第十五章拉格朗日方程

1、第一節(jié)第一節(jié) 動力性普遍方程動力性普遍方程第二節(jié)第二節(jié) 拉格朗日方程拉格朗日方程本章重點：動力學普遍方程的應用動力學普遍方程的應用。拉格朗日函數(shù)的計算。拉格朗日函數(shù)的計算。拉格朗日方程的應用拉格朗日方程的應用。第十四章第十四章 拉格朗日方程拉格朗日方程 達朗伯原理+虛位移原理=動力學普遍方程 第一節(jié)第一節(jié) 動力學普遍方程動力學普遍方程一運動著的質點系，其中第i個質點的加速度為ai，質量為mi，根據(jù)達朗伯原理，在每一瞬時作用在該質點上的主動力Fi，約束力FNi以及慣性力FIi= -mai組成平衡力系，即Fi + FNi+ (m ai) = 0 (i=1，2，n) 0)(1iiiniiamrF0)

2、()()(1niiiiiziiiiyiiiixzzmFyymFxxmF 應用虛位移原理，給質點系任一組虛位移dri (i=1，2，n) 0)(1NiiiniiiamrFF假定質點系所受的約束是理想約束，動力學普遍方程 為：例例14-1 調(diào)速器以勻角速度w繞鉛垂軸轉動。剛性系數(shù)為k簧無伸縮。上臂的懸掛軸與轉動軸相距為e。已知飛球的彈簧被固定在調(diào)速器上臂的A，B兩點，當=0時彈C，D質量均為m1,套筒質量為m2，各臂長均為l，其自重不計。試求角速度w與張角之間的關系。21II)sin(lemFFDC0)()(21IIEBADCDDCCygmxxFyygmxFxF解：解： 取系統(tǒng)為研究對象。由動力學

3、普遍方程式得系統(tǒng)的自由度為1，取 為廣義坐標-2-2g1ICID1gg2Ecos2lyE-2-2g1ICID1gg2Ecos2lxxBA)sin(lexCcoslyCsinlexDcoslyD)sin2(lexAsin2lexBcoslxxDCsin2lyEsinlyyDCsinklF 0cossinsin)( 2cos)sin(222121klglmmllem0tan)sin(2cos)(21212lemklgmm求得-2-2g1ICID1gg2E將各變分代入動力學普遍方程彈性力 例例14-2 兩個半徑均為r的均質圓輪，中心用連桿相連，為m1，對輪心的轉動慣量皆為J，連桿質量為m2，求連桿運

4、動的在傾角為的斜面上作純滾動，如圖所示。設輪子質量皆加速度。g1g2I1g1I2I1IIrJaJM/I0sin)2(2)2(21I2I1IsgmmMsFF0sing)2(2)2(21221smmsrJsammgJrmmrmma2)2(sin)2(221221 解解 取剛體系統(tǒng)為研究對象， amF22I；amF11I，系統(tǒng)自由度為1 ，沿斜面取廣義坐標，給ds注意到 rs /，所以上式可寫成解得 s由動力學普遍方程式得aear例例14-3 三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面運動， A和B的質量 解解: 取系統(tǒng)為研究對象。 各為mA與mB，斜面的角度為f，摩擦略去不計。試求三棱柱B的加速度。分析運動，加

5、慣性力系統(tǒng)自由度為2 ，取廣義坐標x、s，xsBBBamFIBAeAAamamFeIrrIamFAA gIIgIggIIIggIIIgIIgIggIIIggIII0cosrIeIIBABABBxFxFxF0cosrABABBamamam0, 0ABsx0sincosIIAAAeAArAsgmsFsF0sincosgmamamABArA)sin( 2sin22BAABmmgma0, 0BAxs令再令由動力學普遍方程式得由動力學普遍方程式得解得 第二節(jié)第二節(jié) 拉格朗日方程拉格朗日方程0)(1iiiniimrF), 2 , 1(1niqqNjjjiirr動力學普遍方程 ), 2 , 1(),(21n

