第4章_多自由度系統(tǒng)振動(dòng)(d)

1、2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)3多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)4小結(jié)：小結(jié)：固有頻率固有頻率多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/固有頻率固有頻率M 正定，正定，K 正定正定主振動(dòng)：主振動(dòng)：正定系統(tǒng)：正定系統(tǒng)：0KXXM nRX)sin(tX代入振動(dòng)方程：代入振動(dòng)方程： 0)(2MK有非零解的充分必要條件：有非零解的充分必要條件：0MK2特征方程特征方程 021)1(212nnnnaaa頻率方程或特征多項(xiàng)式頻率

2、方程或特征多項(xiàng)式1最小的固有頻率：最小的固有頻率： 為基頻。為基頻。0XXFM 自由振動(dòng)的位移方程：自由振動(dòng)的位移方程：主振動(dòng)：主振動(dòng)： )sin(tX代入，得：代入，得： 0IFM)(特征方程：特征方程： 0IFM2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)5多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)模態(tài)0MK)(2特征值特征值特征向量特征向量（固有頻率）（固有頻率）（模態(tài)）（模態(tài)） 在特征向量中規(guī)定某個(gè)元素的值以確定其他各元素的值的過(guò)在特征向量中規(guī)定某個(gè)元素的值以確定其他各元素的值的過(guò)程稱為程稱為歸一化歸一化 。描述了系統(tǒng)做第描述了系統(tǒng)做第 i 階主振動(dòng)時(shí)具有

3、的振動(dòng)形態(tài)，稱為階主振動(dòng)時(shí)具有的振動(dòng)形態(tài)，稱為第第 i 階階主振型主振型，或，或第第 i 階模態(tài)。階模態(tài)。)(i 主振動(dòng)僅取決于系統(tǒng)的主振動(dòng)僅取決于系統(tǒng)的 M 陣、陣、K 陣等物理參數(shù)。陣等物理參數(shù)。)(iadjB的任一非零列都是第的任一非零列都是第 i 階主振動(dòng)階主振動(dòng))(i0MK)(2)(ii比較：比較：0)()(2iiadjBMK因?yàn)橛校阂驗(yàn)橛校盒〗Y(jié)：小結(jié)：模態(tài)模態(tài)特征值問(wèn)題：特征值問(wèn)題：2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)6 模態(tài)的正交性，主質(zhì)量和主剛度模態(tài)的正交性，主質(zhì)量和主剛度)(ii)( jj兩式相減：兩式相減：)(2)()(2)(jjjiiiMKMK)()(2)()(jTiijTiMK

4、)( j轉(zhuǎn)置右乘轉(zhuǎn)置右乘Ti)(左乘左乘)()(2)()(jTijjTiMK0)()()(22 jTijiMji ji若若 時(shí)，時(shí)， 0)()( jTiM0)()( jTiK模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性均滿足：均滿足：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度當(dāng)當(dāng) ij 時(shí)時(shí)piiTim )()(MpiiTik )()(K第第 i 階模態(tài)主質(zhì)量階模態(tài)主質(zhì)量第第 i 階模態(tài)主剛度階模態(tài)主剛度)(i第第 i 階主模態(tài)階主模態(tài)恒成立恒成立2()KM02022年5月

5、17日振動(dòng)力學(xué)7 00)()()()(jTijTiKM模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性當(dāng)當(dāng) ij 時(shí)時(shí)piiTim )()(M主質(zhì)量主質(zhì)量piiTik )()(K主剛度主剛度ji 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)利用利用 Kronecker 符號(hào)：符號(hào)： piijjTipiijjTikm)()()()(KMjijiij01第第 i 階固有頻率：階固有頻率：)1(nimkpipii 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度( )( )2( )( )i Tji TjiKM2022年5月

