圖像增強(qiáng)頻率域PPT教案

1、圖像增強(qiáng)頻率域圖像增強(qiáng)頻率域4.1 4.1 圖像變換概述圖像變換概述一幅靜止圖像，可以在一幅靜止圖像，可以在空間域空間域描述，也可以在描述，也可以在頻率域頻率域描述。描述。空間域描述是指：像素的值是空間坐標(biāo)的函數(shù)?？臻g域描述是指：像素的值是空間坐標(biāo)的函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中，一幅圖像可表示為：在直角坐標(biāo)系中，一幅圖像可表示為： f ( x , y ) , 0 xM, 0yN 其中，其中， f ( x , y )為為 ( x , y ) 處的像素的值，如灰度。處的像素的值，如灰度。 M、 N分別為圖像的寬、高。分別為圖像的寬、高。 人們觀察到的圖像一般都是空域描述的。此前討論的都是空間域人們觀察到的

2、圖像一般都是空域描述的。此前討論的都是空間域描述的圖像。描述的圖像。 本章將討論在頻率域描述圖像，并在頻率域?qū)崿F(xiàn)圖像的平滑與銳化。本章將討論在頻率域描述圖像，并在頻率域?qū)崿F(xiàn)圖像的平滑與銳化。4.1.1 4.1.1 基本概念基本概念第1頁/共52頁4.1. 2 頻域描述頻域描述（1）概念）概念 用一系列頻率的用一系列頻率的二維正弦波二維正弦波去測(cè)量圖像，分別求出圖像內(nèi)容沿空間位去測(cè)量圖像，分別求出圖像內(nèi)容沿空間位置的變化中，是否含有這些頻率成分，幅度有多大。置的變化中，是否含有這些頻率成分，幅度有多大。（2）定義）定義 在頻域中，圖像用如下二維函數(shù)描述：在頻域中，圖像用如下二維函數(shù)描述： F(

3、u , v ) , 0uM, 0vN 其中，其中，u , v 分別為水平變化頻率和垂直變化頻率；分別為水平變化頻率和垂直變化頻率； F ( u , v )為圖像中含有為圖像中含有( u , v ) 頻率的幅度；頻率的幅度； M、 N 分別為最高水平變化頻率和最高垂直變化頻率，在數(shù)分別為最高水平變化頻率和最高垂直變化頻率，在數(shù) 量上等于圖像的寬、高。量上等于圖像的寬、高。 在頻率域描述圖像，從數(shù)量的角度揭示了圖像內(nèi)容沿空間位置的變化在頻率域描述圖像，從數(shù)量的角度揭示了圖像內(nèi)容沿空間位置的變化情況，是分析和處理圖像的有力工具。情況，是分析和處理圖像的有力工具。第2頁/共52頁（3）空域與頻域描述的

4、關(guān)系）空域與頻域描述的關(guān)系 從物理角度看從物理角度看 空域描述反映的是空域描述反映的是實(shí)物實(shí)物；頻域描述反映的是圖像內(nèi)容的；頻域描述反映的是圖像內(nèi)容的變化變化特性。特性。 從數(shù)學(xué)角度看從數(shù)學(xué)角度看 實(shí)際上是坐標(biāo)變換。實(shí)際上是坐標(biāo)變換。 空域描述是在空域描述是在( x , y )空間坐標(biāo)系空間坐標(biāo)系上描述圖像；頻域描述是在上描述圖像；頻域描述是在( u , v )頻率坐標(biāo)系頻率坐標(biāo)系上描述圖像。兩種描述是等效的，可相互轉(zhuǎn)換。上描述圖像。兩種描述是等效的，可相互轉(zhuǎn)換。xyuvF( u , v )f ( x , y )空域描述空域描述 f ( x, y ) 頻域描述頻域描述 F(u,v)第3頁/共5