6、iqqqtNii rr), 2 , 1(0111NjqqmqnijNjjiiNjjiiirarF), 2 , 1(0)(111NjqqmqjNjjiniiijiniirarF代入動力學普遍方程式得交換上式的求和順序，), 2 , 1(0)(111NjqqmqjNjjiniiijiniirarF廣義主動力廣義主動力 nijiijQqF1rFjiniiijqmFra )(1IjjjiniiijqEqEtqmFkk1Iddra廣義慣性力廣義慣性力將廣義慣性力轉化為用動能表示NjjjjjQqqEqEtF1kk0dd), 2 , 1(ddkkNjFqEqEtjQjj由虛位移的獨立性，可得 拉格朗日方程拉

7、格朗日方程，一組廣義坐標形式的質點系運動微分方程，簡稱拉氏方程拉氏方程。), 2 , 1(pNjqEFjjQ), 2 , 1(ddkkNjqEqEqEtjPjjpkEEL對于保守系統(tǒng) 拉氏方程可改寫為 將動能Ek與勢能Ep之差用拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)L L表示，即令0/pjqE), 2 , 1(0)( )(ddpkpkNjqEEqEEtjj), 2 , 1(0ddNjqLqLtjj因勢能只是廣義坐標的函數(shù)，不含廣義速度，即拉氏方程可表為 質點系所受的力是有勢力時的拉格朗日方程質點系所受的力是有勢力時的拉格朗日方程： 解題步驟：解題步驟：1.判別系統(tǒng)的自由度，選取廣義坐標。判別系統(tǒng)的自由度，選

8、取廣義坐標。2.將動能表為廣義速度、廣義坐標的函數(shù)。將動能表為廣義速度、廣義坐標的函數(shù)。3.對于保守系統(tǒng)，將勢能表為廣義坐標的函數(shù)，計算對于保守系統(tǒng)，將勢能表為廣義坐標的函數(shù)，計算拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)L L 。對于一般系統(tǒng)，計算廣義力。對于一般系統(tǒng)，計算廣義力。4.求導數(shù)。計算求導數(shù)。計算jqEkjqEkjqEtkdd， ，jqLjqLjqLtdd， ，5.建立建立拉格朗日方程拉格朗日方程OMArR為m2，半徑為r的均質小齒輪，小齒輪沿半為R的固定大齒輪純例例14-4 在水平面內(nèi)運動的行星齒輪機構如圖所示。均質系桿OA的質量為m1，它可繞端點O轉動，另一端裝有質量滾動。當系桿受力偶M的作用

9、時，求系桿的角加速度。 解解: 機構具有一個自由度，選系桿的轉角為廣義坐標。2222222)(2121)(21rrRrmrRmOMArR系統(tǒng)的動能 221k)(92(61rRmmE 221k)(92(61ddrRmmEt0kE)2121(2122220kAAAJvmJE221)(3121rRm2221)(92(121rRmm廣義力MMWFFQ OMArRQFEEtkkddMrRmm 221)(92(61221)(92(6rRmmM 代入拉氏方程 解得： 統(tǒng)的運動微分方程。例例14-5 橢圓擺由物塊和擺錘用直桿鉸連而成，物塊可沿光滑水平面滑動，擺桿可在鉛直面內(nèi)擺動。設物塊和擺錘的質量分別為m1，

10、m2；擺桿長為l，質量不計。試建立系解解 ： 系統(tǒng)具有兩個自由度，以x和f為廣義坐標，OxyfABsinlyBsinlxxBcoslyBcoslxxBxxA系統(tǒng)的動能cos21)(212222221x lmlmxmmOxyfAB)(2222221kBBAyxmxmE22221)sin()cos(22llxmxm以A塊質心所在水平面為勢能零位置，系統(tǒng)的勢能為 cos22pglmgymEB拉格朗日函數(shù) coscos21)(2122222221glmx lmlmxmmL代入拉氏方程，OxyfAB00cos)(dd2121lmxmmt0 xLcos)(2121lmxmmxL0sincos)(222121 lmlmxmm0)(dd11xLxLt0sinsin)cos(dd22222glmx lmx lmlmtcos222x lmlmLsinsin22glmx lmL0sinsincos221222glmx lmx lmlm OxyfAB代入拉氏方程，0)(ddLLt小小 結結0)(