二項(xiàng)式定理優(yōu)質(zhì)課課件

1、 對(duì)于對(duì)于ab，(ab)2，(ab)3，(ab)4，(ab)5等等代數(shù)式，數(shù)學(xué)上統(tǒng)稱為代數(shù)式，數(shù)學(xué)上統(tǒng)稱為二項(xiàng)式二項(xiàng)式，其一般形式為：，其一般形式為： (ab)n（nN*）二項(xiàng)式二項(xiàng)式 由于在許多代數(shù)問(wèn)題中需要將二項(xiàng)式展開(kāi)，由于在許多代數(shù)問(wèn)題中需要將二項(xiàng)式展開(kāi)，因此，因此，二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理研究的是研究的是(ab)n展開(kāi)后的表達(dá)式的一般結(jié)構(gòu)。展開(kāi)后的表達(dá)式的一般結(jié)構(gòu)。那么那么(ab)n 的展開(kāi)式的展開(kāi)式是什么呢？是什么呢？一、問(wèn)題引入一、問(wèn)題引入什么是二項(xiàng)式，二項(xiàng)式定理研究的是什么？什么是二項(xiàng)式，二項(xiàng)式定理研究的是什么？二、講授新課二、講授新課問(wèn)題問(wèn)題1：有有2個(gè)口袋，每個(gè)口袋都同樣裝有個(gè)口

2、袋，每個(gè)口袋都同樣裝有a,b兩個(gè)兩個(gè)小球，現(xiàn)依次從這小球，現(xiàn)依次從這2個(gè)口袋中各取出一個(gè)小球，共個(gè)口袋中各取出一個(gè)小球，共有多少種不同的取法？有多少種不同的取法？請(qǐng)分別用列舉法、分類計(jì)數(shù)原理進(jìn)行分析。列舉法列舉法：aa，ab，ba，bb 共共4種種.問(wèn)題問(wèn)題1：有有2個(gè)口袋，每個(gè)口袋都同樣裝有個(gè)口袋，每個(gè)口袋都同樣裝有a,b兩兩個(gè)小球，現(xiàn)依次從這個(gè)小球，現(xiàn)依次從這2個(gè)口袋中各取出一個(gè)小球，個(gè)口袋中各取出一個(gè)小球，共有多少種不同的取法？共有多少種不同的取法？分類計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理：由于由于b選定后選定后,a也隨之確定，因此：也隨之確定，因此：第一類，兩次都不取第一類，兩次都不取b（即兩次都取（

3、即兩次都取a），有），有 1種取法，種取法，第二類，任一次取第二類，任一次取b（即另一次?。戳硪淮稳），有），有 2種取法；種取法；第三類，兩次都取第三類，兩次都取b（即兩次都不?。磧纱味疾蝗），有），有 1種取法。種取法。 共共4種種.02C12C12C問(wèn)題問(wèn)題2：請(qǐng)將：請(qǐng)將(a+b)(a+b)逐項(xiàng)展開(kāi)并整理逐項(xiàng)展開(kāi)并整理思考思考：?jiǎn)栴}：?jiǎn)栴}2與問(wèn)題與問(wèn)題1的處理過(guò)程之間有何的處理過(guò)程之間有何異同點(diǎn)異同點(diǎn)？同：同：展開(kāi)的過(guò)程就是取球的過(guò)程；展開(kāi)的過(guò)程就是取球的過(guò)程；異：異：取球取球ab，ba屬兩種方法，展開(kāi)式中的屬兩種方法，展開(kāi)式中的ab，ba可合并同類項(xiàng)?？珊喜⑼愴?xiàng)。23a b：

