3.圖形圖形1)k(fk-1-2-22有非零確定值有非零確定值區(qū)間區(qū)間均為整數(shù)均為整數(shù)僅在僅在有限序列：有限序列：),()(1221kkkkkkf 5-1-2 離散信號的根本運(yùn)算離散信號的根本運(yùn)算1.序列相加序列相加(乘乘) 同序號的數(shù)值逐項相加同序號的數(shù)值逐項相加(乘乘)()()(21kfkfkf )()()(21kfkfk

3、f 例：知例：知 15210)(1kkkfk 0202)(2kkkkfk)()()()(2121kfkfkfkf 和和求求 0521710)(1kkkkfk解解： 0212112)(2kkkkkfk 072121512)()(21kkkkkfkfkk 01052212710)()(121kkkkkkfkfkk2.序列移位序列移位f(k)右移右移m位成位成f(k-m),左移左移m位成位成f(k+m)3.序列折迭序列折迭 f(-k)例：知序列例：知序列2)1()( kkkf2)1()1(kkkf 則則-3 -2 -1 0 1 2 3 k136f(k)-3 -2 -1 0 1 2 3 k136f(-

4、k)2)3)(2()1( kkkf2)1()( kkkf-3 -2 -1 0 1 2 3 k136f(k-1)-3 -2 -1 0 1 2 3 k136f(k+1)4.序列差分序列差分一階前向差分一階前向差分)()1()(kfkfkf 二階前向差分二階前向差分)()1()(2kfkfkf )()1(2)2(kfkfkf 一階后向差分一階后向差分)1()()( kfkfkf5.序列的求和累加序列的求和累加)()(1nfkfkn -2 -1 0 1 2 3 k321)(kf-2 -1 0 1 2 3 4 k321 knnfkf)()(165-1-3 幾種典型的離散信號幾種典型的離散信號1.單位函數(shù)

5、單位函數(shù))k(0001)( kkk nknknk 01)( )k( -1 0 1 2 31k)(nk 0 1 2 n1k(1).挑選特性挑選特性)()()(nfnkkfk (2).加權(quán)特性加權(quán)特性)()()()(nknfnkkf 的特性的特性)(nk 2.單位階躍序列單位階躍序列0001)( kkk 0 1 2 3 41k)(knknknk 01)( 運(yùn)用此性質(zhì)，可將任何信號運(yùn)用此性質(zhì)，可將任何信號f(k)表示為一系列表示為一系列延時單位函數(shù)的加權(quán)和，即延時單位函數(shù)的加權(quán)和，即 ) 1() 1 ()() 0() 1() 1() 2() 2()(kfkfkfkfkf nnknf)()( :)()

6、(的的關(guān)關(guān)系系與與kk )()(nkkn )()(0nkkn )1()()()( kkkk 3).斜變序列斜變序列4).實指數(shù)序列實指數(shù)序列)()(kkkx )()(kakxk a1，x(k)增長；增長；a=1，階躍；，階躍；或或a=-1， x(k)交變長；交變長；a 0時時 ,故故k0時時,h(k)是一個特殊是一個特殊的零輸入呼應(yīng)的零輸入呼應(yīng).按照零輸入呼應(yīng)的方法按照零輸入呼應(yīng)的方法.找初始找初始條件條件0)(k令令k=-n,有有0)()() 1() 1()0(011 nnhanhahahann 令令k=-n+1, 得得h(1)=0 .可得可得h(0)=0h(0)=h(1)=h(n-1)=0

7、令令k=0,有有1) 0() 0() 1 () 1()(011 hahanhanhannnanh1)( 于于是是于是對于于是對于n階前向差分方程階前向差分方程,有有 nanhnhhh1)(0)1()1()0(而對于而對于n階后向差分方程階后向差分方程,有有 01)0(0)1()2()1(ahnhhh 0)3()2(00)(21kAAkkhkk代入初始條件代入初始條件21320)1(AAh 21941)2(AAh 解得解得:31,2121 AA故故)1()3(31)2(21)( kkhkk )1()3()2(11 kkk 例例.知差分方程知差分方程 y(k+2)-5y(k+1)+6y(k)=x(

