哈工大理論力學課件第三章空間力系

1、第三章第三章 空間力系空間力系Theoretical Mechanics 空間匯交力系空間匯交力系空間力偶系空間力偶系空間任意力系空間任意力系重心重心Theoretical Mechanics cos FFx直接投影法直接投影法 cos FFy cos FFzTheoretical Mechanics 間接投影法間接投影法cossincosFFFxyxsinsinsinFFFxyycos FFz空間力在軸上的投影是代數(shù)量，空間力在軸上的投影是代數(shù)量，而在平面上的投影則是矢量而在平面上的投影則是矢量。Theoretical Mechanics kjiFzyxFFFFFFFFFzyx),cos(

2、,),cos( , ),cos(kFjFiF222zyxFFFF空間力的表示空間力的表示Theoretical Mechanics 解：力解：力F的大小的大小kN 6 .19222zyxFFFF力力F 的方向余弦及與坐標軸的夾角為的方向余弦及與坐標軸的夾角為,322. 0 cosFFy7 .76，220. 0 cosFFx1 .71,919. 0 cosFFz 23xy zFFxFyFzA 已知車床在車削一圓棒時，由測力計測得刀具受的力已知車床在車削一圓棒時，由測力計測得刀具受的力F 的三個正交分量的三個正交分量 Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z的大小各為的大小各為4.5 kN，6.3 kN，18 kN，試求

3、力，試求力F 的大小和方向。的大小和方向。Theoretical Mechanics 力力F的方向以及與坐標軸的夾角的方向以及與坐標軸的夾角已知力沿直角坐標軸的解析式為已知力沿直角坐標軸的解析式為kN ) 543(kjiF試求這個力的大小和方向，并作圖表示。試求這個力的大小和方向，并作圖表示。kN 5,kN 4,kN 3zyxFFFkN 25222zyxFFFF 707. 0255cos566. 0254cos424. 0253coskF,jF,iF,1354518055.559 .64kF,jF,iF,解：解：Theoretical Mechanics 三棱柱底面為直角等腰三角形，在其側平面

4、三棱柱底面為直角等腰三角形，在其側平面ABED上作上作用有一力用有一力F，力，力F與與OAB平面夾角為平面夾角為30，求力，求力F在三個坐標在三個坐標軸上的投影。軸上的投影。 Theoretical Mechanics 圓柱斜齒輪上受嚙合力圓柱斜齒輪上受嚙合力Fn的作用。已知斜齒輪的嚙合的作用。已知斜齒輪的嚙合角角(螺旋角螺旋角) 和壓力角和壓力角，試求力試求力Fn沿沿x，y和和z軸的分力。軸的分力。Theoretical Mechanics 解：將力解：將力Fn向向 z 軸和軸和Oxy 平面投影平面投影cos , sinnnFFFFxyz將力將力Fxy向向x，y 軸投影軸投影 coscos

5、cos sincos sinnnFFFFFFxyyxyxTheoretical Mechanics 沿各軸的分力為沿各軸的分力為kFjFiF )sin() coscos( )sincos(nnnFFFzyxTheoretical Mechanics 合力在合力在x、y、z軸的投影為軸的投影為niziznzzzniyiynyyynixixnxxxFFFFFFFFFFFFFFF121121121niin121RFFFFF)(11RkjiFFziniyixiniiFFF空間匯交力系的合力空間匯交力系的合力Theoretical Mechanics RziRzRyiRyRxiRxFFFFFFFFFFF

6、F),cos(),cos()cos(RRkFjFi ,FR方向余弦方向余弦合力矢合力矢FR的大小和方向余弦為的大小和方向余弦為 222222R)()()( ziyixizyxFFFFFFF大小大小Theoretical Mechanics 在剛體上作用著四個匯交力，它們在坐標軸上的投在剛體上作用著四個匯交力，它們在坐標軸上的投影如下表所示，試求這四個力的合力的大小和方向。影如下表所示，試求這四個力的合力的大小和方向。kN 6kN 2kN 1kN 4kN 3kN 30kN 10kN 5kN 15kN 10kN 5kN 2kN 0kN 2kN 1zyxFFF 解：解：F1F2F3F4單位單位Fx1

7、202kNFy1015-510kNFz341-2kNTheoretical Mechanics kN 31kN 6305222RF合力的大小合力的大小316,cos 3130,cos 315,cosRRRkFjFiF()()()8 .78 6 .14 7 .83=,kF,jF,iFRRR合力的方向余弦合力的方向余弦合力合力FR 與與x，y，z 軸間夾角軸間夾角kN 6kN 2kN 1kN 4kN 3kN 30kN 10kN 5kN 15kN 10kN 5kN 2kN 0kN 2kN 1zyxFFFTheoretical Mechanics 0121RniinFFFFF222222R)()()(

