第四章_周期信號頻域分析

1、1主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容1. 連續(xù)周期信號的連續(xù)周期信號的Fourier(傅里葉傅里葉)級數(shù)及其基本性質(zhì)級數(shù)及其基本性質(zhì)2. 連續(xù)周期信號的頻譜分析連續(xù)周期信號的頻譜分析3. 離散周期信號的離散周期信號的Fourier(傅里葉傅里葉)級數(shù)及其基本性質(zhì)級數(shù)及其基本性質(zhì)*4. 基于基于Matalab軟件的周期信號頻譜的計算方法軟件的周期信號頻譜的計算方法2 周期信號周期信號：給定連續(xù)信號f(t), 若存在一個正常數(shù)T0 , 使得4.1 連續(xù)周期信號的連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)級數(shù)則稱f(t)為周期信號。滿足上式的最小T0稱為周期信號的基波周期。00()( ),f tTf ttR 0000:2

2、/(:)1/);(Tf tfTf t的基波角頻率(Fundamental Angular Frequency)的基波頻率(Fundamental Frequency)一、指數(shù)形式的一、指數(shù)形式的Fourier級數(shù)級數(shù)0( ),0,1,2,(4.2)jntneten將虛指數(shù)信號經(jīng)過整數(shù)倍因子的尺度變換后，可得一組復(fù)信號 虛指數(shù)信號是周期信號,0( )(4.1)jtf te0000,/ 21/fTf其基波頻率為基波周期為。000( )/,ne tnfTn易知，（）是周期信號，它的基波頻率為基波周期為。( 聯(lián)想單位圓)0j( )(4.3)ntnnf tC e 在(4.3)式中，n=0的項稱為信號的直

3、流分量直流分量； n=+1和n=-1的兩項的基波頻率都為f0，兩項之和稱為信號的基波分量基波分量或一次諧波分量一次諧波分量； n=+2和n=-2的兩項的基波頻率都為2f0，兩項之和稱為信號的2次諧波次諧波分量分量； n=+N和n=-N的兩項之和稱為信號的N次諧波分量次諧波分量。 由這些信號的線性組合構(gòu)成的信號周期信號的周期信號的Fourier級數(shù)級數(shù)：若一個連續(xù)周期信號可以表示為(4.3)的形式。Fourier級數(shù)的系數(shù)Cn可由en(t)的正交性求得。4.1 連續(xù)周期信號的連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)級數(shù)是一個周期為T0的信號。00-jj()0( )ktnktnnf t eC eT等式兩邊

4、都是周期為的周期信號000000-jj()j()000( )()TTTktnktnktnnnnf t edtC edtCedt 4根據(jù)en(t) 的正交性，有Fourier(,:)f t如果一個周期信號的級數(shù)表示式成立則其系數(shù)可(4.由結(jié)論4)計算.因此，得：周期信號f(t)的Fourier 級數(shù)和系數(shù)計算公式為：00-j001( ).(4.4)TktkCf t edtT4.1 連續(xù)周期信號的連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)級數(shù)000j()*000( )( )TTn ktnke t e t dtedtTnk0000-j01( ).(4.6)TtntntCf t edtT0j( ),(4.5)n

5、tnnf tC e 5結(jié)論結(jié)論: : 若f(t)為實函數(shù)，則指數(shù)Fourier級數(shù)展開式中的系數(shù)滿足00001jj-jj0011( )()(4.10)ntntntntnnnnnnnf tCC eC eCC eC e4.1 連續(xù)周期信號的連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)級數(shù)二、二、 三角形式的三角形式的Fourier級數(shù)級數(shù)*.(4.7)nnCC證明證明: :00000000j-j*00*11( )( ).TtTtntntnnttnnCf t edtCf t edtTTCC 注注: : (4.7)指出“當信號f(t)為實函數(shù)時， f (t)的Fourier系數(shù)是共軛偶對稱”。利用此性質(zhì)，可進一步

6、表示指數(shù)Fourier級數(shù)。0j01( )2Re()(4.11)ntnnf tCC e注意到，上式中括號內(nèi)兩項是共軛的，因此6將上式代入(4.11), 得公式(4-14)稱為三角形式的Fourier級數(shù)表示式。注注: 對實信號而言，兩種形式的Fourier級數(shù)是等效的； 三角形式的Fourier 級數(shù)的系數(shù)是實數(shù)； 分析時用指數(shù)形式的，數(shù)值計算時用三角形式的。4.1 連續(xù)周期信號的連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)級數(shù)00,22nnnajbaCC由于Fourier級數(shù)的系數(shù)Cn一般為復(fù)數(shù)， 記0001( )/ 22cos()sin().(4.14)nnnf taantbnt易知000002( )