8、k),求求h(k)解解:特征方程特征方程3,2,065212 (3).假設(shè)差分方程中含假設(shè)差分方程中含x(k)的移序項的移序項,那么據(jù)線性那么據(jù)線性求解求解)().(3)2()(6) 1(5)2(khkxkxkykyky求求如如 )(3)2()(6)1(5)2(kkkhkhkh )(k單獨(dú)作用下產(chǎn)生的單獨(dú)作用下產(chǎn)生的)1()3()2()(110 kkhkk )(3k單獨(dú)作用下產(chǎn)生的呼應(yīng)單獨(dú)作用下產(chǎn)生的呼應(yīng))1()3()2( 3)(3110 kkhkk 單獨(dú)作用下產(chǎn)生的呼應(yīng)單獨(dú)作用下產(chǎn)生的呼應(yīng))2( k)1()3()2()2(110 kkhkk 解：令解：令x(k)=(k)，那么，那么y(k)=

9、h(k)，于是，于是單獨(dú)作用下產(chǎn)生的單獨(dú)作用下產(chǎn)生的)(3)2(kk)(3)2()(00khkhkh )1()3()2( 3)1()3()2(1111 kkkkkk )1()3(2)2()(1 kkkk 例例.某離散系統(tǒng)某離散系統(tǒng))1(2)2(7)(1 . 0)1(7 . 0)2( kxkxkykyky系統(tǒng)輸入系統(tǒng)輸入x(k)為單位階躍序列為單位階躍序列k .初始條初始條件是件是yzi(0)=2和和yzi(1)=4, 求該系統(tǒng)的全呼應(yīng)求該系統(tǒng)的全呼應(yīng).全呼應(yīng)全呼應(yīng)=零輸入呼應(yīng)零輸入呼應(yīng)+零形狀呼應(yīng)零形狀呼應(yīng)解解:求求yzi(k)齊次方程齊次方程0)(1 . 0) 1(7 . 0)2(kykyk

10、y特征方程特征方程2 .0, 5 .0, 01 .07 .0212kkziAAky)2 . 0()5 . 0()(21 212)0(AAyzi 212 .05 .04)1(AAyzi 由初始條件由初始條件10,1221 AAkkziky)2.0(10)5.0(12)( 求求yzs(k). 先求先求h(k) 原差分方程中原差分方程中,假設(shè)假設(shè)x(k)=(k) ,那么那么y(k)=h(k)1(2)2(7)(1 .0)1(7 .0)2( kkkhkhkh )()(0khk 作作用用下下產(chǎn)產(chǎn)生生的的響響應(yīng)應(yīng)先先求求 0)2 . 0()5 . 0(00)(210kBBkkhkk)1()2 .0(350)

11、5 .0(320)(0 kkhkk 代初始條件代初始條件1)2(,0)1(00 hh350,32021 BB可得可得那么那么 7(k+2) - 2(k+1) 作用下產(chǎn)生的呼作用下產(chǎn)生的呼應(yīng)應(yīng))1(2)2(7)(00 khkhkh)()2 . 0(350)5 . 0(320 2)1()2 . 0(350)5 . 0(32071122kkkkkk )()2 .0(2)5 .0(5kkk 故零形狀呼應(yīng)故零形狀呼應(yīng): yzs(k)=x(k)*h(k)()2 . 0(2)()()5 . 0(5)(kkkkkk )()2 . 0(2)5 . 0(500kknnknn )(2 . 01)2 . 0(125

12、. 01)5 . 0(1511kkk )()2 . 0(1 5 . 2)5 . 0(1 1011kkk )()2 . 0(5 . 0)5 . 0(55 .12kkk 故全呼應(yīng)故全呼應(yīng))()()(kykykyzszi 0)2 . 0(5 .10)5 . 0(75 .12 kkk思索思索:假設(shè)初始條件改為假設(shè)初始條件改為 y(0)=9,y(1)=13.9 又如何？又如何？9 . 9)1(, 7)0()( zszszsyyky得得先先求求)(, 4)1(, 2)0(kyyyzizizi再再求求于于是是 5-4. Z 變換變換Z變換兩種定義變換兩種定義 1.定義直接定義直接 kkfk k- -z z)

