大學物理第11章2

1、2022-5-181復復 習習1 1、機械波產生的條件、機械波產生的條件波源、彈性介質波源、彈性介質2 2、機械波的兩種類型：、機械波的兩種類型：橫波、縱波橫波、縱波3 3、描述簡諧波的相關物理量、描述簡諧波的相關物理量波長（波長（）、周期（）、周期（T T）、頻率（）、頻率（v）、波速（）、波速（u）uT2022-5-1824 4、平面簡諧波的波函數(shù)、平面簡諧波的波函數(shù)正向傳播（右行波）：正向傳播（右行波）：0( , )cos()xy x tAtu負向傳播（左行波）：負向傳播（左行波）：0( , )cos()xy x tAtu其它形式：其它形式：0cos 2()txyAT0cos 2()xy

2、At0cos(),yAtkx02cos()xyAt2022-5-1835 5、波動方程的物理意義、波動方程的物理意義（1 1）x確定時，表示該質點的振動方程，對應振動曲線。確定時，表示該質點的振動方程，對應振動曲線。x 確定時確定時tyotp（2 2）t確定時，表示該時刻各質點位移分布，對應波形圖。確定時，表示該時刻各質點位移分布，對應波形圖。xxuyopt 確定時確定時2022-5-1841 1、波動傳播的是、波動傳播的是_A A、介質中的質點；、介質中的質點；B B、波源的振動狀態(tài)及能量、波源的振動狀態(tài)及能量2 2、沿波的傳播方向上的質點的振動相位依次、沿波的傳播方向上的質點的振動相位依次

3、_A A、超前；、超前；B B、滯后、滯后3 3、描述波的特征物理量中，僅取決于波源的量有、描述波的特征物理量中，僅取決于波源的量有_, _, 和彈性媒質相關的量有和彈性媒質相關的量有_。A A、波長；、波長；B B、周期；、周期；C C、頻率；、頻率；D D、波速、波速4、一條波線上空間距離為、一條波線上空間距離為x的兩點間的相位差為的兩點間的相位差為（ ）。）。2xB、CA、D5 5、一平面簡諧波沿、一平面簡諧波沿 x 軸負方向傳播。已知軸負方向傳播。已知 x = x0 處質點的處質點的 振動方程為振動方程為 。若波速為。若波速為u, ,則此波的則此波的 波動方程為：波動方程為：)cos(

4、0tAy00000000/)(cos)/)(cos)/)(cos)/)(cos)uxxtAyDuxxtAyCuxxtAyBuxxtAyA A ox0 xx)(cos),(0uxtAtxy例例11-2 11-2 頻率為頻率為12.5kHz的平面余弦波沿細長的的平面余弦波沿細長的金屬棒傳播，波速為金屬棒傳播，波速為35.0 10 m/s。如以棒上某點取為如以棒上某點取為坐標原點，已知原點處質點振動的振幅為坐標原點，已知原點處質點振動的振幅為0.1mmA，試求試求：（：（1 1）原點處質點的振動表達式；）原點處質點的振動表達式；（2 2）波函數(shù)；）波函數(shù)；（3 3）離原點）離原點10cm10cm處質

5、點的振動表達式；處質點的振動表達式；（4 4）離原點）離原點20cm20cm和和30cm30cm處質點的振動相位差；處質點的振動相位差；（5 5）在原點振動）在原點振動0.0021s0.0021s時的波形。時的波形。解：解：0.40mu波長波長周期周期518 10sT （1 1）原點處質點的振動表達式）原點處質點的振動表達式330cos0.1 10cos(25 10 )myAtt（2 2）波函數(shù)）波函數(shù)cos()xyAtu3330.1 10cos 25 10 () m5 10 xt注意注意物理量單位！物理量單位！12.5kHz35.0 10 m/s0.1mmA（3）原點）原點10cm處質點的振

6、動表達式處質點的振動表達式33410.1 10cos 25 10 ()5 10yt330.1 10cos 25 10 m2t（4 4）兩點間距離）兩點間距離10cm0.10m4x 相位差相位差2（5 5）時的波形時的波形0.0021st 3330.1 10cos 25 10 (0.0021)5 10 xy30.1 10sin5 mxxyO30.1 100.4 例例11一平面簡諧波沿一平面簡諧波沿OX 軸的負向傳播，波長為軸的負向傳播，波長為 ，P 處處質點的振動規(guī)律如圖。質點的振動規(guī)律如圖。 求：求： 1 1）P 處質點的振動方程。處質點的振動方程。2 2）該波的波動方程。）該波的波動方程。3

