連續(xù)型隨機變量

1、退 出前一頁后一頁目 錄 2.3 連續(xù)型連續(xù)型隨機變量隨機變量離散型隨機變量只能取有限個有限個或可列無窮多個可列無窮多個數(shù)值，還有一類隨機變量的取值卻充滿某個有限區(qū)間充滿某個有限區(qū)間或無窮區(qū)間無窮區(qū)間.定義定義2.3.1退 出前一頁后一頁目 錄則稱則稱 X為連續(xù)型隨機變量為連續(xù)型隨機變量, 稱稱 f (x) 為為 X 的的概率密度概率密度. xF xf t dt 使得對任意實數(shù)使得對任意實數(shù)x , 有有設設F(x)是隨機變量是隨機變量 X的分布函數(shù)的分布函數(shù) , 若存在非負函數(shù)若存在非負函數(shù) f (x) , 引例引例1 1：一個靶子是半徑為：一個靶子是半徑為2 2米的圓盤，設擊中靶上任米的圓盤

2、，設擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，射擊均能一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，射擊均能中靶，用中靶，用X 表示彈著點與圓心的距離。試求表示彈著點與圓心的距離。試求X 的分布的分布函數(shù)。函數(shù)。解：由第一節(jié)可知，解：由第一節(jié)可知，X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為Xx . 2, 1;20,4; 0, 0)(2xxxxxF考慮函數(shù)考慮函數(shù) f ( x )= x/2 , 0 x 2;0, 其它其它退 出前一頁后一頁目 錄f ( (x) )的變上限積分為的變上限積分為x1O2 )(xFF(x)1x1O2f (x)1退 出前一頁后一頁目 錄. 2, 12, 20 ,42, 0, 0)(202

3、0 xdttxxdttxdttfxx退 出前一頁后一頁目 錄 xF xf t dt P Xx概率密度所對應的平面曲線稱為隨機變量概率密度所對應的平面曲線稱為隨機變量X的的概率曲線，概率曲線，Oxf(x)x分布函數(shù)值分布函數(shù)值F(x)是概率曲線下從是概率曲線下從 到到x的一塊面積。的一塊面積。驗證性質(zhì)驗證性質(zhì)1和性質(zhì)和性質(zhì)2是判斷一個函數(shù)是否為是判斷一個函數(shù)是否為概率密度的方法。概率密度的方法。1.0)(xf2.1)(dxxfOf(x)x1退 出前一頁后一頁目 錄概率密度的性質(zhì)概率密度的性質(zhì)：退 出前一頁后一頁目 錄例例1：（密度函數(shù)的判定）（密度函數(shù)的判定）驗證驗證 是概率密度函數(shù)是概率密度函

4、數(shù).0,0,00,)(ttetft解：對任意實數(shù)解：對任意實數(shù)t， f(t)非負，又非負，又則則 f(t)是連續(xù)型隨機變量的概率密度是連續(xù)型隨機變量的概率密度.dttf)(000dtedtt0te1退 出前一頁后一頁目 錄例例2： 設隨機變量設隨機變量X的概率密度為的概率密度為求（求（1）系數(shù)）系數(shù)A;（2）X的分布函數(shù)的分布函數(shù).)(,)(xAexfx解：dxxf)(1 )1 (00dxAedxAexxAAeAexx20021 A1,0,2( )1,0.2xxexf xex 0,0,)(xAexAexfxx參參 數(shù)數(shù) 的的 確確 定定1,02( )11,02xxexF xex 所求分布函數(shù)為

5、退 出前一頁后一頁目 錄)2(xdttfxFx)()(0時，有當xxtedte2121xdttfxFx)()(0時，有當xttdtedte002121111112222xxee001122xttee 由密度函數(shù)求分布函數(shù)由密度函數(shù)求分布函數(shù)退 出前一頁后一頁目 錄f(x)Oxx1x23.).()()(xfxFxxf處連續(xù)，則在點若4.21)()(21xxdxxfxXxP由性質(zhì)4在f(x)的連續(xù)點x處有.)(lim)()(lim)()(00 xxxXxPxxFxxFxFxfxx 看出概率密度的定義與物理學中的線密度看出概率密度的定義與物理學中的線密度的定義相類似的定義相類似, 這就是為什么稱這就

6、是為什么稱f(x)為概率為概率密度的原因密度的原因.退 出前一頁后一頁目 錄退 出前一頁后一頁目 錄5.連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)是一個在是一個在 上上的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù).),(離散型隨機變量的分布函數(shù)離散型隨機變量的分布函數(shù)F(x)是右連續(xù)的是右連續(xù)的連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)在整個數(shù)軸上在整個數(shù)軸上連續(xù)的連續(xù)的退 出前一頁后一頁目 錄6.RxxXP00, 0注：注：1）設設X為連續(xù)型隨機變量，則對任一指定實數(shù)為連續(xù)型隨機變量，則對任一指定實數(shù) ，有，有0 x21)()()()()(21212121xxdxxfxXxPxXxPxX

