第四節(jié)-隱函數(shù)

1、第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo) 第二章 31xy一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)03275xxyy可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對(duì) x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)y機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例 求由方程03275xx

2、yy)(xyy 在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo))32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 時(shí) y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例59 求由方程0e23xyxxy)(xyy 的導(dǎo)數(shù).解解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得)e (ddxyx)(dd3xx)(dd2xyx0)(ddexyxxy23x0所確定的隱函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(edd23xyxxxy0)dd2(12xyyxy.2e3edd22xyxyxyxyxyxy所以)dd(ex

3、yxyxy即23x0dd22xyxyy例例60. 求橢圓求橢圓15222yx在點(diǎn)在點(diǎn))210,1(M處的切線與法線方程處的切線與法線方程.解解: 橢圓方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得xyy520y11021xyyx25210故切線方程為1021y210) 1( x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxy25于是11021xy法線方程為1021y510) 1( x例例61. 已知方程已知方程.dd, )(ln22xyxfyyxy求確定了函數(shù)解法一解法一: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得xydd1xyy dd12ddxy22ddxyyxydd于是,1)dd1 (dddd22yxyxyxy得代入xydd機(jī)動(dòng) 目

4、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1ddyyxy于是22ddxy.)1 (dd322yyxy（1）式）式兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得（1）例例61. 已知方程已知方程.dd, )(ln22xyxfyyxy求確定了函數(shù)解法二解法二: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得xydd1,dd1xyyxyxxydddddd222) 1( yxyddy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1ddyyxy于是) 1( y) 1(ddyx2) 1( yxyddy) 1( yxydd2) 1(ddyxy得代入,ddxy.)1 () 1(1dd3222yyyyyxy例例62. 求)0(sinxxyx的導(dǎo)數(shù) . 解法一解法一 兩邊取對(duì)數(shù) ,

5、化為隱式xxylnsinln兩邊對(duì) x 求導(dǎo)yy1xx lncos xxsin. )sinlncos(sinxxxxxyx即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )sinlncos(xxxxyy例例62. 求)0(sinxxyx的導(dǎo)數(shù) . 解法二解法二 先將函數(shù)作指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算)ln(sinexxy yxx lnsinexxlnsine. )sinlncos(sinxxxxxyx即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )lnsin(xxxx lnsinexxlnsine)sinln(cosxxxx 1) 對(duì)冪指函數(shù)vuy 可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvu

6、yvvuuyvlnuuvv1說(shuō)明說(shuō)明: :按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意注意:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2） 對(duì)于一般的冪指數(shù)函數(shù))0)()()(xfxfyxg的導(dǎo)數(shù), 也可先將函數(shù)作指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算,然后再求導(dǎo)數(shù).)(ln)(exgxfy y)(ln)(exfxg)(ln)(exfxg.)()()()(ln)()()(xfxfxgxfxgxfyxg即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(ln)(xfxg)(ln)(exfxg)(ln)(exfxg)()()()(ln)(xfxfxgxfxg3) 有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbay

7、bax兩邊取對(duì)數(shù)yln兩邊對(duì) x 求導(dǎo)yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例63 .)4)(3()2)(1(的導(dǎo)數(shù)求xxxxyuuu )ln(21lny對(duì) x 求導(dǎo)21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對(duì)數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個(gè) y 與 x 之間的函數(shù))(, )(tt可導(dǎo), 且,0 )( )(22

8、tt則當(dāng)0)( t時(shí), 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時(shí), 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時(shí)看成 x 是 y 的函數(shù) )關(guān)系,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若上述參數(shù)方程中)(, )(tt二階可導(dǎo),22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3)(xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t則由它確定的函數(shù))(xfy 可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的參數(shù)方程,可得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )()(dd22ttxy,)()(t

9、txydd?例例64. 求由參數(shù)方程)sin1 (ttx所確定函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù).)cos(ddttty,sincosttt )sin1 (ddtttx,cossin1ttttxtyxydddddd.cossin1sincostttttt已知解解:ttycos注意注意 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例65. 求由參數(shù)方程txsin所確定的曲線在t=p/6對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程.)2cos(ddtty,2sin2t)(sinddttx,costtxtyxyd/dd/ddd故.sin4cos2sin2ttt解解:ty2cos機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 . 2dd,21,21,6x

10、yyxt時(shí)當(dāng)),21(221xy故所求的切線方程為.0324 yx即, 求01sin232ytettxy.dd0txy解解txddyetydd0ddtxy例例66. 設(shè)方程組兩邊同時(shí)對(duì) t 求導(dǎo), 得26 ttyddtsin0ddtyteycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1 (costyyttete2e0t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例67 求由參數(shù)方程,1221tytx,1ddty,ddttxxyxxydddddd22于是21t31t所確定的函數(shù) y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解 因?yàn)閠xtyxyd/dd/ddd,1t

11、故tx1ddtt1ddxtddtt1ddtxddt練習(xí)練習(xí)1. 設(shè)由方程) 10(1sin 222yytttx確定函數(shù), )(xyy 求.ddxy解解: 方程組兩邊對(duì) t 求導(dǎo) , 得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ?練習(xí)練習(xí)2. 設(shè))(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 解解:)()(tftfty機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊

12、求導(dǎo)2. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化求高階導(dǎo)數(shù)時(shí),從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 求螺線r在對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的切線方程.解解: 化為參數(shù)方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)斜率xykdd2pp22, ),0(2pM 切線方程為22ppxy2p機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè),)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分別用對(duì)數(shù)微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 設(shè))(xyy 由方程eyxey確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對(duì) x