第四章_周期信號(hào)頻域分析

1、1主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容1. 連續(xù)周期信號(hào)的連續(xù)周期信號(hào)的Fourier(傅里葉傅里葉)級(jí)數(shù)及其基本性質(zhì)級(jí)數(shù)及其基本性質(zhì)2. 連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析3. 離散周期信號(hào)的離散周期信號(hào)的Fourier(傅里葉傅里葉)級(jí)數(shù)及其基本性質(zhì)級(jí)數(shù)及其基本性質(zhì)*4. 基于基于Matalab軟件的周期信號(hào)頻譜的計(jì)算方法軟件的周期信號(hào)頻譜的計(jì)算方法2 周期信號(hào)周期信號(hào)：給定連續(xù)信號(hào)f(t), 若存在一個(gè)正常數(shù)T0 , 使得4.1 連續(xù)周期信號(hào)的連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)則稱f(t)為周期信號(hào)。滿足上式的最小T0稱為周期信號(hào)的基波周期。00()( ),f tTf ttR 0000:2

2、/(:)1/);(Tf tfTf t的基波角頻率(Fundamental Angular Frequency)的基波頻率(Fundamental Frequency)一、指數(shù)形式的一、指數(shù)形式的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)0( ),0,1,2,(4.2)jntneten將虛指數(shù)信號(hào)經(jīng)過(guò)整數(shù)倍因子的尺度變換后，可得一組復(fù)信號(hào) 虛指數(shù)信號(hào)是周期信號(hào),0( )(4.1)jtf te0000,/ 21/fTf其基波頻率為基波周期為。000( )/,ne tnfTn易知，（）是周期信號(hào)，它的基波頻率為基波周期為。( 聯(lián)想單位圓)0j( )(4.3)ntnnf tC e 在(4.3)式中，n=0的項(xiàng)稱為信號(hào)的直

3、流分量直流分量； n=+1和n=-1的兩項(xiàng)的基波頻率都為f0，兩項(xiàng)之和稱為信號(hào)的基波分量基波分量或一次諧波分量一次諧波分量； n=+2和n=-2的兩項(xiàng)的基波頻率都為2f0，兩項(xiàng)之和稱為信號(hào)的2次諧波次諧波分量分量； n=+N和n=-N的兩項(xiàng)之和稱為信號(hào)的N次諧波分量次諧波分量。 由這些信號(hào)的線性組合構(gòu)成的信號(hào)周期信號(hào)的周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)：若一個(gè)連續(xù)周期信號(hào)可以表示為(4.3)的形式。Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)Cn可由en(t)的正交性求得。4.1 連續(xù)周期信號(hào)的連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是一個(gè)周期為T0的信號(hào)。00-jj()0( )ktnktnnf t eC eT等式兩邊

4、都是周期為的周期信號(hào)000000-jj()j()000( )()TTTktnktnktnnnnf t edtC edtCedt 4根據(jù)en(t) 的正交性，有Fourier(,:)f t如果一個(gè)周期信號(hào)的級(jí)數(shù)表示式成立則其系數(shù)可(4.由結(jié)論4)計(jì)算.因此，得：周期信號(hào)f(t)的Fourier 級(jí)數(shù)和系數(shù)計(jì)算公式為：00-j001( ).(4.4)TktkCf t edtT4.1 連續(xù)周期信號(hào)的連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)000j()*000( )( )TTn ktnke t e t dtedtTnk0000-j01( ).(4.6)TtntntCf t edtT0j( ),(4.5)n

5、tnnf tC e 5結(jié)論結(jié)論: : 若f(t)為實(shí)函數(shù)，則指數(shù)Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù)滿足00001jj-jj0011( )()(4.10)ntntntntnnnnnnnf tCC eC eCC eC e4.1 連續(xù)周期信號(hào)的連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)二、二、 三角形式的三角形式的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)*.(4.7)nnCC證明證明: :00000000j-j*00*11( )( ).TtTtntntnnttnnCf t edtCf t edtTTCC 注注: : (4.7)指出“當(dāng)信號(hào)f(t)為實(shí)函數(shù)時(shí)， f (t)的Fourier系數(shù)是共軛偶對(duì)稱”。利用此性質(zhì)，可進(jìn)一步