7、cos(),(4.15)Ttntaf tnt dtT000002( )sin(),(4.16)Ttntbf tnt dtT的周期矩形脈沖的Fourier級數(shù)表示式。例例4-1 求圖4-1所示幅度為A、周期為T0、脈沖寬度為解解: 在(4.6)中取 則有000( )(/)Sa(/2).jntnf tA Tne因此，周期矩形脈沖信號的指數(shù)形式的Fourier級數(shù)為其三角形式的Fourier級數(shù)為00001( )(/)(2/)Sa(/2)cos().nf tA TA Tnn t圖4-1 周期矩形脈沖4.1 連續(xù)周期信號的連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)級數(shù)00/ 2,tT 00000/2/20/2/

8、2/2/20001( )1|()TjntnTjntjntttCf t edtTAAedteTTjn00/2/20000000sin(/2)()Sa(/2)(/2)( 2 )/2jnjnnAAAeenT njTnT f(t)在區(qū)間(-1/2, 3/2)的表達式為84.1 連續(xù)周期信號的連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)級數(shù)例例4-2 求圖4-2所示周期三角形脈沖信號的Fourier級數(shù)表示式。解解: 由圖4-2 可知T0=2, 所以22,04( )sin(/2).jn tnnAjf tnen因此，該信號的指數(shù)形式的Fourier級數(shù)為圖4-2 周期三角形脈沖02/ 2.2,| | 1/ 2( )2

9、 (1),1/ 23/ 2Attf tAtt1/23/2221/21/211422 (1)sin(/2).22jn tjn tnAjCAtedtAt edtnn 由 f(t) 的波形知，C0=0。取t0= -1/2, 則Fourier系數(shù)為其三角形式的Fourier級數(shù)為222188111( )sin(/2)sin()sin( )sin(3 )sin(5 )sin(7 ).92549nAAf tnn ttn9Fourier級數(shù)的部分和為000|( )|0.Tttf tdt0( ),NjntNnnNftC e三、三、 Fourier級數(shù)的收斂條件級數(shù)的收斂條件1. f(t)在一個周期內(nèi)絕對可積(

10、軟Dirichlet條件)，即：注注： 在滿足以上兩個條件下，信號的Fourier級數(shù)收斂。且在信號的連續(xù)點處， Fourier級數(shù)收斂于信號真值；在信號不連續(xù)點處， Fourier級數(shù)收斂于左右極限的平均值。例如圖4-3所示。周期信號f(t)的Fourier 級數(shù)存在條件在能量意義下fN(t)收斂于f(t)是指4.1 連續(xù)周期信號的連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)級數(shù)020lim|( )( )|0.TNNf tftdt2. f(t)在一個周期內(nèi)不連續(xù)點的個數(shù)有限、極大值和極小值點的個 數(shù)有限(強Dirichlet條件)104.1 連續(xù)周期信號的連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)級數(shù)圖4-3所示

11、 周期為T0的偶對稱信號f(t), 具有關(guān)系 例如，圖4-4。4.1 連續(xù)周期信號的連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)級數(shù)四、四、 信號的對稱性和信號的對稱性和Fourier系數(shù)的關(guān)系系數(shù)的關(guān)系 周期信號的對稱性分為兩類。第一類：整個周期對稱性(例如，奇函數(shù)或偶函數(shù))；第二類：前半周期和后半周期相同或成鏡像關(guān)系。下面，討論不同的對稱情況下，F(xiàn)ourier系數(shù)的性質(zhì)。1 偶對稱信號偶對稱信號( )()f tft在(4.6)中，取t0= -T0/2, Fourier級數(shù)的系數(shù)有圖4-4 偶對稱信號0000000/2/200/2/200/20/2011( )( )cos()( )sin()1( )co

