機(jī)理分析建模

1、成都大學(xué)成都大學(xué) 機(jī)理分析機(jī)理分析是根據(jù)對現(xiàn)實(shí)對象特性的認(rèn)識，分析其因是根據(jù)對現(xiàn)實(shí)對象特性的認(rèn)識，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律。果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律。 機(jī)理分析方法立足于揭示事物內(nèi)在規(guī)律機(jī)理分析方法立足于揭示事物內(nèi)在規(guī)律與問題相關(guān)的物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)等方面的知識；與問題相關(guān)的物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)等方面的知識；通過對數(shù)據(jù)和現(xiàn)象的分析對事物內(nèi)在規(guī)律做出的通過對數(shù)據(jù)和現(xiàn)象的分析對事物內(nèi)在規(guī)律做出的猜想猜想( (模型假設(shè)模型假設(shè)) )。模型特點(diǎn)：模型特點(diǎn)：有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義 對現(xiàn)實(shí)對象的認(rèn)識來源：對現(xiàn)實(shí)對象的認(rèn)識來源：機(jī)理分析建模常用方法：常微分方程偏微分方程邏

2、輯方法比例方法代數(shù)方法目錄 常微分方程建模常微分方程建模 微分方程的建立微分方程的建立 微分方程的求解微分方程的求解 邏輯方法建模邏輯方法建模一一 微分方程建模微分方程建模 當(dāng)實(shí)際問題需尋求某個變量當(dāng)實(shí)際問題需尋求某個變量y 隨另一變量隨另一變量 t 的變化的變化規(guī)律規(guī)律 y=y(t)，且直接求很困難時，可以建立關(guān)于未知變且直接求很困難時，可以建立關(guān)于未知變量、未知變量的導(dǎo)數(shù)以及自變量的方程量、未知變量的導(dǎo)數(shù)以及自變量的方程(即變量滿足的即變量滿足的微分方程微分方程)。 在實(shí)際問題中，在實(shí)際問題中， “改變改變”、“變化變化”、“增加增加”、“減少減少”等關(guān)鍵詞提示我們注意什么量在變化；關(guān)鍵詞

3、等關(guān)鍵詞提示我們注意什么量在變化；關(guān)鍵詞“速率速率”、“增長增長” “衰變衰變” ，“邊際的邊際的” ，常涉及，常涉及到導(dǎo)數(shù)。這些都是建立微分方程模型的關(guān)鍵。到導(dǎo)數(shù)。這些都是建立微分方程模型的關(guān)鍵。建立常微分方程模型的常用方法：建立常微分方程模型的常用方法： 運(yùn)用已知物理定律運(yùn)用已知物理定律利用平衡與增長式利用平衡與增長式運(yùn)用微元法運(yùn)用微元法運(yùn)用分析法運(yùn)用分析法 ( (一一) ) 微分方程的建立微分方程的建立 建立微分方程模型時應(yīng)用已知物理定律，可事半功建立微分方程模型時應(yīng)用已知物理定律，可事半功倍。倍。 例例1.1 一個較熱的物體置于室溫為一個較熱的物體置于室溫為180C的房間內(nèi)，的房間內(nèi)，

4、該物體最初的溫度是該物體最初的溫度是600C，3分鐘以后降到分鐘以后降到500C 。想知想知道它的溫度降到道它的溫度降到300C 需要多少時間？需要多少時間？10分鐘以后它的分鐘以后它的溫度是多少？溫度是多少？ 牛頓冷卻牛頓冷卻(加熱加熱)定律：定律：將溫度為將溫度為T的物體放入處于的物體放入處于常溫常溫 m 的介質(zhì)中時，的介質(zhì)中時，T的變化的變化速率速率正比于正比于T與周圍介質(zhì)與周圍介質(zhì)的溫度差。的溫度差。1 1、運(yùn)用已知物理定律、運(yùn)用已知物理定律 分析：分析：假設(shè)房間足夠大，放入溫度較低或較高的假設(shè)房間足夠大，放入溫度較低或較高的物體時，室內(nèi)溫度基本不受影響，即室溫分布均衡，物體時，室內(nèi)溫