6、表示指數(shù)Fourier級(jí)數(shù)。0j01( )2Re()(4.11)ntnnf tCC e注意到，上式中括號(hào)內(nèi)兩項(xiàng)是共軛的，因此6將上式代入(4.11), 得公式(4-14)稱為三角形式的Fourier級(jí)數(shù)表示式。注注: 對(duì)實(shí)信號(hào)而言，兩種形式的Fourier級(jí)數(shù)是等效的； 三角形式的Fourier 級(jí)數(shù)的系數(shù)是實(shí)數(shù)； 分析時(shí)用指數(shù)形式的，數(shù)值計(jì)算時(shí)用三角形式的。4.1 連續(xù)周期信號(hào)的連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)00,22nnnajbaCC由于Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)Cn一般為復(fù)數(shù)， 記0001( )/ 22cos()sin().(4.14)nnnf taantbnt易知000002( )

7、cos(),(4.15)Ttntaf tnt dtT000002( )sin(),(4.16)Ttntbf tnt dtT的周期矩形脈沖的Fourier級(jí)數(shù)表示式。例例4-1 求圖4-1所示幅度為A、周期為T0、脈沖寬度為解解: 在(4.6)中取 則有000( )(/)Sa(/2).jntnf tA Tne因此，周期矩形脈沖信號(hào)的指數(shù)形式的Fourier級(jí)數(shù)為其三角形式的Fourier級(jí)數(shù)為00001( )(/)(2/)Sa(/2)cos().nf tA TA Tnn t圖4-1 周期矩形脈沖4.1 連續(xù)周期信號(hào)的連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)00/ 2,tT 00000/2/20/2/

8、2/2/20001( )1|()TjntnTjntjntttCf t edtTAAedteTTjn00/2/20000000sin(/2)()Sa(/2)(/2)( 2 )/2jnjnnAAAeenT njTnT f(t)在區(qū)間(-1/2, 3/2)的表達(dá)式為84.1 連續(xù)周期信號(hào)的連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)例例4-2 求圖4-2所示周期三角形脈沖信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)表示式。解解: 由圖4-2 可知T0=2, 所以22,04( )sin(/2).jn tnnAjf tnen因此，該信號(hào)的指數(shù)形式的Fourier級(jí)數(shù)為圖4-2 周期三角形脈沖02/ 2.2,| | 1/ 2( )2

9、 (1),1/ 23/ 2Attf tAtt1/23/2221/21/211422 (1)sin(/2).22jn tjn tnAjCAtedtAt edtnn 由 f(t) 的波形知，C0=0。取t0= -1/2, 則Fourier系數(shù)為其三角形式的Fourier級(jí)數(shù)為222188111( )sin(/2)sin()sin( )sin(3 )sin(5 )sin(7 ).92549nAAf tnn ttn9Fourier級(jí)數(shù)的部分和為000|( )|0.Tttf tdt0( ),NjntNnnNftC e三、三、 Fourier級(jí)數(shù)的收斂條件級(jí)數(shù)的收斂條件1. f(t)在一個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)可積(

10、軟Dirichlet條件)，即：注注： 在滿足以上兩個(gè)條件下，信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)收斂。且在信號(hào)的連續(xù)點(diǎn)處， Fourier級(jí)數(shù)收斂于信號(hào)真值；在信號(hào)不連續(xù)點(diǎn)處， Fourier級(jí)數(shù)收斂于左右極限的平均值。例如圖4-3所示。周期信號(hào)f(t)的Fourier 級(jí)數(shù)存在條件在能量意義下fN(t)收斂于f(t)是指4.1 連續(xù)周期信號(hào)的連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)020lim|( )( )|0.TNNf tftdt2. f(t)在一個(gè)周期內(nèi)不連續(xù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)有限、極大值和極小值點(diǎn)的個(gè) 數(shù)有限(強(qiáng)Dirichlet條件)104.1 連續(xù)周期信號(hào)的連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)圖4-3所示