6、17日振動(dòng)力學(xué)8主模態(tài)主模態(tài)：)()(iTipimM )()(iTipikK 第第 i 階模態(tài)主質(zhì)量階模態(tài)主質(zhì)量第第 i 階模態(tài)主剛度階模態(tài)主剛度)(i第第 i 階主模態(tài)階主模態(tài)多自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)：0KXXM nR XnnRKM、ni1另一種模態(tài)：另一種模態(tài)：正則模態(tài)正則模態(tài)定義：全部主質(zhì)量皆為定義：全部主質(zhì)量皆為1的主模態(tài)的主模態(tài) )(iN1)()( iNTiNpimMni1)()(iiiNc令：令：12)()(2)()( piiiTiiiNTiNmccMM)()(1ipiiNm 正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系：正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系：)(iN相對(duì)于相對(duì)于 的主剛度：的主剛度：2)(

7、)()()(1ipipiiTipiiNTiNmkm KKpiimc1 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)9正則模態(tài)的正交性條件：正則模態(tài)的正交性條件：2)()()()(iijjNTiNijjNTiNKMjijiij01 piijjTipiijjTikm)()()()(KM主模態(tài)的正交性條件：主模態(tài)的正交性條件：)()(iTipimM )()(iTipikK 第第 i 階模態(tài)主質(zhì)量階模態(tài)主質(zhì)量第第 i 階模態(tài)主剛度階模態(tài)主剛度)(i第第 i 階主模態(tài)階主模態(tài)主模態(tài)：主模態(tài)：n

8、i11)()(iNTiNM2)()(iiNTiNK主質(zhì)量為主質(zhì)量為1固有頻率的平方固有頻率的平方)(iN第第 i 階正則模態(tài)階正則模態(tài)正則模態(tài)：正則模態(tài)：ni1多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)10多自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)：0KXXM nR XnnRKM、主模態(tài)主模態(tài))1()(nii將將 組成矩陣組成矩陣模態(tài)矩陣模態(tài)矩陣)()1(n nnR ppnpTppnpTkkdiagmmdiagKKMM),(),(11主質(zhì)量矩陣主質(zhì)量矩陣主剛度矩陣主剛度矩陣 piijjTipiij

9、jTikm)()()()(KMni1正交性條件：正交性條件：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度對(duì)角陣對(duì)角陣2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)11)()1 ()()1 (nTnTMM ppnpTmmdiagMM ),(1推導(dǎo)：推導(dǎo)：)()1()()1(nTnTM )()1()()1(nTnT MM )()()1()()()1()1()1(nTnTnnTTMMMM pnpmm001多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度對(duì)角

10、陣對(duì)角陣2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)12多自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)：0KXXM nR XnnRKM、正則模態(tài)正則模態(tài))1()(niiN將將 組成矩陣組成矩陣正則模態(tài)矩陣正則模態(tài)矩陣)()1(nNNN nnRKIMNTNNTN單位矩陣單位矩陣譜矩陣譜矩陣ni1正交性條件：正交性條件：2)()()()(iijjNTiNijjNTiNKM221n多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)13多自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)：0KXXM nRXnnRKM、)(2)(iiiMK特征值問(wèn)題：特征值問(wèn)

11、題：依次取依次取 ，得到的，得到的 n 個(gè)方程，可合寫為：個(gè)方程，可合寫為：ni1 piijjTipiijjTikm)()()()(KMni1主模態(tài)正交性條件：主模態(tài)正交性條件：MK 左乘左乘 ：TppMK ppKM1多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)14例：三自由度系統(tǒng)例：三自由度系統(tǒng)111,101,121)3()2()1( 111102111,)3()2()1(模態(tài)矩陣：模態(tài)矩陣：kkkTp1200060006KK mmmTp300020006MM主質(zhì)量矩陣：主質(zhì)量矩陣

12、：主剛度矩陣：主剛度矩陣： Kp、Mp非對(duì)角線項(xiàng)等于零非對(duì)角線項(xiàng)等于零說(shuō)明主振型是關(guān)于剛度陣及質(zhì)量說(shuō)明主振型是關(guān)于剛度陣及質(zhì)量陣相互正交的陣相互正交的. mkmkmkpp400030001KMmkmkmk43232221譜矩陣：譜矩陣：2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度2022年5月17日振動(dòng)力)3()2()1(模態(tài)矩陣：模態(tài)矩陣：kkkTp1200060006KK mmmTp300020006MM主質(zhì)量矩陣：主質(zhì)量矩陣：主剛度矩陣：主剛度矩陣：

