第5章多元函數(shù)積分學(xué)

1、第五章一元函數(shù)定積分學(xué)一元函數(shù)定積分學(xué)(分割、近似、求和、取極限分割、近似、求和、取極限方法方法)多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)二重積分二重積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分多元函數(shù) 積 分學(xué) 擴(kuò)展擴(kuò)展 重點(diǎn)研究：重點(diǎn)研究：二重積分二重積分三重積分三重積分第五章第五章 多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)5.2 5.2 二重積分計(jì)算二重積分計(jì)算 5.3 5.3 二重積分簡(jiǎn)單應(yīng)用二重積分簡(jiǎn)單應(yīng)用5.1 5.1 二重積分概念和性質(zhì)二重積分概念和性質(zhì) 柱體體積柱體體積=底面積底面積高高特點(diǎn)：平頂特點(diǎn)：平頂柱體體積柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂特點(diǎn)：曲頂),(yxfz D例例1 1 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積1.問(wèn)

2、題的提出問(wèn)題的提出曲頂柱體曲頂柱體5.1.1 二重積分的概念二重積分的概念解法：解法：用定積分思想解決此問(wèn)題用定積分思想解決此問(wèn)題: :曲頂柱體：曲頂柱體：0),(yxfz底：底： xoy 面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域 D頂：頂：連續(xù)曲面連續(xù)曲面?zhèn)让妫簜?cè)面：以以 D 的邊界為準(zhǔn)線的邊界為準(zhǔn)線 , 求其體積。求其體積?！胺指?、近似、求和、取極限分割、近似、求和、取極限” ” ),(yxfz D母線平行于母線平行于 z 軸的柱面，軸的柱面，D播放播放 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、分割、近似、作和、取極限作和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示 求曲頂柱體的體積

3、采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、分割、近似、作和、取極限作和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、分割、近似、作和、取極限作和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、分割、近似、作和、取極限作和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、分割、近似、作和、取極限作和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、分割、近似、作和

4、、取極限作和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、分割、近似、作和、取極限作和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示步驟如下：步驟如下：用若干個(gè)小平用若干個(gè)小平頂柱體體積之頂柱體體積之和近似表示曲和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體積，xzyoDi),(ii先分割曲頂柱先分割曲頂柱體的底，并取體的底，并取典型小區(qū)域，典型小區(qū)域，),(yxfz ),(iiDi z =f (x, y)yxz(1)(1)分割分割) , ,2 , 1( :niDi 任任意意分分割割(2)(2)近似近似iii ),(任任取取) ,2 ,

5、1( ),(nifViiii， (3)(3)求和求和 niiii,fV1)( (4)(4)取極限取極限令令 直直徑徑ini 1max niiii,fV10)(lim 例例2 2 非均勻平面薄片的質(zhì)量非均勻平面薄片的質(zhì)量 有一個(gè)平面薄片有一個(gè)平面薄片, , 在在 xoy 平面上占有區(qū)域平面上占有區(qū)域 D ,),(yx計(jì)算該薄片的質(zhì)量計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M .度為度為),(),(常數(shù)若Cyx設(shè)設(shè)D 的面積為的面積為 ,則則CM若若),(yx非均勻非均勻 , , 仍可用仍可用其面密其面密 “分割、分割、 近似、求和、取極限近似、求和、取極限” ” 解決解決。1)1)分割分割用用任意任意曲線網(wǎng)分曲線網(wǎng)分

6、D 為為 n 個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域,21n相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域。相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域。Dyx2)2)近似近似中中任取任取一點(diǎn)一點(diǎn)i在在每每個(gè)個(gè)),(ii3)3)求和求和niiMM1=niiii1=),(4)4)取極限取極限 )(max1inid 令令niiiiM10),(lim i),(ii), 2, 1=(), (niMiiii則第則第 i 小塊的質(zhì)量小塊的質(zhì)量yx兩個(gè)問(wèn)題的共性?xún)蓚€(gè)問(wèn)題的共性(1)(1)解決問(wèn)題的步驟相同解決問(wèn)題的步驟相同(2)(2)所求兩個(gè)問(wèn)題結(jié)構(gòu)形式相同所求兩個(gè)問(wèn)題結(jié)構(gòu)形式相同“分割，近似，求和，取極限分割，近似，求和，取極限”10),(limniiiifV10),(l

