空間解析幾何簡(jiǎn)介ppt課件

1、空間解析幾何簡(jiǎn)介空間解析幾何簡(jiǎn)介v向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算v數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 *混合積混合積v空間平面及其方程空間平面及其方程v空間直線及其方程空間直線及其方程v二次曲線及其方程二次曲線及其方程v二次曲面及其方程二次曲面及其方程數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 第一部分第一部分 向量向量第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中:空間方式空間方式 點(diǎn)點(diǎn), , 線線, , 面面根本方法根本方法 坐標(biāo)法坐標(biāo)法; 向量法向量法坐標(biāo)坐標(biāo), , 方程組方程組空間解析幾何四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 第一節(jié)一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算二、向量的

2、線性運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其線性運(yùn)算 .a或表示法:向量的模 : 向量的大小,21MM記作一、向量的概念一、向量的概念向量:(又稱矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量稱為向量向徑 (矢徑):自在向量: 與起點(diǎn)無關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量: 模為 1 的向量,.a或記作 a零向量: 模為 0 的向量,.00或，記作有向線段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;假設(shè)向量 a 與 b大小相等, 方向一樣, 那么稱 a 與 b 相等,記作 ab ;假設(shè)向量 a 與 b 方向一樣

3、或相反,那么稱 a 與 b 平行, ab ;與 a 的模一樣, 但方向相反的向量稱為 a 的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同不斷線上, 故兩向量平行又稱 兩向量共線 .假設(shè) k (3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 那么稱此 k 個(gè)向量共面 .記作a ;二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1. 向量的加法向量的加法三角形法那么:平行四邊形法那么:運(yùn)算規(guī)律 : 交換律結(jié)合律三角形法那么可推行到多個(gè)向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaaaba ba s3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 向量的減法向量的減法三角不等式ab)( ab有時(shí)特別當(dāng),ab aa)( aabab

4、aabaaba0bababaa3. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 是一個(gè)數(shù) ,.a規(guī)定 :時(shí)，0，同向與aa,0時(shí),0時(shí).0a;aa;1aa可見;1aa;aa 與 a 的乘積是一個(gè)新向量, 記作，反向與aa總之:運(yùn)算律 : 結(jié)合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a則有單位向量.1aa因此aaa xyz三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系由三條相互垂直的數(shù)軸按右手規(guī)那么組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點(diǎn) o ,o 坐標(biāo)面 卦限(八個(gè))xoy面yoz面zox面面1. 空間直角坐標(biāo)系的根本概念空間直角坐標(biāo)系的根本概念xyz

5、o向徑在直角坐標(biāo)系下 11坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C點(diǎn)點(diǎn) M特殊點(diǎn)的坐標(biāo) :有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo))原點(diǎn) O(0,0,0) ;rrM坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo2. 向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下, ),(zyxM那么沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.123rxeyeze ),(zyxxoyzMNBC1e3eA123(1,0,0),(0

6、,1,0),(0,0,1),eeex y z 以分別表示軸上的單位向量設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分解式 ,123,xe ye zer 稱為向量r恣意向量 r 可用向徑 OM 表示.NMONOMOCOBOA123,OAx eOBy eOCz e 2e 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 那么ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 時(shí)當(dāng)aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:，為實(shí)數(shù)五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩

7、點(diǎn)間的間隔公式向量的模與兩點(diǎn)間的間隔公式222zyx),(zyxr 設(shè)那么有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得兩點(diǎn)間的間隔公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx對(duì)兩點(diǎn)與, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBAoyzx2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量 ,ba任取空間一點(diǎn) O ,aOA作,bOBOAB稱 =AOB (0 ) 為向量 ba,的夾角. ),(ab或類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . ,0),(zyxr給定與三坐標(biāo)軸的夾角 , , rr稱為

8、其方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦稱為其方向余弦. 記作),(baoyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質(zhì):的單位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos*三、向量的混合積三、向量的混合積 第二節(jié)一、兩向量的內(nèi)積一、兩向量的內(nèi)積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積數(shù)量積 向量積 *混合積1M一、兩向量的內(nèi)積一、兩向量的內(nèi)積沿與力夾角為的直線挪動(dòng),W1. 定義定義設(shè)向量的夾角為 , 稱 記作內(nèi)積 (點(diǎn)積，數(shù)量積) .引例引例. 設(shè)一物體在常力設(shè)一物體在常力 F 作用下作用下, F位移為 s , 那么

