第五章測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理基本知識(shí)

1、2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院11.水準(zhǔn)儀的使用及其普通水準(zhǔn)儀的使用及其普通水準(zhǔn)測(cè)量步驟水準(zhǔn)測(cè)量步驟2.水準(zhǔn)測(cè)量成果計(jì)算表水準(zhǔn)測(cè)量成果計(jì)算表（閉合、附合）按距離（閉合、附合）按距離調(diào)整、按測(cè)站數(shù)調(diào)整調(diào)整、按測(cè)站數(shù)調(diào)整3.水準(zhǔn)儀的檢校。重點(diǎn)是水準(zhǔn)儀的檢校。重點(diǎn)是i角的校驗(yàn)與校正角的校驗(yàn)與校正1.測(cè)回法測(cè)水平角，記錄、測(cè)回法測(cè)水平角，記錄、計(jì)算過(guò)程計(jì)算過(guò)程2.豎直角的觀測(cè)，記錄、計(jì)豎直角的觀測(cè)，記錄、計(jì)算算3.盤(pán)左、盤(pán)右觀測(cè)法的好處盤(pán)左、盤(pán)右觀測(cè)法的好處1.鋼尺量距鋼尺量距2.視距測(cè)量計(jì)算公式視距測(cè)量計(jì)算公式3.直線定向與直線定線直線定向與直線定線前面章節(jié)小結(jié)（重點(diǎn)掌握內(nèi)容）前

2、面章節(jié)小結(jié)（重點(diǎn)掌握內(nèi)容）高差測(cè)量高差測(cè)量角度測(cè)量角度測(cè)量距離測(cè)量距離測(cè)量測(cè)量的基本任務(wù)測(cè)量的基本任務(wù)2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院2測(cè) 量 學(xué)第第6章章 測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院3本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 測(cè)量誤差的概念測(cè)量誤差的概念1 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)2 觀測(cè)值的精度評(píng)定觀測(cè)值的精度評(píng)定3 誤差傳播定律誤差傳播定律42022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院4 測(cè)量與觀測(cè)值測(cè)量與觀測(cè)值 觀測(cè)觀測(cè)與觀測(cè)值的分類與觀測(cè)值的分類 觀測(cè)條件：觀測(cè)條件： 人、儀器、客觀環(huán)境總稱觀

3、測(cè)條件，它們?nèi)?、儀器、客觀環(huán)境總稱觀測(cè)條件，它們 是引起觀測(cè)誤差的主要因素是引起觀測(cè)誤差的主要因素 等精度觀測(cè)和不等精度觀測(cè)等精度觀測(cè)和不等精度觀測(cè) 直接觀測(cè)和間接觀測(cè)直接觀測(cè)和間接觀測(cè) 獨(dú)立獨(dú)立觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)5.1 5.1 測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差概述2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院56.1 6.1 測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差概述 測(cè)量誤差及其來(lái)源測(cè)量誤差及其來(lái)源 測(cè)量誤差的來(lái)源測(cè)量誤差的來(lái)源（1 1）儀器誤差：儀器誤差：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2 2）人為誤差：人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗(yàn)等。判斷力和分辨率的限制、

4、經(jīng)驗(yàn)等。（3 3）外界條件的影響：外界條件的影響：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等溫度變化、風(fēng)、大氣折光等 測(cè)量誤差的表現(xiàn)形式測(cè)量誤差的表現(xiàn)形式 測(cè)量誤差（真誤差測(cè)量誤差（真誤差=觀測(cè)值-真值）Xl jiijllXl（觀測(cè)值與真值之差）（觀測(cè)值與觀測(cè)值之差）2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院6例：例： 誤差誤差 處理方法處理方法 鋼尺尺長(zhǎng)誤差鋼尺尺長(zhǎng)誤差 l ld d 計(jì)算改正計(jì)算改正 鋼尺溫度誤差鋼尺溫度誤差 l lt t 計(jì)算改正計(jì)算改正 水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng) I 操作時(shí)抵消操作時(shí)抵消( (前后視等距前后視等距) ) 經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C C 操作時(shí)抵消