7、imniiiiM曲頂柱體體積：曲頂柱體體積：平面薄片的質(zhì)量：平面薄片的質(zhì)量： 定義：定義：將將 D 任意任意分成分成 n 個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域), 2, 1=(nii任取任取一點(diǎn)一點(diǎn),), (iiiniiiif1=0), (lim則稱(chēng)則稱(chēng)f(x,y)可積，可積，上式記為上式記為f(x,y)在在D上的二重積分上的二重積分。Dyxfd),(稱(chēng)為積分變量yx,和式極限和式極限D(zhuǎn)yxfd),(積分域積分域被積函數(shù)被積函數(shù)積分表達(dá)式積分表達(dá)式面積元素面積元素記作記作設(shè)設(shè)f(x,y)是定義在有界區(qū)域是定義在有界區(qū)域 D上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)函數(shù) , niiiif1=),(iiif),(作乘積作乘積并作和并作和)(m

8、ax=1indin個(gè)小閉域最大直徑個(gè)小閉域最大直徑,和式極限存在和式極限存在DyxfVd),(曲頂柱體體積可寫(xiě)成：曲頂柱體體積可寫(xiě)成：DyxMd),(平面薄板的質(zhì)量可寫(xiě)成平面薄板的質(zhì)量可寫(xiě)成: :若若 f(x,y) 在在D上可積，上可積，也常記作也常記作 d,ddyx二重積分記作二重積分記作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 這時(shí)這時(shí)分區(qū)域分區(qū)域D , 因此面積元素因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃可用平行坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃 Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(二重積分注意的問(wèn)題：二重積分注意的問(wèn)題： DDdudvvufdxdyyxf).(),(2)二重積分與積分變量無(wú)關(guān)與被函數(shù)和積分

9、區(qū)域有關(guān)二重積分與積分變量無(wú)關(guān)與被函數(shù)和積分區(qū)域有關(guān), ,(3)幾何上二重積分等于幾何上二重積分等于D上各部分區(qū)域上的柱體體積的代上各部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和。數(shù)和。(4)用二重積分的方法可擴(kuò)展三重積分，即用二重積分的方法可擴(kuò)展三重積分，即iiiniiufdxdydzzyxf)(),(10lim(1)函數(shù)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)上連續(xù),則則f(x,y)在在D上總是可積。上總是可積。5.1.2 5.1.2 二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)Dyxfkd ),(. 1( k 為常數(shù)為常數(shù))Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d ),(. 3DDDyxfyx

10、fyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 為為D 的面積，則的面積，則 ),(2121無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(特別，由于特別，由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(則則Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在若在D上上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 設(shè)設(shè)),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面積為的面積為 ,MyxfmDd),(則有則有7.(7.(二重積分的中值定理二重積分的中值定理) ),),(D),(),(fdyxfD設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x,y) 在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上連續(xù)，上連續(xù)， 為為D的

11、面積，則的面積，則至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)使使例例1 1 比較下列積分的大小比較下列積分的大小: : dyxdyxDD 32)(,)(其中其中2) 1()2( :22yxD解：解：積分域積分域 D 的邊界為圓周的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它與它與x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn) (1,0) ，與直線與直線x+y=1相切，相切，而域而域 D 位位, 1 yx從而從而d)(d)(32DDyxyx于直線的上方于直線的上方, ,故在故在 D 上上 1y2xo1D例例2 2 判斷積分判斷積分dxdyyxyx 4322221的正負(fù)號(hào)。的正負(fù)號(hào)。解：解：分積分域?yàn)榉址e分域?yàn)镈1,D2

12、,D3，則，則原式原式 = =yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11Dyxo0)21 (3猜想結(jié)果為負(fù)猜想結(jié)果為負(fù) 但不好估計(jì)但不好估計(jì) . .舍去此項(xiàng)舍去此項(xiàng)例例3 3 估計(jì)下列積分之值估計(jì)下列積分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解：D 的面積為的面積為200)210(2由于由于yx22coscos1001積分性質(zhì)積分性質(zhì)5 5100200I102200即即: : 1.96 I 210101010D10011021xyo5.2 5.2 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算 二重積分的計(jì)

13、算的思想二重積分的計(jì)算的思想: : 把二重積分計(jì)算轉(zhuǎn)化成兩把二重積分計(jì)算轉(zhuǎn)化成兩個(gè)定積分的計(jì)算個(gè)定積分的計(jì)算，二重積分計(jì)算問(wèn)題就解決了，分別討論，二重積分計(jì)算問(wèn)題就解決了，分別討論直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下和和極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算。的二重積分的計(jì)算。5.2.1 在直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算在直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算 二重積分僅與被積函數(shù)及積分域有關(guān)，二重積分僅與被積函數(shù)及積分域有關(guān)，為此，先介紹：為此，先介紹： 1.1.積分域積分域 D:若積分區(qū)域?yàn)椋喝舴e分區(qū)域?yàn)椋? bxa ).()(21xyx (1)X-(1)X-型域型域X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )

14、(1xy X X型區(qū)域的特點(diǎn)：型區(qū)域的特點(diǎn)：a、平行于平行于y軸且穿過(guò)區(qū)域的直線軸且穿過(guò)區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)；與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)； b、).()(21xx Y Y型區(qū)域的特點(diǎn)：型區(qū)域的特點(diǎn)：a、穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)軸的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)。b、(2)Y-(2)Y-型域：型域：,dycY型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D).()(21yy).()(21yxy(3)(3)矩型域：矩型域：dycbxa Oabdcaxbzyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xy曲頂柱體的體積）(),

15、(VdxdyyxfD2.X-2.X-型域下二重積分的計(jì)算：型域下二重積分的計(jì)算： 由幾何意義，若由幾何意義，若(x,y)0，則，則axbzyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xydxx dxxAdV)(yZ)(x1)(x2),(yxfz )()(),()(xxdyyxfxA21 DbaA(x)dxf(x,y)dxdy所所以以：dxdy.yf(xba(x)(x)21 dy.yf(xdxba(x)(x)21 注注: : 若若(x,y)0仍然適用。仍然適用。注意注意: : 1)上式說(shuō)明上式說(shuō)明: : 二重積分可化為二次定積分計(jì)算二重積分可化為二次定積分計(jì)算; ;2)積分次序：積分次序：X-X

16、-型域型域 先先Y Y后后X;X;3)積分限確定法：積分限確定法：域中一線插，域中一線插， 內(nèi)限定上下，內(nèi)限定上下， 域邊兩線夾，外限依靠它。域邊兩線夾，外限依靠它。為方便，上式也常記為：為方便，上式也常記為：3.Y-3.Y-型域下二重積分的計(jì)算：型域下二重積分的計(jì)算：Y型域下型域下 )()(21),()(yydxyxfyB .),(),()()(21 Ddcyydydxyxfdyxf 于于是是：同理同理4. 4. 矩形域下二重積分的計(jì)算：矩形域下二重積分的計(jì)算： Ddcbadxyxfdydyxf),(),( dyc bxa D: Dbadcdyyxfdxdyxf),(),( 例例4 4 計(jì)算

17、計(jì)算dxdyyxD)341 (11, 22:,yxD-22 xy1-1解解: : 矩形區(qū)域既是矩形區(qū)域既是X型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y 型區(qū)域型區(qū)域，先對(duì)哪個(gè)，先對(duì)哪個(gè)變量積分都可以。變量積分都可以。dxdyyxD)341(dyyxdx)341 (2211dxyyx112226)41(dxx)41 (22222242xx8注意注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時(shí)，關(guān)鍵在于：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時(shí)，關(guān)鍵在于正確確定積分限正確確定積分限, ,一定要做到熟練、準(zhǔn)確。一定要做到熟練、準(zhǔn)確。5.5.利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分的步驟利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分的步驟(1)畫(huà)出積分區(qū)域的圖形，求出邊界曲線交點(diǎn)坐標(biāo)

18、；畫(huà)出積分區(qū)域的圖形，求出邊界曲線交點(diǎn)坐標(biāo)；(3)確定積分限，化為二次定積分；確定積分限，化為二次定積分；(2)根據(jù)積分域類(lèi)型，確定積分次序；根據(jù)積分域類(lèi)型，確定積分次序；(4)計(jì)算兩次定積分，即可得出結(jié)果。計(jì)算兩次定積分，即可得出結(jié)果。例例5 5 計(jì)算計(jì)算,dDyx其中其中D 是拋物線是拋物線y2=x及直線及直線y=x- -2所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。解：解：為計(jì)算簡(jiǎn)便，先對(duì)為計(jì)算簡(jiǎn)便，先對(duì)x后對(duì)后對(duì)y積分積分, ,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y

19、2y2y則則 另一解法：另一解法：先對(duì)先對(duì)y 后對(duì)后對(duì) x積分積分, ,DyxdxyxxD, 10:1xyxxD2, 41 :22Dxy22 xy214oyx1D1D1dDyx2dDyx10412xxxxxydydxxydydx兩種解法相當(dāng)交換積分順序，兩種解法相當(dāng)交換積分順序，即即型相互轉(zhuǎn)化型與yXDD例例5 5 計(jì)算計(jì)算,dd2Dxyxe其中其中D 是直線是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.oxyD11xxy 解解: : 由被積函數(shù)可知由被積函數(shù)可知, ,因此取因此取D為為X 型域型域：100:xxyDDxyxedd2xy0d10d2xxex01212xe)11 (21e10