12、s().TTjntnTTTTCf t edtf tntjf tnt dtTTf tnt dtT Fourier級數(shù)的系數(shù)Cn是實偶對稱的，且Cn=an/2。因此，001( )/ 2cos()nnf taant 注：實偶對稱信號的Fourier級數(shù)展開式中只含直流項和余弦項。4.1 連續(xù)周期信號的連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)級數(shù)2 奇對稱信號奇對稱信號 周期為T0的奇對稱信號f(t), 具有關(guān)系 ，例如，圖4-5。( )()f tft 在(4.6)中，取t0=-T0/2, Fourier級數(shù)的系數(shù)有0000000/2/200/2/200/20/2011( )( )cos()( )sin()(

13、 )sin().TTjntnTTTTCf t edtf tntjf tnt dtTTjf tnt dtT Fourier級數(shù)的系數(shù)Cn是純虛數(shù)，虛部是奇對稱的，且有Cn=-jbn/2。Fourier級數(shù)可簡化為01( )sin()nnf tbnt 注：實奇對稱信號的Fourier級數(shù)展開式中只含正弦項。圖4-5 奇對稱信號4.1 連續(xù)周期信號的連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)級數(shù)3 半波重疊信號半波重疊信號 周期為T0的信號f(t), 若具有關(guān)系 ，則稱為半波重疊信號。例如，圖4-6。0( )(/ 2)f tf tT易知，這種信號的基波周期T1=T0/2, 對應(yīng)的角頻率為1001/220010

14、12( )( ).TTj ntjntnCf t edtf t edtTT 取T0=0, 則由(4.6) 有012( ).j ntjntnnnnf tC eC e注注: 半波重疊信號的Fourier級數(shù)中只有偶次諧波分量。但其可能既有正弦分量又有余弦分量。圖4-6 半波重疊信號110,2/2T信號的 Fourier級數(shù)可寫為4 半波鏡像信號半波鏡像信號 周期為T0的信號f(t), 若具有關(guān)系 ，則稱為半波鏡像信號。例如，圖4-7。0( )(/ 2)f tf tT 構(gòu)造周期為T0的信號f1(t), 其在第一個周期內(nèi)的值為0110,( )( )(/ 2)2.jntnnnf tf tf tTC e為奇

15、因此, 有01( ),jntnnf tC e注注: 半波鏡像信號的Fourier級數(shù)中只有奇次諧波分量。圖4-7 半波鏡像信號0100( )0/ 2( )0/ 2f ttTf tTtT f1(t)的 Fourier級數(shù)為4.1 連續(xù)周期信號的連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)級數(shù)則由圖4-7可知, 110( )( )(/ 2).f tf tf tT0000(/2)10(/ 2)( 1).jnt Tjntjntjnnnnnnnnf tTC eC eeC e則有00/21000011( )( ).TTnCf t dtf t dtTT其中154.2 連續(xù)時間連續(xù)時間Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的基

16、本性質(zhì) 設(shè)f(t)是周期信號，周期為T0, 基波角頻率為 f(t)和其Fourier系數(shù)Cn的對應(yīng)關(guān)系記為。 設(shè)f(t)和g(t)均為周期為T0的周期信號, 其Fourier系數(shù)分別為00,2/T1. 線性特性線性特性( )nf tC,( )( )nnf tCg tD則af(t)+bg(t)也是周期為T0的周期信號, 且有( )( ).nnaf tbg taCbD注注: 上述結(jié)論可以推廣到多個具有相同周期的信號。 設(shè) f(t) 是以T0為周期的周期信號, 它Fourier系數(shù)為2. 時移特性時移特性,( )nf tC則 f(t-t1)也是周期為T0的周期信號, 且0 11().jntnf tt

17、eC164.2 連續(xù)時間連續(xù)時間Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的基本性質(zhì)例例4-3 求圖4-8(a)所示的周期信號的Fourier級數(shù)表示式。解解: 由圖4-8(a)可知信號的周期T0=2, 基波角頻率 由例4-1知211( )(/2)Sa(/2)cos()cos(3)cos(5).235jn tnAAf tAnettt根據(jù)g(t)=f(t-0.5)，以及Fourier級數(shù)的時移特性，有圖4-8 例4-3的周期信號0,/2211( )( /2)Sa(/2)sin()sin(3)sin(5).235jn tjnnAAg tAneettt(a)(b)174.2 連續(xù)時間連續(xù)時間Fourier級數(shù)