13、(假設(shè)假設(shè) f(k)=,f(-1), f(0), f(1), , 那么那么f(k)的的 Z變換變換: dtetfsFst)()(-kkkfFz zz z )()(F(z)=f(-1) z1 + f(0) z0 + f(1) z-1 (k) F(z) F(z)= (k) (k) = -1F(z)2. 間接定義間接定義-函數(shù)抽樣后的拉氏變換導(dǎo)出函數(shù)抽樣后的拉氏變換導(dǎo)出對對f(t)抽樣抽樣 kkskTtkTfkTttftf)()()()()( kksTsekTfsF)()(z zz zln1,TsesT 則則設(shè)設(shè) kkTssFkTfsF)()()(ln1z zz zz z離散函數(shù)離散函數(shù)f(kT)的

14、的Z變換是變換是f(t)抽樣后，抽樣后，fs(t)的的拉氏變換拉氏變換Fs(s) ，再令，再令s1 /T lnz而得而得單邊單邊Z變換變換), 0)()(0 kkfF-kkz zz z3. Z變換的收斂域變換的收斂域 有始序列有始序列 000)(kakakfk為為正正實實數(shù)數(shù)kkkkk-kkaakfF)()()(1000 z zz zz zz z|Z|a -收斂條件收斂條件, a-收斂半徑收斂半徑|az-1|a , 級數(shù)收斂級數(shù)收斂其對應(yīng)的區(qū)域收斂域為圓心其對應(yīng)的區(qū)域收斂域為圓心在原點(diǎn)，半徑為在原點(diǎn)，半徑為a的圓外區(qū)域的圓外區(qū)域Re(z)Im(z)a對比：對比： 雙邊雙邊Z變換變換 0,0)(

15、kbbakakfkk為為正正實實數(shù)數(shù)kkkkkkbaF z zz zz z10)(kkkkba)()(1110z zz z 收斂條件收斂條件: |zb-1|1且且|az -1|1 , 即即a|z|b,那么無收斂域那么無收斂域, Z變換不存在變換不存在單邊單邊Z變換收斂域一定是某個圓的圓外區(qū)域變換收斂域一定是某個圓的圓外區(qū)域, 普通不加標(biāo)注普通不加標(biāo)注1).單位函數(shù)單位函數(shù)1)()(00 k-k-kkkkz zz zZ Z 2).單位階躍序列單位階躍序列111)()(100 z zz zz zz zz zZ Z-k-k-kkkk 4.幾種典型序列的幾種典型序列的Z變換變換 -k-k-kkkz z

16、z zz zz zZ Z 1011)(3).單邊指數(shù)序列單邊指數(shù)序列(t)=1TjkTjTj-ekee z zz z )(.)4則則令令)(sin)(cos)(kkTjZkkTZkeZkTj TjTzzezzTj sincos 1cos2sin)cos(2 TzzTjzTzz 1cos2)cos)(cos2 T-T(kTk z zz z- -z zz z1)(2cos22 z zz zkk 1)(2sin2 z zz zkk 1cos2sin)(sin2 T-TkTk z zz zz z5).單邊正弦序列和單邊余弦序列單邊正弦序列和單邊余弦序列5-5 Z 反變換反變換k k- -1 1- -z

17、 zz zz zZ Z 0)()()()(kkfFFkf1.冪級數(shù)展開法冪級數(shù)展開法.(長除法長除法)F(Z)是是z的有理分式，將分子分母按的有理分式，將分子分母按z的降冪陳列，的降冪陳列，長除后得長除后得z-1表示的冪級數(shù)表示的冪級數(shù)F(z)=A0 +A1 z-1 +A2z-2f(0)=A0 , f(1)=A1 , f(2)= A2 例例.求求f(k)。知。知5 . 051512)(22 z zz zz zz zz z.-.-F解解:利用長除法利用長除法此法求此法求f(k)的前幾個值很方便，缺陷是不容的前幾個值很方便，缺陷是不容易得到易得到f(k)的解析式的解析式2+ 1.5z-1 +1.2