5、度基本不受影響，即室溫分布均衡，保持為保持為m m，采用牛頓冷卻定律是一個相當(dāng)好的近似。，采用牛頓冷卻定律是一個相當(dāng)好的近似。 建立模型：建立模型：設(shè)物體在冷卻過程中的溫度為設(shè)物體在冷卻過程中的溫度為T(t) (t0)， “T的變化速率正比于的變化速率正比于T與周圍介質(zhì)的溫度差與周圍介質(zhì)的溫度差” 翻譯成數(shù)學(xué)語言也就是：翻譯成數(shù)學(xué)語言也就是： 。成成正正比比與與mTdtdT 60)0()(TmTkdtdT建立微分方程建立微分方程其中參數(shù)其中參數(shù)k 0，m=18，求得一般解為求得一般解為 ln(Tm)=k t+c)0( tcemTkt或或代入條件，求得代入條件，求得c=42 ， , 最后得最后得

6、2116ln31 k)0( 4218)(2116ln31 tetTt該物體溫度降至該物體溫度降至300C 需要需要8.17分鐘。分鐘。結(jié)果：結(jié)果：)(3 .394218)10(0102116ln31CeT 2 2、利用平衡與增長式、利用平衡與增長式 許多研究對象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出某種許多研究對象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出某種不變的特性不變的特性，如封閉區(qū)域內(nèi)的能量、貨幣量等。如封閉區(qū)域內(nèi)的能量、貨幣量等。 利用變量間的平衡與增長特性，可分析和建立有關(guān)利用變量間的平衡與增長特性，可分析和建立有關(guān)變量間的相互關(guān)系變量間的相互關(guān)系. . 續(xù)續(xù) 人口增長模型人口增長模型 對某地區(qū)時刻對某地區(qū)時刻t t的人口總

7、數(shù)的人口總數(shù)P(t)，除考慮個體的，除考慮個體的出生、出生、死亡死亡，再進(jìn)一步考慮，再進(jìn)一步考慮遷入遷入與與遷出遷出的影響。的影響。 在很短的時間段在很短的時間段t 內(nèi)內(nèi)，關(guān)于關(guān)于P(t)變化的一個最簡單變化的一個最簡單的模型是：的模型是： t時間內(nèi)的人口增長量時間內(nèi)的人口增長量 =t內(nèi)出生人口數(shù)內(nèi)出生人口數(shù)t內(nèi)死亡人口數(shù)內(nèi)死亡人口數(shù)+ t內(nèi)遷入人口數(shù)內(nèi)遷入人口數(shù)t內(nèi)遷出人口數(shù)內(nèi)遷出人口數(shù) t時間內(nèi)的凈改變量時間內(nèi)的凈改變量=t時間內(nèi)時間內(nèi)輸入量輸入量t時間內(nèi)時間內(nèi)輸出量輸出量不同的輸入、輸出情況對應(yīng)不同的差分或微分方程。不同的輸入、輸出情況對應(yīng)不同的差分或微分方程。更一般地更一般地輸入量：輸

8、入量：含系統(tǒng)外部輸入及系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的量；含系統(tǒng)外部輸入及系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的量；輸出量：輸出量：含流出系統(tǒng)及在系統(tǒng)內(nèi)部消亡的量。含流出系統(tǒng)及在系統(tǒng)內(nèi)部消亡的量。 此類建模方法的此類建模方法的關(guān)鍵關(guān)鍵是分析并正確描述基本模型的是分析并正確描述基本模型的右端，使平衡式成立。右端，使平衡式成立。 例例1.2(戰(zhàn)斗模型戰(zhàn)斗模型) 兩方軍隊(duì)交戰(zhàn)，希望為這場戰(zhàn)斗兩方軍隊(duì)交戰(zhàn)，希望為這場戰(zhàn)斗建立一個數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用這個模型達(dá)到如下目的：建立一個數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用這個模型達(dá)到如下目的： 1. 預(yù)測哪一方將獲勝？預(yù)測哪一方將獲勝？ 2. 估計(jì)獲勝的一方最后剩下多少士兵？估計(jì)獲勝的一方最后剩下多少士兵？ 3. 計(jì)算失敗的一方

9、開始時必須投入多少士兵才能計(jì)算失敗的一方開始時必須投入多少士兵才能贏得這場戰(zhàn)斗？贏得這場戰(zhàn)斗？ 模型建立模型建立設(shè)設(shè): x(t) t 時刻時刻X方存活的士兵數(shù)；方存活的士兵數(shù)； y(t) t 時刻時刻Y方存活的士兵數(shù)；方存活的士兵數(shù)； 假設(shè)：假設(shè)： 1) 雙方所有士兵不是戰(zhàn)死就是活著參加戰(zhàn)斗雙方所有士兵不是戰(zhàn)死就是活著參加戰(zhàn)斗， x(t)與與y(t)都是連續(xù)變量。都是連續(xù)變量。 2) Y方軍隊(duì)的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死方軍隊(duì)的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死X 方軍隊(duì)方軍隊(duì) a 名士兵名士兵； 3) X 方軍隊(duì)的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死方軍隊(duì)的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死Y方軍隊(duì)方軍隊(duì) b 名士兵名士兵；

