D124函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)實(shí)用教案

1、冪級(jí)數(shù)兩類(lèi)問(wèn)題(wnt):在收斂(shulin)域內(nèi)和函數(shù))(xS求 和展 開(kāi)第1頁(yè)/共23頁(yè)第一頁(yè)，共24頁(yè)。一、泰勒一、泰勒(ti l) ( Taylor ) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 其中(qzhng)( 在 x 與 x0 之間)稱(chēng)為(chn wi)拉格朗日型余項(xiàng) .則在復(fù)習(xí):若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 該鄰域內(nèi)有 :f (x) 的 n 階泰勒公式第2頁(yè)/共23頁(yè)第二頁(yè)，共24頁(yè)。f (x)的冪級(jí)數(shù)為f (x) 的泰勒(ti l)級(jí)數(shù) . 則稱(chēng)當(dāng)x0 = 0 時(shí), (1) 對(duì)此級(jí)數(shù)(j sh), 它的收斂域是什么 ？(2) 在收斂(shulin)域內(nèi) , 和函數(shù)是否為 f (x) ?問(wèn)題

2、問(wèn)題 :若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 0)(xxf在泰勒級(jí)數(shù)又稱(chēng)為麥克勞林級(jí)數(shù) .第3頁(yè)/共23頁(yè)第三頁(yè)，共24頁(yè)。)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 泰勒公式(gngsh)可以表示為第4頁(yè)/共23頁(yè)第四頁(yè)，共24頁(yè)。定理定理(dngl)1各階導(dǎo)數(shù)(do sh), 則 f (x) 在該鄰域(ln y)內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)證明:設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有“ ”limn“ ”第5頁(yè)/共23頁(yè)第五頁(yè)，共24頁(yè)。定理定理(dngl)2 若 f (x) 能展成

3、x 的冪級(jí)數(shù),唯一(wi y)的 , 證明(zhngmng):則顯然結(jié)論成立 .則這種展開(kāi)式是設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.第6頁(yè)/共23頁(yè)第六頁(yè)，共24頁(yè)。二、函數(shù)二、函數(shù)(hnsh)展開(kāi)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)成冪級(jí)數(shù) 1 直接(zhji)展開(kāi)法第一步第二步第三步是否(sh fu)為直接展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的步驟 :展開(kāi)方法直接展開(kāi)法 利用泰勒公式間接展開(kāi)法 利用已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)0. 展開(kāi)式求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ;判定在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)第7頁(yè)/共23頁(yè)第七頁(yè)，共24頁(yè)。)(xRn(1)1( )(1)!nnfx

4、n(0)f(0)fx2(0)2!fx( )(0)!nnfxn例例1 將函數(shù)將函數(shù)(hnsh)展開(kāi)(zhn ki)成 x 的冪級(jí)數(shù). 解: 其收斂(shulin)半徑為 故得級(jí)數(shù) 其余項(xiàng)故( 在0與x 之間)第8頁(yè)/共23頁(yè)第八頁(yè)，共24頁(yè)。例例2 將將展開(kāi)(zhn ki)成 x 的冪級(jí)數(shù).解: 得級(jí)數(shù)(j sh):其收斂(shulin)半徑為 其余項(xiàng)! ) 1( nn0( 在0與x 之間)第9頁(yè)/共23頁(yè)第九頁(yè)，共24頁(yè)。對(duì)上式兩邊(lingbin)求導(dǎo)可推出:),(x),(x間接展開(kāi)第10頁(yè)/共23頁(yè)第十頁(yè)，共24頁(yè)。例例3 將函將函數(shù)數(shù)(hnsh)展開(kāi)(zhn ki)成 x 的冪級(jí)數(shù), 其

5、中m為任意(rny)常數(shù) . 解:于是得 級(jí)數(shù)由于級(jí)數(shù)在開(kāi)區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂. 因此對(duì)任意常數(shù) m, 第11頁(yè)/共23頁(yè)第十一頁(yè)，共24頁(yè)。2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(稱(chēng)為(chn wi)二項(xiàng)展開(kāi)式 .注：(1) 在 x =1 處的收斂性與 m 有關(guān)(yugun) .(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)(j sh)為 x 的 m 次多項(xiàng)式, 上式就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理.第12頁(yè)/共23頁(yè)第十二頁(yè)，共24頁(yè)。2 間接間接(jin ji)展開(kāi)法展開(kāi)法利用(lyng)已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式,例4 展開(kāi)(zhn ki)成 x 的冪級(jí)數(shù).解:)11(x將所給函數(shù)展開(kāi)成 冪

6、級(jí)數(shù). 將函數(shù))11(x類(lèi)似地第13頁(yè)/共23頁(yè)第十三頁(yè)，共24頁(yè)。例例5 將函數(shù)將函數(shù)(hnsh)展開(kāi)(zhn ki)成 x 的冪級(jí)數(shù).解: 從 0 到 x 積分(jfn), 定義且連續(xù), 域?yàn)樯鲜接叶说膬缂?jí)數(shù)在 x =1 收斂 ,所以展開(kāi)式對(duì) x =1 也是成立的,于是收斂ln(1)x即得第14頁(yè)/共23頁(yè)第十四頁(yè)，共24頁(yè)。例例6 將將展成(zhn chn)解: 的冪級(jí)數(shù). 第15頁(yè)/共23頁(yè)第十五頁(yè)，共24頁(yè)。例例7 將將展成(zhn chn) x1 的冪級(jí)數(shù). 解: 22第16頁(yè)/共23頁(yè)第十六頁(yè)，共24頁(yè)。201( 1)(1)2nnnnx第17頁(yè)/共23頁(yè)第十七頁(yè)，共24頁(yè)。內(nèi)容內(nèi)

7、容(nirng)小結(jié)小結(jié)1. 函數(shù)(hnsh)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法(1) 直接(zhji)展開(kāi)法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開(kāi)法 利用已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式1x( 1,1x x2!21x221x331x441x1( 1)nnxn第18頁(yè)/共23頁(yè)第十八頁(yè)，共24頁(yè)。x11nxnnmmm!) 1() 1(當(dāng) m = 1 時(shí)),(x),(x) 1, 1(x第19頁(yè)/共23頁(yè)第十九頁(yè)，共24頁(yè)。思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí)1. 函數(shù)(hnsh)處 “有泰勒(ti l)級(jí)數(shù)” 與 “能展成泰勒(ti l)級(jí)數(shù)” 有何不同 ?提示: 后者必需證明前者無(wú)此要求.2. 如何求的

8、冪級(jí)數(shù) ?提示:第20頁(yè)/共23頁(yè)第二十頁(yè)，共24頁(yè)。備用備用(biyng)題題 1將下列函數(shù)(hnsh)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)解:211x時(shí), 因此(ync) 級(jí)數(shù)條件收斂,連續(xù), 第21頁(yè)/共23頁(yè)第二十一頁(yè)，共24頁(yè)。( 1,1x x221x331x441x1( 1)nnxnln(1)x2 將將在x = 0處展為冪級(jí)數(shù).解:因此(ync)()2233x第22頁(yè)/共23頁(yè)第二十二頁(yè)，共24頁(yè)。感謝您的觀看(gunkn)！第23頁(yè)/共23頁(yè)第二十三頁(yè)，共24頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)冪級(jí)數(shù)兩類(lèi)問(wèn)題:。第1頁(yè)/共23頁(yè)。(1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 它的收斂域是什么。泰勒級(jí)數(shù)又稱(chēng)為(chn wi)麥克勞林級(jí)數(shù) .。則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)。設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)