葉片的強度與振動

1、葉片的強度與振動第一節(jié) 軸流式壓縮機葉片強度計算軸流式壓縮機葉片分為動葉與靜葉兩種。動葉為工作葉片，靜葉為導(dǎo)向葉片。動葉工作時作用于其上的力主要有兩種：1.葉片自身質(zhì)量離心力；2.氣流對葉片的作用力。葉片沿葉高為偏扭的情況下，葉片離心力還能引起彎曲應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)應(yīng)力。氣流作用力主要產(chǎn)生彎曲應(yīng)力。作用在葉片上的氣流力是隨時間變化的。它可以看做是不隨時間變化的平均值分量和隨時間變化的分量所組成。前者在葉片中產(chǎn)生靜彎曲應(yīng)力，后者則使葉片產(chǎn)生振動。葉片結(jié)構(gòu)一、葉身葉身截面為翼形，截面的主要參數(shù)為1. 弦長b2. 最大厚度3. 相對厚度4. 中線最大彎度f5. 最大彎度距前緣的距離6. 前緣半徑，后緣半徑圖

2、3-1翼形葉片截面參數(shù)maxCmax/CCbfx12,r r對于 的級（Dm是級的平均直徑，l是葉片高度）采用等截面葉片。見圖3-2a。等截面葉片的優(yōu)點是加工簡單，但強度較差。/10mDl 對于 的級（Dm是級的平均直徑，l是葉片高度）采用變截面葉片。見圖3-2b。變截面葉片可改善流動及減小離心拉應(yīng)力，但制造相應(yīng)困難。/10mDl 二、葉根葉根是將葉片固定在葉輪或轉(zhuǎn)股上的聯(lián)結(jié)部分。葉根的結(jié)構(gòu)型式取決于強度，制造和安裝工藝條件以及轉(zhuǎn)子的型式。常見的葉根結(jié)構(gòu)形式有燕尾型、T型和樅樹型。如圖3-3所示軸流式壓縮機上葉根多為燕尾型和倒T型。樅樹型多用在蒸汽輪機末級葉片上。燕尾型和倒T型葉根承載能力較小

3、，在離心力較小的窄短葉片上采用，加工方便，工作可靠。樅樹型葉根工作可靠，承載能力大，裝配方便，但加工困難。圖3-2 等截面和變截面葉片圖3-3 常用葉根型式三、葉頂部分圍帶、拉金多用在汽輪機葉片上，軸流式壓縮機葉片一般不用。葉片用圍帶、拉金聯(lián)在一起后稱為葉片組，見圖3-5，3-6.無圍帶、拉金的葉片則稱為單個葉片或自由葉片。圍帶通常為3-5mm厚的扁平金屬帶，用鉚接的方法固定在葉片頂部。拉金一般是6-12mm的金屬帶或金屬管，穿過葉片中間的拉金孔。與葉片焊牢的稱為焊接拉金；不焊者稱為松裝拉金。松裝拉金可以造成附加阻尼以減小振動應(yīng)力。圍帶和焊接拉金都能減小葉片中氣流彎曲應(yīng)力和提高葉片的抗振性，因

4、為葉片用圍帶或拉金聯(lián)結(jié)后，救災(zāi)葉片頂部后中間增加了一個約束，增強了葉片的抗彎剛性，一方面減小葉片的氣流彎應(yīng)力，另一方面也可調(diào)整葉片的固有頻率以避開共振。圖3-4 裝圍帶的葉片組圖3-5 裝拉金的葉片組二、葉片離心拉應(yīng)力的計算1等截面葉片等截面葉片沿葉高各截面所受的離心拉應(yīng)力并不相同，而是有葉頂向底部逐漸增大。底部截面承受了整個型線部分的離心力。所以該截面離心拉應(yīng)力最大，為危險截面。整個葉身的質(zhì)量離心力為2mFAlR等截面葉片根部截面的拉應(yīng)力是2mFlRA 由該式可以看出，葉片離心拉應(yīng)力與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的平方、葉片高度和平均半徑成正比，而與葉片橫截面積A無關(guān)。對等截面葉片而言，增大葉片的橫截面積并不能