5、操作時(shí)抵消( (盤(pán)左盤(pán)右取平均盤(pán)左盤(pán)右取平均) ) 2.2.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)相同，或按誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)相同，或按 規(guī)律性變化，具有規(guī)律性變化，具有積累性積累性。 系統(tǒng)誤差可以消除或減弱系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。 ( (計(jì)算改正、觀測(cè)方法、儀器檢校計(jì)算改正、觀測(cè)方法、儀器檢校) )測(cè)量誤差分為：測(cè)量誤差分為：粗差粗差、系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差和和偶然誤差偶然誤差6.2 6.2 測(cè)量誤差的種類測(cè)量誤差的種類1.1.粗差粗差( (錯(cuò)誤錯(cuò)誤) )超限的誤差超限的誤差2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院73.3.偶然誤差偶然誤差誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)各不相同，誤差出現(xiàn)的大小、

6、符號(hào)各不相同， 表面看無(wú)規(guī)律性。表面看無(wú)規(guī)律性。 例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差，例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差， 導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)生誤差導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)生誤差 。 準(zhǔn)確度(測(cè)量成果與真值的差異） 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） 測(cè)量平差（求解最或是值并評(píng)定精度）4.4.幾個(gè)概念幾個(gè)概念: : 精（密）度（觀測(cè)值之間的離散程度）2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院82022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院9舉例舉例: : 在某測(cè)區(qū)，等精度觀測(cè)了在某測(cè)區(qū)，等精度觀測(cè)了358358個(gè)三角形的內(nèi)個(gè)三角形的內(nèi) 角之和，得到角之和，得到358358個(gè)三角形

7、閉合差個(gè)三角形閉合差 i i( (偶然誤偶然誤 差，也即真誤差差，也即真誤差) ) ，然后對(duì)三角形閉合差，然后對(duì)三角形閉合差 i i 進(jìn)行分析。進(jìn)行分析。 分析結(jié)果表明，分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然 誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而而 且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。6.3 6.3 偶然誤差的特性偶然誤差的特性2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院102022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院11用用頻率直方圖頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)：表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)：頻率直方圖的

8、中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近， 對(duì)稱于對(duì)稱于y軸。軸。頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū) 間的頻率間的頻率k/n，而所有條形的，而所有條形的總面積等于總面積等于1。各條形頂邊中點(diǎn)各條形頂邊中點(diǎn)連線經(jīng)光滑后的曲連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律然誤差的普遍規(guī)律 圖6-1 誤差統(tǒng)計(jì)直方圖2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院12從誤差統(tǒng)計(jì)表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤從誤差統(tǒng)計(jì)表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤 差的差的四個(gè)特性四個(gè)特性：特性(1

9、)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性特性(4)具有實(shí)用意義。具有實(shí)用意義。 3.3.偶然誤差的特性偶然誤差的特性(1)(1)在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定 的限值的限值( (有界性有界性) )；(2)(2)絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多( (趨向性趨向性) )；(3)(3)絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等( (對(duì)稱性對(duì)稱性) )；(4)(4)當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，偶然誤差的算

10、術(shù)平均值趨近于零 ( (抵償性抵償性) )： 0limlim21nnnnn2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院13偶然誤差具有正態(tài)分布的特性偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當(dāng)觀測(cè)次數(shù)當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n n無(wú)限增多無(wú)限增多(n(n)、誤差區(qū)間誤差區(qū)間d d 無(wú)限縮小無(wú)限縮小( (d d 0)0)時(shí)，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，時(shí)，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為這條曲線稱為“正態(tài)分布曲正態(tài)分布曲線線”，又稱為，又稱為“高斯誤差分高斯誤差分布曲線布曲線”。所以偶然誤差所以偶然誤差具有具有正態(tài)分布正態(tài)分布的特性。的特性。圖6-1 誤差統(tǒng)計(jì)直方圖2022年5月21日星期六 魯東大