11、 周期為T0的偶對(duì)稱信號(hào)f(t), 具有關(guān)系 例如，圖4-4。4.1 連續(xù)周期信號(hào)的連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)四、四、 信號(hào)的對(duì)稱性和信號(hào)的對(duì)稱性和Fourier系數(shù)的關(guān)系系數(shù)的關(guān)系 周期信號(hào)的對(duì)稱性分為兩類。第一類：整個(gè)周期對(duì)稱性(例如，奇函數(shù)或偶函數(shù))；第二類：前半周期和后半周期相同或成鏡像關(guān)系。下面，討論不同的對(duì)稱情況下，F(xiàn)ourier系數(shù)的性質(zhì)。1 偶對(duì)稱信號(hào)偶對(duì)稱信號(hào)( )()f tft在(4.6)中，取t0= -T0/2, Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)有圖4-4 偶對(duì)稱信號(hào)0000000/2/200/2/200/20/2011( )( )cos()( )sin()1( )co

12、s().TTjntnTTTTCf t edtf tntjf tnt dtTTf tnt dtT Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)Cn是實(shí)偶對(duì)稱的，且Cn=an/2。因此，001( )/ 2cos()nnf taant 注：實(shí)偶對(duì)稱信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。4.1 連續(xù)周期信號(hào)的連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)2 奇對(duì)稱信號(hào)奇對(duì)稱信號(hào) 周期為T0的奇對(duì)稱信號(hào)f(t), 具有關(guān)系 ，例如，圖4-5。( )()f tft 在(4.6)中，取t0=-T0/2, Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)有0000000/2/200/2/200/20/2011( )( )cos()( )sin()(

13、 )sin().TTjntnTTTTCf t edtf tntjf tnt dtTTjf tnt dtT Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)Cn是純虛數(shù)，虛部是奇對(duì)稱的，且有Cn=-jbn/2。Fourier級(jí)數(shù)可簡(jiǎn)化為01( )sin()nnf tbnt 注：實(shí)奇對(duì)稱信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含正弦項(xiàng)。圖4-5 奇對(duì)稱信號(hào)4.1 連續(xù)周期信號(hào)的連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)3 半波重疊信號(hào)半波重疊信號(hào) 周期為T0的信號(hào)f(t), 若具有關(guān)系 ，則稱為半波重疊信號(hào)。例如，圖4-6。0( )(/ 2)f tf tT易知，這種信號(hào)的基波周期T1=T0/2, 對(duì)應(yīng)的角頻率為1001/220010

14、12( )( ).TTj ntjntnCf t edtf t edtTT 取T0=0, 則由(4.6) 有012( ).j ntjntnnnnf tC eC e注注: 半波重疊信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)中只有偶次諧波分量。但其可能既有正弦分量又有余弦分量。圖4-6 半波重疊信號(hào)110,2/2T信號(hào)的 Fourier級(jí)數(shù)可寫為4 半波鏡像信號(hào)半波鏡像信號(hào) 周期為T0的信號(hào)f(t), 若具有關(guān)系 ，則稱為半波鏡像信號(hào)。例如，圖4-7。0( )(/ 2)f tf tT 構(gòu)造周期為T0的信號(hào)f1(t), 其在第一個(gè)周期內(nèi)的值為0110,( )( )(/ 2)2.jntnnnf tf tf tTC e為奇