5、使離心拉應(yīng)力降低。圖3-6(3-1)(3-2)2變截面葉片/10mDl 對于 的級，由于葉片較長，葉頂和底部圓周速度相差較大，從氣動效率和強度方面考慮都需采用變截面葉片。見圖3-8，在距葉片底部截面距離為z處取一微段dz，其截面積為A(z),此微段的離心力為20ddFA zzz式中z為型線部分底部截面半徑，則葉片底部截面上離心力為 200dlFA zzzz相應(yīng)離心拉應(yīng)力為 2000dlA zzzzA圖3-7(3-3)由上式知，離心拉應(yīng)力與葉片材料密度，轉(zhuǎn)速及截面沿葉高的變化規(guī)律A(z)有關(guān)。采用密度較小的材料也可以降低離心拉應(yīng)力。葉片型線部分沿葉高的變化規(guī)律A=f(z)是已知的，但往往難于用解

6、析式表達(dá)。一般采取數(shù)值積分近似算出各截面的拉伸應(yīng)力。如圖3-8，將葉片分為n段，從上之下截面為0，1，2n第i段的平均面積，平均半徑，高度分別以 記之，則i截面上的離心拉應(yīng)力為,mimiiAZZ21imimiiiiA ZZA(3-4)圖3-8(3-4)三、氣流彎曲應(yīng)力的計算氣體力彎矩是由氣流作用于葉片而產(chǎn)生的。對于短葉片 氣流參數(shù)沿葉高的變化不大，計算可按葉片平均半徑處氣流參數(shù)進(jìn)行。氣體流經(jīng)葉柵前后速度三角形如圖3-10所示。/10mDl 作用在葉片上的氣體力可分解為切向力Fu和軸向力Fa。切向力可有動量方程或級的輪周功率來確定。按動量定理，氣流的動量在某一時間間隔內(nèi)的改變，等于作用在氣流上的

7、力在同一時間間隔的沖量。于是便可得到葉片所受切向氣流力為21uuuaGFccz式中通過葉柵的氣體質(zhì)量流量（Kg/s）切向氣流力（N）uFGaz1uc2uc動葉片數(shù)靜葉出口氣流切向速度（m/s）動葉出口氣流切向速度（m/s）平均半徑處圓周速度（m/s）uy圖3-9(3-5)由級的輪周功率確定切向力Fu的公式為1000uuaNFuzuN級的輪周功率（KW）按氣流軸向動量的改變及動葉前后的壓差，可計算出每個動葉所受的軸向力 2121aaaaGFccpp tlz動葉出口氣流軸向速度（m/s）靜葉出口氣流軸向速度（m/s）1ac2ac12,p ptl動葉前后氣體壓力（Pa）動葉平均半徑處的節(jié)距（m）動葉

8、高度（m）式中作用在葉片上的氣流力F是切向和軸向氣流力的合力22uaFFF(3-6)(3-7)對于 的短葉片，可將其作為受均布載荷q，一墻固定，一端自由的懸臂梁來研究/10mDl /qF l所以距葉底截面為z處的截面上 22qM zlz在z=0即葉底截面上，彎矩最大為2max22qlFlM為了求出底部截面的最大彎曲應(yīng)力，必須先確定形心主慣性軸。葉片翼型部分截面的形心主慣性軸可以通過計算得出，也可用相當(dāng)精確的近似方法直接得出。連接葉片的前緣和后緣點，便得出最小主慣性軸的方向。通過形心做該線的平行線，便得到最小主慣性軸- 。它的誤差一般小于3。過形心作- 軸的垂線，便可得最大主慣性軸-。見圖3-1

9、0圖3-10 葉片承受的氣流力(3-8)(3-9)對于氣流彎曲應(yīng)力而言，葉片底部截面危險點為1，2，3點。據(jù)材料力學(xué)公式有現(xiàn)將力F向-和 - 軸投影：12cossinFFFF式中arctanauFF為葉片安裝角， 為F與-軸之間的夾角在底部截面，兩個主慣性軸方向的彎矩為1122cos22sin22FlFlMF lFlM1 12 212112M eM eMMIIWW-1 12 412214M eM eMMIIWW-(3-10)式中1 3133M eMIW -11IWe-為截面抗彎模量，余同。通常后緣點的彎曲應(yīng)力 （拉應(yīng)力）比前緣點的彎曲應(yīng)力 和背弧的應(yīng)力 都要大。可見對氣流彎曲應(yīng)力而言，危險點為