10、 t 時間內(nèi)時間內(nèi)X軍隊(duì)減少的士兵數(shù)軍隊(duì)減少的士兵數(shù) = t 時間內(nèi)時間內(nèi)Y軍隊(duì)消滅對方的士兵數(shù)軍隊(duì)消滅對方的士兵數(shù)平衡式：平衡式：即有：即有：x =ayt，同理：同理：y =bxt令令t 0，得到微分方程組：得到微分方程組： )0( )0( bbxdtdyaaydtdx 基本思想：基本思想： 通過分析研究對象的有關(guān)變量在一個通過分析研究對象的有關(guān)變量在一個很短時間內(nèi)的變化情況。很短時間內(nèi)的變化情況。3 3、微元法、微元法 例例1.3 一個高為一個高為2米的球體容器里盛了一半的水，水米的球體容器里盛了一半的水，水從它的底部小孔流出，小孔的橫截面積為從它的底部小孔流出，小孔的橫截面積為1 1平方

11、厘米。平方厘米。 試求放空容器所需要的時間。試求放空容器所需要的時間。2米對孔口的流速做兩條假設(shè)對孔口的流速做兩條假設(shè) ： 1t 時刻的流速時刻的流速v 依賴于此依賴于此刻容器內(nèi)水的高度刻容器內(nèi)水的高度h(t)。2 整個放水過程無能量損失。整個放水過程無能量損失。 分析分析：放空容器放空容器容器內(nèi)水的體積為零容器內(nèi)水的體積為零容器內(nèi)水的高度為零容器內(nèi)水的高度為零 模型建立：模型建立：由水力學(xué)知：水從孔口流出的流量由水力學(xué)知：水從孔口流出的流量Q為為通過通過“孔口橫截面的水的體積孔口橫截面的水的體積V對時間對時間t 的變化率的變化率”，即，即ghSdtdVQ262. 0 S孔口橫截面積孔口橫截面

12、積(單位：平方厘米單位：平方厘米) h(t) 水面高度水面高度(單位：厘米單位：厘米) t時間時間(單位：秒單位：秒)當(dāng)當(dāng)S=1平方厘米，有平方厘米，有)1(262. 0dtghdV h(t)h+h 在在t，t+t 內(nèi)，水面高度內(nèi)，水面高度 h(t) 降至降至h+h(h0的情形的情形,即即X方獲勝的情形。方獲勝的情形。abxayyx/ )(, 02020 得得令令即即Y方獲勝時的幸存士兵數(shù)。方獲勝時的幸存士兵數(shù)。 3) 計(jì)算失敗的一方開始時必須投入多少士兵才能贏得計(jì)算失敗的一方開始時必須投入多少士兵才能贏得這場戰(zhàn)斗？這場戰(zhàn)斗？ 2020bxay若若 ，則，則Y方獲勝；方獲勝；若若 ，則，則X方

13、獲勝。方獲勝。2020bxay 4) 戰(zhàn)斗持續(xù)時間？戰(zhàn)斗持續(xù)時間？食用魚食用魚人類人類捕撈捕撈食肉魚食肉魚捕魚量減少，食用魚的比例反而降低？捕魚量減少，食用魚的比例反而降低？ 上世紀(jì)初上世紀(jì)初, , 意大利生物學(xué)家意大利生物學(xué)家U.DA ncona在研究中在研究中發(fā)現(xiàn)第一次世界大戰(zhàn)期間從地中海捕獲的魚中，發(fā)現(xiàn)第一次世界大戰(zhàn)期間從地中海捕獲的魚中，鯊魚等鯊魚等食肉魚的比例十分明顯地上升了食肉魚的比例十分明顯地上升了。他認(rèn)為這一現(xiàn)象決非。他認(rèn)為這一現(xiàn)象決非偶然，應(yīng)是由戰(zhàn)爭期間捕魚量減少所致。偶然，應(yīng)是由戰(zhàn)爭期間捕魚量減少所致。例例2.2 2.2 捕食系統(tǒng)的捕食系統(tǒng)的Volterra方程方程x(t)