18、5 z-2z2- 3 z + 11.5z - 1z2- 1.5 z + 0.5 2z2-1.5z1.5z -2.25+0.75z-11.25-0.75z-1 f(k)=2, 1.5, 1.25, 1.125, F(z)=2 +1.5 z-1 +1.25z-2 +1.125z-3 2.部分分式展開法部分分式展開法根本的根本的Z變換方式是變換方式是 ,故展開故展開 -z zz zz zz z)F(過程類似于拉氏變換中的部分分式展開過程類似于拉氏變換中的部分分式展開npppnzF,)(21個個非非零零單單極極點(diǎn)點(diǎn)有有若若nnpzApzAzAzzF 110)(式中式中00)( zzzFzAnizzFp

19、zAipzii2 , 1)()(, 等式兩邊同乘以等式兩邊同乘以znnpzzApzzAAzF 110)(假設(shè)存在重極點(diǎn)或共軛極點(diǎn)，類似于拉氏變換展假設(shè)存在重極點(diǎn)或共軛極點(diǎn)，類似于拉氏變換展開開f(k)=A0(k) +A1(p1)k + +An(pn) k(k) )5 . 0)(1(5125 . 051512)(:2 z zz zz zz zz zz zz zz.-.-.-F解解115 . 01z-z 15 . 0) zFz zz zz z( (z z5 . 051512)(22 z zz zz zz zz z.-.-F 例例.求求f(k)。知。知f(k)=(0.5)k +1(k) 2)2)(1

20、(44)(zzzzF2)2)(1(44)( zzzzzzF解解：2)2(21 zDzCzBzA1)2)(1(4402 zzzzzzA93210DCBA 2)2(627181)( zzzzzzF2)2(627181)( zzzzzzzF 例例.C=-7同理得同理得B=8,D=6f(k)=-(k) +8-7(2)k +3k(2) k(k) 令令z=-1求求C例：求例：求f(k).知知:zzzzzzF5 . 05 . 112)(2323 解：冪級數(shù)展開法解：冪級數(shù)展開法部分分式展開法部分分式展開法)5 . 0)(1(12)(223 zzzzzzzF5 . 01318622 zzzz5 . 01318

21、62)( zzzzzzFf(k)=2(k-1) +6 (k) +8-13(0.5) k(k) f(k)=1, 3.5, 4.75, 6.375, F(z)=1 +3.5 z-1 +4.75z-2 +6.375z-3 5-6. Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)1.線性線性2.位移性位移性: 假設(shè)假設(shè)(k) F(z), 那么那么左移左移(前移前移): (k+1) zF(z)-zf(0) )(kkkkfkf100)1()1( - -k k- -z zz zz z證證明明：)0()()(01fjfjfjj j j- -j j- -z zZ Zz zz z)(kkkkfkf100)1()1( - -1 1- -k

22、 k- -z zz zz z證證明明：右移右移(后移后移): (k-1) z-1 F(z)+f(-1) nk-nkfFnkf1()()(k k) )z zz zz z)1()(111z zz z) )z zz zz zj j- - fFjf-j-普通地普通地)()()()(10z zz zz zz zz zk k- -FkfFnkfnnkn (k-n) (k-n) z-n F(z)(,)1(1)(:3kfF求求例例 z zz zz z,)1()(:4 z zz zz zz zF解解)()1(1kzzk 如：如：(k)1 而而(k+1)0 (k-1) z-1 (k-n) z-n f(k)=(-1

23、) k-4(k-4) )1().)()1 kbkakk z zz z1)(1)(:1kkkk解解 z zz zz zz z1 1- -)1()1(1kkkk )()(01mmNkfkf例例. 知知f1 (t)(t)F1 (z)，N為周期為周期,m為整數(shù)，為整數(shù)，求求)(1)(1111z zz zz zz zz zN NN NN N- -FF 例例.求以下求以下Z變換。知變換。知 z zz z)(kk解：解：f(k)=f1(k) (k)+ f1(k-N) (k-N)+ F1(z)+z-NF1(z)+ z-2NF1(z) +3.比例性比例性)()(aFkfakz zkkkkzkfakfa )()(

