復(fù)變函數(shù)第四章3,4節(jié)

1、第三節(jié)第三節(jié) 解析函數(shù)的泰勒展式解析函數(shù)的泰勒展式1、泰勒、泰勒(Taylor)定理定理2、冪級數(shù)和函數(shù)在收斂圓周上的狀況、冪級數(shù)和函數(shù)在收斂圓周上的狀況3、一些初等函數(shù)的泰勒展式、一些初等函數(shù)的泰勒展式(4.9)定理定理4.14 (泰勒定理泰勒定理) 設(shè)設(shè)f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,aD,只只要要K:|z-a|R含于含于D,則則f(z)在在K內(nèi)能展成如下冪級數(shù)內(nèi)能展成如下冪級數(shù) 0( )()nnnfzcza(4.8)其中系數(shù)其中系數(shù)( )11( )( )2()!nnnpffacdian(:|,0;0,1,2,)zR n且展式是唯一的且展式是唯一的. .1. 泰勒泰勒(Taylor)定

2、理定理（4.8）稱為）稱為f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)a的的泰勒展式泰勒展式，（，（4.9）稱為其）稱為其泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)，（，（4.8）中的級數(shù)稱為）中的級數(shù)稱為泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)。 定理定理4.15 f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件為內(nèi)解析的充要條件為:f(z)在在D內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)a的鄰域內(nèi)可展成的鄰域內(nèi)可展成z-a的冪級數(shù)的冪級數(shù),即泰勒級數(shù)即泰勒級數(shù).max( )|(0,0,1,2,).z annf zcR n 由柯西不等式知若由柯西不等式知若f(z)在在|z-a|0,且且)|:|( ,)()(0RazKzazczfnnn則則f(z)在收斂圓周在收斂圓周C：|z-a|=R上至少有一奇點(diǎn)，即不

3、上至少有一奇點(diǎn)，即不可能有這樣的函數(shù)可能有這樣的函數(shù)F(z)存在，它在存在，它在|z-a|R內(nèi)與內(nèi)與f(z)恒恒等，而在等，而在C上處處解析上處處解析. 2. 冪級數(shù)和函數(shù)在收斂圓周上的狀況冪級數(shù)和函數(shù)在收斂圓周上的狀況231(|)2!3!nzzzzezzn );|(|,)!2() 1(cos02Znzznnn).|(|,)!12() 1(sin012znzznnn.) 1(322)1 (ln132 nzzzzikznnk3. 3. 一些初等函數(shù)的泰勒展式一些初等函數(shù)的泰勒展式 2!2)1(1)1(zzz nznn!)1()1(1、 解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性2、 唯一性定理唯一

4、性定理3、 最大與最小模原理最大與最小模原理第四節(jié)第四節(jié) 解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性與唯一性定理解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性與唯一性定理 定義定義4.7 設(shè)設(shè)f(z)在解析區(qū)域在解析區(qū)域D內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)a的值為零，即：的值為零，即：f(a)=0，則稱，則稱a為解析函數(shù)為解析函數(shù)f(z)的一個零點(diǎn)的一個零點(diǎn). 如果在如果在|z-a|R內(nèi)，解析函數(shù)內(nèi)，解析函數(shù)f(z)不恒為零，我們不恒為零，我們將它在點(diǎn)將它在點(diǎn)a展成冪級數(shù)，此時，冪級數(shù)的系數(shù)不必展成冪級數(shù)，此時，冪級數(shù)的系數(shù)不必全為零，故必有一正數(shù)全為零，故必有一正數(shù)m(m1)，使得，使得(1)()( )( )( )0,( )0,mmf afafafa 但但合乎

5、上述條件的合乎上述條件的m稱為零點(diǎn)稱為零點(diǎn)a的階的階(級級)，a稱為稱為f(z)的的m階階(級級)零點(diǎn)零點(diǎn)。特別是當(dāng)。特別是當(dāng)m=1時，時，a也稱為也稱為f(z)的的簡單簡單零點(diǎn)零點(diǎn).1. 1. 解解析函數(shù)的零點(diǎn)及其孤立性析函數(shù)的零點(diǎn)及其孤立性定理定理4.17 不恒為零的解析函數(shù)不恒為零的解析函數(shù)f(z)以以a為為m級零點(diǎn)的充要條件為級零點(diǎn)的充要條件為:( )()( )mf zzaz ( )z 其中其中. 0)(a(4.14)在點(diǎn)在點(diǎn)a的鄰域的鄰域|z-a|R內(nèi)解析內(nèi)解析,且且證證 必要性必要性 由假設(shè)，由假設(shè)，只要令只要令即可。充分性是明顯的。即可。充分性是明顯的。 1)1()()()!1(