14、 t 時刻食用魚時刻食用魚(prey)的數(shù)量的數(shù)量y(t) t 時刻食肉魚時刻食肉魚(predator)的數(shù)量的數(shù)量1. 沒有食肉魚沒有食肉魚, 食用魚的凈相對增長率為正常數(shù)食用魚的凈相對增長率為正常數(shù)k1,k10 2. 沒有食用魚，食肉魚的凈相對增長率為負(fù)常數(shù)沒有食用魚，食肉魚的凈相對增長率為負(fù)常數(shù)k2, k20.3. 兩類魚相遇的機(jī)會正比于兩類魚相遇的機(jī)會正比于x 和和 y 的乘積的乘積；建立微分方程如下：建立微分方程如下： 假設(shè)如下：假設(shè)如下：（1）、模型建立）、模型建立) 1 ().();(2211 cxkycxyykdtdybykxbxyxkdtdx建立微分方程如下：建立微分方程如下

15、： 其中其中b0,c0。方程組表明兩類魚共存時，食。方程組表明兩類魚共存時，食肉魚在單位時間內(nèi)捕食的食用魚數(shù)量與兩類魚肉魚在單位時間內(nèi)捕食的食用魚數(shù)量與兩類魚的數(shù)量的乘積成比例關(guān)系，描述了兩類魚的相的數(shù)量的乘積成比例關(guān)系，描述了兩類魚的相互制約關(guān)系?；ブ萍s關(guān)系。 關(guān)心相互制約的兩類魚種的總變化趨勢關(guān)心相互制約的兩類魚種的總變化趨勢. 針對建模目的，對微分方程進(jìn)行以下分析工作：針對建模目的，對微分方程進(jìn)行以下分析工作：1. 討論方程的平衡點(diǎn)；討論方程的平衡點(diǎn)；2. 分析驗(yàn)證方程組是否有周期解；分析驗(yàn)證方程組是否有周期解； 3. 對方程組周期解進(jìn)行分析；對方程組周期解進(jìn)行分析；4. DA ncon

16、a現(xiàn)象的解釋。現(xiàn)象的解釋。（2）、模型分析）、模型分析1) 求平衡點(diǎn)求平衡點(diǎn) 0021cxyykdtdybxyxkdtdx令令平衡點(diǎn)：平衡點(diǎn)：(0, 0)與與(x, y)=( )bkck12,平凡的平凡的在平衡點(diǎn)在平衡點(diǎn) 處，兩類魚將能夠處，兩類魚將能夠“平衡平衡”地生地生存，它們的數(shù)量將一直保持這個水平。存，它們的數(shù)量將一直保持這個水平。),(),(12bkckyx2) 分析驗(yàn)證方程組有周期解分析驗(yàn)證方程組有周期解 (1)求相軌線方程求相軌線方程 將方程組將方程組(1)的兩個方程相除：的兩個方程相除： bykcxkbykxcxkydxdy 1212)()(dxcxkdybyk)()(21 兩

17、邊積分兩邊積分scxxkbyyk lnln21)2()(S)(12為任意常數(shù)為任意常數(shù)Seyexbykcxk (2) 驗(yàn)證方程有周期解驗(yàn)證方程有周期解方程組方程組(1)有周期解有周期解 相軌線相軌線(2)是一族封閉曲線是一族封閉曲線 xy0 x0 x1x需證明：需證明：對每一條軌線，存在對每一條軌線，存在 x0 x1，使使：1) x0 xx1時時,方程方程(2)有兩個相異根；有兩個相異根； 2) x =x0 或或 x=x1時時, 方程僅有一個單根方程僅有一個單根； 3) 時時, , 方程方程(2)無根無根。,10 xxx 3) 對方程周期解的分析對方程周期解的分析(1) 相軌線的形狀相軌線的形

18、狀 設(shè)方程的周期解為設(shè)方程的周期解為: x=x(t), y=y(t), t0, 則對任意給則對任意給定的定的t00，存在存在t10，使使x(t0)=x(t1), y(t0)=y(t1) 。 方程方程(1)(1)的相軌線的相軌線是一族包含平衡點(diǎn)是一族包含平衡點(diǎn)A( )的封閉曲線。的封閉曲線。bkck12,xyok2/ck1/bA(2) 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)A的實(shí)際意義的實(shí)際意義 記記 T=t1-t0 ，稱稱T 周期，將原方程周期，將原方程).();(2211cxkycxyykdtdybykxbxyxkdtdx中的第二個方程改寫為中的第二個方程改寫為cxkycxkyydtdy 22)(/兩邊從兩邊從t0