24、0kkazkf )(0)(azF )()(z zFkf若若z zz zz zddFkkf)()( 則則4. Z域微分域微分(序列乘序列乘k)推行推行)()(2dzzdFzdzdzkfk )()()()(zFdzdzkfkmm 證：證：Z (k) F(z)-kkkfzFz z 0)()(證明證明:兩邊對兩邊對z 求微分求微分 0)1()()()(kkzkfkdzzdFkk-kkfz z z01)(dzzdFzkkf)()( 即即)()()()(zFdzdzkfkmm 同同理理有有例例:知知2)1()1()( z zz zzzdzdzkk 則則,1)( z zz zk 2)(,)( zzkkkkk

25、( (z zz z則則5.初值定理初值定理)0()(lim)1()(lim)0(fzFzfzFf z zz z)()(lim)(10 nkzkfzFnfk k- -n nz zz z 0)()(kkzkfzF存存在在，則則且且若若)(lim)()(zFzFkfz =f(0) + f(1) z-1 + f(2) z-2 f(n) z-n 條件條件:f(k) 收斂收斂判別判別 F(z) 的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)或單位圓上的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)或單位圓上z=1 處有單極點(diǎn)處有單極點(diǎn)S 平面與平面與Z平面的對應(yīng)關(guān)系平面的對應(yīng)關(guān)系: Z=esTS平面原點(diǎn)平面原點(diǎn) Z=1S左平面左平面Z單位圓內(nèi)單位圓內(nèi)或者或者(z-1

26、)F(z)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)6.終值定理終值定理)(1(lim)(1z)Fz-f z z0)1(lim)(1(lim)(11 az)Fz-fz zz zz zz zz z例例:求求f(),知知:)()(azzF z z解：假設(shè)解：假設(shè)|a|1 ,不能用終值定理不能用終值定理, f() 不存在不存在對于對于|a|=1 ，當(dāng)，當(dāng)a=1 可用終值定理，可用終值定理， f()=1假設(shè)假設(shè)a=-1 ,不能用終值定理不能用終值定理, f() 不存不存在在7.卷積定理卷積定理azzkak )( 解；解；bzzkbk )( 1bzbzazazbabzzazz )(111kbabakk 例例:求求

27、ak (k)*bk (k)=ak (k)*bk (k)設(shè)設(shè)1 (k) F1(z) , 2 (k) F2(z) 那么那么1 (k)* 2 (k) F1(z). F2(z) knnfzFkf0)(),()(求求)(1)()()()(:0zFkkfknfkn z zz z 解解利用卷積定理可得序列求和的利用卷積定理可得序列求和的Z變換變換)()1(21)()()(1kkkkfkkf 22312)11)121)1)121)()()( zzzzzFzFzF( (z z( (z zz z( (z z( (z z例例:求求f2(k)。知：。知： f1(k)* f2(k)=f (k), 2 (k)=k (k)

28、 8 z域積分域積分-序列除序列除(k+a) zaaadvvvFzkfakzFkf)0()()(1),()()1(則則若若dvvvFkkfaz 1)()(0則則若若1)( zzk 解解：dvvvzdvvvvzkkzz )1(1)1()(112 )1ln()1ln()111()1(1 zzvvdvvvdvvvzzz)1ln()(11 zzzkk 例例:求序列求序列1/(k+1) (k)的的Z變換變換 )2(4)()()(3)1(2)()2(kqkqkykqkqkxkq解解：q(k)例：知模擬圖，求差分方程例：知模擬圖，求差分方程q(k+1)q(k+2)x(k)y(k)+- 4 3 2 D D )

29、2()(4)()()1()(3)(2)()(22zQzzQzyzQzzQzXzQz zZT由由(1) ,代入代入(2)32)()(2- -z zzzXzQ )(3241)(22zXzzzY- -z z 差分方程為差分方程為: y(k+2) +2y(k+1) -3y(k)=x(k) +4x(k+2)例：知模擬圖，求差分方程例：知模擬圖，求差分方程解：先作出零形狀延時器的解：先作出零形狀延時器的Z域模型域模型作出原模擬圖的作出原模擬圖的Z域模擬圖域模擬圖y(k)x(k)-1-2 D D 4 D Z-1y(k) = x(k-1) Y(z) = z-1 X(z) E(z)421412)(222 z z

