《分式》精品講義

1、分式本章小結(jié)小結(jié) 1本章概述本章在已學(xué)過的分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上引入了分式的概述， 用類比的方法探究分式的基本性質(zhì)，在熟練掌握分式的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上， 會進(jìn)行分式的約分、 通分和分式的加、減、乘、除、乖方運算，會解可化為一元一次方程的分式方程，會檢驗分式方程的根小結(jié) 2本章學(xué)習(xí)重難點【本章重點】 了解分式的概念， 會利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分， 會進(jìn)行簡單的分式加、減、乘、除、乘方運算；能夠根據(jù)具體問題數(shù)量關(guān)系列出簡單的分式方程， 會會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型； 會解簡單的可化為一元一次方程的分式方程 .【本章難點】應(yīng)用分式方程解決實際問題小結(jié) 3中考透視本章內(nèi)容在中考中主要考查判斷

2、分式有無意義，分式值為零的條件的應(yīng)用，用分式基本性質(zhì)進(jìn)行變形， 分式運算及分式的化簡求值， 常與實際問題結(jié)合起來命題，題型以解答題為主知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖分式的概念分式的概念分式的意義、無意義的條件分式的值為 0 的條件分式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì)分式的約分分式的通分分式的乘法規(guī)則分式的除法規(guī)則分式同分母分式的加減法法則分式的運算分式的加減法法則異分母分式的加減法法則運算性質(zhì)負(fù)正數(shù)指數(shù)冪科學(xué)記數(shù)法分式方程公式方程的概念解分式方程的步驟分式方程中使最簡公分母為列分式方程應(yīng)用題的步驟0 的解專題總結(jié)及應(yīng)用一、識性專題專題 1分式基本性質(zhì)的應(yīng)用【專題解讀】分式的基本性質(zhì)是分式的化簡、計算的主要依據(jù) .只有

3、掌握好分式的基本性質(zhì)，才能更好地解決問題 .例1化簡(1)6xy(2)xyy10 x2 ;x21；解： (1) 6xy2x 3 y3y .10 x22x 5x5x(2) xy2yy( x 1)y .x1( x 1)( x 1)x 1【解題策略】 化簡一個分式時， 主要是根據(jù)分式的基本性質(zhì)， 把分式的分子與分母同時除以它們的公因式， 當(dāng)分式的分子或分母是多項式時， 能分解因式的一定要分解因式 .例2計算31221a 2a24a2 a2解：31221a2a24a2 a23(a2)122(a 2)a 2(a2)(a2)(a2)(a2)(a2)(a 2)(a 2)(a 2)3a18a6(a2)(a2)

4、(a2)(a2)3.【解題策略】 異分母分式相加減， 先根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行通分， 轉(zhuǎn)化為同分母分式，再進(jìn)行相加減 .在通分時，先確定最簡公分母，然后將各分式的分子、分母都乘以分母與最簡公分母所差的因式 .運算的結(jié)果應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)化為最簡形式 .專題 2有關(guān)求分式值的問題【專題解讀】 對于一個分式， 如果給出其中字母的值， 可以先將分式進(jìn)行化簡，然后將字母的值代入，求出分式的值.但對于分式的求值問題 ,卻沒有直接給出其中字母的值 ,而只是給出其中的字母所滿足的條件，這樣的問題復(fù)雜，需根據(jù)其轉(zhuǎn)點采用相應(yīng)的方法 .例3已知13 ,求x2的值 .xx2xx41解:因為 x0 ，所以用 x2

5、除所求分式的分子、分母 .原式1113211 .x21)221361( xx2x例4已知2x2xy 3y20 ，且 xy ，求xx2的值 .yxy解: 因為 2x2xy3y20 ，所以 ( xy)(2 x3y)0,所以 xy0 或 2x3 y0,又因為 xy ,所以 xy0 ,所以2x3 y 0,所以 y2 x,xxxx3 .3所以2 xyx2x22 x 3x7 x7xy3x2x333例5已知3yy4z5, 求(xxyzz)的值 .xzxy)( yz)( x解:設(shè)3y4zz51 ,xyxk則 xy3k, yz 4k, z x5k,解得 x=2k， y=k， z=3k，所以xyz2k k 3k6