9、力F 所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s,0時(shí)當(dāng)a上的投影為在ab記作故,0,時(shí)當(dāng)同理babj rPb2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個(gè)非零向量, 那么有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba3. 運(yùn)算律運(yùn)算律(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實(shí)數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba現(xiàn)實(shí)上, 當(dāng)0c時(shí), 顯然成立 ;時(shí)當(dāng)0cc)(bababcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccac

10、b)(j rPbac4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)那么, 10zzyyxxbababa當(dāng)為非零向量時(shí),cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba123,xyzaa ea ea e123,xyzbb eb eb eba123()xyza ea ea e123()xyzb eb eb e11eebaba baba,兩向量的夾角公式 , 得22ee33ee12ee23ee31ee)(MB, )(MA BM例例2. 知三點(diǎn)知三點(diǎn), )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0

11、1那么AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故為 ) .求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P (流體密度例例3. 設(shè)均勻流速為設(shè)均勻流速為的流體流過一個(gè)面積為 A 的平面域 ,與該平面域的單位垂直向量,A解解:單位時(shí)間內(nèi)流過的體積APAA的夾角為且vvncosvcosvnv vnn為單位向量二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例. 設(shè)設(shè)O 為杠桿為杠桿L 的支點(diǎn)的支點(diǎn) ,有一個(gè)與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)那么OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個(gè)向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點(diǎn)上 , 那么力 F 作用在杠桿上的力FoPFMFM 1. 定義定

12、義定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)那么模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba引例中的力矩FOPM思索思索: 右圖三角形面積右圖三角形面積abba21S2. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量, 那么，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時(shí)當(dāng)baba0basinab03. 運(yùn)算律運(yùn)算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明證明:4. 向量積的行列式計(jì)算法向量積的行列式計(jì)算法1()yzzya ba be2()zxxza ba be3()xyyxa ba be123eee

13、xayazaxbybzb1yzyzaaebb2zxzxaaebb 3xyxyaaebbba123,xyza a ea ea e123,xyzbb eb eb e例例4. 知三點(diǎn)知三點(diǎn), )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 解解: 如下圖如下圖,CBASABC21123eee222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三一點(diǎn) M 的線速度例例5. 設(shè)剛體以等角速度設(shè)剛體以等角速度 繞繞 l 軸旋軸旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn), 導(dǎo)出剛體上 的表示式 . Ml解解: 在軸在軸 l 上引進(jìn)一個(gè)角速度向量上引進(jìn)一個(gè)角速度向量使a其在 l

14、上任取一點(diǎn) O,O作它與那么點(diǎn) M分開轉(zhuǎn)軸的間隔a且符合右手法那么的夾角為 , ,sinar, rOM vsinr,vr rvvv方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法那么 ,r向徑*三、向量的混合積1. 定義定義 知三向量稱數(shù)量混合積混合積 .記作幾何意義幾何意義 為棱作平行六面體,底面積高h(yuǎn)故平行六面體體積為hAV coscba)(cba,cba的為cba,Abaccba,以那么其cosbaccba)(cbabacbazyxzyxbbbaaaxcyczc2. 混合積的坐標(biāo)表示混合積的坐標(biāo)表示設(shè)zxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxb

15、bbb ),(zyxcccc xcyczc1yzyzaaebb2zxzxaaebb 3xyxyaaebb3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 三個(gè)非零向量共面的充要條件是0(2) 輪換對(duì)稱性 :(可用三階行列式推出)cbacba,ab cab cabcabc例例6. 知一四面體的頂點(diǎn)知一四面體的頂點(diǎn)),(kkkkzyxA,3,2, 1( k4 ) , 求該四面體體積 . 1A2A3A4A解解: 知四面體的體積等于以向量知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA41312

16、1AAAAAA例例7. 證明四點(diǎn)證明四點(diǎn), )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA共面 .解解: 因因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A , B , C , D 四點(diǎn)共面 .ADACAB內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)1. 向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:kjixayazaxbybzbba混合積:2. 向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbba

17、aacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba第三節(jié)一、平面的方程二、平面的普通方程二、平面的普通方程三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角平面及其方程 定義：定義：設(shè) 是 中一個(gè)平面，定義如上，那么 中與二維子空間 正交的非零向量稱為平面 的法向量；平面 的一切法向量添上零向量組成 的一個(gè)一維子空間， 中以平面 的法向量為方向向量的直線稱為平面 的法線。3PV3PVPP33PPP0MV設(shè)在設(shè)在 中給定一個(gè)平面中給定一個(gè)平面 ，采用線性代數(shù)的術(shù)語來描畫，采用線性代數(shù)的術(shù)語來描畫平面平面 ， 是是 中的一個(gè)集合，那么集合中的一個(gè)集合，那么集合是是 中的一個(gè)二維