8、 ziyixizyxFFFFFFF平衡方程平衡方程0 0 0ziyixiFFF空間匯交力系的平衡條件和平衡方程空間匯交力系的平衡條件和平衡方程Theoretical Mechanics 空間鉸接結構形如正角錐，各棱邊與底面都成空間鉸接結構形如正角錐，各棱邊與底面都成傾角傾角。B，C，D處是固定球鉸鏈支座，處是固定球鉸鏈支座，A處是活動處是活動球鉸鏈支座。頂點球鉸鏈支座。頂點D的球鉸鏈承受載荷的球鉸鏈承受載荷F，不計各桿，不計各桿自重，試求各支座的約束力和各桿的內(nèi)力。自重，試求各支座的約束力和各桿的內(nèi)力。DABCTheoretical Mechanics 1 取球鉸鏈取球鉸鏈A為研究對象。為研究

9、對象。 cosABABFF cosACACFF cosADADFF解：建立如圖坐標系解：建立如圖坐標系Bxyz，其中，其中y軸平分軸平分CBD。由于。由于ABCD是正交錐，所以是正交錐，所以AB與與y軸的夾角為軸的夾角為。Theoretical Mechanics 30 cos cosACACxFF30 sin cosACACyFF30 cos cosFFADADx30 sin cosADADyFF力力FAC 和和 FAD 在軸在軸 x，y上的投影上的投影Theoretical Mechanics 030 cos cos30 cos cosADACFF2.列平衡方程列平衡方程0 cos30 s

10、in cos30 sin cosABADACFFF0 sinFFFFABADAC3.聯(lián)立求解聯(lián)立求解 sin3FFFFADACAB負號表示三桿都受壓力。負號表示三桿都受壓力。0=xF0=yF= 0zFTheoretical Mechanics 4.取球鉸鏈取球鉸鏈B為研究對象。為研究對象。聯(lián)立求解得聯(lián)立求解得 sin3FFFABBA030 sin30 sinBDBCFF0=xF0sinBBAFF0 cos30 cos30 cosBABDBCFFF, 0yF, 0zF3FFBcot 93FFFBDBC因因由結構和荷載的對稱性可得由結構和荷載的對稱性可得3FFFDCcot 93FFCD例例已知：物

11、重已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；030求：桿的內(nèi)力及繩拉力求：桿的內(nèi)力及繩拉力解：研究解：研究ABAB桿，畫受力圖，列平衡方桿，畫受力圖，列平衡方程程0 xF045sin45sin21FF0yF030cos45cos30cos45cos30sin21FFFA0zF030cos30sin45cos30sin45cos21PFFFA123.54kNFF8.66kNAF Theoretical Mechanics 桅桿式起重機如圖。桅桿式起重機如圖。AC為立柱，為立柱，BC，CD和和CE均為鋼索，均為鋼索，AB為起重桿。為起重桿。A端為球鉸鏈約束。設端為球鉸鏈約束。設B點點滑 輪 上 起

12、 吊 重 物 的 重 量滑 輪 上 起 吊 重 物 的 重 量P=20kN，AD=AE=6 m，其，其余尺寸如圖。起重桿所在平余尺寸如圖。起重桿所在平面面ABC與對稱面與對稱面ACG重合。重合。不計立柱和起重桿的自重，不計立柱和起重桿的自重，求起重桿求起重桿AB、立柱、立柱AC和鋼和鋼索索CD，CE所受的力。所受的力。 CA4545605 m30BDEGTheoretical Mechanics 解：解： 1. 取滑輪取滑輪B研究。研究。xyB6030PFABFBC0=xF030 cos60 cosBCABFF0=yFkN 20 PFBCkN 6 .343PFAB030 sin60 sinPF

13、FBCABCA4545605 m30BDEGTheoretical Mechanics 2. 再選取再選取C點為研究對象。點為研究對象。0=zF0coscos60cosCECDACBCFFFF60 sinBCBCFF 2 .50 sinCDCDFF2 .50 sinCECEFF2 .5056arctan arctan ACADzCFACFCEFCD60CA4545605 m30BDEGxAy4545Theoretical Mechanics 0 xF045 sin45 sinCDCEFF0yF045 cos45 cosCECDBCFFFkN 9 .1545 cos2 .50 sin260 si