11、學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院14衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn) 測(cè)量成果中都不可避免地含有誤差，在測(cè)量工作中，測(cè)量成果中都不可避免地含有誤差，在測(cè)量工作中，使用使用“精度精度”來(lái)判斷觀測(cè)成果質(zhì)量好壞的。所謂精來(lái)判斷觀測(cè)成果質(zhì)量好壞的。所謂精度，就是指偶然誤差分布的密集或離散程度。誤差度，就是指偶然誤差分布的密集或離散程度。誤差分布密集，誤差就小，精度就高；反之，誤差分布分布密集，誤差就小，精度就高；反之，誤差分布離散，誤差就大，精度就低。離散，誤差就大，精度就低。 一組觀測(cè)值對(duì)應(yīng)一種分布，也就代表這組觀測(cè)值精一組觀測(cè)值對(duì)應(yīng)一種分布，也就代表這組觀測(cè)值精度相同。不同組觀測(cè)值，分布不同，精度也就不同。度相同。不

12、同組觀測(cè)值，分布不同，精度也就不同。一組觀測(cè)值具有相同的分布，但偶然誤差各不相同。一組觀測(cè)值具有相同的分布，但偶然誤差各不相同。2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院15衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn) 在測(cè)量工作中，常采用以下幾種標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定測(cè)在測(cè)量工作中，常采用以下幾種標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定測(cè)量成果的精度。量成果的精度。 中誤差中誤差 相對(duì)中誤差相對(duì)中誤差 極限誤差極限誤差2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院161.1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差與標(biāo)準(zhǔn)差 由正態(tài)分布密度函數(shù) 22221axex式中 、 為常數(shù)；a =2.72828ex=y正態(tài)分布曲線(a=0)令：令： ，上式為：ax22221)

13、(efy6.4 6.4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo)2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院17標(biāo)準(zhǔn)差 的數(shù)學(xué)意義22221)(efy 表示表示 的的離散程度離散程度x=y較小較大nnnnlimlim2稱為標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差：nnnnnlimlim22222122上式中， 稱為方差方差：2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院18測(cè)量工作中，用中誤差中誤差作為衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)。中誤差中誤差: :觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)差觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)差 表示偶然誤差的離散情形：表示偶然誤差的離散情形：nnlim上式中，偶然誤差上式中，偶然誤差 為觀測(cè)值為觀測(cè)值 與真值與真值X之差：

14、之差：觀測(cè)次數(shù)觀測(cè)次數(shù)n n有限有限時(shí)，用時(shí)，用中誤差中誤差m表示偶然誤差的離散情形：表示偶然誤差的離散情形：nnmn22221i=i - X2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院19P123表5-22022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院20 m m1 1小于小于m m2 2, ,說(shuō)明第一組觀測(cè)值的誤差分布比較說(shuō)明第一組觀測(cè)值的誤差分布比較集中集中， 其其精度較高精度較高；相對(duì)地，第二組觀測(cè)值的誤差分布比；相對(duì)地，第二組觀測(cè)值的誤差分布比 較較離散，離散，其其精度較低：精度較低： m1=2.7是第一組觀測(cè)值的中誤差； m2=3.6是第二組觀測(cè)值的中誤差。2022年5月2

15、1日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院212.2.容許誤差容許誤差(極限誤差) 根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概率為：demdfPm22221)()(誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：kmkmmdemkmP22221)( 將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率： P(| m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 測(cè)量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m|2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院22 3.3.相

16、對(duì)誤差相對(duì)誤差(相對(duì)中誤差) 誤差絕對(duì)值與觀測(cè)量之比。 用于表示距離距離的精度。用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。分?jǐn)?shù)值較小相對(duì)精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對(duì)精度較低。 K2K1，所以距離，所以距離S2精度較高精度較高。例例2 2：用鋼尺丈量?jī)啥尉嚯x分別得用鋼尺丈量?jī)啥尉嚯x分別得S S1 1=100=100米米,m,m1 1=0.02m=0.02m； S S2 2=200=200米米,m,m2 2=0.02m=0.02m。計(jì)算。計(jì)算S S1 1、S S2 2的相對(duì)誤差。的相對(duì)誤差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000解：解：2022年5月21日星期六 魯