6、k31y)( yz)( xz） 3k 4k 5k 60k 3.( x10例6已知xza,zyc, 且 abco ,求abc的值 .yxa1b1 c1解:由已知得 1yz ,ax所以 11y z 1x y z ,即 a 1 x y z ,axxax所以 a1xxz,ay同理 b1xyz, cxz,byc1yz所以 abcxyzx y z1.a 1 b 1 c 1 x y z x y z x y z x y z例7已知xyz1, 且 xy z 0 ,求 x2y2z2的值 .y z z x x yy z x z x y解: 因為 x y z 0,所以原等式兩邊同時乘以xyz ,得:x( x y z)

7、y( x y z） z( x y z)y zz xx y z.x y即 x2x( yz)y2y( z x)z2z(x y)x y z,y zy zz xz xx yx y所以 x2y2xz2( x y z) x y z,y zzx y所以 x2y2z20.y z z x x y【解讀策略】條件分式的求值， 如需把已知條件或所示條件分式變形，必須依據(jù)題目自身的特點， 這樣才能到事半功倍的效果， 條件分式的求值問題體現(xiàn)了整體的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.例 8 已知 xy z , 求x y的值 .345x2 y3z分析根據(jù)已知條件 ,可把 x, y, z 用含有一個字母的代數(shù)式表示出來,再分別代入到

8、所求式子中化簡即可 .解: 設(shè) xyzk, 則 x3k, y4k, z5k .345所以xy3z3k3k4k7k7 .xzy24k 35k 10k10【解題策略】當(dāng)代數(shù)式中的字母的比值是常數(shù)時，一般情況下都采用這種方法求分式的值 .例9 已知a bbc ack的值 .cabk, 求2k1分 析只 要 求 出 k的值就可以了,由已知條件可得a b ck ,b cak , acbk , 將這三個等式可加后得到 2(a b c) k (a b c) ,再通過討論得到k 的值 .解: 由已知到 abck , bcak, acbk .三式相加得 2( abc)k (abc), 即 (2k )(ab c)

9、 0,所以 2k 0,或 a b c 0 .即 k 2,或 abc0 .當(dāng) a bc 0 時, abc ,此時 a b1, 即 k1 .c所以 k2 ,或 k1 .當(dāng) k 2時 ,k222121;k25當(dāng) k1時,k1(111 .k 21)22【解題策略】在得到2( abc)k (abc), 時，因為 ab c 可以等于零，所以兩邊不能同時除以 abc ，否則分丟解，應(yīng)進(jìn)行整理，用分解因式來解決 .例10 已知1 1a1 , 求 ba 的值 .abbab分析 觀察已知條件和所示的分式 ,可將它們分別進(jìn)行整理 ,從中得到某種關(guān)系 ,然后求值 .解:由1 11,得 a b1,a bababab所以

10、 (ab)2ab, 即 a2b2ab .所以 baa2b2ab1.ababab例 11 已知 x14 ,求下列各式的值 .x(1) x212 ;(2)x4x2 2.xx1分析觀察 (1)和已知條件可知 ,將已知等式兩邊分別平方再整理 ,即可求出(1)的值 ;對于 (2),直接求值很困難 ,根據(jù)其特點和已知條件,能夠求出其倒數(shù)的值,這樣便可求出 (2)的值 .112解: (1)因為 x4 ,所以 x42 .xx即 x22116 .所以 x2 114 .x2x2(2) x4x21x4x21x21 114 1 15,x2x2x2x2x2所以x211 .3243a0x4x215專題 3與增根有關(guān)的問題

