初中數(shù)學中的動點最值基本模型

1、動點最值基本模型、最值類型1 .飲馬型：即將軍飲馬型，通常為兩條線段之和的最值問題，利用對稱性質(zhì)將其中一條線段進行轉(zhuǎn)換，再利用兩點之間線段最短（或三角形三邊關(guān)系）得到結(jié)果。（本公眾號有"解題模型】將軍飲馬”）2 .小垂型：即小垂回家型，通常為一條線段的最值問題，即動點的軌跡為直線，利用垂線段最短的性質(zhì)得到結(jié)果。3 .穿心型：即一箭穿心型，通常為一條線段的最值問題，即動點的軌跡為圓或弧，禾I用點與圓的位置關(guān)系得到結(jié)果。（本公眾號有“一箭穿心，圓來如此一文”）4 .轉(zhuǎn)換型：即一加半型，通常為一條線段與另一條線段一半的和的最值問題，即將那半條線段利用三角形中位線或30。的對邊等知識進行轉(zhuǎn)換

2、，再利用飲馬或小垂或穿心。5 .三邊型：即三角形三邊關(guān)系關(guān)系型，通常利用兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊求其最大（小）值。6 .結(jié)合型：即以上類型的綜合運用，大多為飲馬+小垂【如包河一模20題】【瑤海一模第10題】、小垂+穿心【如廬陽二模第10題】、飲馬+穿心【如瑤海二模第10題】飲馬+轉(zhuǎn)換【如蜀山二模第10題】等二、分類例析一、飲馬型例1:如圖，在正方形ABCD中，點E在CD上，CE=3,DE=1,點P在AC上，貝UPE+PD的最小值是.解析：如圖例2:如圖所示，正方形ABCD的面積為12,4ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小，則這

3、個最小值為解析：如下圖二、小垂型例3:如圖，在RtABC中，/C=90°,AC=8,BC=6,點P是AB上的任意一點,作PDLAC于點D,P已CB于點E,連接DE,則DE的最小值為.解析：如卜圖AAAKD-DPkhcE°CEI三、穿心型例4:如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，,邊上一動點，將4AMN沿MN翻折得到A'MN解析：如卜圖圖，PA?CEB/ABC=120°,M是AD邊的中點，N是ABJ連接A'C,則A'C長度的最小值是.m/四、轉(zhuǎn)/V7-彳產(chǎn)$例5:如為菱形ABCD內(nèi)一點，且P到A、B兩點的距離相等，若/C=60°,CD

4、=4,則的最小值為解析：因為P到A、B兩點的距離相等，所以P在AB的垂直平分線上，又因菱形ABCD中/C為60°,所以ABD為等邊三角形，AB的垂直平分線經(jīng)過點D,如下圖由/ADP=30度，可將PD的一半進行轉(zhuǎn)換，即過點P作AD的垂線。如圖，即B、P、F三點共線，且BF±AD時最短五、三邊型例6:如圖，/MON=90°,矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM,ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2,BC=1,運動過程中，點D到點O的最大距離為ODE中，DE為定解析：如下圖因為AB為定長，所以取其中點E,則OE為定

5、值，在4值，OE為定值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到OD的最大值。例7:如圖，已知ABC中，/ACB=90°,BC=4,AC=8,點D在AC上，且AD=6,將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)至AD',F為BD'的中點，連結(jié)CF,則線段CF的取值范圍.解析:解法一：瓜豆原理，點F的軌跡為圓，一箭穿心便可以求出其取值范圍。解法二：如下圖，取AB的中點M,連接FM,CM,由斜邊上的中線等于斜邊的一半得CM為定值，由三角形中位線得FM為定值，所以在CFM中，三邊關(guān)系可得到CF的取值范圍.例8:如圖，BA=1,BC=2以AC為一邊做正方形AEDC使E,B兩點落在直線AC的兩側(cè)，當/ABC變化時

6、，求BE的最大值.解析：將AEB以點A中心順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到ACB',如下圖所示，連接BB',所以B'C=BE,在ABB'C中，BB'為定值，BC為定值，三角形三邊關(guān)系即可得到B'C的最大值，即BE的值.6.結(jié)合型例9:如圖，正方形ABCD中，AB=4,E為CD邊的中點，F(xiàn)、G為AB、AD邊上的點，且AF=2GD,連接E、DF相交于點巳當AP為最小值時，DG=解析：由AF=2GD,AD=2DE,得AFADGE如下圖GE±DF,那么線段AP中，A點為定點，P為動點，由/DPE為直角，所以P的軌跡為一以DE中點為圓心的一段弧。

7、如下圖由一箭穿心可得到AP的最小值為A,PM三點共線，而此時，由DMPsFAP可得至IJAP=AF即可得到結(jié)果.川GDAGD三、?？挤治觥緩]陽二模第10題】如圖，在平面直角坐標系中，A(6,0),B(0,8)，點C在y軸正半軸上，點D在x的正半軸上，且CD=6,以CD為直徑在第一象限作半圓，交線段AB于點E、F,則線段EF的最大值為如圖，在平面直角坐標系中，A(6,0),B(0,8)，點C在y軸正半軸上，點D在x的正半軸上，且CD=6,以CD為直徑在第一象限作半圓，交線段AB于點E、F,則線段EF的最大值為解析：線段EF由于半圓的變化而變化，所以應將其作為弦的變化來看，而弦長又與弦心距存在變量

8、之間的關(guān)系，所以首先作出弦心距.如下動圖，所以當PQ最小時，EF最大。方法一：穿心+小垂(P點為以O(shè)點圓心，OP為半徑的弧上)求出OQ的最值，即PQ的最小值，再由勾股定理和垂徑定理可求得EF.方法二：三邊+小垂（三角形OPQ）求出OQ的最值【蜜山二模第10題】就展,在平面直角坐標系中，拋物線J*=一+2瓜工的頂點為4氯且與x軸的正半軸交于點B,P點為該拋物成對稱軸上一點，則qaL伊的最小值為：2A.中此學C.3D,2謝42jPtUCKtf解析：由拋物線解析式可求出點A、B的坐標分別為，所以/OAP=30°,如下圖問題是。尸+2/1尸.轉(zhuǎn)換型最直，2即過P點作PD_L0&于點D,【飲馬+小垂】OP-AP=OPPD=BPPD2【瑤海二模第10題】如圖，矩形ABCD中，AB=2,AD=3點E,F分別為AD,DC邊上的點,且EF=2點G為EF的中點，點P為BC上一動點.則PA+PG的最小值為（）A.3B.4C.2Vz5D.5解析：因為G為EF的中點，EF=2,所以點G的軌跡為以D為圓心DG為半徑的弧，【飲馬+穿心】即A',P,G,D四點共線時，PA+PG