17、東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院23一一.一般函數(shù)的中誤差一般函數(shù)的中誤差令 的系數(shù)為 ， (c)式為：ixiixFf由于 和 是一個(gè)很小的量，可代替代替上式中的 和 ： ixidxdznnxxFxxFxxF2211(c)代入(b)得對(duì)(a)全微分：nndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)設(shè)有函數(shù)：),(21nxxxFZ為獨(dú)立獨(dú)立觀測(cè)值ix設(shè) 有真誤差 ，函數(shù) 也產(chǎn)生真誤差ixixZ(a)6.5 6.5 誤差傳播定律誤差傳播定律2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院24)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (knnkkknn

18、nnxfxfxfxfxfxfxfxfxf對(duì)Z觀測(cè)了k次，有k個(gè)式(d)對(duì)(d)式中的一個(gè)式子取平方：（i，j=1n且ij）jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(e)對(duì)K個(gè)(e)式取總和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院25njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)(f)式兩邊除以K，得(g)式：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122由偶然誤差的抵償性知：0limnx

19、xjin(g)式最后一項(xiàng)極小于前面各項(xiàng)，可忽略不計(jì)，則：則：前面各項(xiàng)KxfKxfKxfKnn22222221212即即22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院2622222221212xnnxxzmfmfmfm(h)考慮考慮 ，代入上式，得中誤差關(guān)系式：，代入上式，得中誤差關(guān)系式：iixFf2222222121nnZmxFmxFmxFm(6-10)上式為上式為一般函數(shù)的中誤差公式一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為，也稱為誤差傳播定律誤差傳播定律。2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院27 通過(guò)以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們通過(guò)

20、以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們可以總結(jié)出可以總結(jié)出求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟： 1.列出函數(shù)式；列出函數(shù)式； 2.對(duì)函數(shù)式求全微分；對(duì)函數(shù)式求全微分； 3.套用誤差傳播定律，寫(xiě)出中誤差式。套用誤差傳播定律，寫(xiě)出中誤差式。 2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院28 1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 (x為觀測(cè)值，K為x的系數(shù)) 全微分 得中誤差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22例：例：量得 地形圖上兩點(diǎn)間長(zhǎng)度 =168.5mm0.2mm, 計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms：l1000:1m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 0100010

21、0010001000SmmddlSlSlS解：解：列函數(shù)式 求全微分 中誤差式二二 .幾種常用函數(shù)的中誤差幾種常用函數(shù)的中誤差 2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院292.線性函數(shù)的中誤差線性函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 全微分 中誤差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例：例：設(shè)有某線性函數(shù)設(shè)有某線性函數(shù) 其中其中 、 、 分別為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差分分別為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差分 別為別為 求Z的中誤差 。 314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm3141214911

22、44dxdxdxdzmm6 . 1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：解：對(duì)上式全微分：由中誤差式得：2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院30 函數(shù)式 全微分 中誤差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm3.算術(shù)平均值的中誤差式算術(shù)平均值的中誤差式 由于等精度觀測(cè)時(shí)， ，代入上式： 得mmmmn21nmmnnmX221n 由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測(cè)值的中誤差縮小了縮小了 倍。 對(duì)某觀測(cè)量進(jìn)行多次觀測(cè)(多余觀測(cè))取平均， 是提高觀測(cè)成果精度最有效的方法。2022年5月

23、21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院314.和或差函數(shù)的中誤差和或差函數(shù)的中誤差 函數(shù)式： 全微分： 中誤差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm當(dāng)?shù)染扔^測(cè)時(shí)： 上式可寫(xiě)成：mmmmmn321nmmZ例：例：測(cè)定A、B間的高差 ，共連續(xù)測(cè)了9站。設(shè)測(cè)量 每站高差的中誤差 ，求總高差 的中 誤差 。 解：解： ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院32觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總 觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總 函數(shù)式 函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù) 和差函數(shù) 線性函數(shù) 算術(shù)平均值 ),