14、nBCCECDFFFkN 4 .1060cos2 .50 cos2 BCCDACFFFxAy4545Theoretical Mechanics 空氣動力天平上測定模型所受阻力用的一個懸掛節(jié)點空氣動力天平上測定模型所受阻力用的一個懸掛節(jié)點O，其上作用有鉛直載荷，其上作用有鉛直載荷 F。鋼絲。鋼絲 OA和和 OB 所構成的平面所構成的平面垂直于鉛直平面垂直于鉛直平面 Oyz，并與該平面相交于并與該平面相交于OD，而鋼絲，而鋼絲OC則沿水平軸則沿水平軸y。已知。已知OD與軸與軸z間的夾角為間的夾角為，又，又AOD = BOD =，試求各鋼絲中的拉力。，試求各鋼絲中的拉力。Theoretical Me

15、chanics 解：取解：取O點為研究對象。點為研究對象。sin22FFxcos2FFyzsincos22FFycoscos22FFzTheoretical Mechanics 0 xF0yF0zF0sinsin32FF0sincossincos321FFF0coscoscoscos32FFFtan1FF coscos232FFFTheoretical Mechanics 力矩矢力矩矢MO(F)力對點的矩力對點的矩FrFM)(OTheoretical Mechanics xOikhjMO(F)zA(x,y,z)yBFr力矩矢力矩矢MO(F)是定位矢，不可隨意挪動。是定位矢，不可隨意挪動。OAB

16、OAhF2)(FrFMTheoretical Mechanics kjiFkjirzyxFFFzyxkjikjiFrFM)()()( )(xyzxyzzyxOyFxFxFzFzFyFFFFzyxxyzOzxyOyzxOyFxFxFzFzFyF)()()(FMFMFMxOikhjMO(F)zA(x,y,z)yBFrTheoretical Mechanics 力對軸的矩力對軸的矩hFFMFMxyxyOZ)()(Theoretical Mechanics OFAxyzFzFxyhBAOxyxyOzAhFMM2)()(FFTheoretical Mechanics 正負號可按右手螺旋法則確定。正負號可

17、按右手螺旋法則確定。xyyOxOxyOzyFxFMMMM)()()()(FFFFzxyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFM)()()(FFFOFAxyzFxyhABBTheoretical Mechanics FzFxFyTheoretical Mechanics 力與軸相交或與軸平行，力對該軸的矩為零。力與軸相交或與軸平行，力對該軸的矩為零。Theoretical Mechanics )()()()()()(FFMFFMFFMzzOyyOxxOMMMxyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFM)()()(FFFkjiFM)()()()(xyzxyzOyFxFxFzFzFyF力對點

18、的矩與力對過該點的軸的矩的關系力對點的矩與力對過該點的軸的矩的關系Theoretical Mechanics 手柄手柄ABCE在平面在平面Axy內(nèi)內(nèi),在在D處作用一個力處作用一個力F，它在垂，它在垂直于直于y軸的平面內(nèi)，偏離鉛直線的角度為軸的平面內(nèi)，偏離鉛直線的角度為。CD=b，桿，桿BC平行于平行于x軸，桿軸，桿CE平行于平行于y軸，軸，AB和和BC的長度都等于的長度都等于l。試求力試求力F 對對x，y和和z三軸的矩。三軸的矩。Theoretical Mechanics 解：解：sinFFx0yFcosFFzcos)()()()(blFCDABFFMFMzzxxcos)()(FlBCFFMF

19、Mzzyysin)()()()(blFCDABFFMFMxxzzTheoretical Mechanics 在直角彎桿的在直角彎桿的C端作端作用著力用著力F，試求這力對坐，試求這力對坐標軸以及坐標原點標軸以及坐標原點O的矩。的矩。已知已知 OA=a=6m， AB=b=4m，BC=c=3m，=30,=60。 Theoretical Mechanics 解：解：x=a=4my=b=6mz=c=-3mcoscosFFx=cos sinyFFsinFFzTheoretical Mechanics 845. 0),cos(OxOMMiM531. 0),cos(OyOMMjM064. 0),cos(OzO

20、MMkMmNcFaFMx105sincossinmNbFcFMy66sincoscosmNFbFMz8coscossincosmNMMMMzyxO1243222Theoretical Mechanics OF FdrBAABrBrAFrFrFMFMFF,MBAOOO)()()(FFFrFrrFF,MBABAO )()(空間力偶空間力偶Theoretical Mechanics 空間力偶的三要素為力偶矩大小，作用面方位和轉(zhuǎn)向?？臻g力偶的三要素為力偶矩大小，作用面方位和轉(zhuǎn)向。F FACdMBABCAFdM2Theoretical Mechanics 作用在同一剛體兩個力偶，若它們的力偶矩矢相作用在