5、2頁4.2 4.2 傅立葉傅立葉( (Fourier) )變換變換4.2.1 一維傅立葉變換一維傅立葉變換 （1）傅立葉變換傅立葉變換 定義定義: 連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換。傅立葉變換。設(shè)一維空域函數(shù)為設(shè)一維空域函數(shù)為 f (x) 。對(duì)。對(duì) f (x) 作傅立葉變換，得到頻域函數(shù)作傅立葉變換，得到頻域函數(shù)F (u)：圖像函數(shù)圖像函數(shù) f (x, y) 是二維函數(shù)。為建立傅立葉變換的概念，先從一維是二維函數(shù)。為建立傅立葉變換的概念，先從一維函數(shù)開始。函數(shù)開始。其中：其中：dxexfuFuxj 2)()()2sin()2cos(,12uxjuxejuxj 上式表明：若已知空域函數(shù)上式表明：若

6、已知空域函數(shù) f (x) ，則可算出以頻率，則可算出以頻率u為自變量的頻域函數(shù)為自變量的頻域函數(shù)F (u)。x 為位置變量，為位置變量，u 為頻率變量；為頻率變量；f (x)是實(shí)函數(shù)，是實(shí)函數(shù)，F(xiàn)( u )是復(fù)函數(shù)。是復(fù)函數(shù)。為方便起見，將為方便起見，將 4.1 式簡記為：式簡記為：)()(xfFuF4.14.2第4頁/共52頁傅立葉變換的離散計(jì)算式傅立葉變換的離散計(jì)算式:10/2)(1)(NxNuxjexfNuF F(u)的實(shí)部的實(shí)部: )2cos()(1)(Re10NxxNuxfNuF 虛部虛部:)2sin()(1)(Im10NxxNuxfNuF 模模:22)(Im)(Re)(uFuFuF

7、幅角幅角:)(Re)(Imarctan)(uFuFu 物理含意：物理含意： 在在 f ( x ) 中，含有角頻率為中，含有角頻率為 的正弦波，其幅度為的正弦波，其幅度為 ，相位為，相位為u = 0,1,N-1 或或： f ( x ) 由一系列不同頻率、相位和幅度的正弦波疊加而成。由一系列不同頻率、相位和幅度的正弦波疊加而成。 說明已知說明已知 F(u) 可以求出可以求出 f ( x )Nu/2 )(u )(uF第5頁/共52頁（2）傅立葉反變換傅立葉反變換 若已求出若已求出 f ( x )的傅立葉反變換的傅立葉反變換F(u) ，則可以由，則可以由 F(u) 求出求出 f ( x ) ，稱為，稱

8、為 傅立葉反變換：傅立葉反變換：10/2)()(NuNuxjeuFxf 傅立葉變換域反變換舉例：傅立葉變換域反變換舉例： 設(shè)設(shè) f ( x ) = 10, 12, 14, 16, 20, 18, 15, 11, 7, 3, 5, 8, 11, 14, 19, 22 ; 其曲線如圖，求其曲線如圖，求 F(u)。15016/2)(161)(xuxjexfuF N=16，故傅立葉變換式為：，故傅立葉變換式為：162),cos()(161)(Re150uxxfuFuxu )sin()(161)(Im150 xuxxfuF xf ( x )第6頁/共52頁當(dāng)當(dāng)u =1 時(shí)，時(shí)，013. 216/)151

9、25. 0cos(22.) 1125. 0cos(12)0cos(10)1 (Re F428. 116/)15125. 0sin(22.) 1125. 0sin(12)0sin(10)1 (Im F當(dāng)當(dāng)u =2 時(shí)，時(shí)，計(jì)算結(jié)果：計(jì)算結(jié)果：uf (x)ReF(u)ImF(u) | F(u) |01012.81012.811122.0131.4282.468214-1.229-2.0872.421316-0.139-0.7440.757420-0.313-0.6250.699518-0.634-0.0610.637615-0.512-0.2160.563711-0.488-0.1380.508u

10、f (x)ReF(u) ImF(u) | F(u) |87-0.1875.0910.18893-0.4880.1380.508105-0.5210.2160.563118-0.6340.0610.6371211-0.3130.6250.6991314-0.1390.7440.7571419-1.2292.0872.42115222.013-1.4282.468 0.1251612u Re F(0) = (10cos(0)+12cos(0)+22cos(0)/16 = 12.810u Im F(0) = (10sin(0)+12sin(0)+ 22sin(0) /16 = 0f ( x )的平均