10、葉底截面后緣點。當(dāng)應(yīng)力超過許用值時，可增加葉片的寬度，使葉片的截面抗彎模量相應(yīng)增大。從而使彎曲應(yīng)力下降。由此可見等截面葉片的截面形狀和大小，與彎曲應(yīng)力有關(guān)而與拉伸應(yīng)力無關(guān)。123對于 的長葉片，必須考慮氣流力季度q沿葉高的變化，如圖3-11所示。/10mDl 在這種情況下，距葉片底部截面處截面上氣體力彎矩按下式計算 111dlzM zq zzzz如氣體力集度沿葉高的變化規(guī)律無法用解析式表達(dá)時，則q(z)和M(z)可以用數(shù)值積分來確定。對于長葉片氣流彎曲應(yīng)力最大值可能不出現(xiàn)在底部截面上。圖3-11 氣流力集度沿葉高的變化(3-11)1WI四、離心力引起的彎曲應(yīng)力葉片離心力在某一截面上產(chǎn)生附加彎曲

11、應(yīng)力，是由于該截面以上葉片部分的重心和旋轉(zhuǎn)中心的連線（即離心力輻射線）不通過該截面的形心，形成偏心拉伸所致。在圖3-12中以底部截面的形心與旋轉(zhuǎn)中心O的連線（徑向線）為z軸。主軸軸線為x軸，y軸相應(yīng)決定。如人為的使葉片沿切向反旋轉(zhuǎn)方向傾斜（對汽輪機葉片則是順旋轉(zhuǎn)方向傾斜）。或使葉片順旋轉(zhuǎn)方向平移一段距離（對汽輪機則是反旋轉(zhuǎn)方向），都可以使離心力引起的附加彎矩與氣體力彎矩方向相反，從而抵消部分氣體力彎矩。對于等截面葉片，由于各截面形心的連線是一條直線，如果使這條形心連線與離心力輻射線重合，則離心力引起的附加彎曲應(yīng)力為零。圖3-12 離心力引起的葉片彎曲應(yīng)力WI式中 為j段葉片的體積， 為重心半徑

12、在變截面葉片中葉片截面積沿葉高逐漸減小。而且葉片型線部分的安裝角也是變化的。通常各截面的形心連線為一條空間曲線。因此離心力必然在某些截面中產(chǎn)生偏心拉伸，出現(xiàn)離心彎曲應(yīng)力，在較長的葉片中，這個應(yīng)力會達(dá)到很可觀的數(shù)值。一般也用近似積分法來計算離心力彎矩。設(shè)葉片分為n段，第i段葉片離心力為2jjmjFV RjVmjR22coszjjmjjmjFV RV z22sinyjjmjjmjFV RV y通常認(rèn)為 在yoz平面中，即把葉片各截面形心連線看成位于yoz平面內(nèi)的平面曲線，故0 xjF jF式中為第j段葉片形心坐標(biāo)。,mjmjyzWI可近似認(rèn)為：1112jjjjjVAAzz112mjjjyyy112

13、mjjjzzz第i截面上的離心力彎矩是i截面以上各段離心力分量對該截面x軸彎矩之和11iixizjmjiyjmjijjMFyyFzz 0yiM因為 位于yoz平面中，所以 必為零。上式中彎矩以逆時針為正。jFyiM如前所述，對于彎曲應(yīng)力，葉片根部截面危險點為1，2，3點為了計算出i截面最大離心彎曲應(yīng)力，需將向該截面主慣性軸轉(zhuǎn)換。當(dāng)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時，力和位移有相同的變換關(guān)系，為cossinsincosxiyiMMMM對于圖3-13，-坐標(biāo)系相對于x-y坐標(biāo)系順時針旋轉(zhuǎn)，故角應(yīng)以負(fù)值代入。12112MMWW 12214MMWW 133MW iW意思同前。見（3-10）式。圖3-133-12w五、總壓力與

14、安全系數(shù)葉片截面上總的靜壓力為離心拉應(yīng)力 與彎曲應(yīng)力 之和，不包括振動應(yīng)力，即llw總w應(yīng)為氣流彎曲應(yīng)力與離心彎曲應(yīng)力之和。葉片許用拉伸應(yīng)力 nss 為材料的屈服極限，n為安全系數(shù)，一般取n=1.72，安全系數(shù)n的大小取決于計算的準(zhǔn)確度，載荷性質(zhì)，加工精度及該零件的重要性等。六、葉根強度計算在簡略的計算中，通常不計葉根所受到的彎矩，只考慮葉片及葉根質(zhì)量離心力所引起的應(yīng)力。在軸流式壓縮機中通常采用燕尾形葉根，如圖3-14所示。設(shè)Pb為葉片及葉根的離心力，則作用在葉輪燕尾槽接觸面上的正壓力為2sin2bPN 圖3-14式中為相鄰兩葉片徑向夾角。以上所得到的是平均拉應(yīng)力。實際上BD截面的拉應(yīng)力是不均