13、mkmkmkpp400030001KM譜矩陣：譜矩陣：)()(1ipiiNm 正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系：正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系： 23120223161,3)3(2)2(1)1(mmmmpppN正則模態(tài)矩陣：正則模態(tài)矩陣：KNTNIMNTN不難驗(yàn)證，有：不難驗(yàn)證，有： 2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)16小結(jié)：小結(jié)：模態(tài)的正交性，主質(zhì)量和主剛度模態(tài)的正交性，主質(zhì)量和主剛度多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由

14、度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/正交性，主質(zhì)量和主剛度正交性，主質(zhì)量和主剛度ji 若若 時(shí)，時(shí)， 0)()( jTiM0)()( jTiK模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性當(dāng)當(dāng) ij 時(shí)，時(shí)，piiTim )()(MpiiTik )()(K第第 i 階模態(tài)主質(zhì)量階模態(tài)主質(zhì)量第第 i 階模態(tài)主剛度階模態(tài)主剛度第第 i 階固有頻率：階固有頻率：)1(nimkpipii 正則模態(tài)：全部主質(zhì)量皆為正則模態(tài)：全部主質(zhì)量皆為1；)()(1ipiiNm 正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系：正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系：)(iN相對(duì)于相對(duì)于 的主剛度：的主剛度：( )( )2i TiNN

15、iK2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)17 模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法回顧：回顧：耦合與坐標(biāo)變換耦合與坐標(biāo)變換質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)耦合項(xiàng)稱為質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)耦合項(xiàng)稱為慣性耦合。慣性耦合。剛度矩陣或柔度矩陣中出現(xiàn)耦合項(xiàng)稱為剛度矩陣或柔度矩陣中出現(xiàn)耦合項(xiàng)稱為彈性耦合。彈性耦合。 同一個(gè)系統(tǒng)選擇兩種不同的坐標(biāo)同一個(gè)系統(tǒng)選擇兩種不同的坐標(biāo)X 和和Y 有變換關(guān)系：有變換關(guān)系：TYX PKXXM PTKTYTYMTTTTT 2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)18 模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法)(i)1(ni 模態(tài)模態(tài)相互正交相互正交.

16、表明它們是線性獨(dú)立的，可用于構(gòu)成表明它們是線性獨(dú)立的，可用于構(gòu)成 n 維空間的基。維空間的基。 系統(tǒng)的任意系統(tǒng)的任意 n 維自由振動(dòng)可唯一地表示為各階模態(tài)的線性組合。維自由振動(dòng)可唯一地表示為各階模態(tài)的線性組合。 nipiix1)(X即系統(tǒng)的振動(dòng)為即系統(tǒng)的振動(dòng)為 n 階主振動(dòng)的疊加階主振動(dòng)的疊加模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法 Tnxx1X物理坐標(biāo)物理坐標(biāo)Tpnppxx1X主模態(tài)坐標(biāo)主模態(tài)坐標(biāo)pXX nnnR )()1(模態(tài)矩陣模態(tài)矩陣nRX1)( niR坐標(biāo)關(guān)系：坐標(biāo)關(guān)系：pTMM pTKK 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法PKXXM

17、 PTKTYTYMTTTTT 2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)19另一種模態(tài)坐標(biāo)：正則模態(tài)坐標(biāo)另一種模態(tài)坐標(biāo)：正則模態(tài)坐標(biāo)Tnxx1X物理坐標(biāo)物理坐標(biāo)NXniNiiNNNx1)(XXTNnNNxx1X系統(tǒng)響應(yīng)：系統(tǒng)響應(yīng)：nnnNNNR )(1)正則模態(tài)矩陣正則模態(tài)矩陣IM NTNK NTN多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)20小結(jié)：小結(jié)：多自由度系統(tǒng)：多自由度系統(tǒng)：0KXXM nRXnnRKM、可采用兩類模態(tài)坐標(biāo)進(jìn)行描述：可采用兩類模態(tài)坐標(biāo)進(jìn)行描述：主模態(tài)坐標(biāo)主模態(tài)坐標(biāo)正則模態(tài)坐標(biāo)正則模態(tài)坐標(biāo)nipi