15、因此, 有01( ),jntnnf tC e注注: 半波鏡像信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)中只有奇次諧波分量。圖4-7 半波鏡像信號(hào)0100( )0/ 2( )0/ 2f ttTf tTtT f1(t)的 Fourier級(jí)數(shù)為4.1 連續(xù)周期信號(hào)的連續(xù)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)則由圖4-7可知, 110( )( )(/ 2).f tf tf tT0000(/2)10(/ 2)( 1).jnt Tjntjntjnnnnnnnnf tTC eC eeC e則有00/21000011( )( ).TTnCf t dtf t dtTT其中154.2 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)級(jí)數(shù)的基

16、本性質(zhì) 設(shè)f(t)是周期信號(hào)，周期為T0, 基波角頻率為 f(t)和其Fourier系數(shù)Cn的對(duì)應(yīng)關(guān)系記為。 設(shè)f(t)和g(t)均為周期為T0的周期信號(hào), 其Fourier系數(shù)分別為00,2/T1. 線性特性線性特性( )nf tC,( )( )nnf tCg tD則af(t)+bg(t)也是周期為T0的周期信號(hào), 且有( )( ).nnaf tbg taCbD注注: 上述結(jié)論可以推廣到多個(gè)具有相同周期的信號(hào)。 設(shè) f(t) 是以T0為周期的周期信號(hào), 它Fourier系數(shù)為2. 時(shí)移特性時(shí)移特性,( )nf tC則 f(t-t1)也是周期為T0的周期信號(hào), 且0 11().jntnf tt

17、eC164.2 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)例例4-3 求圖4-8(a)所示的周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)表示式。解解: 由圖4-8(a)可知信號(hào)的周期T0=2, 基波角頻率 由例4-1知211( )(/2)Sa(/2)cos()cos(3)cos(5).235jn tnAAf tAnettt根據(jù)g(t)=f(t-0.5)，以及Fourier級(jí)數(shù)的時(shí)移特性，有圖4-8 例4-3的周期信號(hào)0,/2211( )( /2)Sa(/2)sin()sin(3)sin(5).235jn tjnnAAg tAneettt(a)(b)174.2 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間Fourier級(jí)數(shù)

18、的基本性質(zhì)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 設(shè)f(t)和g(t)均為周期為T0的周期信號(hào), 其Fourier系數(shù)分別為3. 卷積特性卷積特性( ),( )nnf tCg tD周期信號(hào)的卷積x(t)=f(t)*g(t)定義為00( )( ) ().Tx tfg td則信號(hào)x(t)也是周期為T0的周期信號(hào), 且Fourier系數(shù)分別為000( )( ) ().Tnnx tfg tdT C D例例4-4 求圖4-9(a)所示的周期三角脈沖信號(hào)g(t)的Fourier級(jí)數(shù)表示式。圖4-9 例4-4的周期信號(hào)(a)(b)184.2 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)解解: 易知，圖4-9(b)所示

19、周期方波f(t)與自身的卷積恰好等于g(t)，即00( )( ) ().Tg tff td由例4-1可得f(t)的Fourier系數(shù)Cn為(見(jiàn)p118)002Sa(/ 4).2nACnT 由Fourier級(jí)數(shù)卷積特性可得g(t)的Fourier系數(shù)Dn為22000Sa (/ 4).2nnADT CnT 故g(t)的Fourier級(jí)數(shù)表示為0220001000( )Sa (/ 4)Sa (/ 4)cos().22jntnnAAAg tnenntTTT 194.2 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 設(shè)f(t)是周期為T0的周期信號(hào), 其Fourier系數(shù)為4. 微分特性微

20、分特性( ).nf tC則信號(hào) f(t) 的導(dǎo)數(shù) f (t) 的Fourier系數(shù)為0( ).nftjnC 若已知f (t)的Fourier系數(shù)為( ).nftD則信號(hào) f(t) 的Fourier系數(shù)為0( )(/),0.nf tDjnn而直流項(xiàng)可通過(guò)對(duì) f(t) 積分得到。周期信號(hào)Fourier級(jí)數(shù)還有一些其它性質(zhì)，見(jiàn)表4-1(見(jiàn)p128)。例如，*( );().nnftCftC022001Parseval:|( ) | .Tnnf tdtCT定理204.3 連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析一、一、 周期信號(hào)的頻譜概念周期信號(hào)的頻譜概念 已知周期信號(hào)f(t)可以分解為虛指數(shù)信號(hào)之