20、d2xex1x先對(duì)先對(duì) x 積分不行積分不行, , 說(shuō)明：說(shuō)明：由被積函數(shù)考慮由被積函數(shù)考慮交換積分順序。交換積分順序。例例6 6 更換下列積分更換下列積分I I的次序的次序 31)3(210100),(),(2xxdyyxfdxdyyxfdxI2xy )3(21xy0 1 2 3 1DdxdyyxfI),()3(210 , 31:2xyxD解解: : 210, 10:xyxDxI型區(qū)域的轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)化成y型區(qū)域型區(qū)域10 ,23:yyxyD1023),(yydxdyyxfdy例例7 7 計(jì)算二次積分計(jì)算二次積分 1012xydyedx1, 10: yxxDyx，yD 010:1012xydyed

21、x102dyyey10212ye解：解： 1002yydxedy1002dxxeyy1002dxxeyy)(212102ydey)11 (21e)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X X型型DbadxxAf(x,y)dxdy)(小小 結(jié)結(jié)dxdy.yf(xba(x)(x)21 )(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx DY型型.),(),()()(21 Ddcyydydxyxfdyxf矩形域矩形域 Ddcbadxyxfdydyxf),(),( dyc bxa D: Dbadcdyyxfdxdyxf),(),( 計(jì)算二次積分：計(jì)算二次積分： 由由內(nèi)向外內(nèi)向

22、外逐層計(jì)算，逐層計(jì)算，內(nèi)層內(nèi)層積分計(jì)積分計(jì)算時(shí)，算時(shí)，外層積分變量外層積分變量看做常量看做常量。 根據(jù)區(qū)域形狀和類(lèi)型確定根據(jù)區(qū)域形狀和類(lèi)型確定積分次序，從而積分次序，從而穿線確定內(nèi)限穿線確定內(nèi)限，夾線確定外限夾線確定外限。計(jì)算二重積分應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：計(jì)算二重積分應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：化二重積分為二次積分。化二重積分為二次積分。5.2.2 5.2.2 在極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算在極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算)20 ,0(sin,cos rryrx ,r)sin,cos(),( rrfyxf 首先，利用關(guān)系式首先，利用關(guān)系式可將被積函數(shù)可將被積函數(shù) f(x,y) 化為極坐標(biāo)系中積分變量化為極坐標(biāo)系中積分變量

23、的函數(shù)的函數(shù)xyokkr2)(21忽略高階無(wú)窮小在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下, , 用同心圓用同心圓 r = =常數(shù)常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外，小區(qū)域的面積則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外，小區(qū)域的面積kkkkkkrrr221)(),2, 1(nkkkkkkrrkkkr221kkkrr221)(krkrkkkrrdrddrrkkkk即及射線及射線=常數(shù)常數(shù)，分劃區(qū)域，分劃區(qū)域D為為Dyxfd),(ddrr所以所以Drrf)sin,cos(drrddrd)20 ,0(sin,cosrryrx又因?yàn)橛忠驗(yàn)?sin,cos(),(rrfyxfDo)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos

24、(rrrrf設(shè)設(shè),)()(:21rD則則Drrrrfdd)sin,cos(d一、極點(diǎn)不在積分區(qū)域一、極點(diǎn)不在積分區(qū)域 即即20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD二、極點(diǎn)在積分區(qū)域二、極點(diǎn)在積分區(qū)域 若若 f (x,y)1，則可求得則可求得D 的面積的面積d)(21202Dd思考：思考：下列各圖中域下列各圖中域D分別與分別與x, y軸相切于原點(diǎn)，軸相切于原點(diǎn)，試試答：答： ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx問(wèn)問(wèn) 的變化范圍是什么的變化范圍是什么? ?(1)(2)22)2(Dd例例8 8 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分Drdrdry

25、yx222,d22Dyx其中其中D 為圓周為圓周yyx222所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。sin2r原式原式drrsin2020dd03sin38解解: : 利用極坐標(biāo)利用極坐標(biāo):Dsin20r0drsin2003302cos) 1(cos38d832例例9 9 計(jì)算計(jì)算,dd22Dyxyxe其中其中.:222ayxD解解: : 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下,200:arD原式原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 故本題無(wú)法用直角故本題無(wú)法用直角2reddrr20d由于由于故故坐標(biāo)計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算.5.3.1 三重積分的概念三重積分的概