19、到到 t1 積分，得積分，得dtcxkydytttt2121)(2 21)(12ttdttxTck 21)(11ttdttyTbk同同理理 結(jié)論：結(jié)論：食用魚和食肉魚的平衡量恰為它們的數(shù)量在一食用魚和食肉魚的平衡量恰為它們的數(shù)量在一個周期內(nèi)的平均值。個周期內(nèi)的平均值。0)()(ln)(21012 tttytydttxcTkox(食用魚食用魚)yA0, 0 dtdydtdx0, 0 dtdydtdx0, 0 dtdydtdx0,0 dtdydtdxP該區(qū)域兩類魚的初始數(shù)量分別為該區(qū)域兩類魚的初始數(shù)量分別為x x0 0和和y y0 0，軌線的，軌線的出發(fā)點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)為P(xP(x0 0,y,y0 0

20、) )，箭頭表明了軌線的運(yùn)動方向。，箭頭表明了軌線的運(yùn)動方向。4) DA ncona現(xiàn)象的解釋現(xiàn)象的解釋 為考察捕魚業(yè)對兩種魚類的影響，引入捕撈能力系為考察捕魚業(yè)對兩種魚類的影響，引入捕撈能力系數(shù)數(shù)，將方程，將方程(1)改寫為改寫為 )3(.)(;)(21 cxyykdtdybxyxkdtdx 方程方程( (3)的平衡點(diǎn)為的平衡點(diǎn)為A( )，由于捕撈能力由于捕撈能力系數(shù)的引進(jìn)，食用魚的平均量增大，而食肉魚的平均量系數(shù)的引進(jìn)，食用魚的平均量增大，而食肉魚的平均量則減少了。則減少了。bk,ck12 Volterra原理：為了減少強(qiáng)者，只需捕獲弱者。原理：為了減少強(qiáng)者，只需捕獲弱者。 歐幾里德在不加

21、證明而直接采用基本概念和公理歐幾里德在不加證明而直接采用基本概念和公理的基礎(chǔ)上，運(yùn)用邏輯推理方法得出了一系列定理、推論的基礎(chǔ)上，運(yùn)用邏輯推理方法得出了一系列定理、推論, 從而建立了完整的歐幾理德幾何學(xué)，這一輝煌的成果至從而建立了完整的歐幾理德幾何學(xué)，這一輝煌的成果至今仍然是人類寶貴財(cái)富。今仍然是人類寶貴財(cái)富。邏輯推理建模方法是一種重要的建模方法邏輯推理建模方法是一種重要的建模方法 一、合作對策模型一、合作對策模型 從事某一項(xiàng)活動若能多方合作，往往可以獲得更大從事某一項(xiàng)活動若能多方合作，往往可以獲得更大的總收益的總收益(或受到更小的損失或受到更小的損失)。合作中應(yīng)該如何分配收。合作中應(yīng)該如何分配

22、收益益(或分?jǐn)倱p失或分?jǐn)倱p失)? 合作對策模型基本思想：合作對策模型基本思想：采用公理化方法，從問題采用公理化方法，從問題應(yīng)當(dāng)具有的基本屬性出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理方法導(dǎo)出滿足應(yīng)當(dāng)具有的基本屬性出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理方法導(dǎo)出滿足這些基本屬性的解。這些基本屬性的解。 例例5.3.1 有三個位于一條河流同一側(cè)的城鎮(zhèn)，三城有三個位于一條河流同一側(cè)的城鎮(zhèn)，三城鎮(zhèn)的污水必須經(jīng)過處理才能排入河中，三方商議共建一鎮(zhèn)的污水必須經(jīng)過處理才能排入河中，三方商議共建一座污水處理廠。座污水處理廠。城城1城城2城城320公里公里38公里公里污水廠污水廠籌建處籌建處 問題：問題： (1) 三個城鎮(zhèn)怎樣三個城鎮(zhèn)怎樣 建廠可使總開支最

