_多元函數(shù)的基本概念

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分1推廣推廣第九章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: 善于類(lèi)比善于類(lèi)比, 區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分2第一節(jié)一、區(qū)域一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分3 )(0oPPUPP 00一、一、 區(qū)域區(qū)域1. 鄰域鄰域點(diǎn)集, ),(0PPU稱(chēng)為點(diǎn) P0 的 鄰域鄰域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxP

2、U(圓鄰域)在空間中, ),(),(0zyxPU(球鄰域)說(shuō)明：說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫(xiě)成. )(0PU點(diǎn) P0 的去心鄰域去心鄰域記為PP 0yyxx2020)()(zzyyxx202020)()()(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分4在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?(),(),0yxPU。0P因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.,0 xxyy0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分52. 區(qū)域區(qū)域(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)

3、點(diǎn) P 的任一任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 EE則稱(chēng) P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)；則稱(chēng) P 為 E 的外點(diǎn)外點(diǎn) ;則稱(chēng) P 為 E 的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) .的外點(diǎn) ,顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分6(2) 聚點(diǎn)聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的 , ,點(diǎn)P 的去心),PU(E鄰域內(nèi)總有E 中的點(diǎn) , 則稱(chēng) P 是 E 的聚點(diǎn)聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為 E 的導(dǎo)集導(dǎo)集 .E 的邊界點(diǎn) )目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微

4、積分7D(3) 開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng) E 為開(kāi)集； 若點(diǎn)集 E E , 則稱(chēng) E 為閉集； 若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱(chēng)為閉區(qū)域.則稱(chēng) D 是連通的 ; 連通的開(kāi)集稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域 ,簡(jiǎn)稱(chēng)區(qū)域 ;。 。 E 的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為 E 的邊界, 記作E ;目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分8例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域xyOxy21OxyOxy21O目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分9 整個(gè)平面 點(diǎn)集 1),(xyx是開(kāi)集

5、， 是最大的開(kāi)域 , 也是最大的閉域 ;但非區(qū)域 .11 對(duì)區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn) PD 與某定 點(diǎn) A 的距離 AP K , 則稱(chēng) D 為有界域有界域 ， 為無(wú)無(wú)界域界域 .否則稱(chēng)xyO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分10*3. n 維空間維空間n 元有序數(shù)組),(21nxxx的全體所構(gòu)成的集合記作,Rn即RRRRnnkxxxxkn,2, 1,),(21R中的每一個(gè)元素用單個(gè)粗體字母 x 表示, 即nR),(21nxxxxnR定義了線性運(yùn)算的定義:),(21nxxxxR,R),(),(2121nnnyyyxxxyx任給),(2211nnyxyxyxyx線性運(yùn)算

6、其元素稱(chēng)為點(diǎn)或 n 維向量. xi 稱(chēng)為 x 的第 i 個(gè)坐標(biāo) 或 第 i 個(gè)分量. .R)0, 0, 0(中的坐標(biāo)原點(diǎn)或零向量稱(chēng)為零元n0 0稱(chēng)為 n 維空間, 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分11記作的距離距離定義為2211)()(nnyxyx中點(diǎn) a 的 鄰域鄰域?yàn)?,(1nyy yxUn),(,R),(axxa),(R1nnxx x中兩點(diǎn)yxyx或),(),(,21nxxxx點(diǎn)特別與零元 0 的距離為22221nxxxx.,3, 2, 1xx 通常記作時(shí)當(dāng)n, 0Raxx滿足與定元中的變?cè)猘n. ax 記作nR則稱(chēng) x ), 2, 1(nkaxkk ax),(21naaaa

7、設(shè)顯然趨于a ,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分12二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng),2hrV ,(為常數(shù)）RVTRp 0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVhr目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分13定義定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集,nDRDPPfu, )(或點(diǎn)集 D 稱(chēng)為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集DP,Pfuu)(稱(chēng)為函數(shù)的值域值域 .特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù)2),(),(RDyxyxfz當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù)3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :稱(chēng)為定義在 D 上的 n 元