11、值的平均值當(dāng)當(dāng)u =0 時(shí)，時(shí)，第7頁/共52頁x)(uFu12.812.468 繪出繪出F(u)的頻譜圖。每一條豎線代表一個(gè)正弦波。其中的頻譜圖。每一條豎線代表一個(gè)正弦波。其中: F(0)為平均值為平均值; F(1)為一次諧波為一次諧波, 幅度為幅度為2.468, 角頻率為角頻率為/16; F(2)為二次諧波為二次諧波, 幅度為幅度為2.421, 角頻率為角頻率為2/16; 頻譜圖頻譜圖f ( x )曲線圖曲線圖 將將F(0) F(15)代表的代表的16個(gè)正弦波疊加起來，就能得到原函數(shù)個(gè)正弦波疊加起來，就能得到原函數(shù) f ( x )，這就是反變換。，這就是反變換。 傅立葉反變換還原空間域函數(shù)

12、的過程如下：傅立葉反變換還原空間域函數(shù)的過程如下：F(0)F(0)+ F(1)F(0)+ + F(14)F(0)+ + F(15)第8頁/共52頁結(jié)論：結(jié)論：x)(uFu12.812.468頻譜圖頻譜圖f ( x )曲線圖曲線圖空間域函數(shù)空間域函數(shù) f (x, y)可以通過傅立葉變換，轉(zhuǎn)換成頻率域函數(shù)可以通過傅立葉變換，轉(zhuǎn)換成頻率域函數(shù)F(u)。 一般地，一般地，低頻成分描述曲線的大致輪廓，高頻成分描述曲線的細(xì)節(jié)。低頻成分描述曲線的大致輪廓，高頻成分描述曲線的細(xì)節(jié)。 頻率域函數(shù)頻率域函數(shù)F(u)可以通過傅立葉反變換，轉(zhuǎn)換成空間域函數(shù)可以通過傅立葉反變換，轉(zhuǎn)換成空間域函數(shù) f (x, y)。 除

13、除F(0)外，外， ReF(u)關(guān)于關(guān)于N/2對(duì)稱，對(duì)稱， ImF(u)關(guān)于關(guān)于N/2反對(duì)稱，反對(duì)稱， |F(u)|關(guān)于關(guān)于N/2對(duì)稱。對(duì)稱。 計(jì)算計(jì)算F(u)僅需計(jì)算僅需計(jì)算 0 N/2 范圍的值即可。范圍的值即可。對(duì)稱對(duì)稱第9頁/共52頁（3 3）運(yùn)用傅立葉變換實(shí)現(xiàn)濾波）運(yùn)用傅立葉變換實(shí)現(xiàn)濾波 對(duì)頻域表達(dá)的函數(shù)，削弱部分頻率成分，增強(qiáng)部分頻率成分，再經(jīng)過反變換回到空間域表達(dá)的函數(shù)。對(duì)頻域表達(dá)的函數(shù)，削弱部分頻率成分，增強(qiáng)部分頻率成分，再經(jīng)過反變換回到空間域表達(dá)的函數(shù)。 低通濾波低通濾波 削弱高頻，增強(qiáng)低頻。用于突出輪廓，濾除雜亂噪聲；削弱高頻，增強(qiáng)低頻。用于突出輪廓，濾除雜亂噪聲； 高通濾

14、波高通濾波 削弱低頻，增強(qiáng)高頻。用于加強(qiáng)細(xì)節(jié)，排除漂移干擾；削弱低頻，增強(qiáng)高頻。用于加強(qiáng)細(xì)節(jié)，排除漂移干擾； 帶通濾波帶通濾波 增強(qiáng)某范圍內(nèi)的頻率成分，提取有用信息。增強(qiáng)某范圍內(nèi)的頻率成分，提取有用信息。 帶阻濾波帶阻濾波 削弱某范圍內(nèi)的頻率成分，排除固定頻率干擾。削弱某范圍內(nèi)的頻率成分，排除固定頻率干擾。 本節(jié)僅介紹低通濾波和高通濾波本節(jié)僅介紹低通濾波和高通濾波 。第10頁/共52頁f (x)F (u)f (x) 濾波運(yùn)算方法：濾波運(yùn)算方法： 用用 窗函數(shù)窗函數(shù) H(u) 與與 F(u) 相乘（內(nèi)積）。流程如下：相乘（內(nèi)積）。流程如下：濾波運(yùn)算濾波運(yùn)算)(uF)(uH窗函數(shù)：窗函數(shù)： 與與