18、的基本性質(zhì)級數(shù)的基本性質(zhì) 設(shè)f(t)和g(t)均為周期為T0的周期信號, 其Fourier系數(shù)分別為3. 卷積特性卷積特性( ),( )nnf tCg tD周期信號的卷積x(t)=f(t)*g(t)定義為00( )( ) ().Tx tfg td則信號x(t)也是周期為T0的周期信號, 且Fourier系數(shù)分別為000( )( ) ().Tnnx tfg tdT C D例例4-4 求圖4-9(a)所示的周期三角脈沖信號g(t)的Fourier級數(shù)表示式。圖4-9 例4-4的周期信號(a)(b)184.2 連續(xù)時間連續(xù)時間Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的基本性質(zhì)解解: 易知，圖4-9(b)所示

19、周期方波f(t)與自身的卷積恰好等于g(t)，即00( )( ) ().Tg tff td由例4-1可得f(t)的Fourier系數(shù)Cn為(見p118)002Sa(/ 4).2nACnT 由Fourier級數(shù)卷積特性可得g(t)的Fourier系數(shù)Dn為22000Sa (/ 4).2nnADT CnT 故g(t)的Fourier級數(shù)表示為0220001000( )Sa (/ 4)Sa (/ 4)cos().22jntnnAAAg tnenntTTT 194.2 連續(xù)時間連續(xù)時間Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的基本性質(zhì) 設(shè)f(t)是周期為T0的周期信號, 其Fourier系數(shù)為4. 微分特性微

20、分特性( ).nf tC則信號 f(t) 的導(dǎo)數(shù) f (t) 的Fourier系數(shù)為0( ).nftjnC 若已知f (t)的Fourier系數(shù)為( ).nftD則信號 f(t) 的Fourier系數(shù)為0( )(/),0.nf tDjnn而直流項可通過對 f(t) 積分得到。周期信號Fourier級數(shù)還有一些其它性質(zhì)，見表4-1(見p128)。例如，*( );().nnftCftC022001Parseval:|( ) | .Tnnf tdtCT定理204.3 連續(xù)周期信號的頻譜分析連續(xù)周期信號的頻譜分析一、一、 周期信號的頻譜概念周期信號的頻譜概念 已知周期信號f(t)可以分解為虛指數(shù)信號之

21、和(即Fourier級數(shù))其中，每個虛指數(shù)信號的頻率都是基波頻率的整數(shù)倍；系數(shù)Cn反映f(t)的Fourier級數(shù)中角頻率 的虛指數(shù)信號的幅度和相位。0n=( )(4.39)jntnf tC e |njnnCCe 注注：若f(t)為實信號，則f(t)的幅度譜為偶對稱，相位譜是奇對稱。 (見(4.7)共軛偶對稱，p129)0n 因此，系數(shù)Cn反映信號中各次諧波的幅度值和相位值。稱周期信號的Fourier級數(shù)的系數(shù)Cn為信號f(t)的頻譜。 Cn可表示為如下形式，|:();:()nnC信號的幅度頻譜(幅度譜)隨頻率 角頻率 變化的特性(Amplitude Spectrum)信號的相位頻譜(相位譜)

22、隨頻率 角頻率 變化的特性.(Phase Spectrum)4.3 連續(xù)周期信號的頻譜分析連續(xù)周期信號的頻譜分析 例例4-5 畫出周期信號 的頻譜。00( ) 1 cos(/2) 0.5cos(2/3)f ttt 解： 由歐拉公式，f(t)可表示為000022/2/2/3/311( ) 1()()24jtjtjtjtjjjjf teeeeeeee 因此信號的頻譜如圖4-10所示。圖4-10 例4-5信號的頻譜 若已知信號頻譜，則可由(4-39)重建信號。頻譜提供了另一種描述信號的方法-信號的頻譜描述。00Sa(/ 2),0,1,2,.nACnnT 4.3 連續(xù)周期信號的頻譜分析連續(xù)周期信號的頻

23、譜分析 信號的時域描述和頻域描述是從不同角度展現(xiàn)了信號的特征。也是分析和研究信號的基礎(chǔ)。 頻譜圖中的負頻率不表示存在一個有物理意義的概念與之對應(yīng)，在 處頻譜只是表示在信號的Fourier級數(shù)中存在虛指數(shù) 項。0n 0jnte 例例4-6 畫出例4-1所給周期矩形脈沖信號的頻譜圖。| |/2( )0 | |/2Atf tt解： f(t)在一個周期內(nèi)可表示為其Fourier系數(shù)為f(t)的幅度、相位頻譜圖見圖4-11。()圖4-11 周期矩形脈沖信號的頻譜注注：當Cn為實數(shù)時頻譜圖只需一幅；當Cn為復(fù)數(shù)時頻譜圖需要兩幅。2 / 002 /T2 / 0/AT234.3 連續(xù)周期信號的頻譜分析連續(xù)周期