24、(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院33誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用 用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形內(nèi)角時(shí)，每個(gè)內(nèi)角觀測(cè)4個(gè)測(cè)回取平均，可使得三角形閉合差 m m1515 。例例1：要求三角形最大閉合差m15 ，問(wèn)用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形每個(gè)內(nèi)角時(shí)須用幾個(gè)測(cè)回？ 123=(1+2+3)-180解：解：由題意：2m= 15,則 m= 7.5每個(gè)角的測(cè)角中誤差：3 .

25、435 . 7m測(cè)回即43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于DJ6一測(cè)回角度中誤差為：由角度測(cè)量n測(cè)回取平均值的中誤差公式：5 . 826,2,2241241mmmmm右左3 . 435 . 7 xm2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院34誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測(cè)量的精度。 解:(1)測(cè)量水平距離的精度 基本公式： 2cosKlD 求全微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2水平距離中誤差： 22222)2sin()cos( mKlmKmlD)206265( 其中： 2022年5月21

26、日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院35誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測(cè)量的精度。 解: (2)測(cè)量高差的精度 基本公式： 求全微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2高差中誤差： 2222)2cos(2sin21 mKlmKmlh2sin21Klh )206265( 其中： 2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院36誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用例3:(1)用鋼尺丈量某正方形一條邊長(zhǎng)為 求該正方形的周長(zhǎng)S和面積A的中誤差.解: (1)周長(zhǎng) , lml (2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長(zhǎng)為其中各邊測(cè)量值為: 求該正方形

27、的周長(zhǎng)S和面積A的中誤差.iliml lllllmmmmmllll43214321,其中l(wèi)S4lSmm4 面積 , 2lAlAlmm2 周長(zhǎng)的中誤差為 dldS4全微分:面積的中誤差為 全微分:ldldA22022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院37解:(1)周長(zhǎng)和面積的中誤差分別為 例3:(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長(zhǎng)為其中各邊測(cè)量值為: 求該正方形的周長(zhǎng)S和面積A的中誤差.iliml lSmm4lAlmm2 (2)周長(zhǎng) ;周長(zhǎng)的中誤差為 4321llllS 面積llllllSmmmmmmm24222224321 得周長(zhǎng)的中誤差為 2243214LllllA全微分:43214

28、1414141dldldldldL 但由于LdLdA2llllllALmmLmLmLmLmLm22222222224422224321lllllmmmmmllll43214321,其中2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院38誤差傳播定律誤差傳播定律 例題1: 丈量?jī)A斜距離s50.00m，中誤差ms5cm，傾斜角度150000，其中誤差m 30，求相應(yīng)水平距離和中誤差。msD296.48cos mDmsDmsD222dDdssDdDcossDsinsD5206266060180 2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院39誤差傳播定律誤差傳播定律Z=X+Y，Y=2X, 試

29、根據(jù)X、Y的中誤差計(jì)算函數(shù)Z的中誤差。2222252xzxyyxzmmmmmmmxzmmxz33解1：解2：考慮哪種解法正確，為什么？2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院40思考題（課堂練習(xí)）思考題（課堂練習(xí)） 三角形內(nèi)角和的中誤差為6,則一內(nèi)角的中誤差為多少？ 觀測(cè)BM1至BM2間的高差時(shí)，共設(shè)25個(gè)測(cè)站， 每測(cè)站觀測(cè)高差中誤差均為3mm，問(wèn)：（1）兩水準(zhǔn)點(diǎn)間高差中誤差時(shí)多少？（2）若使其高差中誤差不大于12mm，應(yīng)設(shè)置幾個(gè)測(cè)站?2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院41 觀測(cè)值的算術(shù)平均值觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值) 用觀測(cè)值的改正數(shù)用觀測(cè)值的改正數(shù)v v計(jì)算觀

