函數(shù)的連續(xù)性與簡接點(diǎn)

1、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.,),(,)()(0000的增量的增量稱為自變量在點(diǎn)稱為自變量在點(diǎn)內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如如果當(dāng)自變量的增量果當(dāng)自變量的增量x 趨向于零時(shí)趨向于零時(shí), ,對應(yīng)的函對應(yīng)的函數(shù)的增量數(shù)的增量y 也趨向于零也趨向

2、于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn). .,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如果如果函數(shù)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在, ,且等于它在且等于它在點(diǎn)點(diǎn)0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù). .

3、:定義定義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000

4、處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上

5、連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點(diǎn)并且在左端點(diǎn)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如例如,.),(內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的有理函數(shù)在區(qū)間有理函數(shù)在區(qū)間例例3 3.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對任意的對任意的 ,sin有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx

6、時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對任意對任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn):)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處處有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx :)(.)(0有下列三種情形之一如果的某去心鄰域內(nèi)有定義在定義：設(shè)函數(shù)xfxxf;)()1 (0無定義在點(diǎn) xxf;)(lim)2(00不存在點(diǎn)有定義，但在xfxxxx).()(lim,)(lim) 3(0000 xfxfxfxxxxxx但存在點(diǎn)有定義，在).()(),()(00或間斷點(diǎn)的不連

7、續(xù)點(diǎn)為并稱點(diǎn)或間斷處不連續(xù)在點(diǎn)函數(shù)則稱xfxxxf注:三種情況任何一種出現(xiàn)都叫不連續(xù),但間斷點(diǎn)類型不同。).0()0(,)0(),0(. 10000 xfxfxfxf都存在跳躍間斷點(diǎn)：例例4 4.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性在討論xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) xoxy.)(),()(lim,)(lim. 20000處無定義在點(diǎn)或但存在可去間斷點(diǎn)：xxfxfAxfxfxxxx例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1x

8、y2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).oxy112如例如例5中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn). .特點(diǎn)特點(diǎn).0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) xoxy1123.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(,)(00

9、第二類間斷點(diǎn)的為函數(shù)稱點(diǎn)則在極限至少有一個(gè)不存處的左、右在點(diǎn)如果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性在討論xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間例例7 7.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)這種情況稱為振蕩間無窮間斷點(diǎn)與震蕩間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)與震蕩間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn). .特點(diǎn)特點(diǎn).0個(gè)

10、不存在處的左、右極限至少一函數(shù)在點(diǎn)x , 0, 1)(是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)在定義域在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間且都是第二類間斷點(diǎn)斷點(diǎn). ,)(是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxf僅在僅在x=0處連續(xù)處連續(xù), 其余各點(diǎn)處處間斷其余各點(diǎn)處處間斷.注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn)不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).o1x2x3xyx xfy , 1, 1)(是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxf在定義域在定義域 R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, 但

11、其絕對值處但其絕對值處處連續(xù)處連續(xù).判斷下列間斷點(diǎn)類型判斷下列間斷點(diǎn)類型:例例8 8.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a兩類題型判斷間斷點(diǎn)類型求間斷點(diǎn)；. 2. 1是間斷點(diǎn)分段函數(shù)的分段點(diǎn)可能（無定義點(diǎn)是間斷點(diǎn)；)2) 1 (其他)3(.,)(, 01),1ln(, 0,)(. 111類型的間斷點(diǎn)求xfxx

12、xexfx分段點(diǎn)是可能的間斷點(diǎn)無定義解0,1:xx; 0lim11-1xxe111limxxe為第二類間斷點(diǎn)1 x.,)(, 01),1ln(, 0,)(. 111類型的間斷點(diǎn)求xfxxxexfx; 0)1ln(lim-0 xxeexx1lim110為第一類間斷點(diǎn)0 x.,11lim)(. 222類型的間斷點(diǎn)求nnnxxxf)(xf解：先求nx2考慮);1(2xxn);1(02xxn11; 1)(xxxxf110.1為第一類間斷點(diǎn) x三、小結(jié)三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函

13、數(shù);第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)(見下圖見下圖)可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x思考題思考題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？思考題解答思考題解答)(xf在在0 x連續(xù)，連續(xù)，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且

14、且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都連續(xù)都連續(xù).但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不連連續(xù)續(xù)但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù)一、一、 填空題：填空題：1 1、 指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_類間類間斷點(diǎn)；在斷點(diǎn)；在2 x是第是第_類間斷點(diǎn)類間斷點(diǎn) . .2 2、 指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_類間類間斷點(diǎn)；在斷點(diǎn)；在1 x是第是第_類間斷點(diǎn)；在類間斷點(diǎn)；在1 x是第是第_類間斷點(diǎn)類

15、間斷點(diǎn) . .二、二、 研究函數(shù)研究函數(shù) 1, 11,)(xxxxf的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù) 的圖形的圖形 . .練練 習(xí)習(xí) 題題三、三、 指出下列函數(shù)在指定范圍內(nèi)的間斷點(diǎn)，并說明這些指出下列函數(shù)在指定范圍內(nèi)的間斷點(diǎn)，并說明這些間斷點(diǎn)的類型，如果是可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充或改變間斷點(diǎn)的類型，如果是可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)函數(shù)的定義使它連續(xù) . .1 1、 1,31, 1)(xxxxxf在在Rx 上上 . .2 2、 xxxftan)( , ,在在Rx 上上 . .四、四、 討論函數(shù)討論函數(shù) nnnxxxf2211lim)( 的連續(xù)性，若有間斷的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，判斷其類型點(diǎn)，判斷其類型 . .五、試確定五、試確定ba,的值的值, ,使使)1)()( xaxbexfx， （1 1）有無窮間斷點(diǎn)）有無窮間斷點(diǎn)0 x； （2 2）有可去間斷點(diǎn)）有可去間斷點(diǎn)1 x . .一、一、1 1、一類、一類, ,二類；二類； 2 2、一類、一類, ,一類一類, ,二類二類. .二、二、,), 1()1,()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)與與在在 xf1 x為跳躍間為跳躍間 斷點(diǎn)斷