23、少？建廠可使總開支最少？ (2) 每一個城鎮(zhèn)的費(fèi)用各分?jǐn)偠嗌?？每一個城鎮(zhèn)的費(fèi)用各分?jǐn)偠嗌?？分析：分析：有五種方案可供選擇有五種方案可供選擇條件：條件：建設(shè)污水處理廠的費(fèi)用有公式：建設(shè)污水處理廠的費(fèi)用有公式：)(730712. 01萬萬元元QC 管道費(fèi)用：管道費(fèi)用：)(6 . 651. 02萬萬元元LQC (1) 三城各建一個處理廠；三城各建一個處理廠；(2) 城城1與城與城2合建一個廠，合建一個廠， 城城3單獨(dú)建一個；單獨(dú)建一個；(3) 城城2與城與城3合建一個廠，城合建一個廠，城1單獨(dú)建一個；單獨(dú)建一個；(4) 城城1與城與城3合建一個廠，城合建一個廠，城2單獨(dú)建一個；單獨(dú)建一個；(5) 三

24、城合作建一個處理廠；三城合作建一個處理廠；Q Q污水排放量污水排放量L L管道長度管道長度( (公里公里) ) 三個城鎮(zhèn)的污水排放量分別為三個城鎮(zhèn)的污水排放量分別為Q1=5米米3 3/ /秒秒，Q2=3米米3 3/ /秒秒，Q3=5米米3 3/ /秒。秒。對各個方案進(jìn)行費(fèi)用測算，得對各個方案進(jìn)行費(fèi)用測算，得方案總投資 城1投資 城2投資 城3投資 (1)6200230016002300(2)5800？2300(3)59502300？(4)6230？1600？(5)5560？ 方案方案(5)：三個城市合作建廠總投資最少。三個城市合作建廠總投資最少。問題：問題：三個城市如何分?jǐn)傎M(fèi)用？三個城市如何分

25、攤費(fèi)用？經(jīng)商討定下幾條原則：經(jīng)商討定下幾條原則：1. 建廠費(fèi)用按建廠費(fèi)用按3個城市的污水量之比個城市的污水量之比5:3:5分?jǐn)?；分?jǐn)偅?. 城城2到城到城3的管道費(fèi)按的管道費(fèi)按5:3由城由城1和城和城2分?jǐn)?；分?jǐn)偅?. 城城1到城到城2的費(fèi)用由城的費(fèi)用由城1自行解決自行解決.思考：思考：他們的原則是否有道理？他們的原則是否有道理？城城1市長的市長的“可行性論證可行性論證”： 1. 建廠總費(fèi)用為建廠總費(fèi)用為 730(5+3+5)0.712 =4530(萬元萬元)，城城1負(fù)擔(dān)費(fèi)用為負(fù)擔(dān)費(fèi)用為 45305/131742(萬元萬元); 2. 城城1至城至城2的管道費(fèi)用為的管道費(fèi)用為 6.650.512

26、0300(萬元萬元)； 3. 城城2至城至城3的管道費(fèi)用為的管道費(fèi)用為 6.6(5+3)0.5138724(萬元萬元) 城城1 1負(fù)擔(dān)負(fù)擔(dān) 7245/8=425.5(萬元萬元);城城1 1總共負(fù)擔(dān)：總共負(fù)擔(dān)：1742+300+425.5=2467(元元). 市長的市長的結(jié)論：結(jié)論：不能接受這樣的合作！不能接受這樣的合作！n人合作對策模型人合作對策模型 Shapley定理：定理：滿足公理滿足公理14 的的(V)存在并且存在并且唯一，由下式給出：唯一，由下式給出：)1()()()()( iTSiiSVSVSWV )2( !)!()!1()(nSnSSW Ti 是是I中包含中包含i的一切子集構(gòu)成的集

27、族的一切子集構(gòu)成的集族, , 表示集合表示集合S中的元素個數(shù)。中的元素個數(shù)。S 續(xù)例續(xù)例1 ：計(jì)算城市計(jì)算城市1應(yīng)承擔(dān)的費(fèi)用應(yīng)承擔(dān)的費(fèi)用 T1=1, 1,2, 1,3, 1,2,3。 0 0 0 250V(S1) 0 67 0 130 W( ) V(S) V(S1) 1 2 2 31/3 1/6 1/6 1/3W( ) 0 490 0 390V(S) V(S1) 0 400 0 640 V(S)1 1,2 1,3 1,2,3SSSS根據(jù)公式根據(jù)公式(1)(1) 1)()()()(1TSiSVSVSWV 從而城市從而城市1 1應(yīng)承擔(dān)投資額為應(yīng)承擔(dān)投資額為：2300197=2103(萬元萬元)。=