21、同一剛體兩個力偶，若它們的力偶矩矢相等，則兩個力偶等效。等，則兩個力偶等效。AFFBRROF1B1F2A1F2F1空間力偶等效定理空間力偶等效定理Theoretical Mechanics 空間力偶系的合成與平衡條件空間力偶系的合成與平衡條件Theoretical Mechanics niin121MMMMM222222)()()(ziyixizyxMMMMMMM )k,Mcos( ) j ,Mcos( ) i ,Mcos(MMMMMMzyx0)()()(222222ziyixizyxMMMMMMM 0= 0= 0=ziyixiMMMTheoretical Mechanics 工件四個面上同工

22、件四個面上同時鉆五個孔，每個孔時鉆五個孔，每個孔所受的切削力偶矩均所受的切削力偶矩均為為80 Nm。求工件所。求工件所受合力偶的矩在受合力偶的矩在x，y，z軸上的投影軸上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢，并求合力偶矩矢的大小和方向。的大小和方向。Theoretical Mechanics 解：解：mNMMMMx1 .19345cos45cos543mNMMy802mNMMMMz1 .19345cos45cos541mNMMMMzyx6 .2842226786.0),cos(iM2811.0),cos(jM6786.0),cos(kMTheoretical Mechanics xzyOF1

23、F2F31F3F2F 三角柱剛體是正方體的一半。在三角柱剛體是正方體的一半。在其中三個側面各自作用一個力偶。已其中三個側面各自作用一個力偶。已知力偶（知力偶（F1, F 1）的矩）的矩M1=20 Nm；力偶（力偶（F2, F 2 ）的矩）的矩M2=20 Nm；力力偶（偶（F3, F 3）的矩）的矩M3=20 Nm。試求。試求合力偶矩矢合力偶矩矢M。又問使這個剛體平衡，。又問使這個剛體平衡，還需要施加怎樣一個力偶。還需要施加怎樣一個力偶。Theoretical Mechanics 1.畫出各力偶矩矢。畫出各力偶矩矢。2.合力偶矩矢合力偶矩矢M 的投影。的投影。解：解：OxzyM1M24545M3

24、xzyOF1F2F31F3F2F0 xMmNMMMy2 .1145cos32mNMMMz2 .4145cos31Theoretical Mechanics 3.合力偶矩矢合力偶矩矢M 的大小和方向。的大小和方向。 4. 為使這個剛體平衡，為使這個剛體平衡，需加一力偶，其力需加一力偶，其力偶矩矢為偶矩矢為 M4= M 。xzy45OM145M2M3mNMMMMzyx7 .422220),cos(iM90),(iM262. 0),cos(jM8 .74),(jM965.0),cos(kM2 .15),(kMTheoretical Mechanics 空間任意力系向一點的簡化空間任意力系向一點的簡化

25、主矢和主矩主矢和主矩), 2 , 1( )F(MM ,FFniiOiiiTheoretical Mechanics )F(MMM ,FFF111RniiOniiOiniiTheoretical Mechanics Theoretical Mechanics RxFrRyFrRzFrOxMrOyMrOzMr有效推進力有效推進力有效升力有效升力側向力側向力滾轉(zhuǎn)力矩滾轉(zhuǎn)力矩偏航力矩偏航力矩俯仰力矩俯仰力矩飛機向前飛行飛機向前飛行飛機上升飛機上升飛機側移飛機側移飛機繞飛機繞x軸滾轉(zhuǎn)軸滾轉(zhuǎn)飛機轉(zhuǎn)彎飛機轉(zhuǎn)彎飛機仰頭飛機仰頭Theoretical Mechanics 空間任意力系的簡化結果分析空間任意力系的

26、簡化結果分析0 , 0 (1)ROMF0 , 0 (2)ROMF0 , 0 (3)ROMF0=M 0,=F (4)ORTheoretical Mechanics RR FFR FMOd OMOFR（a)RFOOd(c)RFRF RFOOd(b)OMF aR)(Theoretical Mechanics OMF / )b(R力螺旋不能進一步的合成為一個力或力偶。力螺旋不能進一步的合成為一個力或力偶。Theoretical Mechanics OMF R ) c (在一般的情況下空間任意力系可合成為力螺旋在一般的情況下空間任意力系可合成為力螺旋。00OM F (4)R空間任意力系的平衡?？臻g任意力