30、) )zzzzzXzY)(2)(),(4)()(2zEzzEzYzEzXzE - -) )z z消去消去E(z)y(k)x(k)-1-2Z-1Z-1 4差分方程為差分方程為: y(k+2) +4y(k)=2x(k+1) -x(k+2)求求 的單邊的單邊 變換變換Z Z0)() 1()(nnnkkf 1111321-z-z-z zz zz z- -z zz zz zz zz zz z)1(1321 -zz-z z- -z zz z1)(111221-z-z zz zz zz z =(k)+(-1) (k-1)+ (k-2)+(-1) (k-3)+ )11:64-( (z zz zz z求求)1)

31、(1(11)(:2747 zzzzzFz zz zz z解解= (k-3)-(k-7) =z-7(z3+ z2 + z+1)=z-4+z-5+ z-6+ z -7 F(z)= z-3+ z-4+z-5+ z-6(k-3) + (k-4) + (k-5) + (k-6) 1)( zzk 解解：2)1()1()1()1( zkkk1 1 2)1()1()1( zkk1 1 2)1()1()( zdzdzkkz zz zz z 比例性比例性求：求：f(k)=(-1)k (k-1) (k-1)的的ZT.例：求長度為例：求長度為N的斜坡序列的的斜坡序列的Z變換變換 NkkNkkkRN, 0010)(11

32、)(1 zzzzZGNN123N-1 0 1 2 3 N-1 k)(kRN)()(zGdzdzzRNN 21212)1()1( zNzNzzzzNNN2211)1( zNzNzzzNNN解：設(shè)解：設(shè)GN(k)= (k)-(k-N)，那么那么 RN(k)=kGN(k)或或: RN(k)=(k-1)+2(k-2)+3(k-3)+(N-1)(k-N+1) RN(z)=z-1+2 z-2 +3 z-3+(N-1) z-(N+1) 例：求以下序列的例：求以下序列的Z變換變換2211)1(1)1()( zzzzzF)()()(11zFzFdzdzzF 2)1(1 zz或者或者)1()12()(2 kkkk

33、f 11)11( 2)11()( zzdzdzzdzdzdzdzzF11)1(2)1()1(23 zzzzzz3)1(1 zz(1) (k-1)2 (k-1)解：設(shè)解：設(shè)f1(k)=(k-1)(k-1)，由移序性得，由移序性得 而而f(k)=(k-1) f1(k) )1(1)1(231)1()(22221 zzzzzzzzzzF)1(1223 zzzz323432)1)(1()1(11)(zzzzzzzzzzF 由卷積定理由卷積定理)1()1)(1)(1()()()(523221 zzzzzzzFzFzF kii0)1()2(1 zz1)(1)(221 zzzFzzzF求和性求和性解：設(shè)解：設(shè)

34、f1(k)=(-1) k(k)，那么，那么F1(z)= (3) (k+1) (k)- (k-3)* (k)- (k-4)解解 設(shè)設(shè)f1(k)=(k+1)(k)-(k-3), f2(k)=(k)-(k-4),那么那么例：求例：求F(z)的反變換的反變換 323)1()( zzzzF32)1()( zzzzzF解解：11)1(3)1(223 zzz1)1(3)1(2)(23 zzzzzzzF1)( zzk 2)1()( zzkk 322)1()( zzzkk 3)1(2 zz32)1()1( zzzzz(k2-k) (k)F(z)(k2-k+3k+1) (k)=(k+1)2 (k)(01)(zFk

35、kkf，求，求為奇數(shù)為奇數(shù)為偶數(shù)為偶數(shù)例：已知例：已知 1121)( zzzzzF122 zz)(0,4, 8 , 4 , 01)(zFmkkf，求求其其他他例例：已已知知 411 z144 zz解：解：f(k)=0.5(-1) k+1 (k) 解解: f(k)=(k)+(k-4)+(k-8)+(k-4m) + F(z)=1+ z-4 + z-8+ )(,)1)(1()(22kfzzzzzF求求例例：已已知知 )1)(1(1)(2 zzzzzF解解：112 zcBzzA11112 zzzA由對應(yīng)項系數(shù)相等，可得由對應(yīng)項系數(shù)相等，可得B=-1,c=0111)(2 zzzzzF)()2cos1()