15、勻的，存在較嚴(yán)重的應(yīng)力集中。此外還要校核輪緣兩個燕尾槽間危險截面BD的拉應(yīng)力l由圖3-14所示2coswlNPA式中A為危險截面BD之面積，又222故有APNwl22sin2該面上的擠壓應(yīng)力為2sin2ldPANb式中為燕尾槽兩側(cè)面的夾角，l,d為接觸面的長度與寬度。第二節(jié) 葉片振動葉片在工作時，不斷收到脈動氣流力的作用，使葉片產(chǎn)生振動。如果激振力的頻率接近葉片固有頻率而發(fā)生共振，將可能導(dǎo)致葉片的疲勞斷裂。葉片共振疲勞引起的事故，無論在國內(nèi)還是國外，都是屢見不鮮的。研究葉片的振動，找出減小葉片振動的有效途徑，是十分重要的。一、葉片振動型式葉片可看成是彈性懸臂梁，其振動的基本形式可分為彎曲振動與

16、扭轉(zhuǎn)振動。彎曲振動又可分為切向振動與軸向振動，它們分別指沿最大主慣性軸 與沿最小主慣性軸 的彎曲振動，如圖3-15（a）（b）所示。而扭轉(zhuǎn)振動則與圍繞葉片截面形心軸的振動。如圖3-15（c）所示。圖3-15 葉片振動的形式1、彎曲振動對切向彎曲振動，通常將葉項自由的葉片振動稱為A型振動。葉片彎曲振動的振型可通過實驗觀察，現(xiàn)在葉片上撒少許細(xì)沙，然后加以正弦激振力Fsint(由激振器產(chǎn)生)，連續(xù)改變激振頻率，當(dāng)激振力頻率與葉片第一階固有頻率 相等時，葉片產(chǎn)生共振，葉片作第一階主振動，葉片的振型便是第一階振型。據(jù)節(jié)點原理，第一階主振型應(yīng)無節(jié)點（節(jié)線），而實驗正好說明這一點，此時沙粒僅在葉片根部留下少

17、許，其余都振掉了。當(dāng)葉片產(chǎn)生第二階共振時，所測得的第二階振型上便有一條節(jié)線。一般將A型一階振動稱為 型振動，依次為10A012,AAA 它們分別相應(yīng)于1，2，3階主振動。其振型如圖3-16當(dāng)葉片頂部鉸支，可產(chǎn)生B型振型如圖3-17圖3-16 A型振動圖3-17 B型振動2、扭轉(zhuǎn)振動圖3-18為等直葉片作第1、2階扭轉(zhuǎn)振動時的振型圖，即角振幅沿葉高的變化曲線。相應(yīng)的沙振圖形如右，在等直葉片作第一階扭轉(zhuǎn)振動時，軸線處的振幅為零，因而沿軸線留下一些沙子。3、復(fù)合振動對于變截面扭轉(zhuǎn)葉片還會產(chǎn)生彎曲、扭轉(zhuǎn)復(fù)合振動。圖3-19（a）（b）即分別為二階彎曲一階扭轉(zhuǎn)振動和二階彎曲二階扭轉(zhuǎn)振動的沙振圖形。圖3-

18、18 扭轉(zhuǎn)振動圖3-19 復(fù)合振型二、等截面葉片固有頻率的計算葉片彎曲振動固有頻率有靜頻、動頻之分。動頻是計及葉片旋轉(zhuǎn)離心慣性力影響的固有頻率。由于離心力的作用相當(dāng)于增加了葉片的彎曲剛性，故葉片動頻高于相應(yīng)的靜頻。1、等截面葉片靜頻計算葉片的力學(xué)模型為彈性懸臂梁，設(shè)葉片作某階主振動，即設(shè)葉片的特解為 ,sin()y x tY xtY（x）為葉片的振型函數(shù)，由于在此把葉片作為連續(xù)體來對待，故其振型不再為一組離散值，而成為坐標(biāo)x的連續(xù)函數(shù)。振型函數(shù)與時間無關(guān)。在葉片自由振動中，慣性力是作用在葉片上的唯一載荷，其集度為 22tyAxq式中A為葉片橫截面積。(3-13)(3-14)在梁上取一微段dx，