18、ipx1)(XXTpnppxx1XpTMM pTKK )()1(n )(1)nNNN TNnNNxx1XniNiiNNNx1)(XXIM NTNK NTN多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)21求解無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)求解無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)可分別采用兩類模態(tài)坐標(biāo)進(jìn)行求解?？煞謩e采用兩類模態(tài)坐標(biāo)進(jìn)行求解。首先采用主模態(tài)坐標(biāo)：首先采用主模態(tài)坐標(biāo)：自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nRXnnRKM、Tnxxx)0(,),0(),0(210 XTnxxx)0(

19、,),0(),0(210 XpTMM pTKK pXX 坐標(biāo)變換：坐標(biāo)變換：pX：主模態(tài)坐標(biāo)：主模態(tài)坐標(biāo)：主模態(tài)矩陣：主模態(tài)矩陣0KXM pTpTX 代入，并左乘代入，并左乘 ：T0XKXM pppp 模態(tài)坐標(biāo)初始條件：模態(tài)坐標(biāo)初始條件：01)0(XXp01)0(XXpTpnpppxxx)0(,),0(),0(210 XTpnpppxxx)0(,),0(),0(210 X多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法IM NTN0TN MX2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)22自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： 00)0()0(XXXX0KXXM

20、，nR XnnRKM、pXX 坐標(biāo)變換：坐標(biāo)變換： 0101)0()0(XXXX0XKXM pppppp，)1(, 0nixkxmpipipipi Tpnpppxxx)0()0(),0(210XTpnpppxxx)0()0(),0(210X)1(,sin)0(cos)0(nitxtxxiipiipipi 在求得在求得 后，可利用后，可利用 式求得原系統(tǒng)的解。式求得原系統(tǒng)的解。 )1(nixpipXX 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)23求解無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)求解無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)

21、采用正則模態(tài)坐標(biāo)采用正則模態(tài)坐標(biāo):自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nR XnnRKM、Tnxxx)0(,),0(),0(210 XTnxxx)0(,),0(),0(210 XIM NTNK NTNNNXX 坐標(biāo)變換：坐標(biāo)變換：NX：正則模態(tài)坐標(biāo)：正則模態(tài)坐標(biāo)N ：正則模態(tài)矩陣：正則模態(tài)矩陣.0XKXMNTNNTN 代入，并左乘代入，并左乘 ：TN0XXINN 模態(tài)坐標(biāo)初始條件：模態(tài)坐標(biāo)初始條件：01)0(XXNN01)0(XXNNTNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 XTNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 X多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系

22、統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)24自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程： 00)0()0(XXXX0KXXM ，nRXnnRKM、NNXX 坐標(biāo)變換：坐標(biāo)變換：0101)0()0(XXXX0XXI NNNNNN，)1(, 02nixxNiiNi )1(,sin)0(cos)0(nitxtxxiiNiiNiNi 在求得在求得 后，可利用后，可利用 式求得原系統(tǒng)的解式求得原系統(tǒng)的解 。)1(nixNi NNXX TNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 XTNnNNNxxx)0(,),0(),0(210 X多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多

23、自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)25例：三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)例：三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)T0220 XT0000 X求：系統(tǒng)在初始條件下的響應(yīng)。求：系統(tǒng)在初始條件下的響應(yīng)。2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)26T0220 XT0000 X2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)解：解：動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程： 00030

24、203000000321321xxxkkkkkkkxxxmmm 23120223161mN03266/) 0 (01mNNXX000) 0 (01XXNN模態(tài)初始條件：模態(tài)初始條件：正則模態(tài)矩陣：正則模態(tài)矩陣：mk /23 mk /32 mk /1 固有頻率：固有頻率：2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)272kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 00030203000000321321xxxkkkkkkkxxxmmm 23120223161mNTNNm 0326 6/) 0 (01 XXTNN 000 ) 0 (01 XX32