6、)()(!)()(mmmmazmafazmafzf )()!1()(!)()()1()(azmafmafzmm定理定理4.18 如在如在|z-a|R內(nèi)解析的函數(shù)內(nèi)解析的函數(shù)f(z)不恒為不恒為零，零，a為其零點(diǎn)，則必有為其零點(diǎn)，則必有a的一個鄰域，使得的一個鄰域，使得f(z)在其中無異于在其中無異于a的零點(diǎn)的零點(diǎn)(簡單來說就是，不恒為零簡單來說就是，不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)必是孤立的的解析函數(shù)的零點(diǎn)必是孤立的)。 零點(diǎn)的孤立性零點(diǎn)的孤立性(2)(2)在在K內(nèi)有內(nèi)有f( (z) )的一列零點(diǎn)的一列零點(diǎn) zn(zn0)0)收斂于收斂于a, ,推論推論4.194.19 設(shè)設(shè)(1)(1)f( (z)

7、)在鄰域在鄰域K:|z-a|R內(nèi)解析內(nèi)解析; ;即存在即存在 zn K, , ( (zn0)0) f( (zn)=0, )=0, zna ( )0 zf ZK(1)函數(shù)函數(shù)f1(z)， f2(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析，內(nèi)解析，(2)D內(nèi)有一個收斂于內(nèi)有一個收斂于aD的點(diǎn)列的點(diǎn)列zn(zna)，滿，滿足足 ,則在則在D內(nèi)有內(nèi)有 f1(z) f2(z). 定理定理4.20(解析函數(shù)的唯一性定理解析函數(shù)的唯一性定理) 設(shè)：設(shè)：2. 零點(diǎn)的唯一性零點(diǎn)的唯一性推論推論4.21 設(shè)在區(qū)域設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)內(nèi)解析的函數(shù)f1(z)及及f2(z)在在D內(nèi)內(nèi)的某一子區(qū)域的某一子區(qū)域(或一小段弧或一小段弧)相等

8、相等,則它們在則它們在D內(nèi)恒等內(nèi)恒等.推論推論4.22 一切在實(shí)軸上成立的恒等式一切在實(shí)軸上成立的恒等式,在在z平面上也平面上也成立成立,只要這個恒等式的兩邊在只要這個恒等式的兩邊在z平面上都是解析的平面上都是解析的.), 2 , 1)()(21nzfzfnn例例1 在復(fù)平面解析、在實(shí)軸上等于在復(fù)平面解析、在實(shí)軸上等于sinx的函數(shù)的函數(shù)只能是只能是sinz.解解 設(shè)設(shè)f(z)在復(fù)平面解析、在實(shí)軸上等于在復(fù)平面解析、在實(shí)軸上等于sinx，那么那么f(z)-sinz在復(fù)平面解析、在實(shí)軸上等于在復(fù)平面解析、在實(shí)軸上等于0，由解析由解析函數(shù)的唯一性定理，在復(fù)平面上函數(shù)的唯一性定理，在復(fù)平面上f(z)

9、-sinz=0，即，即f(z)=sinz.例例2 2 是否存在著原點(diǎn)解析的函數(shù)是否存在著原點(diǎn)解析的函數(shù)f(z)，分別滿足下列條件分別滿足下列條件:;21)21(, 0)121() 1 (nnfnf., 2 , 1,1)1() 2(nnnnf解解 （1）由于）由于 及及 都以都以0為聚點(diǎn)，由解析為聚點(diǎn)，由解析121n21n函數(shù)的唯一性定理，函數(shù)的唯一性定理，f(z)=z是在原點(diǎn)解析并滿足是在原點(diǎn)解析并滿足的唯一的解析函數(shù)；但此函數(shù)不滿足的唯一的解析函數(shù)；但此函數(shù)不滿足條件條件 。因此在原點(diǎn)解析并滿足。因此在原點(diǎn)解析并滿足這些條件的函數(shù)這些條件的函數(shù)不存在不存在。（2）由于）由于 ，由解析函數(shù)的唯一性定理，由解析函數(shù)的唯一性定理，是在原點(diǎn)解析并滿足此條件的是在原點(diǎn)解析并滿足此條件的唯一唯一nnf21)21(, 2 , 1, 0)121(nn