19、其受力如圖3-21所示，由微段的平衡可得0y0dd22xxQQxtyAQ(a)對微段右截面形心C取矩，0cM0dd2dd22xxMMxQxxtyAM（b）由（a）式可得022tyAxQ（c）圖3-20 故有MQx略去高階微量，由（b）式可得上兩式即彎矩、彎力、分布載荷之間的微分關(guān)系 22ddddM xQ xq xxx式中22220MyAxt材料力學(xué)中梁的撓曲線近似微分方程為 22ddyMq xxEJ（d）（e）（f）式中EJ為梁的剛度，將f式代入e式，得2222220yyEJAxxt對于等截面葉片有24240yyAEJtx或242240yyatx(g)式中2EJaA此即等截面葉片自由振動偏微分

20、方程式。將3-13式代入g式可得4242d0dYYxa2242AkaEJ 令，于是便得到了葉片振型函數(shù)的常微分方程式444d0dYk Yx(h)該四階常微分方程的解可取為 sxY xe代入h式可得特征方程：440sk它的四個根為1,23,4,sk sik (i)故h式的解為故h式的解為 kxkxikxikxY xA eB eC eD e(j)又chsh,cossinkxikxekxkx ekxikx代入j式可得解的通常形式 sincosshchY xAkxBkxCkxDkx(k)k式即為等截面葉片自由振動的振型函數(shù)，將其代入3-16式便可得到偏微分方程g的通解為,sincosshchsiny

21、x tAkxBkxCkxDkxt(l)上式有A、B、C、D四個積分常數(shù)和 兩個待定系數(shù)，但懸臂梁有四個端點條件，再加上兩個振動初始條件，恰好可決定這六個常數(shù)。、求等截面葉片A型振動的固有頻率，懸臂梁的四個邊界條件為22331)0,02)0,003),004),00 xYdYxdxd YxlMdxd YxlQdx由1）可得0BD由2）可得0AC由3）、 4）可得sincosshch0AklBklCklDklcossinchsh0AklBklCklDkl將,AC BD 代入上兩式，得C sinshcos+ch0klklDklklcos+chsinsh0CklklDklkl上式為對于C和D的齊次方程

22、組，有非零解的條件為sinshcosch0coschsinshklklklklklklklkl此即葉片自由振動的頻率方程，或展開為1 cos ch0klkl(m)(n)上方程有無限多個根，也可由作圖法求出。將上式改寫為1coschklkl 以kl（無因次量）為橫坐標(biāo)，作出coskl和-1/chkl曲線，兩曲線各交點的橫坐標(biāo)就是頻率方程的根，見圖3-21123451.8754.6957.8551099614.137k lk lk lk lk l當(dāng)n4時，可有212nnk l由242nnka可得(3-15)2221,2,3nnnk lEJaknlA圖3-21將,AC BD 代入k式，得主振型函數(shù)

23、chcosshsinCY xDkxkxkxkxD式中比值C/D可由m式中任選一個求出，如取第二式shsinch +cosCklklDklkl 代入上式得 shsinchcosshsinch +cosklklY xDkxkxkxkxklkl(3-16)將各階主振動的 值代入（3-16）式，便可得到相應(yīng)的主振型。等截面葉片頭三階主振型圖示如右nk l圖3-22 等截面葉片1，2，3階主振型2.主振型的正交性葉片的不同階的振型之間也存在著正交性，在這里我們把葉片作為連續(xù)彈性體，故將表現(xiàn)為積分形式。設(shè)分別為對應(yīng)于 的主振型函數(shù)，據(jù)上節(jié)討論必有 ,ijY x Yx,ij 22222ddddiiiYEJA

24、Yxx 22222ddddjjjYEJAYxx (a)(b)用Yj乘a式并在全梁分部積分，可得222222002222002222222200020dddddddddddddddddddddddddddddddddlliijjlljiijllljjiiijliijYYYEJxYEJxxxxYYYYEJEJxxxxYYYYYYEJEJEJxxxxxxxAYYx(c)同理，用Yi乘b式并在全梁進(jìn)行分部積分，得222202222222200020dddddddddddddddddddljillljjjiiiljijYYEJxxxYYYYYYEJEJEJxxxxxxxAYY x(d)將上兩式相減得22

25、02222222200dddddddddddddddddlijijlljjjiiijiAYY xYYYYYYYEJYEJEJEJxxxxxxxx上式右邊實際上是x=0和x=l時葉片的端點條件，應(yīng)等于零。因此，只要,ijij，便有0d0lijAYY xij該式即為葉片的主振型對于質(zhì)量的正交性表達(dá)式。(3-17)將上式代回c式可得22220ddd0ddljiYYEJxijxx(3-18)該式為葉片的主振型對剛度的正交性表達(dá)式。對等截面葉片主振型的正交性表達(dá)式簡化為0d0lijYY xij22220ddd0ddljiYYxijxx(3-19)(3-20)三、變截面葉片固有頻率的計算對于一般系統(tǒng)，由于