21、和(即Fourier級(jí)數(shù))其中，每個(gè)虛指數(shù)信號(hào)的頻率都是基波頻率的整數(shù)倍；系數(shù)Cn反映f(t)的Fourier級(jí)數(shù)中角頻率 的虛指數(shù)信號(hào)的幅度和相位。0n=( )(4.39)jntnf tC e |njnnCCe 注注：若f(t)為實(shí)信號(hào)，則f(t)的幅度譜為偶對(duì)稱，相位譜是奇對(duì)稱。 (見(jiàn)(4.7)共軛偶對(duì)稱，p129)0n 因此，系數(shù)Cn反映信號(hào)中各次諧波的幅度值和相位值。稱周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)Cn為信號(hào)f(t)的頻譜。 Cn可表示為如下形式，|:();:()nnC信號(hào)的幅度頻譜(幅度譜)隨頻率 角頻率 變化的特性(Amplitude Spectrum)信號(hào)的相位頻譜(相位譜)

22、隨頻率 角頻率 變化的特性.(Phase Spectrum)4.3 連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析 例例4-5 畫(huà)出周期信號(hào) 的頻譜。00( ) 1 cos(/2) 0.5cos(2/3)f ttt 解： 由歐拉公式，f(t)可表示為000022/2/2/3/311( ) 1()()24jtjtjtjtjjjjf teeeeeeee 因此信號(hào)的頻譜如圖4-10所示。圖4-10 例4-5信號(hào)的頻譜 若已知信號(hào)頻譜，則可由(4-39)重建信號(hào)。頻譜提供了另一種描述信號(hào)的方法-信號(hào)的頻譜描述。00Sa(/ 2),0,1,2,.nACnnT 4.3 連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析連續(xù)周期信號(hào)的頻

23、譜分析 信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述是從不同角度展現(xiàn)了信號(hào)的特征。也是分析和研究信號(hào)的基礎(chǔ)。 頻譜圖中的負(fù)頻率不表示存在一個(gè)有物理意義的概念與之對(duì)應(yīng)，在 處頻譜只是表示在信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)中存在虛指數(shù) 項(xiàng)。0n 0jnte 例例4-6 畫(huà)出例4-1所給周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜圖。| |/2( )0 | |/2Atf tt解： f(t)在一個(gè)周期內(nèi)可表示為其Fourier系數(shù)為f(t)的幅度、相位頻譜圖見(jiàn)圖4-11。()圖4-11 周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜注注：當(dāng)Cn為實(shí)數(shù)時(shí)頻譜圖只需一幅；當(dāng)Cn為復(fù)數(shù)時(shí)頻譜圖需要兩幅。2 / 002 /T2 / 0/AT234.3 連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析連續(xù)周期

24、信號(hào)的頻譜分析 周期信號(hào)的頻譜都是由間隔為 的譜線組成，表現(xiàn)為離散頻譜特征。不同的周期信號(hào)，其頻譜分布的形狀不同，都是以基頻為間隔的離散頻譜。00000TT信號(hào)的周期越大， 其基頻越小， 則譜線越密；反之，越小， 其基頻越大， 則譜線越疏。1、離散頻譜特性、離散頻譜特性結(jié)論結(jié)論：當(dāng)f(t)在斷點(diǎn)的幅度是有界時(shí)，|Cn|按1/n的速度衰減； 當(dāng)f(t)連續(xù)而一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)時(shí)，|Cn|按1/n2的速度衰減； 當(dāng)f(t)前 k-1 階導(dǎo)數(shù)連續(xù)而 k階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)時(shí)，|Cn|按1/nk+1的速度衰減。 頻譜的幅度表示了周期信號(hào)f(t)中各頻率分量的大小。 當(dāng)周期信號(hào)隨著頻率 的增加，幅度頻譜逐漸衰減，并