36、(kkkf 11)(22 zzzzzF)(),2(),1(),0(,5 . 012)(2323 ffffzzzzzzzF求求已知已知)5 . 0(12)(223 zzzzzzzF,21, 03, 21jpp 其極點(diǎn)其極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，可用終值定理都在單位圓內(nèi)，可用終值定理05 . 0)12)(1(lim)()1(lim)(232311 zzzzzzzzFzfzz解解: f(0)=1, f(1)=1 , f(2)=-2.5 , 驗證：驗證： F(z)=1+ z-1 -2.5 z-2+ 5-8.離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)Z變換分析法變換分析法一一.零輸入呼應(yīng)零輸入呼應(yīng)解解:對差分方程兩邊進(jìn)展對差分方

37、程兩邊進(jìn)展Z變換變換5-8-1利用利用Z變換求解差分方程變換求解差分方程65051022 zzz)(y)(y)z(y(z)YziziziZi代入初始條件代入初始條件, 得得323657222z-zz-zzzzz(z)Yzi 例：例：y(k+2)-5 y(k+1)+6 y(k)=0, yzi(0)=2和和 yzi (1)=3,求求yzi(k) yzi(k) =3(2)k-3kz2 Y(z)- z2 y(0) - z y(1)-5zY(z)- z y(0)+6Y(z)=0解解:對差分方程兩邊進(jìn)展對差分方程兩邊進(jìn)展Z變換變換212651)1(6)2(6)1(5)( zzzyyyzYzizizizi為

38、找出為找出yzi(-1)和和 yzi (-2), 令差分方程中的令差分方程中的k=1,有有令令k=0,有有: yzi(0)-5 yzi(-1)+yzi (-2)=0 yzi(-2)=23/36例：例：y(k)-5 y(k-1)+6 y(k-2)=0, yzi(0)=2和和 yzi (1)=3,求求yzi(k)yzi(1)-5 yzi(0)+yzi (-1)=0 yzi(-1)=7/6于是于是65726517222211 zzzzzz-z(z)Yzi yzi(k)= 3(2)k-3k Y(z) -5z-1Y(z)+ y(-1)+6z-2Y(z)+z-1 y(-1)+ y(-2) =0結(jié)論結(jié)論:(

39、1).差分方程前移差分方程前移,后移后移,關(guān)系不變關(guān)系不變(2).初始條件運(yùn)用恰當(dāng)初始條件運(yùn)用恰當(dāng)二二.零形狀呼應(yīng)零形狀呼應(yīng)離散系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)可直接由差分方程求得可直接由差分方程求得yzs(k) = x(k) * h(k)Yzs(z) = X (z) H(z)解解:對差分方程兩邊進(jìn)展對差分方程兩邊進(jìn)展Z變換變換初始形狀為零初始形狀為零,求求H(Z)初始形狀為零初始形狀為零.初始條件初始條件y(0)和和y(1)僅由鼓勵引起僅由鼓勵引起令差分方程令差分方程k=-2,且且x(k)為有始函數(shù)為有始函數(shù)整理得整理得例例:二階前向差分方程二階前向差分方程a2 y(k+2) +a1 y(k+1

40、)+ a0 y(k) = b2x(k+2)+b1 x(k+1)+b0 x(k) (a2z2 +a1z +a0)Y(z)-a2z2y(0) -a2z y(1)-a1 zy(0) =(b2z2 +b1z +b0)X(z)-b2z2x(0) -b2z x(1)-b1 zx(0)=b2z2X(z)- z2x(0) -zx(1) +b1zX(z)- zx(0)+b0X(z)a2z2Y(z)- z2y(0) -zy(1) +a1zY(z)- zy(0)+a0Y(z)01220122azazabzbzbX(z)Y(z)H(z) 01220122azazabzbzbX(z)Y(z)H(z) 同理，對二階后向差