26、其復(fù)雜性，只能求其近似的數(shù)值解。近似求解變截面葉片的固有頻率，可用振型迭代法。該法的主要特點是先假設(shè)一個系統(tǒng)的主振型，經(jīng)過逐次迭代，使它收斂到該階主振型（以前后兩次計算值相近為準(zhǔn)），從而得到系統(tǒng)的固有頻率。振型迭代法又可分為雷利法和矩陣迭代法。1.雷利法變截面葉片可視為懸臂梁，將其離散為如圖3-24所示。12,m m 為集中質(zhì)量，12,Y Y 為相應(yīng)集中質(zhì)量作用截面的靜撓度。如忽略阻尼，變截面葉片自由振動可看成是保守系統(tǒng)。在保守系統(tǒng)中機械能量守恒的。葉片在振動的每一瞬間，其能量有兩種形式，為勢能U和動能T，而U+T=const，在振動到最大振幅時，系統(tǒng)動能為零，具有最大勢能Umax，當(dāng)振動到平

27、衡位置時，系統(tǒng)勢能為零，具有最大動能Tmax，據(jù)能量守恒，有maxmaxTU(a)圖3-24計算最大勢能和最大動能必須要知道系統(tǒng)的振型曲線Y(x)，但對多自由度系統(tǒng)智能給出近似的振型曲線。雷利提出可用系統(tǒng)的靜撓度曲線來近似系統(tǒng)一階主振型。工程實踐證明，這是一個很好的近似。用能量法求多自由度系統(tǒng)固有頻率的方法也稱之為雷利法(Rayleighs method)。對于2階以上的振型，我們很難給出與之相近的曲線。所以雷利法一般只用于計算系統(tǒng)的基頻。用該法僅計算一次便可得到工程上滿意的結(jié)果，故無需多次迭代。如計算出各集中質(zhì)量點處的靜撓度為 。設(shè)葉片的振動是簡諧的，各集中質(zhì)量的運動可有下式表示12,Y Y

28、 ( , )siniikky x tY xt(b)式中 是葉片橫振動的固有頻率， 為初相位，各質(zhì)量點處的速度為kk cosiikkkyY xtt(c)其最大速度為1maxikyYt各質(zhì)量的最大動能及最大勢能為22maxmax1212iiikiiiTmYUm gY1,2,i (d)(e)(f)上兩式的區(qū)別在于3-28式振型可取相對值，而3-27式中 必須用系統(tǒng)的靜撓度值，不能用相對值。令 ，有 ，當(dāng)Y按一定比例變化時，3-27式中的據(jù)能量守恒有221122kiiiimYgmY由此得變截面葉片的固有頻率22iikiigmYmY在機械振動理論中，有雷利商式2YEYYMY(3-27)(3-28)iiP

29、m gPYKiiPm g并沒有按相同的比例變化，所以該式中 只能取系統(tǒng)靜撓度的絕對數(shù)值。iYiY現(xiàn)在求變截面葉片固有頻率問題便轉(zhuǎn)化為求在集中質(zhì)量作用下梁的靜撓度問題。現(xiàn)用直接積分法來求變截面葉片的靜撓度。以上已推出2222ddddYEJqxx(3-29)因變截面葉片的截面變化規(guī)律A(x)及主慣性矩變化規(guī)律J(x)很難用解析式表達(dá)，因此對上式只能進(jìn)行數(shù)值積分。2.振型迭代法22222ddddYEJAYxx 24001kkkkknnkYAYxEJ24,1, ,001kkkki jki j knnkYA YxEJ可以直接假設(shè)一個近似的一階主振型曲線如 2xY xl 1 cos2xY xl等，將其離散

30、為作為振型初始值，所假設(shè)的振型曲線必須滿足葉片的變形幾何邊界條件。對葉片自由振動有2qAY 可改寫為(3-21)這里Y為葉片某階主振型，為相應(yīng)固有頻率， 為慣性力集度。出于同樣的理由對3-30是也僅能進(jìn)行數(shù)值積分。將葉片分為n段，以根部為0截面，葉頂為n截面，將振型初始值Y(x)及A(x),J(x)的相應(yīng)離散值代入上式，積分四次，便可以求出一階振型曲線的第一次近似值。2qAY 式中k為計算截面。如以i表振型階次，j表迭代次數(shù)，上式可重寫為對上式進(jìn)行迭代，如前后兩次計算結(jié)果 相當(dāng)接近，則認(rèn)為已得到滿意結(jié)果，可停止計算。, i jY,1i jY例題：某壓縮機一級動葉片葉高l=17cm，材料為2Cr