24、信號的頻譜分析 周期信號的頻譜都是由間隔為 的譜線組成，表現(xiàn)為離散頻譜特征。不同的周期信號，其頻譜分布的形狀不同，都是以基頻為間隔的離散頻譜。00000TT信號的周期越大， 其基頻越小， 則譜線越密；反之，越小， 其基頻越大， 則譜線越疏。1、離散頻譜特性、離散頻譜特性結(jié)論結(jié)論：當f(t)在斷點的幅度是有界時，|Cn|按1/n的速度衰減； 當f(t)連續(xù)而一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)時，|Cn|按1/n2的速度衰減； 當f(t)前 k-1 階導(dǎo)數(shù)連續(xù)而 k階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)時，|Cn|按1/nk+1的速度衰減。 頻譜的幅度表示了周期信號f(t)中各頻率分量的大小。 當周期信號隨著頻率 的增加，幅度頻譜逐漸衰減，并

25、最終趨于零。（幅度衰減特性）0n2、幅度衰減特性、幅度衰減特性(分析Fourier級數(shù)中各次諧波)244.3 連續(xù)周期信號的頻譜分析連續(xù)周期信號的頻譜分析二、二、 相位譜的作用相位譜的作用 周期信號的頻譜由幅度譜和相位譜組成。信號的相位譜在信號f(t)的合成過程中起著和幅度譜同等重要的作用。 為了使合成的信號在不連續(xù)點有瞬時的跳變,諧波的相位將使得各諧波分量的幅度在不連續(xù)點前幾乎取相同的符號，在不連續(xù)點后取相反的符號。這樣各次諧波合成的結(jié)果才能使信號f(t)在不連續(xù)點附近存在急劇變化。例如圖4-12 所示的周期方波信號，其Fourier級數(shù)為/ 2n=0( )Sa(/ 2)411cos(0.5

26、)cos(1.5)cos(2.5)42235jntnf tnettt ，25 圖4-12畫出了Fourier級數(shù)最低的三個諧波分量的波形。各諧波分量在t=1前各諧波分量的幅度為正，t=1后各諧波分量的幅度為負，其他不連續(xù)點情況也是類似的。所有諧波幅度的這種符號變化產(chǎn)生的影響加在一起就產(chǎn)生了信號的不連續(xù)點。4.3 連續(xù)周期信號的頻譜分析連續(xù)周期信號的頻譜分析圖4-12 相位譜對周期信號波形的影響 相位譜對信號中急劇變化點的位置起著重要作用。(如果在重建信號時忽略了相位譜，則重建的信號就會模糊或失去信號原有的特征) 。 從周期信號脈沖信號的頻譜(圖4-11)可見，其頻譜包絡(luò)線每當 時，即 時，通過

27、零點，其中第一個零點在 處，此后諧波的幅度逐漸減小。 周期矩形脈沖信號的有效頻帶寬度：包含主要諧波分量的 頻率范圍(也稱有效頻帶) 。記為 (單位rad/s)或 (單位Hz), 即4.3 連續(xù)周期信號的頻譜分析連續(xù)周期信號的頻譜分析三、三、 信號的有效帶寬信號的有效帶寬02 / 0/2nm2 / ,1/ .BBf 02/nm 2/ BBf 信號的有效帶寬是信號頻率特性中的重要指標，在信號的有效帶寬內(nèi)集中了信號絕大部分諧波分量。 任何系統(tǒng)也有其有效帶寬。當信號通過系統(tǒng)時，信號與系統(tǒng)的有效帶寬必須“匹配”。若信號的有效帶寬大于系統(tǒng)的有效帶寬，則信號通過系統(tǒng)后會損失一些重要成分而產(chǎn)生失真。若信號的有