28、 67+130=197(萬元萬元)，二、信息模型二、信息模型 例例5.3.2 調(diào)整氣象觀察站問題調(diào)整氣象觀察站問題 某地區(qū)內(nèi)有某地區(qū)內(nèi)有12個氣象觀察站個氣象觀察站( (位置如圖位置如圖) )，有，有10年各年各觀察站的年降水量數(shù)據(jù)。為了節(jié)省開支。想要適當(dāng)減少觀察站的年降水量數(shù)據(jù)。為了節(jié)省開支。想要適當(dāng)減少氣象站。氣象站。 問題：問題：減少哪些觀察站可以使得到的降水量的減少哪些觀察站可以使得到的降水量的信息信息量量仍然足夠大？仍然足夠大？x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10問題：問題：怎樣比較信息的大?。吭鯓颖容^信息的大?。?信息的多少能不能度量信息的多少能不能度量？ 降水量的降水量的信

29、息量信息量仍然足夠大？仍然足夠大？1. 信息量信息量認(rèn)識問題的過程：認(rèn)識問題的過程： 對一個問題毫無了解時，對它的認(rèn)識是不確定的。對一個問題毫無了解時，對它的認(rèn)識是不確定的。在了解過程中，通過獲得信息，逐漸消除了不確定性在了解過程中，通過獲得信息，逐漸消除了不確定性.獲獲得的信息越多，消除的不確定性就越大。得的信息越多，消除的不確定性就越大。用消除不確定性的多少來度量信息量用消除不確定性的多少來度量信息量 例例1：到影院尋找一個人，已問到：到影院尋找一個人，已問到： (1) 甲告訴兩條消息：他不坐在前十排，他也不坐甲告訴兩條消息：他不坐在前十排，他也不坐在后十排；在后十排； (2) 乙告訴一條

30、消息：他坐在第十五排。乙告訴一條消息：他坐在第十五排。問題：問題：甲、乙誰提供的消息信息量更大？甲、乙誰提供的消息信息量更大？ 答案：答案：乙的消息總信息量更大乙的消息總信息量更大 ，因其不確定性消除，因其不確定性消除得更多。得更多。 例例2. 若在盛夏預(yù)報(bào)若在盛夏預(yù)報(bào)“明日無雪明日無雪”，這條消息的信，這條消息的信息量為零，因根本不存在不確定性。息量為零，因根本不存在不確定性。 美國貝爾實(shí)驗(yàn)室的學(xué)者香龍美國貝爾實(shí)驗(yàn)室的學(xué)者香龍(Shannon)應(yīng)用概率知應(yīng)用概率知識和邏輯方法推出了信息量的計(jì)算公式。識和邏輯方法推出了信息量的計(jì)算公式。他提出信息度量應(yīng)滿足的公理：他提出信息度量應(yīng)滿足的公理：

31、公理公理1 信息量是該事件發(fā)生概率的連續(xù)函數(shù)；信息量是該事件發(fā)生概率的連續(xù)函數(shù)； 公理公理2 如果如果A B，則，則A發(fā)生的信息量發(fā)生的信息量B發(fā)生的信發(fā)生的信息量；息量； 公理公理3 若若A與與B相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則A與與B同時發(fā)生的信息同時發(fā)生的信息量應(yīng)為單獨(dú)獲知兩事件發(fā)生的信息量之和；量應(yīng)為單獨(dú)獲知兩事件發(fā)生的信息量之和；公理公理4 任何信息的信息量都是有限的。任何信息的信息量都是有限的。 將事件將事件A 發(fā)生的信息記為發(fā)生的信息記為M，概率記為，概率記為p，記信息，記信息的信息量為的信息量為I(M) 定理：定理：滿足公理滿足公理14的信息量函數(shù)必為的信息量函數(shù)必為 I(M)=C l

32、oga p (1)其中其中C 是任意正整數(shù)，對數(shù)的底是任意正整數(shù)，對數(shù)的底a可取不為可取不為1的正實(shí)數(shù)。的正實(shí)數(shù)。注注取取a=2，C=1，信息量的單位稱為信息量的單位稱為比特比特 取取a=10，C=1， 信息量的單位稱為信息量的單位稱為迪吉特迪吉特 例例3. 某劇院有某劇院有1280個座位，個座位，32排，每排排，每排40座?，F(xiàn)從座。現(xiàn)從中找出某人，求以下信息的信息量。中找出某人，求以下信息的信息量。1) A：他在第十排；：他在第十排； 2) B：他在第他在第15座座 ；3) C：他在第十排第他在第十排第15座。座。 解：解： 在未知任何信息的條件下，認(rèn)為他坐在各排在未知任何信息的條件下，認(rèn)為