18、線性子空間。反之，給了中的一個(gè)二維線性子空間。反之，給了 中一個(gè)中一個(gè)二維子空間二維子空間 ，存在，存在 中的平面中的平面 使得使得 實(shí)踐上，實(shí)踐上，任取點(diǎn)任取點(diǎn) 記記 那么那么 可充任平面可充任平面 的，可見這種平面有無限多。的，可見這種平面有無限多。P3PP31212|,PVMMM MP33V3P;PVV30,M 00|,MVMvvV Pzyxo0Mn一、平面的方程一、平面的方程00000(,)rMxy z 設(shè)一平面經(jīng)過知點(diǎn)，法向量是0)()()(000zzCyyBxxAM稱式為平面 的坐標(biāo)方式方程點(diǎn)法式。( , , ),rM x y zP任取點(diǎn)),(000zzyyxx, ),(CBAn

19、MM0故稱為平面 的向量方式方程。0()0,n rr PP還可以采用兩個(gè)參數(shù)來表述平面。設(shè) 是 的一個(gè)二維子空間。設(shè) 是兩個(gè)不共線的向量。設(shè) 是一個(gè)固定點(diǎn)，設(shè) 是 上的恣意點(diǎn)，那么PV3111222(,),(,)Pua b cva b cV0000(,)PMxy zV( , , )Mx y zP0,M Msutvs t并得到平面 的參數(shù)方程。P012012012,.,xxsatayysbtbs tzzsctc123eee例例1.1.求過三點(diǎn)求過三點(diǎn),1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取該平面取該平面 的法向量的法向量為為),2,3

20、, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用點(diǎn)法式得平面 的方程346231nn3121MMMM此平面的三點(diǎn)式方程也可寫成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx普通情況普通情況 : 過三點(diǎn))3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程為闡明闡明: :特別特別, ,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時(shí),)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平

21、面方程為 PozyxRQ分析:利用三點(diǎn)式 按第一行展開得 即0axyzab0a0c二、平面的普通方程二、平面的普通方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的普通0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx那么0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià), )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程. .特殊情形特殊情形 當(dāng)當(dāng) D = 0 D = 0 時(shí)時(shí), A x + B y + C z , A x + B y + C z = 0 = 0 表示表示 經(jīng)過原點(diǎn)的平面經(jīng)過原點(diǎn)的平

22、面; 當(dāng)當(dāng) A = 0 時(shí)時(shí), B y + C z + D = 0 的法向量的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示表示 A x+B y+D = 0 表示表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.1(0,),nB Ce例例2. 求經(jīng)過求經(jīng)過 x 軸和點(diǎn)軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程.解解: : 因平面經(jīng)過 x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0zC

23、yB代入知點(diǎn)) 1,3,4(得BC3化簡(jiǎn),得所求平面方程03 zy三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為那么兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 2特別有以下結(jié)論：特別有以下結(jié)論：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n因此有例例

24、4. 一平面經(jīng)過兩點(diǎn)一平面經(jīng)過兩點(diǎn)垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: : 設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和那么所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且外一點(diǎn),求),(0000zyxP0DzCyBxA例例5. 設(shè)設(shè)222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111

25、DzCyBxA解解: :設(shè)平面法向量為設(shè)平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的間隔d .0P,那么P0 到平面的間隔為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點(diǎn)到平面的間隔公式)xyzo0M例例6.解解: : 設(shè)球心為設(shè)球心為求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成那么它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程為000zyx633331, ),(0000zyxM四面體的球面方程.從而)(半徑R2222)633()633(633)633(zyx內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.