30、測(cè)值的計(jì)算觀測(cè)值的 中誤差中誤差 (即:白塞爾公式)6.6 6.6 同（等）精度直接觀測(cè)平差同（等）精度直接觀測(cè)平差2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院42 一一. .觀測(cè)值的觀測(cè)值的算術(shù)平均值算術(shù)平均值(最或是值、最可靠值) 證明算術(shù)平均值為該量的最或是值： 設(shè)該量的真值為X，則各觀測(cè)值的真誤差為 1= 1- X 2= 2- X n= n- X對(duì)某未知量未知量進(jìn)行了n 次觀測(cè)，得n個(gè)觀測(cè)值1,2,n,則該量的算術(shù)平均值為：x= =1+2+nnn上式等號(hào)兩邊分別相加得和： lnX L= nlnlllLn21 nXl 2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院43當(dāng)觀測(cè)無(wú)限

31、多次時(shí)：nlXnnnlimlim得Xnlnlim兩邊除以n：由 lnX nlXn當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值就是該 量的真值；當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均 值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。L X nXl XLXnln 0)(limlimXLnnn2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院44觀測(cè)值改正數(shù)特點(diǎn)二二. .觀測(cè)值的改正數(shù)觀測(cè)值的改正數(shù)v v ： 以算術(shù)平均值為最或是值，并據(jù)此計(jì)算各觀測(cè)值的改正數(shù) v ，符合vv=min 的“最小二乘原則”。Vi = L - i (i=1,2,n)特點(diǎn)特點(diǎn)1 改正數(shù)總和為零：改正數(shù)總和為零：對(duì)上式取和：以 代入：通常用

32、于計(jì)算檢核L= nv=nL- nv =n -=0v =0特點(diǎn)特點(diǎn)2 vv符合符合“最小二乘原則最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x= n2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院45精度評(píng)定 比較前面的公式，可以證明，兩式根號(hào)內(nèi)的部分是相等的，1nvvnnmnvvm1即在 與 中：精度評(píng)定精度評(píng)定用觀測(cè)值的改正數(shù)v計(jì)算中誤差1nvvm一.計(jì)算公式(即白塞爾公式)：2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院461nvvn證明如下：證明如下：nnnnlxvlXlxvlXlxvlX22221111真誤差：真誤差：改正數(shù)：改

33、正數(shù)：證明兩式根號(hào)內(nèi)相等XlXlXlnn2211nnlLvlLvlLv2211iiiivXLv對(duì)上式取n項(xiàng)的平方和 vvvn22由上兩式得其中: 0lnLv2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院47證明兩式根號(hào)內(nèi)相等 222222)(nnXlnnXnlXL njijijinn1,2222122122)( 02222nn vvnvvvn222nvvnn21nvvn中誤差定義:nm白塞爾公式:1nvvm2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院48解：解：該水平角該水平角真值未知真值未知，可用，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)算術(shù)平均值的改正數(shù)V V計(jì)計(jì) 算其中誤差：算其中誤差：例：例：

34、對(duì)某水平角等精度觀測(cè)了5次，觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表， 求其算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差。算例1:次數(shù)觀測(cè)值VV V備注1764249-4162764240+5253764242+394764246-115764248-39平均764245 V =0VV=60 98315601 .nVVm4715983 .nmM7642451.74 2022年5月21日星期六 魯東大學(xué)地理與規(guī)劃學(xué)院49距離丈量精度計(jì)算例算例算例2：對(duì)某距離用精密量距方法丈量六次，求對(duì)某距離用精密量距方法丈量六次，求該距離的算術(shù)該距離的算術(shù) 平均值平均值 ； 觀測(cè)值的中誤差觀測(cè)值的中誤差 ； 算術(shù)平均值的中誤算術(shù)平均值的中誤 差差 ； 算術(shù)平均值的相對(duì)中誤差算術(shù)平均值的相對(duì)中誤差 ：xxmMxM /凡是相對(duì)中誤差，都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)