7、 3）若圖中）若圖中 ，求坐標原點，求坐標原點O 處處質點的振動方程。質點的振動方程。2dA)(myp)(sto1oPBdxA)(myp)(sto1解：解：1）設設P點的振動方程為：點的振動方程為：)cos(0tAyp由旋轉矢量法知：由旋轉矢量法知：0oAysT422T)2cos(tAyp2）設設B點距點距O點為點為x，則波動方程為：則波動方程為：oPBdx)(22cosdxtAy3）20dxtAy2cos 例例22一平面簡諧波在一平面簡諧波在t = 0 時刻的波形圖，時刻的波形圖， 求：求：1 1）該波的波動方程；）該波的波動方程； 2 2）P 處質點的振動方程。處質點的振動方程。)(mxo

8、04.0P)(mysmu/08. 02 .0)(mxo04.0P)(mysmu/08. 02 .0解解：1）由題意知：由題意知：m4 . 0mA04. 0suT552設波動方程為：設波動方程為：)(cos0uxtAy由旋轉矢量法知：由旋轉矢量法知：20o2Ay2)08.0(52cos04.0 xty2）將將x = 0.2 代入方程：代入方程：2352cos04.0ty解解: 1) 若以若以A為原點，則有為原點，則有:ty 4cos30 x 處處 t 時刻的振動時刻的振動 , 與與 A 處處 t + x / u 時刻的振動相同時刻的振動相同, 因而因而 x 處的振動為處的振動為:)(4cos3u

9、xty )()20(4cos3SIxt px例例3如圖如圖,一平面波在介質中以速度一平面波在介質中以速度u = 20 m / s 沿沿x 軸負軸負方向傳播方向傳播,已知已知A 點振動方程為點振動方程為: y = 3 cos 4t ( SI ) 1)以以A點為坐標原點寫出波動方程點為坐標原點寫出波動方程( 波函數(shù)波函數(shù))。 2)以距以距A點點5m 處的處的B 點為坐標原點點為坐標原點 , 寫出波動方程。寫出波動方程。uAxB解解: 1) 若以若以A為原點，則有為原點，則有:ty 4cos30 x 處處 t 時刻的振動時刻的振動 , 與與 A 處處 t + x / u 時刻的振動相同時刻的振動相同

10、, 因而因而 x 處的振動為處的振動為:)(4cos3uxty )()20(4cos3SIxt pxuAxBy = 3 cos 4t u = 20 m / s 2) 以以B 點為坐標原點點為坐標原點,設設 A 處坐標為處坐標為 xA , t 時刻時刻A點振點振動方程為動方程為tyA 4cos3 P 處質元的振動與處質元的振動與A 處處uxxtA時刻的振動相同，故時刻的振動相同，故:)(4cos3uxxtyA )20520(4cos3 xt )()20(4cos3SIxt 解題要點解題要點 : 沿波的傳播方向上各點的相位依次落后！沿波的傳播方向上各點的相位依次落后！pxBuAx例例4 一平面余弦

11、波一平面余弦波, 波線上各質元的振幅和角頻率分別波線上各質元的振幅和角頻率分別為為A和和, 波沿波沿x軸正向傳播軸正向傳播, 波速為波速為u，設某一瞬時的波設某一瞬時的波形如圖所示形如圖所示, 并取圖示瞬時為計時起點。并取圖示瞬時為計時起點。1) 分別以分別以O和和P為坐標原點為坐標原點, 寫出該波的波函數(shù)寫出該波的波函數(shù)。2) 確定在確定在t = 0 時刻，距點時刻，距點O 分別為分別為x =/8 和和 3/8 兩處兩處質元質元振動速度的大小和方向振動速度的大小和方向。xyu yOP時時的的波波形形0t解解: 1) 取取O點為坐標原點，設點為坐標原點，設O點振動方程為點振動方程為:)cos(

12、0 tAyo其中其中: ,A為已知為已知,現(xiàn)求現(xiàn)求0,由圖知由圖知, t = 0 時時,)2cos( tAyo0cos00 Ay0sin00 Av2/0由矢量法可得：由矢量法可得：2波函數(shù)為波函數(shù)為:2)(cos uxtAyxyuO時時的的波波形形0t若取若取P 點為坐標原點，點點為坐標原點，點P 作簡諧振動的運動方程為作簡諧振動的運動方程為:) cos( tAyp由波形圖可知，由波形圖可知，t = 0 時刻時刻:AAyp cos 0sin Avp因此因此則有則有:)cos(tAyp波函數(shù)為波函數(shù)為:)(cos uxtAy原點的選取決定了波函數(shù)的初相，應明確原點的位置。原點的選取決定了波函數(shù)的

13、初相，應明確原點的位置。xyu yOP時時的的波波形形0t2)求質元的振動速度求質元的振動速度在在 x 處處:2)(sin uxtAtyv22sin xtA:,/,得得代代入入以以8x0t Av22沿沿y軸負向軸負向:,8/3,得得代代入入以以 x0tAv22沿沿y軸正向軸正向2)(cos uxtAyl彈性波傳播到介質某處，該處將具有動能（振動）彈性波傳播到介質某處，該處將具有動能（振動）和勢能（形變）。在波的傳播過程中，能量從波源向和勢能（形變）。在波的傳播過程中，能量從波源向外傳播。外傳播。2022-5-1823 m( m= V )。 考慮介質中的體積考慮介質中的體積 V，其質量為其質量為