26、平面根本方程:普通式點(diǎn)法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點(diǎn)式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:2121cosnnnn 021nn021nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA),(1111CBAn 第四節(jié)一、空間直線方程一、空間直線方程 二、線面間的位置關(guān)系二、線面間的位置關(guān)系 空間直線及其方程),(0000zyxM1. 參數(shù)方程參

27、數(shù)方程設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為 那么),(zyxMs知直線上一點(diǎn)00000(,)rMxy z ( , , )rM x y z和它的方向向量 , ),(pnms 0,rrtst tmxx0tnyy0tpzz0或者這兩個(gè)方程稱為直線的參數(shù)方程。一、空間直線方程一、空間直線方程),(0000zyxM2. 對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程故有闡明闡明: 某些分母為零時(shí)某些分母為零時(shí), 其分子也了解為零其分子也了解為零.mxx000yyxx設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為 那么),(zyxMnyy0pzz0此式稱為直線的對(duì)稱式方程(也稱為點(diǎn)向式方程)直線方程為s知直線上一點(diǎn)),(0000zyxM),(zyxM例如, 當(dāng),0, 0時(shí)pnm和

28、它的方向向量 , ),(pnms sMM/0 xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其普通式方程3. 3. 普通式方程普通式方程 直線可視為兩平面交線，例例1.1.用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線解解: :先在直線上找一點(diǎn)先在直線上找一點(diǎn). .043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得交知直線的兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn) .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns故所給直線的對(duì)稱式方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y3

29、2z解題思緒解題思緒: :先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.)3, 1,4(21nns123111213eee2L1L二、線面間的位置關(guān)系二、線面間的位置關(guān)系1. 兩直線的夾角兩直線的夾角 那么兩直線夾角 滿足21, LL設(shè)直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s特別有特別有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss例例2. 2. 求以下兩直線的夾角求以下兩直線的

30、夾角解解: : 直線直線直線二直線夾角 的余弦為13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22從而4的方向向量為1L的方向向量為2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s1232110102eees 當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;L2. 直線與平面的夾角直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為那么直線與平面夾角 滿足.2222222CBApnmpCnBmA直線和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns s

31、n特別有特別有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解: : 取知平面的法向量取知平面的法向量421zyx那么直線的對(duì)稱式方程為0432zyx直的直線方程. 為所求直線的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn例例3. 求過點(diǎn)求過點(diǎn)(1,2 , 4) 且與平面且與平面1. 空間直線方程空間直線方程普通式對(duì)稱式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) ,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：21212

32、1ppnnmm2. 線與線的關(guān)系線與線的關(guān)系直線夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss , 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夾角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3. 面與線間的關(guān)系面與線間的關(guān)系直線 L :),(CBAn ),(pnms 0 ns0nsnsns L第五節(jié)二次曲線定義：設(shè)在 中取定了正交坐標(biāo)系 ，那么有形如的方程所確定的點(diǎn)的軌跡統(tǒng)稱二次曲線，其中二次項(xiàng)系數(shù) 不全為零。222111222122220a xa xya yb xb yc111222,aaaoxy消去交叉項(xiàng)消

33、去交叉項(xiàng)假設(shè) ，要利用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換使得在新坐標(biāo)系下方程不含交叉項(xiàng)。120aox yy xMcossin ,sincos ,xxyyxy其中 待定。那么方程在新坐標(biāo)系 下變?yōu)閛x y22111222122 2 2 0axax yayb xbyc其中2212221112()sincos(cossin).aaaa那么當(dāng)22221112()sincos(cossin)0,aaa112212cot2,2aaa120.a有無交叉項(xiàng)方程簡(jiǎn)化及曲線分類無交叉項(xiàng)方程簡(jiǎn)化及曲線分類22112212220a xa yb xb yc規(guī)范方程：1設(shè) ，用配完全平方法，11220a a222212121122112211

34、22()()0bbbbaxaycaaaa2211220a xa yc記分類分類1，無妨設(shè)，無妨設(shè)2211220a xa yc110a110a220a220a0c 0c 0c 0c 0c 橢圓橢圓一點(diǎn)一點(diǎn)無軌跡無軌跡雙曲線雙曲線過原點(diǎn)的兩直線過原點(diǎn)的兩直線22112212220a xa yb xb yc2設(shè) ，無妨設(shè) ,那么11220a a22222212222()20bbayb xcaa222120a yb x2a設(shè) ，有110a10b 2220a yc2b設(shè) ，有10b 分類分類2，110a10b 10b 220a c 0c 拋物線拋物線兩條平行直線兩條平行直線無軌跡無軌跡一條直線一條直線220a c 第六節(jié)二次曲面定義：設(shè)在 中取定了正交坐標(biāo)系 ，那么有形如的方程所確定的點(diǎn)的軌跡統(tǒng)稱二次曲面，其中二次項(xiàng)系數(shù) 不全為零。同二次曲線的處置方法，可用旋轉(zhuǎn)變換消去交叉項(xiàng)32221122331223311232222220a xa ya za xya yza zxb xb yb zc112233122331,aaaaaaoxyz1. 1. 橢球面橢球面),