4、將（） 展開(kāi)并整理后，各項(xiàng)的系數(shù)與取球問(wèn)題中有問(wèn)題何聯(lián)系？ 整理后，各項(xiàng)系數(shù)為各項(xiàng)在展開(kāi)式中出現(xiàn)的次數(shù)，整理后，各項(xiàng)系數(shù)為各項(xiàng)在展開(kāi)式中出現(xiàn)的次數(shù)，即取球問(wèn)題中分類計(jì)數(shù)原理的各類結(jié)果數(shù)。即取球問(wèn)題中分類計(jì)數(shù)原理的各類結(jié)果數(shù)。222122022222bCabCaCbababa ）即（問(wèn)題問(wèn)題4：有有3個(gè)口袋，每個(gè)口袋都同樣裝有個(gè)口袋，每個(gè)口袋都同樣裝有a,b兩個(gè)小兩個(gè)小球，現(xiàn)依次從這球，現(xiàn)依次從這3個(gè)口袋中各取出一個(gè)小球，共有多個(gè)口袋中各取出一個(gè)小球，共有多少種不同的取法？少種不同的取法？請(qǐng)用分類計(jì)數(shù)原理進(jìn)行分析請(qǐng)用分類計(jì)數(shù)原理進(jìn)行分析種；第一類，三次都不取03,Cb121323,ba CCC第

5、二類，任一次取其他兩次取種，212313,ba CCC第三類，任兩次取其他一次取種，33, b C第四類，全部取種，012333338CCCC即共種.3展開(kāi)后的多項(xiàng)式）請(qǐng)寫(xiě)出（ba3031222333333()abC aC a bC abC b?4展開(kāi)后的多項(xiàng)式）（練習(xí)：誰(shuí)能快速寫(xiě)出將ba44433422243144044)(bCabCbaCbaCaCba322333aa babb432234464babbabaa問(wèn)題問(wèn)題5:)(baba2)(ba探究探究1 1 推導(dǎo)推導(dǎo) 的展開(kāi)式的展開(kāi)式. .2)(ba222bababbabbaaa問(wèn)：?jiǎn)枺汉喜⑼愴?xiàng)前的展開(kāi)式中，共有幾項(xiàng)？合并同類項(xiàng)前的展開(kāi)

6、式中，共有幾項(xiàng)？能利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解釋一下嗎？能利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解釋一下嗎？每項(xiàng)的次數(shù)為幾次？每項(xiàng)的次數(shù)為幾次？)(baba2aab2b項(xiàng)的形式：項(xiàng)的系數(shù)：項(xiàng)的系數(shù)： 12C22C02C)(baba)(babaab分析分析222122022)(bCabCaCba2)(ba展開(kāi)式： 探究探究1 1 推導(dǎo)推導(dǎo) 的展開(kāi)式的展開(kāi)式. .2)(ba12C222bababbabbaaa問(wèn)：合并同類項(xiàng)后的展問(wèn)：合并同類項(xiàng)后的展開(kāi)式中，共有幾項(xiàng)？開(kāi)式中，共有幾項(xiàng)？每項(xiàng)的次數(shù)為幾次？每項(xiàng)的次數(shù)為幾次？展開(kāi)式項(xiàng)的排列方式如展開(kāi)式項(xiàng)的排列方式如何？（按照何？（按照a的降次冪的降次冪還是升次冪排列的？）還是升

7、次冪排列的？）)()(bababa 3aba22ab3b項(xiàng)的形式：項(xiàng)的形式：項(xiàng)的系數(shù)：項(xiàng)的系數(shù)：13C23C33C03C)()(bababa )()(bababa )()(bababa ba2分析分析3332232133033)(bCabCbaCaCba 3)(ba 展開(kāi)式： 探究探究2 2 推導(dǎo)推導(dǎo) 的展開(kāi)式的展開(kāi)式. .3)(ba13C請(qǐng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理請(qǐng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理解釋一下？解釋一下？問(wèn)：合并同問(wèn)：合并同類項(xiàng)后的展類項(xiàng)后的展開(kāi)式中，共開(kāi)式中，共有幾項(xiàng)？有幾項(xiàng)？每項(xiàng)的次數(shù)每項(xiàng)的次數(shù)為幾次？為幾次？展開(kāi)式項(xiàng)的展開(kāi)式項(xiàng)的排列方式如排列方式如何？（按照何？（按照a的降次冪還的降次冪還是升