31、13，622.187 10/EKg cm337.75 10/kg cm將葉片等分10段，每段集中質(zhì)量作用在段中，根部截面下標(biāo)為0，視為固定端，計算模型圖示如下各截面面積A，主慣性矩J，長度012345678910Q0M0l/10012345678910A (cm2)6.7176.5626.3436.2566.2086.10855.6655.2125.074.8834.65J (cm4)0.63600.60110.53180.47310.43280.39810.33110.26180.22830.20240.1745x (cm)1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.7問

32、題1：設(shè)初始振型為 ，用振型迭代法計算變截面葉片的一階固有頻率。 2xY xl,1,24241616()i jnEEYZxx72223442.187 10102090.3rad/s1.77.75 10123718.26ExZ332.7Hz2f問題2：計算葉片的一階彎曲振動相對動應(yīng)力計算見下表，本例只計算背弧頂點B的相對彎曲動應(yīng)力3.二階固有頻率的計算變截面葉片二階和二階以上固有頻率計算的困難在于：很難找到相應(yīng)振型的較準(zhǔn)確的近似曲線，一般所取的振型初始值誤差較大。以二階固有頻率計算為例，設(shè)所去的初始振型曲線為Y(x),則Y(x)可表示為n個主振型的線性組合（如葉片分為n段） 1 122nnY x

33、aY xa Yxa Yx初始振型Y(x)中所包含的高于二階的振型成分，其值相對于 可略而不計，但Y(x)所包含的一階主振型成分卻不可略去，可近似認(rèn)為 22a Yx 1 122Y xaYxa Yx可利用主振型的正交性消去初始振型中的一階成分。具體做法是將3-23式兩端同乘以(3-22)(3-23) 1AY x并沿全葉高積分 2111212000dddlllAY x YxxaYxxaAYx Yxx由葉片主振型對質(zhì)量的正交性有 120d0lAYx Yxx上式可寫為 211100ddllAY x YxxaAYxx故可得 101210ddllAY x YxxaAYxx(3-24)將比例常數(shù) 代入3-23

34、式得1a 21 121YxY xaY xa由振型的相對值，可取 21 1YxY xaY x(3-25)二階固有頻率的計算需要較多的迭代次數(shù)才能得到滿意的結(jié)果。如需計算二階以上固有頻率，則要多次利用主振型的正交性，來求得各 值，以去除低于該階的主振型成分，有1a 020ddliiliAY x Y xxaAYxx 11 1iiiYxY xaY xaY x(3-26)(3-27)該法需要較多的迭代次數(shù)才能取得較好的結(jié)果。一般很少用此法求高于3階的固有頻率。現(xiàn)在較新的求葉片固有頻率的方法有傳遞矩陣法（Prohl法）、有限元法和有限差分法。四、葉片相對彎曲振動應(yīng)力及動頻計算1.葉片相對彎曲振動應(yīng)力由于主

35、振動的相對性，這里所說的彎曲動應(yīng)力也是相對值。由3-21式22222ddddYEJAYxx積分兩次可得彎矩M的相對值為2d dllxxMAY x x 對上式進(jìn)行數(shù)值積分得22kkknnMAYx(3-28)式中k為計算截面，于是有kMW式中minJWh為葉片截面抗彎模量。如前所述，葉片截面的危險點在后緣點，而前緣點與背弧頂點也是較危險的地方，亦須校核，見圖3-23。等截面葉片 型彎曲振動的危險截面為根部截面。對變截面葉片而言，危險截面卻不一定在根部，因為還有截面抗彎橫量W這個因素。等截面葉片前三階彎曲振動主振型及相應(yīng)彎矩如圖3-24所示，可見對于二階彎曲振動，危險截面在0.6l處，對于三階彎曲振

36、動，危險截面約在0.75l與0.3l處。因此我們可以根據(jù)裂縫出現(xiàn)的位置來大致判斷出是由于哪一階彎曲共振疲勞產(chǎn)生的。這就是相對彎曲動應(yīng)力分布對破壞分析的意義所在。0A圖3-23 葉片截面危險點圖3-24等截面葉片相對于彎曲動應(yīng)力2.葉片的動頻前已談及，動葉的動頻高于靜頻。這是因為動葉片工作時，要承受巨大的離心慣性力；由離心力產(chǎn)生的附加彎矩與葉片彈性恢復(fù)力共同促使葉片返回平衡位置，這相當(dāng)于增強了葉片的剛性，因此動葉的動頻高于靜頻。下面用能量法討論旋轉(zhuǎn)葉片動頻的計算。為此先用該法計算葉片的靜頻。參閱圖3-20。設(shè)葉片振動運動規(guī)律為 ,sincy x tY xt式中 為葉片的靜頻，即葉片不旋轉(zhuǎn)而自由振