25、最終趨于零。（幅度衰減特性）0n2、幅度衰減特性、幅度衰減特性(分析Fourier級(jí)數(shù)中各次諧波)244.3 連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析二、二、 相位譜的作用相位譜的作用 周期信號(hào)的頻譜由幅度譜和相位譜組成。信號(hào)的相位譜在信號(hào)f(t)的合成過(guò)程中起著和幅度譜同等重要的作用。 為了使合成的信號(hào)在不連續(xù)點(diǎn)有瞬時(shí)的跳變,諧波的相位將使得各諧波分量的幅度在不連續(xù)點(diǎn)前幾乎取相同的符號(hào)，在不連續(xù)點(diǎn)后取相反的符號(hào)。這樣各次諧波合成的結(jié)果才能使信號(hào)f(t)在不連續(xù)點(diǎn)附近存在急劇變化。例如圖4-12 所示的周期方波信號(hào)，其Fourier級(jí)數(shù)為/ 2n=0( )Sa(/ 2)411cos(0.5

26、)cos(1.5)cos(2.5)42235jntnf tnettt ，25 圖4-12畫(huà)出了Fourier級(jí)數(shù)最低的三個(gè)諧波分量的波形。各諧波分量在t=1前各諧波分量的幅度為正，t=1后各諧波分量的幅度為負(fù)，其他不連續(xù)點(diǎn)情況也是類似的。所有諧波幅度的這種符號(hào)變化產(chǎn)生的影響加在一起就產(chǎn)生了信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)。4.3 連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析圖4-12 相位譜對(duì)周期信號(hào)波形的影響 相位譜對(duì)信號(hào)中急劇變化點(diǎn)的位置起著重要作用。(如果在重建信號(hào)時(shí)忽略了相位譜，則重建的信號(hào)就會(huì)模糊或失去信號(hào)原有的特征) 。 從周期信號(hào)脈沖信號(hào)的頻譜(圖4-11)可見(jiàn)，其頻譜包絡(luò)線每當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)，通過(guò)

27、零點(diǎn)，其中第一個(gè)零點(diǎn)在 處，此后諧波的幅度逐漸減小。 周期矩形脈沖信號(hào)的有效頻帶寬度：包含主要諧波分量的 頻率范圍(也稱有效頻帶) 。記為 (單位rad/s)或 (單位Hz), 即4.3 連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析三、三、 信號(hào)的有效帶寬信號(hào)的有效帶寬02 / 0/2nm2 / ,1/ .BBf 02/nm 2/ BBf 信號(hào)的有效帶寬是信號(hào)頻率特性中的重要指標(biāo)，在信號(hào)的有效帶寬內(nèi)集中了信號(hào)絕大部分諧波分量。 任何系統(tǒng)也有其有效帶寬。當(dāng)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)，信號(hào)與系統(tǒng)的有效帶寬必須“匹配”。若信號(hào)的有效帶寬大于系統(tǒng)的有效帶寬，則信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后會(huì)損失一些重要成分而產(chǎn)生失真。若信號(hào)的有

28、效帶寬小于系統(tǒng)帶寬，則信號(hào)可以順利通過(guò)，但對(duì)系統(tǒng)資源有可能浪費(fèi)。0000000000000/2/2/22*/2/2/2000*/2/2*/2/200*2111|( )|( )( )( )()11( )( )| .(444)TTTjntnTTTnTTjntjntnnTTnnnnnnnPf tdtf t ft dtftC edtTTTCft edtCf t edtTTC CC4.3 連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析四、四、 周期信號(hào)的功率譜周期信號(hào)的功率譜 周期信號(hào)是功率信號(hào)，周期信號(hào)f(t)在1歐姆電阻上消耗的平均功率為：00/22/201|( )|.(443)TTPf tdtT0(