27、系的平衡。Theoretical Mechanics 00OM F RniziniyinixiFFF111000 , , 0)( , 0)( , 0)(iziyixMMMFFF空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程Theoretical Mechanics 空間平行力系空間平行力系niizniyinixiMFF1110)(00F F F 0)(0)(0iyixziMMF空間平行力系的平衡方程空間平行力系的平衡方程xyzOF1F2F3FnTheoretical Mechanics 2. 空間約束的類型舉例空間約束的類型舉例Theoretical Mechanics 止推軸承Theoreti

28、cal Mechanics Theoretical Mechanics 3. 空間力系平衡問題舉例空間力系平衡問題舉例鉛直桅桿鉛直桅桿AB受彼此互相受彼此互相垂直的兩個水平力垂直的兩個水平力F1和和F2的作用，并由張索的作用，并由張索CD維持平衡。已知尺寸維持平衡。已知尺寸l，力力F1和和F2，向，向D點簡化的點簡化的結果是力螺旋，試求結果是力螺旋，試求D點的位置。點的位置。Theoretical Mechanics 解：令解：令BD=s,將力將力F1和和F2向向D點點簡化得主矢簡化得主矢FR和主矩和主矩MD 在坐在坐標軸標軸x1，y1上的投影：上的投影：FR/MD 2R1R11 ,FFFFy

29、x-=-=()slFMsFMyx-=1211 , 1111RR yxyxMMFF=()slFsFFF-=1221 lFFFs222121 +=Theoretical Mechanics 渦輪發(fā)動機的渦輪葉片上受到的燃氣壓力可簡化成作用渦輪發(fā)動機的渦輪葉片上受到的燃氣壓力可簡化成作用在渦輪盤上的一個軸向力和一個力偶。圖示中在渦輪盤上的一個軸向力和一個力偶。圖示中FO ， MO , 斜齒斜齒輪的壓力角為輪的壓力角為，螺旋角為，螺旋角為，節(jié)圓半徑，節(jié)圓半徑r及及l(fā)1 , l2尺寸均已知。尺寸均已知。發(fā)動機的自重不計，試求輸出端斜齒輪上所受的反作用力發(fā)動機的自重不計，試求輸出端斜齒輪上所受的反作用力F

30、 以及徑向推力軸承以及徑向推力軸承O1和徑向軸承和徑向軸承O2 處的約束力。處的約束力。 Theoretical Mechanics 沿各軸的分力為沿各軸的分力為kFjFiF )sin() coscos( )sincos(nnnFFFzyxTheoretical Mechanics 解：建立坐標系解：建立坐標系O1xyz。 在斜齒輪上所受的壓力在斜齒輪上所受的壓力F: 周向力周向力Fy ，徑向力，徑向力Fx和軸和軸向力向力Fz 。sinFFxcoscosFFysincosFFzTheoretical Mechanics 0 xF021xxxFFF0yF021yyyFFF= 0zF01ozzFF

31、F0 xM0yM0zM2112()0yyF lF ll0)(2122rFllFlFzxx0rFMyoTheoretical Mechanics 水平傳動軸上裝有兩個膠帶輪水平傳動軸上裝有兩個膠帶輪C和和D，半徑分別是，半徑分別是r1=0.4 m ， r2=0.2 m . 套在套在C 輪上的膠帶是鉛垂的，兩邊輪上的膠帶是鉛垂的，兩邊的拉力的拉力F1=3 400 N，F(xiàn)2=2 000 N，套在，套在D輪上的膠帶與鉛垂輪上的膠帶與鉛垂線成夾角線成夾角q =30o，其拉力，其拉力F3=2F4。求在傳動軸勻速轉(zhuǎn)動時，。求在傳動軸勻速轉(zhuǎn)動時，拉力拉力F3和和F4以及兩個徑向軸承處約束力的大小。以及兩個徑向

32、軸承處約束力的大小。 Theoretical Mechanics 解：解：建立坐標系建立坐標系Oxyz，畫出系統(tǒng)的受力圖。，畫出系統(tǒng)的受力圖。 Theoretical Mechanics 已知已知F3 =2F4，故利用以上方故利用以上方程可以解出所程可以解出所有未知量。有未知量。Theoretical Mechanics 三輪小車自重三輪小車自重=8kN，作用于，作用于E點，載荷點，載荷F1=10kN，作用于，作用于C點。求小車靜止時地面對車輪點。求小車靜止時地面對車輪的約束力。的約束力。Theoretical Mechanics 解：解：以小車為研究對象，主動力和約束反力組成空間平行以小車為研究對象，主動力和約束反力組成空間平行力系。力系。0zFkN