迭代的加速收斂方法

1、fBxxkk)()1(nkknknxfCabI0)()()()()(2)0(0bfafabTbadxxfA)(, 3 ,2 , 1k 7.3 迭代的加速收斂方法迭代的加速收斂方法華長(zhǎng)生制作2使用兩個(gè)迭代值的組合方法對(duì)于迭代法( ),xxx兩邊同減得1( )xxx 101110,1,kkkxxxxxk1當(dāng)和時(shí)，有x=1-相應(yīng)的迭代公式為上式中 取不同的值就得到不同的迭代方法 ，下面介紹兩種 。 華長(zhǎng)生制作311,120,1,kkkxxxk 若取則迭代式為這種迭代對(duì)原迭代的各近似值在根的兩側(cè)擺動(dòng)的情形較為有效。華長(zhǎng)生制作4 1,111101xcx,0,1,2,1kkkkxxxxxxxxxxcxxx

2、xkc若取則迭代函數(shù)為x從而故當(dāng)x時(shí)該迭代至少是二階的，由于x 的值不知道，只能將 取作的近似值，即得到華長(zhǎng)生制作5使用三個(gè)迭代值的組合方法*,)(xxx的精確解為假設(shè)方程0 x初值為10()xx21()xx22*xxxx21( *)()xxx21( )( *)xxx 中值定理102110()()( *)xxxxxxx差商近似代替導(dǎo)數(shù)212110*( *)xxxxxxxx即華長(zhǎng)生制作6得解出 *,x2212210()*2xxxxxxx于是可以得到迭代格式:10()xx21()xx其中1()kkxx21()kkxx21121()2kkkkkkkxxxxxxx,2 , 1 ,0k上組公式稱為Alt

3、ken公式或Altken加速華長(zhǎng)生制作7將上式綜合后可得一個(gè)解析式表示的迭代法:21 ()( ()2 ()kkkkkkkxxxxxxx 或?qū)懗蒘teffensen迭代法Altken公式與Steffensen公式是等價(jià)的加速效果也是很明顯的21,0,1,2,2kkkkkkkkkkkyxzyyxxxkzyx華長(zhǎng)生制作8例.對(duì)迭代格式3131kkxx進(jìn)行加速解方程組0133 xx6010,5 . 0精確到初值x解:x0 = 0.5x1 = 0.375x2 = 0.3509115x3 = 0.3477369x4 = 0.3473496x5 = 0.3473028x6 = 0.3472971x7 = 0

4、.34729643131kkxx(1)直接使用迭代格式迭代7次,得到滿足精度的解347296. 0 x華長(zhǎng)生制作9(2)對(duì)迭代格式進(jìn)行Altken加速3113kkxxx0 = 0.5x1 = 0.3451613x2 = 0.3472961x3 = 0.3472964迭代3次,得到滿足精度的解347296. 0 x從以上3種結(jié)果可見(jiàn),迭代法加速技術(shù)效果比較明顯0(3)1.5x 如果將初值改為3131kkxx迭代格式顯然不收斂312()13kkxx21121()2kkkkkkkxxxxxxx華長(zhǎng)生制作10 x0 = 1.5x1 = 1.5350706x2 = 1.5321124x3 = 1.5320889x4 = 1.5320889迭代4次,得到滿足精度的解532089. 1x對(duì)迭代格式進(jìn)行Altken加速可見(jiàn)加速技術(shù)可能將不收斂的迭代法加速為收斂華長(zhǎng)生制作11定理定理