29、 )jntnnf tC e 將f(t)的Fourier級(jí)數(shù) 其中T0為周期信號(hào)f(t)的周期。代入上式，得上式稱為Parseval(帕什瓦爾)功率守恒原理。4.3 連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析 |Cn|2隨 變化分布的特性稱為周期信號(hào)的功率頻譜(功率譜)。(4-44)表明周期信號(hào)的平均功率可以在頻域中用Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)來(lái)確定。 注意到 ，因此有*nnCC22201|2| .nnnnPCCC 可見(jiàn)，周期信號(hào)的平均功率等于信號(hào)所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。0n 周期信號(hào)的功率譜也為離散頻譜。從功率譜不僅可以看到各諧波的功率的分布情況，也可確定周期信號(hào)的有效帶

30、寬內(nèi)諧波分量具有的平均功率占整個(gè)周期信號(hào)的平均功率之比。 例例4-7試畫(huà)出圖4-1所示周期矩形脈沖信號(hào)的功率譜，并計(jì)算在其有效帶寬 內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)平均功率的百分比。其中01,1/ 4,1/ 20AT。解解：由例4-1可知，周期矩形脈沖的Fourier系數(shù)為4.3 連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析0, 2/ （）將 代入上式得0001,1/ 4,1/ 20,2/8ATT00Sa2nnACT 因而，周期矩形脈沖信號(hào)的功率譜如圖4-13所示。信號(hào)的平均功率為220.2Sa/5 ,|0.04Sa/5 .nnCnCn 而包含在 內(nèi)的各諧波平均功率之和為00/22/201

31、|( )|0.2.TTPf tdtT0, 2/ （）兩者之比為P1/P2=90%，用不大于4次的各次諧波之和來(lái)近似該周期信號(hào)，可以達(dá)到較高的精度。4214|0.1806.nnPC圖4-13 例4-7周期矩形脈沖信號(hào)的功率譜4.3 連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析其中 ，k=和m=表示對(duì)周期序列的一個(gè)周期求和。4.4* 離散離散Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 周期為N的周期序列fk可分解為N項(xiàng)虛指數(shù)序列的線性組合，即：2:0,1,1jmkNemN2101 (446)NjmkNmf kF m eN一、周期序列的離散一、周期序列的離散Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 上式稱為周期序列fk的離散Fourie

32、r級(jí)數(shù)(DFS)表示，其中Fm為周期序列的DFS系數(shù)。利用虛指數(shù)序列正交性，可得DFS系數(shù)為2jNNWe210 (447)NjmkNkF mf k eDFS系數(shù)Fm也是一個(gè)周期為N的序列。 由于周期序列在一個(gè)周期內(nèi)的求和與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，因此周期序列的DFS和IDFS可寫為：DFS (448)1 IDFS (449)mkNkNmkNkNF mf kf k Wf kF mF m WN 例例4-8求周期序列 的DFS系數(shù)Fm。 由fk或Fm可完全描述一個(gè)離散周期信號(hào)。 fk是周期序列的時(shí)域表示， Fm是周期序列的頻域表示。周期序列DFS和IDFS的物理意義是：“任一周期為N的序列都可以分解為N個(gè)虛指數(shù)信號(hào) 的線性組合，不同的周期序列只是對(duì)應(yīng)不同的DFS系數(shù)Fm” 。4.4* 離散離散Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)2jmkNe cos(/ 6)f kk 解：解：fk的周期為N=12。由Euler公式2/122/12121211 66212jkjkkkf keeWW因此，該周期序列的DFS系數(shù)為6,10,56,1mF mmm 由于Fm的周期為N=12，上式還可以表示為6,1,110, 210,0mF mmm圖4-14 周期余弦序列的DFS系數(shù)圖4-14畫(huà)出了該序列的DFS系數(shù)。4.4* 離散離散Fo