11、例 12 如果方程x131x 有增根 , 那么增根是.22x分析因為增根是使分式的分母為零的根,由分母 x 20 或 2 x0 可得x 2.所以增根是 x 2 . 答案 : x 2例 13若 關(guān) 于 x的 方 程 x24 x a 0 有 增 根 ,則 a的 值 為x3()A.13B. 11C. 9D.3分析因為所給的關(guān)于x 的方程有增根 ,即有 x30 ,所以增根是 x3.而x3 一定是整式 x24x a0 的根,將其代入得3243a0 ,所以 x3.答案 :D例 14a 何值時 ,關(guān)于 x 的方程2ax4x3會產(chǎn)生增根 ?x2x22分析 因為所給方程的增根只能是x2 或 x2，所以應(yīng)先解所給

12、的關(guān)于x的分式方程，求出其根，然后求 a 的值 .解: 方程兩邊都乘以 (x 2)( x 2),得 2( x2) ax3( x 2).整理得 ( a 1)x10 .當(dāng) a = 1 時,方程無解 .當(dāng) a1 時,10.xa1如果方程有增根 ,那么 ( x 2)( x2) 0 ,即 x2 或 x2 .當(dāng)x2時 ,10所以 a4;a 12 ,當(dāng)x2時,10所以2 ,a = 6 .a 1所以當(dāng) a4或 a = 6 原方程會產(chǎn)生增根 .專題 4利用分式方程解應(yīng)用題【專題探究】列分式方程解應(yīng)用題不同于列整式方程解應(yīng)用題.檢驗時，不僅要檢驗所得的解是否為分式方程的解，還要檢驗此解是否符合題意.例 15 在“

13、情系海嘯 ”捐款活動中，某同學(xué)對甲、乙兩班捐款情況進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下三條信息 .信息 1：甲班共捐款 300 元， 乙班共擋捐款 232 元 .信息 2: 乙班平均每人捐款錢數(shù)是甲班平均每人捐款錢數(shù)的信息 3 : 甲班比乙班多 2 人.請根據(jù)以上三條信息 ,求出甲班平均每人捐款多少元.解: 設(shè)甲班平均每人捐款 x 元 ,則乙班平均每人捐款 4 x 元.5根據(jù)題意 , 得 3002322,解這個方程得 x 5.x4x5經(jīng)體驗 , x5 是原方程解 .4 .5例 16(08 ·山西 ) 某文化用品商店用2000 元購進(jìn)一批學(xué)生書包，上市后發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，商店又購進(jìn)第二批同樣的書包，所購數(shù)量

14、是第二批進(jìn)數(shù)量的3 倍，但單價貴了 4 元，結(jié)果第二批用了6300 元 .（1）求第一批購進(jìn)書包的單價是多少？（2）若商店銷售這兩批書包，每個售價都是 120 元，全部售出生，商店共盈利多少元？分析設(shè)第一反批購進(jìn)書包的單價為x 元，則第二批購進(jìn)的書包的單價為( x 4) ，第一批購進(jìn)書包2000 個，第二批購進(jìn)書包6300個.xx 4解: 設(shè)第一批購進(jìn)書包的單價為x 元 .依題意 ,得 2000 36300 ,xx4整理 ,得 20( x 4)21x, 解得 x80 .答: 第一批購進(jìn)書包的單價為80 元.解法 1: (2) 2000(120 80)6300(12084) 1000270037

15、00 (元).8084答: 商店共盈利 3700 元.解法 2 : 2000(1 3) 120(20006300)1200083003700 (元)80答: 商店共盈利 3700 元.二、規(guī)律方法專題專題 5分式運算的常用討巧（1）順序可加法 .有些異分母式可加 ,最簡公分母很復(fù)雜 ,如果采用先通分再可加的方法很煩瑣 .如果先把兩個分式相加減 ,把所提結(jié)果與第三個分式可加減 , 順序運算下去 ,極為簡便 .(2)整體通分法 ,當(dāng)整式與分式相加減時,一般情況下 ,常常把分母為1 的整式看做一個整體進(jìn)行通分 ,依此方法計算 ,運算簡便 .(3)巧用裂項法 .對于分子相同、分母是相鄰兩個連續(xù)整數(shù)的積