8、次冪排是升次冪排列的？）列的？）3)(ba 4)(ba2)(ba?)(nba探究探究3 3 仿照上述過(guò)程仿照上述過(guò)程, ,推導(dǎo)推導(dǎo) 的展開(kāi)式的展開(kāi)式. .22212202bCabCaC333223213303bCabCbaCaC4443342224314404bCabCbaCbaCaC4)(ba？展開(kāi)并整理后的多項(xiàng)式）將（nba)(Nn二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理問(wèn)題問(wèn)題6:nnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)( 1)1)公式右邊的多項(xiàng)式叫做公式右邊的多項(xiàng)式叫做( (a+b)a+b)n n的的 ，其中其中 （r=0,1,2,nr=0,1,2,n）叫做）叫做 ；2)2) 叫

9、做二項(xiàng)展開(kāi)式的叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)通項(xiàng)，用，用T Tr+1r+1表示，表示，該項(xiàng)是指展開(kāi)式的第該項(xiàng)是指展開(kāi)式的第 項(xiàng)項(xiàng). .rnC二項(xiàng)展開(kāi)式二項(xiàng)展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)rrnrnbaCr+1r+1nnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)( 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理：)(Nn1rn rrnrabTC即即nrZr0,且2.二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律：二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律：nnnnnCCCC、 2103.指數(shù)規(guī)律：指數(shù)規(guī)律：（1）各項(xiàng)的次數(shù)和均為）各項(xiàng)的次數(shù)和均為n；（2）二項(xiàng)式的第一項(xiàng)）二項(xiàng)式的第一項(xiàng)a的次數(shù)由的次數(shù)由n逐次降到逐次降到0， 第一項(xiàng)第一項(xiàng)b的次數(shù)由的次數(shù)由0逐次逐次升到升到n

10、.1.項(xiàng)數(shù)規(guī)律：項(xiàng)數(shù)規(guī)律：展開(kāi)式共有展開(kāi)式共有n+1項(xiàng)項(xiàng)二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理 )(NnnnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)( 注意：注意：公式中公式中a,b可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、任意實(shí)數(shù)?？梢允菃雾?xiàng)式、多項(xiàng)式、任意實(shí)數(shù)。項(xiàng)數(shù)：項(xiàng)數(shù)：次數(shù)：次數(shù)：共有共有n1項(xiàng)項(xiàng) 各項(xiàng)的次數(shù)都等于各項(xiàng)的次數(shù)都等于n， 字母字母a按按降冪降冪排列排列，次數(shù)由次數(shù)由n遞減到遞減到0 , 字母字母b按按升冪升冪排列排列，次數(shù)由次數(shù)由0遞增到遞增到n .二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理:一般地，對(duì)于一般地，對(duì)于n N N* *，有：，有：nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba 110)(二項(xiàng)

11、展開(kāi)式的結(jié)構(gòu)特征：二項(xiàng)展開(kāi)式的結(jié)構(gòu)特征：展開(kāi)式中項(xiàng)的排列方式如何？展開(kāi)式中項(xiàng)的排列方式如何？這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，很顯然二項(xiàng)式定理是研這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，很顯然二項(xiàng)式定理是研究形如究形如 的展開(kāi)式問(wèn)題。的展開(kāi)式問(wèn)題。nba)( 式中 叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，kknknbaC二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理:一般地，對(duì)于一般地，對(duì)于n N N* *，有：，有：nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba 110)(kknknkbaCT1即（即（2）二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)）二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng):即（即（1）二項(xiàng)式系數(shù)）二項(xiàng)式系數(shù):)3 , 2 , 1 , 0( ,nkCkn把各項(xiàng)的系數(shù) 叫做二項(xiàng)式系數(shù))3 ,