14、Ep pEk k當當波動傳播到該體積元時，將具有動能波動傳播到該體積元時，將具有動能 和彈性勢能和彈性勢能平面簡諧波平面簡諧波 )(cos),(0uxtAtxy可以證明有如下關系可以證明有如下關系: : 22201()sin2xEEAVtu kpkp說明：說明：在波的傳播過程中，任一體積元都在不斷地接收和在波的傳播過程中，任一體積元都在不斷地接收和放出能量，其值是時間的函數(shù)。與振動情形相比，放出能量，其值是時間的函數(shù)。與振動情形相比，波動傳波動傳播能量，振動系統(tǒng)并不傳播能量播能量，振動系統(tǒng)并不傳播能量。體積元的總機械能體積元的總機械能E222()sinxEEEAVtu kp0kp02022-5

15、-1824波的波的能量密度能量密度 : : w222sinExwAtVu能量密度的平均值能量密度的平均值: : 21)(sin1)(sin10202dtuxtTdtuxtTTT222Aw能流能流:在介質中垂直于波速方向取一面積在介質中垂直于波速方向取一面積S，在單位時，在單位時間內通過間內通過S 的能量。的能量。(與電流類比與電流類比)uSuwSuttwSutWPdddd)(sin222uxtAuS平均能流平均能流：2221AuSSuwP2022-5-1825平均能流密度平均能流密度( (波的強度波的強度):): 通過與波傳播方向垂直通過與波傳播方向垂直的單位面積的平均能流，用的單位面積的平均

16、能流，用I I 來表示來表示: :222222uAZAIwu I的單位的單位：W/m2 (瓦特/米2) 按照麥克斯韋電磁場理論按照麥克斯韋電磁場理論, ,變化的電場在其周圍會激變化的電場在其周圍會激發(fā)渦旋磁場發(fā)渦旋磁場, , 變化的磁場在其周圍會激發(fā)渦旋電場變化的磁場在其周圍會激發(fā)渦旋電場, , 這這樣變化的電場和變化的磁場相互連續(xù)激發(fā)，在空間交替樣變化的電場和變化的磁場相互連續(xù)激發(fā)，在空間交替擴散，就形成由近及遠傳播的擴散，就形成由近及遠傳播的電磁波電磁波。下圖畫出了一條。下圖畫出了一條直線方向上傳播的電磁波。直線方向上傳播的電磁波。磁電場電場磁波源磁電場磁電場 18651865年，麥克斯韋

17、預言了電磁波的存在；年，麥克斯韋預言了電磁波的存在； 1886 1886年，赫茲從實驗上證實了電磁波的存在。年，赫茲從實驗上證實了電磁波的存在。 LCLC振蕩電路振蕩電路可作為電磁波的波源可作為電磁波的波源: :LC21振蕩頻率：振蕩頻率：CLi有效發(fā)射電磁波的必要條件：有效發(fā)射電磁波的必要條件：1)1)電路的振蕩頻率必須足夠高。電路的振蕩頻率必須足夠高。2)2)LC電路必須開放。電路必須開放。)(itE)(itE)(itE)(tB)(tB電磁波的電場、磁場方向相互垂直電磁波的電場、磁場方向相互垂直2022-5-1828)(cos4sin2002crtrcpEE)(cos4sin02crtcr

18、pHH球面波球面波2022-5-1829 振蕩偶極子的電磁場在理論上可由麥克斯韋方程組嚴格地振蕩偶極子的電磁場在理論上可由麥克斯韋方程組嚴格地求出。求出。遠離偶極子的遠離偶極子的P點處點處,振蕩偶極子發(fā)射的電磁波在時刻振蕩偶極子發(fā)射的電磁波在時刻 t 的的E、H 的量值的量值(真空中真空中)：)(2cos)(cos00 xTtEcxtEE)(2cos)(cos00 xTtHcxtHH 在遠離偶極子的一小區(qū)域內，可用平面波函數(shù)近似：在遠離偶極子的一小區(qū)域內，可用平面波函數(shù)近似：設電磁波在無限大均設電磁波在無限大均勻介質中傳播，介質勻介質中傳播，介質中中00, j0 = 0 則有，則有，）（）（）（）（430210tDHBtBED由方程（由方程（2）兩邊取旋度得，）兩邊取旋度得，HtE)(將方程（將方程（4）代入上式得，）代入上式得，22)(tEE由矢量運算法則，由矢量運算法則，EEE2)()(可得到電場和磁場滿足的方程：可得到電場和磁場滿足的方程：222tEE222tHH同理，可得到磁場滿足的方程：同理，可得到磁場滿足的方程：1u在直角坐標系中，上述方程可寫為：在直角坐標系中，上述方程可寫為：2222222221tEuzEyExE2222222221tHuzHyHxH對真空，對真空， smcu/