8、函數(shù)元函數(shù) , 記作),(21nxxxfu目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分14xzy例如, 二元函數(shù)221yxz定義域?yàn)?),(22 yxyx圓域說(shuō)明說(shuō)明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面 .12),(Ryx三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域?yàn)?),(222zyxzyx圖形為4R空間中的超曲面.單位閉球xyzOOO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分15三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限定義定義2. 設(shè) n 元函數(shù),(nDPPfR),點(diǎn) , ),(0PUDP,)

9、(APf則稱(chēng) A 為函數(shù)(也稱(chēng)為 n 重極限)當(dāng) n =2 時(shí), 記20200)()(yyxxPP二元函數(shù)的極限可寫(xiě)作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常數(shù) A ,對(duì)一記作，時(shí)的極限當(dāng)0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分16例例1. 設(shè))0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求證:.0),(lim00yxfyx證證:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,00),( yxf,022時(shí)當(dāng)yx22yx 222yx ,總有 要證 目錄 上頁(yè)

10、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分17例例2. 設(shè)0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求證：.0),(lim00yxfyx證：證：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 時(shí)，當(dāng)yx220 xyyx11sinsin總有 2 要證 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分18 若當(dāng)點(diǎn)),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點(diǎn) (0, 0) 的極限.),(

11、yxf故則可以斷定函數(shù)極限則有21kkk 值不同極限不同 !在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于,),(000時(shí)yxP不存在 .例例3. 討論函數(shù)函數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分19例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1 (4limrrr此函數(shù)定義域不包括 x , y 軸,222yxr令則62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r24r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積

12、分20僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在.注注. 二重極限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它們都存在, 則三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在 .例3目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分21四、四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3 . 設(shè) n 元函數(shù))(Pf定義在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在點(diǎn)如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù),

13、則稱(chēng)此函數(shù)在 D 上連續(xù).,0DP 聚點(diǎn)如果否則稱(chēng)為不連續(xù),0P此時(shí)稱(chēng)為間斷點(diǎn) .則稱(chēng) n 元函數(shù)連續(xù), 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分22例如例如, 函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在, 又如又如, 函數(shù)11),(22yxyxf上間斷.122 yx 故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分23定理定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm* (4) f (P) 必在D 上一致連續(xù) .;,)(D

14、PKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對(duì)任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致連續(xù)性定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類(lèi)似的如下性質(zhì):目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分24.11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函數(shù)的連續(xù)域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2Oyx21111 yxyx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分25內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 區(qū)域

15、鄰域 :, ),(0PU),(0PU 區(qū)域連通的開(kāi)集 空間nR2. 多元函數(shù)概念n 元函數(shù)),(21nxxxf常用二元函數(shù) (圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)DP)(Pfu nR目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分26APfPP)(lim0,0,0時(shí)，當(dāng)PP 00有APf)(3. 多元函數(shù)的極限4. 多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P61 題 2; 4; 5 (3), (5) ( 畫(huà)圖 ) ; 8P129 題 3; *4思考與練習(xí)思考與練習(xí)目錄

16、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分27解答提示解答提示: :P61 題 2. ),(),(2yxftytxtf稱(chēng)為二次齊次函數(shù) .P61 題 4.xyxyxyxyxyxyxf2)()(),(P61 題 5(3).定義域 0:yyxDP61 題 5(5).定義域22222:RzyxrD2xy DyxORxyoDrzO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分28P62 題 8.間斷點(diǎn)集02),(2 xyyxP129 題 3. 定義域104:222yxxyD240422001limlimxkxkyxyxxyx)0,21(),(lim021fyxfyx43ln2P129 題 *4. 令 y=

17、 k x ，0若令xy 42200limyxyxyx212202limxxxDxy42yx1, 則 可見(jiàn)極限不存在目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分29備用題備用題1. 設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分301 .設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)微積分31yxyxyx200limxxxx320lim