7、xPxXxP2）連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量X取任意數(shù)值的概率均為取任意數(shù)值的概率均為0.概率為概率為0的事件的事件不一定不一定是不可能事件，是不可能事件，概率為概率為1的事件的事件不一定不一定是必然事件是必然事件.概率密度的性質(zhì)概率密度的性質(zhì)：1.0)(xf2.1)(dxxf3.21)()(21xxdxxfxXxP).()()(xfxFxxf處連續(xù)，則在點若4.5.連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)是一個在是一個在 上上的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù).),(6.RxxXP00, 0設設X為連續(xù)型隨機變量，則對任一指定實數(shù)為連續(xù)型隨機變量，則對任一指定實數(shù) ，有，有0 x退 出前一

8、頁后一頁目 錄退 出前一頁后一頁目 錄例例3：設隨機變量設隨機變量X的概率密度為的概率密度為求（求（1） P-1X1;（2）PX=2解：02XP) 1 (11)(11dxxfXP10012121dxedxexx1111) 1(21)1 (21eee)(,21)(xexfx(2)因為因為X是連續(xù)型隨機變量，所以是連續(xù)型隨機變量，所以概概 率率 的的 計計 算算的分布函數(shù)為設連續(xù)型隨機變量 X xxxFarctan121的密度函數(shù)試求 X解： ，則的密度函數(shù)為設xfX xFxfxx2111例例4 4退 出前一頁后一頁目 錄由分布函數(shù)求密度函數(shù)由分布函數(shù)求密度函數(shù)退 出前一頁后一頁目 錄例例5： 從

9、一批子彈中任意抽出從一批子彈中任意抽出5發(fā)試射，如果沒有一發(fā)發(fā)試射，如果沒有一發(fā)子彈落在靶心子彈落在靶心2cm以外，則整批子彈將被接受以外，則整批子彈將被接受.設彈著點與靶心的距離設彈著點與靶心的距離X(cm)的概率密度為的概率密度為求（求（1）系數(shù)）系數(shù)A;（2）該批子彈被接受的概率）該批子彈被接受的概率.其他,030 ,)(2xAxexfxdxxf)(1 ) 1 (302dxAxex)1 (29eA912eA解：)2(所以，該批子彈被接受的概率為設 表示第i發(fā)子彈合格的事件，則 相互獨立，且 iB521,BBB20)(XPBPi209212dxxeex,1194ee5 , 2 , 1i)(

10、521BBBPp)()(51BPBP594)11(ee退 出前一頁后一頁目 錄幾種連續(xù)型分布幾種連續(xù)型分布退 出前一頁后一頁目 錄1.均勻分布均勻分布設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度, 0;,1)(其它bxaabxf則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布均勻分布,記為 XU(a,b).均勻分布的密度函數(shù)f(x)的圖形ab 1af(x)bOx退 出前一頁后一頁目 錄均勻分布均勻分布常用來描述在某個區(qū)間內(nèi)隨機取值，常用來描述在某個區(qū)間內(nèi)隨機取值，在某段時間內(nèi)隨機到達，誤差分布等。在某段時間內(nèi)隨機到達，誤差分布等。若隨機變量XU(a,b), 則它落在(a,b)中任意子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度依賴

11、于子區(qū)間的長度，而與子區(qū)間的位置與子區(qū)間的位置無關無關. lcXcPlccdxxf)(lccdxab1任給長度為l的子區(qū)間(c,c+l), acc+lb, 有均勻分布的特點均勻分布的特點：退 出前一頁后一頁目 錄.abl 某觀光電梯從上午8時起，每半小時運行一趟.某人在上午8點至9點之間到達，試求他等候時間少于5分鐘的概率 600，UX退 出前一頁后一頁目 錄例例5：設X表示某人到達的時間，則解：., 0,600,601)(其它xxf60553025XPXP60553025601601dxdx.61為了使等候時間少于5分鐘，此人應在電梯運行前5分鐘之內(nèi)到達，所求概率為設隨機變量Y服從(0,5)

12、上的均勻分布，求方程02442YxYx)5 , 0(UY退 出前一頁后一頁目 錄例例6：有實根的概率.解：0, 有 PXt+s| X t=PX s，事實上,|tXPstXtXPtXstXP指數(shù)分布常用來描述處于穩(wěn)定工作狀態(tài)的元件壽命.退 出前一頁目 錄指數(shù)分布的特點指數(shù)分布的特點：無后效性（無記憶性）tXPstXP)(1)(1tFstFststeee)(.sXP0,e1)(ttFtXPt0,e)(1ttFtXPt后一頁正態(tài)分布正態(tài)分布(GAUSS 分布分布) 設隨機變量設隨機變量X 的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為其中其中m m , , s s ( s s 0 0是常數(shù)，是常數(shù)，Rxj j(