26、念 5.3.2 三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算5.3 5.3 三重積分三重積分 5.3.1 三重積分的概念三重積分的概念 類(lèi)似二重積分解決問(wèn)題的思想, 采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: : 設(shè)在空間有限閉區(qū)域設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),),(Czyx求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限”解決方法解決方法:質(zhì)量 M .密度函數(shù)為定義定義. 設(shè),),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(稱(chēng)為體積元素體積元素, vd.dd

27、dzyx若對(duì) 作任意分割任意分割: 任意取點(diǎn)任意取點(diǎn)則稱(chēng)此極限為函數(shù)在上的三重積分三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì)性質(zhì): 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf設(shè)在有界閉域 上連續(xù),則存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 為 的體積, 積和式” 極限記作記作二、三重積分的計(jì)算二、三重積分的計(jì)算1. 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法方法3 . 三次積分法 ,0),(zyxf先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通

28、過(guò)計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算. 的密度函數(shù) , 方法:zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元線密度記作ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:為底, d z 為高

29、的柱形薄片質(zhì)量為zD以xyz該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd記作投影法投影法方法方法3. 3. 三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域:利用投影法結(jié)果，利用投影法結(jié)果，bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得把二重積分化成二次積分即得: :vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd當(dāng)被積函數(shù)

30、在積分域上變號(hào)時(shí), 因?yàn)?,(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均為非負(fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計(jì)算.2),(),(zyxfzyxf小結(jié)小結(jié): 三重積分的計(jì)算方法三重積分的計(jì)算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次積分三次積分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)vzyxfd),(vzyxfd),(三種方法(包含12種形式)各有

31、特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中 為三個(gè)坐標(biāo)例例1. 計(jì)算三重積分,dddzyxx12zyx所圍成的閉區(qū)域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyz例例2. 計(jì)算三重積分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23

32、154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oxyz2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè),代替用極坐標(biāo)將yx),z（則就稱(chēng)為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).z200sinyzz cosx直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:常數(shù)坐標(biāo)面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面oz),(zyxM)0 ,(yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為zzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單方程簡(jiǎn)單 ;

33、2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離變量互相分離.zdddxyzodd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中為由例例3. 計(jì)算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所圍解解: 在柱面坐標(biāo)系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圓柱體.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 o oxyz例例4. 計(jì)算三重積分解解: 在柱面坐標(biāo)系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22y

34、xzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面42rzvdddd原式 =機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè)),(z其柱坐標(biāo)為就稱(chēng)為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,ZOMMoxyzzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標(biāo)面分別為常數(shù)r球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyzo如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為ddrrddddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)c

35、os,sinsin,cossin(),(rrrfrF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單方程簡(jiǎn)單;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離變量互相分離.dddsin2rrd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 計(jì)算三重積分,)(222zdydxdzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標(biāo)系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6.求曲面)0()(32222azazyx所圍立體體積

36、.解解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,cos0:3ar 利用對(duì)稱(chēng)性, 所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yoz面對(duì)稱(chēng), 并與xoy面相切, 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于 xoz dddsind2rrv yzxar機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)zyxdddzddddddsin2rr積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔, 或坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系* * 說(shuō)明說(shuō)明:三重積分也有類(lèi)似二重積分的換元積分公式換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對(duì)應(yīng)雅可

37、比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離.圍成 ;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20dx思考與練習(xí)思考與練習(xí)六個(gè)平面圍成 ,:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè), 1:222zyx計(jì)算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用對(duì)稱(chēng)性原式 = 122ddyxyx0奇函數(shù)222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz機(jī)動(dòng)

38、 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zoxy23. 設(shè)由錐面22yxz和球面4222zyx所圍成 , 計(jì)算.d)(2vzyxI提示提示:4利用對(duì)稱(chēng)性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐標(biāo) rr d420dsin4020d221564機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二二. .空間立體的體積空間立體的體積 一一. .平面圖形的面積平面圖形的面積 二二. .平面薄板的重心平面薄板的重心* *三三. .物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量* * 5.3 5.3 二重積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用二重積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用 5.3.1 5.3.1 幾何上的應(yīng)用幾何上的應(yīng)用5.3.2 5.3.2 物理及力學(xué)上的應(yīng)用物理及力學(xué)上的應(yīng)用一一. .平面薄板的