第節(jié)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

1、回回 顧顧aOBb結(jié)論結(jié)論：空間空間任意兩個任意兩個向量向量都可都可平移平移到到同同一個平面內(nèi)一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的向量，成為同一平面內(nèi)的向量.因此凡是涉及因此凡是涉及空間任意兩個向量空間任意兩個向量的問題，的問題，平面向量平面向量中有關(guān)結(jié)論仍中有關(guān)結(jié)論仍適用適用于它們于它們.ba一、空間向量數(shù)乘運(yùn)算1.實數(shù) 與空間向量 的乘積 仍然是一個向量.當(dāng) 時， 當(dāng) 時， 與向量 方向相同； 與向量 方向相同； 是零向量.aa00aaaa當(dāng) 時，0a（1）方向：方向：（2）大?。海┐笮。?的長度是 的長度的 倍.a|a2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律

2、即： （）()( )()a babaaaaa 問題問題2：平面向量中，平面向量中，)0(/bba.ab的充要條件是：存在唯一的充要條件是：存在唯一的實數(shù)的實數(shù) ，使，使能否推廣到空間向量中呢？能否推廣到空間向量中呢？問題問題1 1：若：若)0(/aba則則ba,所在直線有那些位置關(guān)系?零向量與任意向量共線零向量與任意向量共線. .二、共線向量共線向量: :如果表示空間向量的有向如果表示空間向量的有向線段所在直線互相線段所在直線互相平行平行或或重合重合, ,則這些向量則這些向量叫做共線向量叫做共線向量( (或平行向量或平行向量),),記作記作ba/)0(/bba)0(bba)0(/bba由此可判

3、斷空間中兩直線平行或三點共線問題由此可判斷空間中兩直線平行或三點共線問題 共線向量定理共線向量定理: : 對空間任意兩個向量對空間任意兩個向量 ， ， 的充要條件是存在唯一實數(shù)的充要條件是存在唯一實數(shù)， 使使ab(0).ab b )0(/bba性質(zhì)性質(zhì)判定判定)0(bba如圖，如圖，l 為經(jīng)過已知點為經(jīng)過已知點A且平行已知非零向量且平行已知非零向量 的直線，的直線，aal/atAP 對空間任意一點對空間任意一點O,OAOPAP所以a tOAOPa tOAOP即 若在若在l上取上取 則有則有ABtOAOP和都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間和都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由

4、空間一點及直線的方向向量唯一決定一點及直線的方向向量唯一決定.由此可判斷空間任意三點共線由此可判斷空間任意三點共線。.alABPO若點若點P P是直線是直線l l上任意一點，則上任意一點，則 由由 知存在唯一的知存在唯一的t, 滿足滿足aAB 因為因為 ,BBOAOA所以所以 )A( tAOPOOBOOBtOAt)1 (特別的，當(dāng)特別的，當(dāng)t= 時，時，21)B(21OPOOA 則有則有aABPOABtOAOP進(jìn)一步進(jìn)一步，OBOAOP_還可表示為：OPt1-tP點為點為A,B 的中點的中點練習(xí)練習(xí)1.對于空間任意一點對于空間任意一點O，下列命題正，下列命題正確的是：確的是：A.若，則若，則P

5、、A、B共線共線B.若，則若，則P是是AB的中點的中點C.若，則若，則P、A、B不共線不共線D.若，則若，則P、A、B共線共線 OPOAtAB3 OPOAAB OPOAtAB OPOAABA、B、P三點共線三點共線ABtOAOPABtAP )1(APyxOByOxOAOABP三、共面向量三、共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .注意：注意：空間任意兩個向量是共面的，但空間空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量任意三個向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果由平面

6、向量基本定理知，如果 ， 是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量對于這一平面內(nèi)的任意向量 ，有且，有且只有一對實數(shù)只有一對實數(shù) ， ，使，使 如果空間向量如果空間向量 與兩不共線向量與兩不共線向量 ， 共共面，那么可將三個向量平移到同一平面面，那么可將三個向量平移到同一平面 ，則，則有有 byxpapb那么什么情況下三個向量共面呢？那么什么情況下三個向量共面呢？2211eea1e2e12aa1e2e反過來，對空間任意兩個不共線的向量反過來，對空間任意兩個不共線的向量 ， ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 與向量與向量 , 有什么位有什么位置關(guān)

7、系？置關(guān)系？abbyxpab共線，分別與 bbya, a x確定的平面內(nèi)，都在 bbya, ax確定的平面內(nèi)，并且此平行四邊形在 ba共面，與即確定的平面內(nèi)，在bbbyap,aaxpabABPp Cp2.共面向量定理：如果兩個向量共面向量定理：如果兩個向量 ， 不共線不共線，byxpabpab 則向量則向量 與向量與向量 ， 共面的充要共面的充要條件是條件是存在實數(shù)對存在實數(shù)對x, ,y使使abABPp 推論推論:空間一點空間一點P P位于平面位于平面ABCABC內(nèi)的充要條件是存在有內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對序?qū)崝?shù)對x,yx,y使使ACyABxAPCOOCOBOAOP(_)(_)(_)abA

8、BPp 對空間任一點對空間任一點O,O,有有填空：填空：1-1-x- -yxyACyABxOAOPC 式稱為空間平面式稱為空間平面ABC的向量表示式，空間中任意的向量表示式，空間中任意平面由空平面由空 間一點及兩個不共線的向量唯一確定間一點及兩個不共線的向量唯一確定.由此可判斷空間任意四點共面由此可判斷空間任意四點共面練習(xí)練習(xí)2.若對任一點若對任一點O和不共線的三點和不共線的三點A、B、C，且有且有),( RzyxOCzOByOAxOP 則則x+y+z=1是四點是四點P、A、B、C共面的（共面的（ ）A.必要不充分條件必要不充分條件C.充要條件充要條件B.充分不必要條件充分不必要條件 D.既不

9、充分也不必要條件既不充分也不必要條件CP與與A,B,C共面共面ACyABxAPACyABxOAOP) 1(0zyxOCzOByOAxOP解析：由共面向量定理知，要證明解析：由共面向量定理知，要證明P、A、B、C四點共面，只四點共面，只要證明存在有序?qū)崝?shù)對（要證明存在有序?qū)崝?shù)對（x,y）使得）使得ACyABxAP四點共面。從而共面且有公共點，不共線，所以，又所以所以即共面，因為PCBAAAPACABACABACABAPAPACABAPOAOCOAOBOAOPOAOCOB,3131,33)()(332) 1 (OAOPOCOB3)1 (例例1.已知已知A、B、C三點不共線，對于平面三點不共線，對于平面ABC外外的任一點的任一點O，確定在下列各條件下，點，確定在下列各條件下，點P是否與是否與A、B、C一定共面？一定共面？OCOBOAOP 4)2( 共線向量共線向量 共面向量共面向量定義定義向量所在直線互相平行或重合向量所在直線互相平行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量