25、1NNNNxxxX模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)：模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)：mk /23 mk /32 mk /1 txtxxiiNiiNiNisin)0(cos)0(0cos32cos6621ttm2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)28多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)0cos32cos6621321ttmxxxNNNNX原系統(tǒng)響應(yīng)：原系統(tǒng)響應(yīng)：)()()()(321txtxtxtX23120223161mNmk /23 mk /32 mk /1 ttttt21121coscoscos2coscos0cos32cos662312022316121ttmmNNX2022年5月17日

26、振動(dòng)力學(xué)29多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)0cos32cos6621321ttmxxxNNNNX也可展開(kāi)求解：也可展開(kāi)求解：NNtXX)(23120223161mN321)3()2() 1 (NNNNNNxxx31)(iNiiNx)()()()(321txtxtxtXttttt21121coscoscos2coscosNNX0622261)cos32(630361cos6612161 21mmtmmtmm3)3(2)2(1) 1 (NNNNNNxxx合并后結(jié)果完全一樣合并后結(jié)果完全一樣2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)30分析：分析： 231202

27、23161mN0622261)cos32(630361cos6612161 213)3(2)2(1) 1 (31)(mmtmmtmmxxxxNNNNNNiNiiNNNXX 0cos32cos6621321ttmxxxNNNNX多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第第1階模態(tài)響應(yīng)階模態(tài)響應(yīng)第第2階模態(tài)響應(yīng)階模態(tài)響應(yīng)第第 3 階階模態(tài)響模態(tài)響應(yīng)應(yīng)第第1階模態(tài)階模態(tài)第第2階模態(tài)階模態(tài)第第3階模態(tài)階模態(tài)2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)31分析：分析：0622261)cos32(630361cos6612161)()()(21321mmtmmtmmtxtxtx多

28、自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)為各階模態(tài)響應(yīng)的疊加系統(tǒng)響應(yīng)為各階模態(tài)響應(yīng)的疊加第第1階模態(tài)響應(yīng)階模態(tài)響應(yīng)第第2階模態(tài)響應(yīng)階模態(tài)響應(yīng)第第 3 階階模態(tài)響模態(tài)響應(yīng)應(yīng)第第1階模態(tài)階模態(tài)第第2階模態(tài)階模態(tài)第第3階模態(tài)階模態(tài)第第1階模態(tài)主振動(dòng)階模態(tài)主振動(dòng)第第2階模態(tài)主振動(dòng)階模態(tài)主振動(dòng)第第3階模態(tài)主振動(dòng)階模態(tài)主振動(dòng)（以（以 1為振動(dòng)頻率）為振動(dòng)頻率）（以（以 2為振動(dòng)頻率）為振動(dòng)頻率）（以（以 3為振動(dòng)頻率）為振動(dòng)頻率）決定各質(zhì)量每一時(shí)刻決定各質(zhì)量每一時(shí)刻位移的相對(duì)比值位移的相對(duì)比值2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)32小結(jié)小結(jié): 模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法物

29、理空間物理空間0KXXM 耦合耦合主模態(tài)空間主模態(tài)空間pXX pXX 0 pipipipixkxm 解耦解耦物理空間物理空間0KXXM 耦合耦合正則模態(tài)空間正則模態(tài)空間NNXX NNXX 02 NiiNixx 解耦解耦多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)33隨堂測(cè)試：隨堂測(cè)試：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)如圖所示量自由度系統(tǒng)。如圖所示量自由度系統(tǒng)。 系統(tǒng)存在初始條件：系統(tǒng)存在初始條件： 0210)0()0(xxx00)0()0(21xx試采用模態(tài)

30、疊加法求解系統(tǒng)響應(yīng)。試采用模態(tài)疊加法求解系統(tǒng)響應(yīng)。 2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)34解：解：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程為：運(yùn)動(dòng)微分方程為： 0022002121xxkkkkxxmm 令主振動(dòng)：令主振動(dòng)： )sin(2121txx或直接用或直接用 0MK)(200222122mkkkmk有：有：2km令令 00211221021123, 121123,kkmm為求主振型，依次將為求主振型，依次將 代入代入 ,得到：得到：11)1(11)2(即有模態(tài)矩陣：即有模態(tài)矩陣： 1111頻率：頻率：根據(jù)：根據(jù)：2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)