41、分方程同理，對二階后向差分方程 a2 y(k) + a1 y(k-1)+ a0 y(k-2) = b2 x(k) + b1x(k-1)+b0 x(k-2) ,可得可得k=-1, a2 y(1) + a1 y(0) = b2 x(1) + b1x(0)k=-2, a2 y(0) = b2x(0)代入得代入得: (a2z2 +a1z +a0)Y(z) =(b2z2 +b1z +b0)X(z)65(322 zzzzzH(z)65322 zzz:H(z)解解)()2(21)3(2)(21)(kkkhkk 3222121z-z-z 例例:y(k+2)-5y(k+1)+6y(k)=x(k+2)-3x(k)

42、,求求H(z)和和h(k)三三.利用利用Z變換求解全呼應(yīng)變換求解全呼應(yīng)(2). yzi(k),要求知要求知yzi(0)和和 yzi (1)(1). yzs(k)(3).y(k)=yzi(k)+ yzs (k) yzi(0) = y(0) - yzs (0); yzi(1) = y(1) - yzs (1)解解: (1). yzs(k)11)(2211)( ezzzXzzzzH)2)()()()(12 zezzzXzHzYzs2222)(1111 zeezeezzYzs)()2(212211keeee(k)ykkzs 例：例：y(k)+2 y(k-1)=x(k), x(k)=e-k(k), y(

43、0)=0，求全呼應(yīng)，求全呼應(yīng)y(k)時域時域 yzi(k)=A(-2)k 0,)2(212211)2()( keeeekykkk2).直接用時域求直接用時域求 yzi(k) ,留意初始條件留意初始條件結(jié)論結(jié)論:1). Z變換求變換求yzs (k)法二：直接用法二：直接用Z變換求解變換求解1121) 1(221)()( zyzzXzY(2). yzi(k) yzs (0)=1; yzi(0) = y(0) - yzs (0)=-1 yzi (0) = A =-1Y(z)+2z-1Y(z)+y(-1)=X(z)令差分方程令差分方程 k=0 , y(0)+2y(-1)=x(0)=1111211211

44、 zezzzY(z)0)()2(212211)2()( kkeeeekykkk 留意留意:1).x(0), x(1)不為零不為零.拉氏變換中為拉氏變換中為x(0-)=02).初始條件要求解初始條件要求解由于由于: y(0)=0 y(-1)=0.5特別地特別地,當(dāng)鼓勵為無時限復(fù)指數(shù)序列當(dāng)鼓勵為無時限復(fù)指數(shù)序列 zk(-k) 時時,系統(tǒng)的零形狀呼應(yīng)可由系統(tǒng)的零形狀呼應(yīng)可由卷積和求得為卷積和求得為H(z)zzh(n)zzh(n)zzh(n)(k)yknnknnknknzs 0零形狀呼應(yīng)零形狀呼應(yīng)(也是全呼應(yīng)也是全呼應(yīng))仍為同樣頻率的復(fù)指仍為同樣頻率的復(fù)指數(shù)序列數(shù)序列.但被加權(quán)但被加權(quán)H(z),條件條

45、件:z應(yīng)位于應(yīng)位于H(z)的收斂的收斂域內(nèi)域內(nèi)jjkeze為.zH(z) 激激勵勵如如701701.ee(k)yjjkzs 例：知二階離散系統(tǒng)的初始條件為例：知二階離散系統(tǒng)的初始條件為yzi(0) =2, yzi (1)=1.當(dāng)輸入當(dāng)輸入x(k)=(k)時，呼應(yīng)為時，呼應(yīng)為。求求此此系系統(tǒng)統(tǒng)的的差差分分方方程程)()3(25)2(421)(kkykk 32524121)( zzzzzzzY解解：從呼應(yīng)的暫態(tài)分量和從呼應(yīng)的暫態(tài)分量和Y(z)的極點(diǎn)可知，零輸入的極點(diǎn)可知，零輸入呼應(yīng)方式為：呼應(yīng)方式為： yzi(k) =A(2)k+B(3)k k0代初始條件代初始條件: yzi(0) =A+B=2, yzi (1)=2A+3B=1解得：解得：A=5,B=-3故：故：yzi(k) =5(2)k-3(3)k k01)(),()(