13、x; m m, , s s2 2 ) = ,e( x m m 2 s s2 2221 s s則稱隨機變量則稱隨機變量X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為m m，s s2 的的正態(tài)分布正態(tài)分布 或高斯分布或高斯分布 ，記為，記為X N(m m , , s s2 )。 特別地特別地, 當當m m 0, 0, s s 1 1時時, , 其概率密度函數(shù)為其概率密度函數(shù)為Rx ,j j( x ) = j j( x; 0, 1 ) = e x 2 221 則稱隨機變量則稱隨機變量X 服從服從標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布, 即即X N( 0, 1 )退 出前一頁后一頁目 錄1) 正態(tài)分布概率密度曲線的特征正態(tài)分布概率密度曲

14、線的特征(1) (1) j j( x; m m, , s s2 2 ) dx = 1即概率曲線下總面積為即概率曲線下總面積為1。 (2) (2)曲線關于直線曲線關于直線x = m m 對稱對稱, , 即對任意實數(shù)即對任意實數(shù)x 有有 j j(m m - x; m m, , s s2 2 ) = j j(m m + x; m m, , s s2 2 )曲線下直線兩側的面積各為曲線下直線兩側的面積各為1/2，并且，并且 P m m x X m m = P m m X m m + x )退 出前一頁后一頁目 錄 (3) (3)曲線在曲線在x = m m 處取得最大值處取得最大值 , , 固定固定m

15、m , , s s2 2 越大，曲線越趨于平坦。越大，曲線越趨于平坦。21 s s退 出前一頁后一頁目 錄2) 正態(tài)分布概率的計算正態(tài)分布概率的計算 若隨機變量若隨機變量X N( m m, , s s2 )，其分布函數(shù)為，其分布函數(shù)為RxF F( x; m m, , s s2 2 ) = ,e( x m m 2 s s2 2221 s s x dx 若隨機變量若隨機變量X 標準正態(tài)分布，其分布函數(shù)為標準正態(tài)分布，其分布函數(shù)為RxF F( x ) = ,ex 2221 x dx 由于由于F F( x )不能解析求出，為方便計算，人們編制不能解析求出，為方便計算，人們編制了了標準正態(tài)分布表標準正態(tài)

16、分布表(見見P289的附表的附表2)。由。由F F( x )的的對稱性，有對稱性，有 F F( - x ) = 1- F F( x )，故僅給出故僅給出x0的值。的值。退 出前一頁后一頁目 錄 （1）若隨機變量若隨機變量X N( 0，1 )，則，則P a X a = 1 1 - F F( a )P X b = F F( b ) F F ( - x )= 1-F F ( x ) 若隨機變量若隨機變量X N( 0，1 )，則，則P a X b = F F( b ) - F F( a ) （2）若隨機變量若隨機變量X N( m m，s s2 2 )，則，則P x1 X x2 = F F ( ) -F

17、 F( )x2 m ms sx1 m ms s證明：證明：e( t m m 2 s s2 22F F( x; m m, , s s2 2 ) = 21 s s x dtey 2 221 dy x m ms st m ms sy = dt = s s d yF F( ) x m ms s=退 出前一頁后一頁目 錄退 出前一頁后一頁目 錄 （2）若隨機變量若隨機變量X N( m m，s s2 2 )，則，則)()(smFsmFabbXaP)(1smFaaXP)(smFbbXP例例8 8：已知隨機變量：已知隨機變量X N( m m, , s s 2 2 )，證明，證明 P| X - m m | x

18、= P m m - x X m m + x = xs s2 2F F( )- 1P m m - x X m m + x 證明證明: :=m m - x m ms sF F( )m m + x m ms sF F( )-=- xs sF F( )x s sF F( )-=x s sF F( )-xs sF F( )1 1 =x s sF F( )2 12 1退 出前一頁后一頁目 錄 特別地，有特別地，有 P| X - m m | s s = 2F F 1 1 1 1 = 0.6826 P| X - m m | 2s s = 2F F 2 1 2 1 = 0.9544 P| X - m m | 3s s = 2F F 3 1 3 1 = 0.9974這說明這說明X 以很大的概率密集在以很大的概率密集在 x = m m 的附近。的附近。退 出前一頁后一頁目 錄例例9: 公共汽車的車門是按男子與車門碰頭的機會在公共汽車的車門是按男子與車門碰頭的機會在0.01以下來設計以下來設計的的.設男子身高設男子身高X服從參數(shù)為服從參數(shù)為=172cm =6 的正態(tài)分布的正態(tài)分布.即即XN(172,36).問車門的高度該如何設計問車門的高度該如何設計.解：設車門的高度為解：設車門的高度為h cm.按設計要求按設計要求P X h 0.01 或者或者 PXh 0.99因為因為 XN(17