15、F(u) 中各頻率分量對(duì)應(yīng)的一組系數(shù)，各系數(shù)的大小在中各頻率分量對(duì)應(yīng)的一組系數(shù)，各系數(shù)的大小在 0 1之間。之間。 窗函數(shù)窗函數(shù) H(u) 與與 F(u) 相乘（內(nèi)積），就是把各頻率分量乘以對(duì)應(yīng)的系數(shù)。相乘（內(nèi)積），就是把各頻率分量乘以對(duì)應(yīng)的系數(shù)。 當(dāng)某系數(shù)當(dāng)某系數(shù) =1 時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率分量得以保留；時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率分量得以保留； 當(dāng)某系數(shù)當(dāng)某系數(shù) 1 曲線伸展曲線伸展a 1 曲線收縮曲線收縮x0b1b1 0; 在在 f (x)=1 的區(qū)間的區(qū)間120，250，小波變換的值，小波變換的值 wf(a,b)=0;結(jié)論：結(jié)論： 當(dāng)當(dāng) f (x)不變時(shí)，小波變換值為不變時(shí)，小波變換值為0； 當(dāng)當(dāng) f (

16、x) 上升時(shí)，小波變換值上升時(shí)，小波變換值0； 當(dāng)當(dāng) f (x) 下降時(shí)，小波變換值下降時(shí)，小波變換值0；0 x0.21f (x)50100150200用高斯小波的變換結(jié)果用高斯小波的變換結(jié)果, ,在在x=100 x=100處取得極大值處取得極大值-1Wf(10,b)第43頁/共52頁例：用例：用Marr小波定位心電波中的小波定位心電波中的 R波、波、T波。波。RSTRS心電波心電波尺度尺度=5時(shí)的時(shí)的Marr小波變換小波變換適用于檢測(cè)適用于檢測(cè) R 波波尺度尺度=50時(shí)的時(shí)的Marr小波變換小波變換適用于檢測(cè)適用于檢測(cè) T 波波第44頁/共52頁4.3.3 二維二維小波變換小波變換設(shè)設(shè) f

17、(x,y) 是連續(xù)二維函數(shù)，則是連續(xù)二維函數(shù)，則 f (x,y)的二維連續(xù)的二維連續(xù)小波變換的定義如下：小波變換的定義如下：dxdyyxyxfbbaWyxf ),(),(),( 其中，其中， bx , by分別是小波分別是小波 關(guān)于關(guān)于x 和和 y 軸的平移參數(shù)，軸的平移參數(shù)，),(yxfbbaW),(yx 是是 f (x,y) 的小波變換。的小波變換。對(duì)于對(duì)于Marr小波，小波，2222/22)0 . 1 (),(yxreryxr， 第45頁/共52頁1010),(),(),(NxMyyxyxfabyabxyxfbbaW 二維離散二維離散小波變換的定義為：小波變換的定義為：由于小波是緊支的，

18、在有效作用域外接近由于小波是緊支的，在有效作用域外接近 0，所以求和區(qū)間僅限于有效作用域內(nèi)：，所以求和區(qū)間僅限于有效作用域內(nèi)： xyyxfyxyxfbbaW),(),(),(其中，其中， 為有效作用域的半徑。為有效作用域的半徑。 第46頁/共52頁用模板對(duì)圖像進(jìn)行卷積，就得到該圖像的小波變換圖像。用模板對(duì)圖像進(jìn)行卷積，就得到該圖像的小波變換圖像。編程計(jì)算時(shí)，先將小波用模板形式表示。以編程計(jì)算時(shí)，先將小波用模板形式表示。以Marr小波為例，得小波為例，得77模板：模板：圖中，圖中， Marr小波的尺度小波的尺度參數(shù)取參數(shù)取 。-0.02-0.06-0.1-0.13-0.1-0.06-0.02-0.06-0.21-0.43-0.37-0.43-0.21-0.06-0.32-0.4300.390-0.43-0.32-0.13-0.370.391.00.39-0.37-0.13-0.32-0.4300.390-0.43-0.32-0.06-0.21-0.43-0.37-0.43-0.21-0.0