12、 2 , 1 , 0( ,nkCkn為展開(kāi)式的第k+1項(xiàng)，用 表示1kT二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克由艾薩克牛頓牛頓于于1664-16651664-1665年間提年間提出出二項(xiàng)式定理在組合理論、開(kāi)高次方、二項(xiàng)式定理在組合理論、開(kāi)高次方、高階等差數(shù)列求和，以及差分法中高階等差數(shù)列求和，以及差分法中都有廣泛的應(yīng)用都有廣泛的應(yīng)用 定理應(yīng)用，定理應(yīng)用， 初步體驗(yàn)初步體驗(yàn) 練習(xí)：nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba 110)(5)2(x5554453235232541550522222xCxCxCxCxCC54321040808032xxxxx那

13、么對(duì)于 的展開(kāi)式呢？5)2(x55)(2)2(xx析：?jiǎn)枺赫归_(kāi)式中第四項(xiàng)為？第四項(xiàng)的系數(shù)為？第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為？項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為：為：二項(xiàng)式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積二項(xiàng)式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積注意：注意：區(qū)別區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)與與項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù)的概念的概念二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)為為典例導(dǎo)航典例導(dǎo)航1例（1）請(qǐng)寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)。（2）求展開(kāi)式的第4項(xiàng)。（3）請(qǐng)指出展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)。（4）求展開(kāi)式中含 的項(xiàng)。的展開(kāi)式中在5)12(xx 3x的展開(kāi)式中在7)21(x求第4項(xiàng)，并指出它的二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)是什么？鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)（3 3）用）用-b-b代替代替b b ：（1 1）令）令a

14、=1a=1，b=xb=x：01(1 1)nrnnnnnCCCC（2 2）令）令a=1a=1，b=1b=1：（二項(xiàng)式系數(shù)和公式）（二項(xiàng)式系數(shù)和公式）nnnrrnnnnnxCxCxCxCxCx221001nnnrrnrnrnnnnnnnbaCbaCbaCbaCbaCba022211001四、理論遷移（一）四、理論遷移（一）法二：先化簡(jiǎn)法二：先化簡(jiǎn)通項(xiàng)通項(xiàng)，后展開(kāi)，后展開(kāi)法一：直接展開(kāi)法一：直接展開(kāi) 例例1 1 （1 1）求）求 的展開(kāi)式的展開(kāi)式. .71xx（2 2）求）求 的展開(kāi)式的第的展開(kāi)式的第4 4項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù). .71xx（3 3）求）求 的展開(kāi)式中的展開(kāi)式中x x的二項(xiàng)式系數(shù)的二項(xiàng)式

15、系數(shù). .71xx注：注：一個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式的某一項(xiàng)的一個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式的某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)與與這一這一項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念。是兩個(gè)不同的概念?；顚W(xué)活用（一）活學(xué)活用（一）2122444134324214124244411612123222222121121xxxxxCxCCxCxxxxCxxCTrrrrrrrrr解：2321222422123xCTT四、理論遷移（二）四、理論遷移（二）總結(jié)：總結(jié)：逆用逆用二項(xiàng)式定理可以二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)多項(xiàng)式，多項(xiàng)式，體現(xiàn)的是整體思想注意分析已知多項(xiàng)式的體現(xiàn)的是整體思想注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn)，向二項(xiàng)展開(kāi)式的形式靠攏特點(diǎn)，向二項(xiàng)展開(kāi)式的形式靠攏 活學(xué)活用（二）活學(xué)活用（二）1.1.二項(xiàng)式定理：二項(xiàng)式定理：2 2典型例題典型例題(2)(2) 求求二項(xiàng)展開(kāi)式的第幾項(xiàng)及其系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)。二項(xiàng)展開(kāi)式的第幾項(xiàng)及其系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)。( (3)3) 求二項(xiàng)展開(kāi)式中含求二項(xiàng)展開(kāi)式中含x的幾次方的項(xiàng)的問(wèn)題。的幾次方的項(xiàng)的問(wèn)題。課堂小結(jié)課堂小結(jié)nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba 110)(2)(2)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：kknknkbaCT1(1)(1)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)：)3 , 2 , 1 , 0( ,nkCkn(1)(1) 求形如求形如 的展開(kāi)式問(wèn)題。的展開(kāi)式問(wèn)題。nba)( 方法方法直接