33、他坐在各排 的概率是均等的，坐在各座位的概率也相等。的概率是均等的，坐在各座位的概率也相等。)(5321log)(2比特比特 AMI有：有：I(MC)=I(MA) I(MB)。)(32. 5401log)(2比特比特 BMI)(32.2012801log)(2比特比特 CMI 滿足公理滿足公理3：對完全獨(dú)立的幾條信息，其總信息量對完全獨(dú)立的幾條信息，其總信息量等于各條信息的信息量總和。等于各條信息的信息量總和。2. 平均信息量平均信息量(熵熵) 定義：定義：一隨機(jī)試驗(yàn)有一隨機(jī)試驗(yàn)有N個可能結(jié)果，個可能結(jié)果， 出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率分別為分別為p1, p2, ,pN，出現(xiàn)第出現(xiàn)第i 組結(jié)果的信息量

34、為組結(jié)果的信息量為-log2pi，該試驗(yàn)的不確定性可由這組信息量的平均信息量度量該試驗(yàn)的不確定性可由這組信息量的平均信息量度量:)1(log12 NiiippH稱稱H為為熵熵(或或負(fù)熵負(fù)熵)。 對具有連續(xù)分布對具有連續(xù)分布 p(x) 的隨機(jī)試驗(yàn)，熵的定義為的隨機(jī)試驗(yàn)，熵的定義為: dxxpxppH)(log)()(2注注1. 此定義與物理中的熵僅相差一個負(fù)號；此定義與物理中的熵僅相差一個負(fù)號； 2. 熵度量試驗(yàn)的不確定程度，熵越大試驗(yàn)的熵度量試驗(yàn)的不確定程度，熵越大試驗(yàn)的不確定程度越大。不確定程度越大。例例4有三名射手的射擊情況如下：有三名射手的射擊情況如下： 5 . 05 . 0AA甲甲：

35、01. 099. 0AA乙乙： 3 . 07 . 0AA丙丙： 其中其中A 表示射擊命中目標(biāo)表示射擊命中目標(biāo)。哪一個射手的射擊情況哪一個射手的射擊情況最不確定？最不確定？ 解：解：需求三個射擊試驗(yàn)的熵需求三個射擊試驗(yàn)的熵3010. 02lg21lg2121lg21 甲甲H0243. 001. 0lg01. 099. 0lg99. 0 乙乙H2653. 03 . 0lg3 . 07 . 0lg7 . 0 丙丙H其中其中, , 取取a=10，甲的熵值最大，乙的最小。甲的熵值最大，乙的最小。結(jié)論結(jié)論？ 例例5. . 若若隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)變量隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)變量XN(0,2)， 求試驗(yàn)求試驗(yàn)的熵值。的熵值

36、。解：解：X 的的概率密度為概率密度為 ,21)(222Rxexpx dxxepHx22log21)(222/22 .2log212log e 思考：思考： 分析熵與隨機(jī)變量方差的關(guān)系分析熵與隨機(jī)變量方差的關(guān)系重要結(jié)論重要結(jié)論: : 1) )若試驗(yàn)僅有有限種結(jié)果：若試驗(yàn)僅有有限種結(jié)果：S1, S2,Sn，其發(fā)生的其發(fā)生的概率分別為概率分別為p1, p2, , pn，當(dāng)當(dāng) p1= p2= =pn=1/n，試驗(yàn)具有最大熵試驗(yàn)具有最大熵. 2) 若試驗(yàn)是連續(xù)型隨機(jī)試驗(yàn)，其概率密度若試驗(yàn)是連續(xù)型隨機(jī)試驗(yàn)，其概率密度P(x) 在在 a, b以外均為零以外均為零， 則均勻分布具有最大熵。則均勻分布具有最大熵。 3) 對于一般連續(xù)型隨機(jī)試驗(yàn)對于一般連續(xù)型隨機(jī)試驗(yàn), 在方差一定的前提在方差一定的前提下下, 正態(tài)分布具有最大熵。正態(tài)分布具有最大熵。 定理：定理：(最大熵原理最大熵原理)受到相互獨(dú)立且均勻而小的隨受到相互獨(dú)立且均勻而小的隨機(jī)因素影響的系統(tǒng)，其狀態(tài)的概率分布將使系統(tǒng)的熵最機(jī)因素影響的系統(tǒng)，其狀態(tài)的概率分布將使系統(tǒng)的熵最大。大。問題：問題：怎樣將