16、的分式相加減，分式的項數(shù)是比較多的，無法進(jìn)行通分，因此，常用分式111進(jìn)行n(n1)nn1裂項 .(4)分組運算法 : 當(dāng)有三個以上的異分母分式相加減時,可考慮分組 ,原則是使各組運算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù),且值相同或為倍數(shù)關(guān)系,這樣才能使運算簡便 .(5)化簡分式法 .有些分式的分子 .、分母都異常時如果先通分，運算量很大.應(yīng)先把每一個分別化簡，再相加減.(6)倒數(shù)法求值（取倒數(shù)法）.(7)活用分式變形求值 .(8)設(shè) k 求值法 (參數(shù)法 )(9)整體代換法 .(10)消元代入法 .例 17化簡112 x4 x3x 1x 1x21x41解: 原式=x 1x 12x4x32x2x4x3x2

17、1 x21 x2421 x21 x411 x 1 x21 )2x21 )3332x ( xx(x4x4x4( x21 ) x(21 )x41 x41 x414x3(x41 )341 )74xx(x8( x41 ) x(41)x8 .1例 18計算 a24 .a 2解：原式a24(a2)(a2)41a2a2a2(a2 )a(2 )4 a2a2a2例 19計算 x2xx31.x1解：原式x2x1x3( x1)(x2x 1)x3x1x1x1x3x1x31 .1x1例 20計算1111.a(a1)( a 1)(a2)( a2)( a3)( a2005)( a2006)解:原式11111111aa1a1

18、a2a2 a3a2005a200611111111aa1a1a2 a2 a3a2 0 0a5200611aa2006a2006aa( a2006)a(a2006)a22006.2006a【解題策略】要注意裂項法解分式是，常用分式111.n(n1)nn1例 21計算1111.x2x x22x x x23x 2 x24x 3解: 原式1111x2x x23x 2x22x 1 x24x 31111x( x1)( x1)(x2)x( x1)2(x1)( x3)( x2)x(x3)( x1)x(x1)( x2)( x1)2 (x3)22x(x1)( x2)(x1)2 (x 3)2( x1)(x3)2 x

19、(x2)x( x1)2 ( x2)( x3)2(2 x26x3).x(x 1)2 ( x2)( x3)例 22已知 x3, 求12x211 .x4x 2解: 原式111( x2)( x 2)14x24x24x 2 x 2 x24x21x23 .x2444當(dāng) x3, 原式33.(13) 242225x 2 .例 23計算 x23x 6 x2x3x2x5x6解: 原式1414x23x 2x25x644x23x 2x25x644( x 1)(x 2)( x2)( x3)4(x3)4( x 1)( x1)(x2)(x3)( x2)(x3)( x1)8x16( x1)(x2)(x3)8.( x1)(x3

20、)例 24已知x7,求x2的值 .2x4x2x1x1解: 因為x2x7 ,所以 a0,x1所以 x2x 11 ,即 x1 8 ,x7x7x4x22所以1x211 x11 15x2x2x49所以x4x2115 .x249【解題策略】在求代數(shù)式的值時，有時所給條件或所求代數(shù)式不易化簡變形，當(dāng)把代數(shù)式的分子、 分母顛倒后，變形就容易了，這樣的問題通常采用倒數(shù)法 （把分子、分母倒過來）求值.例 25 已知 x25x 1 0 和 x0 ,求 x41的值 .1x4解: 由 x25x1 0 和 x0 ,提 x5 ,x12所以 x4x212x4x2122x22x(522)22527【解題策略】若能對分式進(jìn)行熟練的變形運用，可給解題帶來極大的方便.例 26已知 bccaab , 求babc的值 .abcab c (ca)解: 設(shè) b c c a a bk ,abc所以 bcak , cabk , abck所以 bccaabakbkck ,所以 2( abc)k (ab c),( ab c)(2k)0,即 k2 或 (