31、35 模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)/模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法回顧：回顧：耦合與坐標(biāo)變換耦合與坐標(biāo)變換 同一個(gè)系統(tǒng)選擇兩種不同的坐標(biāo)同一個(gè)系統(tǒng)選擇兩種不同的坐標(biāo)X 和和Y 有變換關(guān)系：有變換關(guān)系：TYX PKXXM PTKTYTYMTTTTT 如果恰巧如果恰巧Y 是主坐標(biāo)：是主坐標(biāo)：MTTTKTTT對(duì)角陣對(duì)角陣這樣的這樣的T 物理上物理上是否存在？是否存在？2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)36解：解：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程為：運(yùn)動(dòng)微分方程為： 00220021

32、21xxkkkkxxmm 123,kkmm有模態(tài)矩陣：有模態(tài)矩陣： 1111頻率：頻率：pXX 坐標(biāo)變換：坐標(biāo)變換：00600220022121ppppxxkkxxmm 模態(tài)空間的初始條件為模態(tài)空間的初始條件為 01121021211111(0)(0)1 1222pxxxxXXxxxx 10(0)(0)0pXX 系統(tǒng)存在初始條件：系統(tǒng)存在初始條件： 0210)0()0(xxx00)0()0(21xxpTMM pTKK 2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)37解：解：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程為：運(yùn)動(dòng)微分方程為： 0022002121x

33、xkkkkxxmm 123,kkmm有模態(tài)矩陣：有模態(tài)矩陣： 1111頻率：頻率：模態(tài)空間的初始條件為模態(tài)空間的初始條件為 2/2/02/12/12/12/1)0()0(0001xxxXXp10(0)(0)0pXX tmkxtxxtmkxtxxpppp3cos2cos)0(cos2cos)0(02220111)3cos(cos2)3cos(cos200tmktmkxtmktmkxXXp所以有：所以有： )1(,sin)0(cos)0(nitxtxxiipiipipi 2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)38 模態(tài)截?cái)喾B(tài)截?cái)喾?對(duì)對(duì)自由度數(shù)自由度數(shù) n 很大很大的復(fù)雜振動(dòng)系統(tǒng)，不可能求出全部的的復(fù)雜

34、振動(dòng)系統(tǒng)，不可能求出全部的固有頻率和相應(yīng)的主振型，然后用模態(tài)疊加法分析系統(tǒng)固有頻率和相應(yīng)的主振型，然后用模態(tài)疊加法分析系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)。對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)。 當(dāng)激勵(lì)頻率主要包含低頻成分時(shí)當(dāng)激勵(lì)頻率主要包含低頻成分時(shí)，可以撇去高階振型及，可以撇去高階振型及固有頻率對(duì)響應(yīng)的貢獻(xiàn)，而只利用較低的前面若干階固固有頻率對(duì)響應(yīng)的貢獻(xiàn)，而只利用較低的前面若干階固有頻率及主振型近似分析系統(tǒng)響應(yīng)。有頻率及主振型近似分析系統(tǒng)響應(yīng)。多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)模態(tài)截?cái)喾B(tài)截?cái)喾ɑ蚧蛘裥徒財(cái)喾ㄕ裥徒財(cái)喾╪ipii1)(XXripii1)(XX截?cái)嗲埃航財(cái)嗲埃航財(cái)嗪螅航財(cái)嗪螅簄r 2022年5月17日振動(dòng)力學(xué)39n 自由度系統(tǒng)自由度系統(tǒng) )()2()1(*r 將前將前 r 階模態(tài)階模態(tài) 中組成的截?cái)嗄B(tài)矩陣記為中組成的截?cái)嗄B(tài)矩陣記為: )1()(rir rnR 截?cái)嗟闹髻|(zhì)量矩陣和主剛度矩陣截?cái)嗟闹髻|(zhì)量矩陣和主剛度矩陣 MMTp KKTp 截?cái)嗲敖財(cái)嗲?KKTp *MMTp 主質(zhì)量主質(zhì)量主剛度主剛度截?cái)嗪蠼財(cái)嗪髇nR rrR nnR rrR *pM*pK分別為前分別為前 r 個(gè)主質(zhì)量和主剛度排成的個(gè)主質(zhì)量和主剛度排成