28、效帶寬小于系統(tǒng)帶寬，則信號可以順利通過，但對系統(tǒng)資源有可能浪費。0000000000000/2/2/22*/2/2/2000*/2/2*/2/200*2111|( )|( )( )( )()11( )( )| .(444)TTTjntnTTTnTTjntjntnnTTnnnnnnnPf tdtf t ft dtftC edtTTTCft edtCf t edtTTC CC4.3 連續(xù)周期信號的頻譜分析連續(xù)周期信號的頻譜分析四、四、 周期信號的功率譜周期信號的功率譜 周期信號是功率信號，周期信號f(t)在1歐姆電阻上消耗的平均功率為：00/22/201|( )|.(443)TTPf tdtT0(

29、 )jntnnf tC e 將f(t)的Fourier級數(shù) 其中T0為周期信號f(t)的周期。代入上式，得上式稱為Parseval(帕什瓦爾)功率守恒原理。4.3 連續(xù)周期信號的頻譜分析連續(xù)周期信號的頻譜分析 |Cn|2隨 變化分布的特性稱為周期信號的功率頻譜(功率譜)。(4-44)表明周期信號的平均功率可以在頻域中用Fourier級數(shù)的系數(shù)來確定。 注意到 ，因此有*nnCC22201|2| .nnnnPCCC 可見，周期信號的平均功率等于信號所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。0n 周期信號的功率譜也為離散頻譜。從功率譜不僅可以看到各諧波的功率的分布情況，也可確定周期信號的有效帶

30、寬內(nèi)諧波分量具有的平均功率占整個周期信號的平均功率之比。 例例4-7試畫出圖4-1所示周期矩形脈沖信號的功率譜，并計算在其有效帶寬 內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。其中01,1/ 4,1/ 20AT。解解：由例4-1可知，周期矩形脈沖的Fourier系數(shù)為4.3 連續(xù)周期信號的頻譜分析連續(xù)周期信號的頻譜分析0, 2/ （）將 代入上式得0001,1/ 4,1/ 20,2/8ATT00Sa2nnACT 因而，周期矩形脈沖信號的功率譜如圖4-13所示。信號的平均功率為220.2Sa/5 ,|0.04Sa/5 .nnCnCn 而包含在 內(nèi)的各諧波平均功率之和為00/22/201

31、|( )|0.2.TTPf tdtT0, 2/ （）兩者之比為P1/P2=90%，用不大于4次的各次諧波之和來近似該周期信號，可以達到較高的精度。4214|0.1806.nnPC圖4-13 例4-7周期矩形脈沖信號的功率譜4.3 連續(xù)周期信號的頻譜分析連續(xù)周期信號的頻譜分析其中 ，k=和m=表示對周期序列的一個周期求和。4.4* 離散離散Fourier級數(shù)級數(shù) 周期為N的周期序列fk可分解為N項虛指數(shù)序列的線性組合，即：2:0,1,1jmkNemN2101 (446)NjmkNmf kF m eN一、周期序列的離散一、周期序列的離散Fourier級數(shù)級數(shù) 上式稱為周期序列fk的離散Fourie

32、r級數(shù)(DFS)表示，其中Fm為周期序列的DFS系數(shù)。利用虛指數(shù)序列正交性，可得DFS系數(shù)為2jNNWe210 (447)NjmkNkF mf k eDFS系數(shù)Fm也是一個周期為N的序列。 由于周期序列在一個周期內(nèi)的求和與起點無關(guān)，因此周期序列的DFS和IDFS可寫為：DFS (448)1 IDFS (449)mkNkNmkNkNF mf kf k Wf kF mF m WN 例例4-8求周期序列 的DFS系數(shù)Fm。 由fk或Fm可完全描述一個離散周期信號。 fk是周期序列的時域表示， Fm是周期序列的頻域表示。周期序列DFS和IDFS的物理意義是：“任一周期為N的序列都可以分解為N個虛指數(shù)信號 的線性組合，不同的周期序列只是對應(yīng)不同的DFS系數(shù)Fm” 。4.4* 離散離散Fourier級數(shù)級數(shù)2jmkNe cos(/ 6)f kk 解：解：fk的周期為N=12。由Euler公式2/122/12121211 66212jkjkkkf keeWW因此，該周期序列的DFS系數(shù)為6,10,56,1mF mmm 由于Fm的周期為N=12，上式還可以表示為6,1,110, 210,0mF mmm圖4-14 周期余弦序列的DFS系數(shù)圖4-14畫出了該序列的DFS系數(shù)。4.4* 離散離散Fo