37、動時的固有頻率。此時，葉片某截面的轉(zhuǎn)角 ，彎矩 ， 葉片dx微段的勢能為cYMEJYdY2dddd222MEJEJUY YxYx于是葉片的最大勢能為22max201dd2dlYUEJxx葉片dx微段的動能為21ddd2dyTAxtcosccyYt故maxcyY(3-29)于是葉片的最大動能為據(jù)能量法有22max1d2lcoTAYxmaxmaxUT從而得葉片靜頻的計算式222022ddddlcloYJxxEAYx(3-30)(3-31)葉片以轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時，葉片勢能還應(yīng)包括離心力場作用下的附加勢能U故能量守恒式為maxmaxmaxTUU(3-32)是當(dāng)葉片振動到最大振幅時，離心力所作的功，此時葉片的

38、最大動能maxU22max1d2ldoTAYx(3-33)不計離心力場影響的最大彈性彎曲勢能的表達(dá)式仍為3-29式。附加勢能 的計算U如圖3-25所示，當(dāng)葉片以轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時，作用在微段dx上的離心力為2ddFA Rxx設(shè)dx微段位移前重心坐標(biāo)為OC=S。當(dāng)彎201dxOCSYx曲葉片軸線變?yōu)榛【€式中ddYYx 為振型曲線的斜率。則dx微段重心的下降值為201dxeSxYxx因為Y值很小，所以有221112YY 因此201d2xeYx微段dx在離心力場中勢能的變化為edF，對整個葉片有22max0001=ddd2llxUe FYx A Rxx (3-34)圖3-25葉片動頻計算將上面maxmaxm

39、ax,UTU值代入3-32式有222222200011d1dddd22d2lllxdoYAYxEJxYx A Rxxx 故22220002222dddddddddlxldllooYYx A RxxJxxxEAYxAYx 上式右端第一項為葉片靜頻 ，第二項為由于離心力場的影響旋轉(zhuǎn)葉片固有頻率提高的部分，二者之和即為動頻 ，可簡寫為2c2d222dcB或222dcsffn B上式中2sn為轉(zhuǎn)子每秒轉(zhuǎn)速2002dddddlxloYx A RxxxBAYx 稱為動頻系數(shù)(3-35)(3-36)對式3-35進(jìn)行數(shù)值積分，可算出葉片動頻22220002222200dddd4nnniiiidsnniiiiY

40、Yx A RxxJxxxEfnAYxAYx (3-37)由于離心力對頻率的影響與葉片振型有關(guān)，因此不同振型其動頻系數(shù)也不同，對于型振動動頻系數(shù)B可用下經(jīng)驗公式計算0A20.690.3sinmDBl(3-38)式中為振動平面和葉輪平面之間的夾角。該式對等截面和變截面葉片及葉片組均適用。但由于動頻系數(shù)的經(jīng)驗公式是根據(jù)一定的葉片結(jié)構(gòu)得到的，推廣應(yīng)用時有較大誤差。對于長葉片，由于靜頻 較低，在3-45式中 相差較大，因此動頻與靜頻相差較大，必須計及。2sn B對于短葉片，中靜頻 較高，往往 ，以致 項可忽略不計。此時動頻和靜頻相差不大，可以不必進(jìn)行動頻計算。對于高階次的振動，由于葉片相應(yīng)振幅小，離心力對動頻的影響亦小，因此此時 型和 型振動可以忽略離心力對頻率的影響。cfcf22csfBn2sn B0B1A六、葉片的激振力，調(diào)頻和降低動應(yīng)力的措施葉片的損壞大多是因為共振而導(dǎo)致的疲勞破壞。除了要計算葉片的固有頻率外，還要研究激振力的性質(zhì)。葉片在工作時所受的激振力很復(fù)雜，但大多數(shù)是有規(guī)律的或是周期性的?？煞譃闄C械激振力和氣流激振力兩大類。1）機械激振一般表現(xiàn)為位移激振的形式。如輪盤或輪鼓的振動，使葉片根部有位移激振，從而使葉片振動，通過輪盤傳到葉片上。其激